CONECTIVOS LÓGICOS (NÃO (~), CONJUNÇÃO () E DISJUNÇÃO (V) E TABELAS-VERDADE

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Introdução à Lógica - Solange Tieko Sakaguti -

Conhece uma tabela-verdade? Já viu para que ela serve? Não?! Então vamos conhecê-la nesta aula juntamente com os conectivos lógicos.

Wikipedia diz que:

Tabela verdade ou tabela de verdade são um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma expressão é verdadeira e válida.

Tabelas verdades derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação de Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava delas para classiﬁ car funções verdades em uma série. A vasta inﬂ uência de seu trabalho levou, então, a difusão do uso de tabelas verdades.

Aula 03

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A tabela-verdade é uma tabela utilizada em lógica para veri_ﬁ car se uma determinada

expressão é verdadeira e válida.

Representaremos então o valor lógico de cada proposição com seu respectivo

conectivo.

Nas funções lógicas temos apenas dois estados: ligado ou desligado, aberto ou

fechado, 0 (zero) ou 1 (um), V ou F, sim ou não etc.

PRIORIDADE DOS CONECTIVOS

Caso exista mais de um conectivo na expressão você deve respeitar a seguinte

hierarquia:

1º (~) Negação ou Complemento 2º (^) Conjunção – e

3º (v) Disjunção – ou

4º () Condicional – Se... então...

5º () Bicondicional – Se e somente se

Importante lembrar!!! Caso existam parênteses, colchetes e chaves, estes devem ter prioridade, na seqüência apresentada:

1º parênteses ( )

2º colchetes [ ]

3º chaves { }

Conectivos e tabela-verdade

1. Não (~)

O conectivo não (~) representa a situação inversa, a negação de uma

determinada situação.

Exemplo 1:

Consideremos a seguinte a_ﬁ rmação:

a = Roma ﬁ ca na Itália.

Se quisermos negar esta proposição A poderemos fazê-lo de duas formas:

~a = Não é verdade que Roma ﬁ ca na Itália.

~a = Roma não ﬁ ca na Itália.

Exemplo 2:

Consideremos a seguinte a_ﬁ rmação:

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Se quisermos negar esta proposição A poderemos fazê-lo de três formas:

~a = Não é verdade que Júnior tem 18 anos. ~a = Júnior não tem 18 anos

~a = Júnior é menor de idade.

Da mesma forma podemos compor a tabela-verdade. Vejamos...

Valor verdade de p e ~p

Como montar a tabela-verdade? Vejamos... Primeiro, veriﬁ camos a quantidade

de proposições (letras), neste caso uma, existentes que irão compor a tabela. Conforme a

quantidade de proposições teremos uma quantidade de linhas na tabela... este número é

calculado da seguinte forma: 2n_{, onde n é a quantidade de proposições.}

Como aqui temos 1 proposição, a quantidade de linhas será calculada da seguinte

forma:

21_{= 2 linhas.}

A negação da proposição p é a proposição p, de maneira que se p é verdade então p

é falso, e vice-versa.

2. E (^) – Conjunção

Duas a_ﬁ rmações quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma

a_ﬁ rmação composta a qual chamamos de conjunção das a_ﬁ rmações originais.

Exemplo 1:

São Paulo _ﬁ ca na América Latina e 2 + 3 = 5

(V) e (V) = V

Lembre-se de que é muito importante atenção no preenchimento dos Vs e Fs de cada uma das colunas da tabela-verdade, pois se apenas um estiver errado, a saída também estará errada!!!

Duas linhas que são distribuídas da seguinte forma: metade das linhas para os valores de V e a outra metade para os valores de F

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São Paulo _ﬁ ca na América Latina e 2 + 3 = 6

(V) e (F) = F

São Paulo _ﬁ ca na América do Norte e 2 + 3 = 5

(F) e (V) = F

São Paulo _ﬁ ca na América do Norte e 2 + 3 = 6

(F) e (F) = F

Exemplo 2:

Os Jogos Olímpicos acontecem de 4 em 4 anos e 12 > 3

(V) e (V) = V

Os Jogos Olímpicos acontecem de 4 em 4 anos e 12 < 3

(V) e (F) = F

Os Jogos Olímpicos acontecem a cada 2 anos e 12 > 3

(F) e (V) = F

Os Jogos Olímpicos acontecem a cada 2 anos e 12 < 3

(F) e (F) = F

Valor verdade de p ^ q – Conectivo e – Conjunção.

Agora perceba que temos duas proposições com um conectivo e (^).

Como aqui temos 2 proposições (p e q), a quantidade de linhas será calculada da

seguinte forma:

22_{= 4 linhas}

Observe os valores resultantes p ^ q (saída)! Perceba que a saída é V onde as proposições (entrada) p e q também são V. Nas outras, onde os valores de V e F se alternam, a saída será F.

3. Ou (v) – Disjunção

Duas a_ﬁ rmações quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” (no sentido

Quatro linhas que são distribuídas da seguinte forma: metade das linhas para os valores de V e a outra metade para os valores de F para a primeira coluna (p). Já na Segunda intercalamos V e F.

p q p^q

V V V

V F F

F V F

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conjunto de e/ou) para formar uma nova a_ﬁ rmação, a qual chamamos de disjunção das duas

a_ﬁ rmações originais.

Exemplo 1:

São Paulo _ﬁ ca na América Latina ou 2 + 3 = 5

(V) ou (V) = V

São Paulo _ﬁ ca na América Latina ou 2 + 3 = 6

(V) ou (F) = V

São Paulo _ﬁ ca na América do Norte ou 2 + 3 = 5

(F) ou (V) = V

São Paulo _ﬁ ca na América do Norte ou 2 + 3 = 6

(F) ou (F) = F

Exemplo 2:

Os Jogos Olímpicos acontecem de 4 em 4 anos ou 12 > 3

(V) ou (V) = V

Os Jogos Olímpicos acontecem de 4 em 4 anos ou 12 < 3

(V) ou (F) = V

Os Jogos Olímpicos acontecem a cada 2 anos ou 12 > 3

(F) ou (V) = V

Os Jogos Olímpicos acontecem a cada 2 anos ou 12 < 3

(F) ou (F) = F

Valor verdade de p v q – Conectivo ou – Disjunção.

Observe os valores resultantes p v q (saída)! Perceba que a saída é V onde as proposições (entrada) p ou a apresentam pelo menos um valor V. Quando os valores de entrada forem apenas F, a saída será F.

Veja mais alguns exemplos:

Quatro linhas que são distribuídas da seguinte forma: metade das linhas para os valores de V e a outra metade para os valores de F para a primeira coluna (p). Já na segunda intercalamos V e F.

p q p v q

V V V

V F V

F V V

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Se tiver uma expressão do tipo:

p ^ ~ q v ~ p

Veja que aparece 2 vezes (p e ~p), porém contamos apenas uma vez, ok?

Aparecendo ou não com negado (~) a letra p é contada uma única vez.

Então montando a tabela verdade temos:

2 entradas (letras) = p e q

Portanto trabalharemos com 4 linhas...

IMPORTANTE: observar que para a construção das tabelas é necessário, primeiramente, identi_ﬁ car qual a quantidade de proposições (letras). É ela que vai me informar

quantas linhas a minha tabela-verdade terá. A quantidade de linhas dependerá da fórmula 2n_,

onde n é a quantidade de letras/proposições....

a) ~p ^ q

Veja que para esta primeira tabela, temos duas proposições (p e q). Então teremos

uma tabela com 4 linhas.

Após a quantidade de linhas ser estabelecida, é preciso que distribua os valores de V

e F, conforme já foi visto.

Então as colunas serão montadas de acordo com a expressão... veja a tabela a seguir....

Perceba que a terceira coluna é o resultado inverso da segunda

Perceba que a Quinta coluna é o resultado inverso da primeira (~p)

A quarta coluna é a junção da primeira com a terceira.

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Veja que aqui, neste exemplo terá que primeiro negar o valor de p para depois juntar com q. b) ~( p v q)

p q ~p ~p ^ q

V V F F

V F F F

F V V V

F F V F

Veja que para este outro exemplo temos duas proposições (p e q). Então teremos também uma tabela com 4 linhas.

Após a quantidade de linhas ser estabelecida, é preciso que distribua os valores de V e F, conforme já foi visto.

Então as colunas serão montadas de acordo com a expressão... veja a tabela a seguir.... Veja que aqui, neste exemplo terá que primeiro juntar p com q para somente depois

negar, pois os valores de p e q estão dentro do parênteses.

p q p v q ~(p v q)

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

c) (p ^ q) v (p ^ r)

Veja que neste exemplo temos três proposições (p, q e r). Então teremos também uma tabela com 8 linhas, pois 23_{= 8. Após a quantidade de linhas ser estabelecida, é preciso}

que distribua os valores de V e F, conforme já foi visto nos exemplos anteriores.

Então as colunas serão montadas de acordo com a expressão... veja a tabela a seguir.... Veja que aqui teremos primeiro que juntar p com q. Depois juntar p com r para somente depois agrupar a 4ª e a 5ª colunas.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

p q r p ^ q p ^ r (p ^ q) v (p ^ r)

V V V V V V

V V F V F V

V F V F V V

V F F F F F

F V V F F F

F V F F F F

F F V F F F

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d) ~(p ^ ~q)

Veja que para este último exemplo temos duas proposições (p e q). Então teremos

também uma tabela com 4 linhas. Após a quantidade de linhas ser estabelecida, é preciso que

distribua os valores de V e F, conforme já foi visto.

Então as colunas serão montadas de acordo com a expressão... veja a tabela a seguir....

Veja que aqui, neste exemplo terá que primeiro negar o valor de q, depois juntar

com p e depois negar, pois os valores de p e q estão dentro do parênteses e, ainda, existe um

negado (~) fora do parênteses.

p q ~q p ^ ~q ~(p ^ ~q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

Agora chegou a hora de praticarmos um pouco do que vimos nesta terceira aula.

Vamos lá??

ATIVIDADES

As atividades referentes a esta aula estão disponibilizadas na ferramenta “Sala Virtual

- Atividades”. Após respondê-las, enviem-nas por meio do Portfólio- ferramenta do ambiente

de aprendizagem UNIGRANet. Em caso de dúvidas, utilize as ferramentas apropriadas para