Armazenamento de Números em Ponto Flutuante

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Introdução à Programação

Prof. Carlos Andrés Ferrero

Armazenamento de Números em

Ponto Flutuante

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Números em Ponto Flutuante

• Um Número Real possui:

– Uma parte inteira e

– Uma parte fracionária

• Por ex. o valor (122,324) possui:

– Parte inteira: 122

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Números em Ponto Flutuante

• Ao tentarmos usar uma representação com ponto

(vírgula) fixo, teríamos que fixar um número de

bits à direita e outro à esquerda.

– Suponha que o computador conseguisse armazenar números do sistema decimal de 8 algarismos, sendo 5 para a parte inteira e 3 para a parte fracionária;

– Por ex. (178,12)₁₀

𝑆₅ 𝑆₃ 𝑆₂ 𝑆₁ 𝑆₀ . 𝑆₋₁ 𝑆₋₂ 𝑆₋₃

Decimal 1 7 8 . 1 2

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Números em Ponto Flutuante

• Ao tentarmos usar uma representação com ponto

(vírgula) fixo, teríamos que fixar um número de

bits à direita e outro à esquerda.

– Por ex. 212178,12 ₁₀

𝑆₅ 𝑆₃ 𝑆₂ 𝑆₁ 𝑆₀ . 𝑆₋₁ 𝑆₋₂ 𝑆₋₃

Decimal 1 7 8 . 1 2

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Números em Ponto Flutuante

• Ao tentarmos usar uma representação com ponto

(vírgula) fixo, teríamos que fixar um número de

bits à direita e outro à esquerda.

– Por ex. 178,1296 ₁₀

– Não pode ser representado! Faltou um algarismo. 𝑆₅ 𝑆₃ 𝑆₂ 𝑆₁ 𝑆₀ . 𝑆₋₁ 𝑆₋₂ 𝑆₋₃

Decimal 1 7 8 . 1 2

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Números em Ponto Flutuante

• O problema de fixarmos um ponto (vírgula) é que temos que limitar ambos os lados, os quais podem ou não ser utilizados

• Assim, além de um problema de limite de representação, haveria um problema de desperdício de memória

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Números em Ponto Flutuante

• Para isso temos que lembrar da notação científica no sistema decimal

• Ex.: mostre o número 7500 em notação científica

– _{7,5 × 10}3_{, pois movendo vírgula 3 posições à direita forma o}

valor do enunciado, 7500

• Ex.: mostre o número 7425000000000

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Números em Ponto Flutuante

• Para isso temos que lembrar da notação científica no sistema decimal

• Ex.: mostre o número 0,00541 em notação científica

– _{5,41 × 10}−3_{, pois movendo a vírgula 3 posições à esquerda}

obtemos o valor 0,00541

• Ex. 19: mostre o número - 0,0000000000000232

– _{−2,32 × 10}−14_{, pois deslocando 14 posições à esquerda}

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Números em Ponto Flutuante

• Para o sistema binário funciona muito parecido:

• Ex.: mostre o número 1010101₂ em notação científica

– _{1,010101 × 2}6_{, pois movendo a vírgula 6 posições à direita}

obtemos o valor 1010101₂

• Ex. 21: mostre o número −0,000001110111001₂

– _{−1,110111001 × 2}−6_{, pois deslocando 6 posições à esquerda}

obtemos o valor do enunciado

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Números em Ponto Flutuante

• Uma vez feita a Normalização devemos identificar três componentes

– Sinal: podendo ser representado por apenas um bit (0 ou 1)

– Expoente: define o deslocamento da vírgula

– Mantissa: parte fracionária do número, em que a vírgula fica implícita à esquerda

• Ex.: o valor 1010101₂ possui as seguintes componentes

+ 26 × 1,010101

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Números em Ponto Flutuante

• Uma vez feita a Normalização devemos identificar três componentes

– Sinal: podendo ser representado por apenas um bit (0 ou 1)

– Expoente: define o deslocamento da vírgula

– Mantissa: parte fracionária do número, em que a vírgula fica implícita à esquerda

• Ex.: o valor −0,000001110111001₂ possui as seguintes componentes

- 2−6 × 1,110111001

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Números em Ponto Flutuante

• Padrão IEEE 754-2011

– Sinal

Representado por um bit, sendo

– Zero (0) para positivo

– Um (1) para negativo

– Expoente

Representado em Sistema Excesso (a ser visto em breve)

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Números em Ponto Flutuante

• Sistema em Excesso

– O complemento de 2, para 4 bits, representa valores de -8 até 7

– O sistema excesso, para 4 bits, permitirá representar valores de -7 a 8

• Consiste em somar

(2

𝑚−1

−1

) ao valor que

queremos representar

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Números em Ponto Flutuante

• Consiste em somar

(2

𝑚−1

−1)

ao valor que

queremos representar

– Ex.: representar o valor 6 em sistema de excesso com 4 bits de armazenamento (chamado de Excesso_7)

• m = 4

• Resultado = 6 + (2𝑚−1−1) = 6 + 7 = 13₁₀

• Binário em excesso: 1101₂

– Ex.: na mesma memória representar o valor -7

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Números em Ponto Flutuante

• Represente o valor

5,75

₁₀

em ponto flutuante de

32 bits (precisão simples) de acordo com a norma

IEEE 754-2011

– Sinal: 1 bit

– Excesso: 8 bits (excesso_127)

– Mantissa: 23 bits (inteiro sem sinal)

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Números em Ponto Flutuante

• Transformação do valor

5,75

₁₀

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Números em Ponto Flutuante

• Transformação do valor

5,75

₁₀

2. Mude o número para binário

• Parte inteira: 101₂

• Parte fracionária: 0,11₂

• Resultado em binário: 101,11₂

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Números em Ponto Flutuante

• Transformação do valor

5,75

₁₀

2. Mude o número para binário

• Parte inteira: 101₂

• Parte fracionária: 0,11₂

• Resultado em binário: 101,11₂

3. Normalize

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Números em Ponto Flutuante

• Transformação do valor

5,75

₁₀

4. Encontre os valores de Expoente e Mantissa

• O expoente 2 deve ser representado em Excesso_127

– Resultado: 2 + 127 = 129

– Em binário: 10000001

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Números em Ponto Flutuante

• Transformação do valor

5,75

₁₀

• A mantissa deve ser representada como inteiro sem sinal

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Números em Ponto Flutuante

• Transformação do valor

5,75

₁₀

• A mantissa deve ser representada como inteiro sem sinal

– Resultado: 0111

• Completar com zeros à direita da mantissa

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Números em Ponto Flutuante

• Mostre o valor

–

10,1

₁₀

usando precisão simples

1. Sinal negativo: valor 1

2. Número em binário: 1010,0 0011

3. Normalização: 1,0100 0011 × 23

4. Componentes:

• Expoente em Excesso_127: 3 + 127 = 130 = 10000010

• Mantissa: 010000110011001100110011 (24 bits)

(23)

Números em Ponto Flutuante

• Mostre o valor

–

10,1

₁₀

usando precisão simples

1. Sinal negativo: valor 1

2. Número em binário: 1010,0 0011

3. Normalização: 1,0100 0011 × 23

4. Componentes:

• Expoente em Excesso_127: 3 + 127 = 130 = 10000010

• Mantissa: 010000110011001100110011 (24 bits)

• Reduzindo para 23 bits: 01000011001100110011010

• Resultado

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• Ferramentas para conversão online

– IEEE 754 Converter

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Exercícios

• Converter os seguintes valores para Compl 2.

usando 16 bits.

 1543₁₀

 -143₁₀

 -1024₁₀

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Exercícios

• Converter os seguintes números reais para ponto

flutuante de precisão simples (32 bits) conforme

norma IEEE 754-2011

 -10₁₀

 296₁₀

 1200,3125₁₀