Excitac¸˜ao de Ondas Magnetohidrodinˆamicas
(MHD) atrav´es de Ondas Gravitacionais
produzidas por Bin´arias de Estrelas de
Nˆeutrons
Adam S. Gontijo
Oswaldo D. Miranda
Divis˜ao de Astrof´ısica
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
R
OTEIRO
1
I
NTRODUC
¸ ˜
AO
2
E
STRELAS DE
N ˆ
EUTRONS
Estrutura Interna
Magnetosfera
3
G
AMMA
-R
AY
B
URST
Cen´ario
4
O
NDAS
G
RAVITACIONAIS
Vis˜ao Geral
Vis˜ao Geral
Equac¸˜ao de Campo de Einstein Linearizada
Sistema Bin´ario de ENs
5
T
EORIA
MHD
Plasma como um ´unico fluido neutro condutor
Ondas MHD
Equac¸ ˜oes MHD da Relatividade Geral - GRM
Ondas GRM
E
STRELAS DE
N ˆ
EUTRONS
Fonte:
Bekin
et
al,
E
STRUTURA INTERNA
Crosta Externa: consiste de n ´ucleos e el´etrons relativ´ısticos
(
ρ >
10
7
g
cm
−
3
);
Crosta Interna: n ´ucleos n˜ao relativ´ısticos e el´etrons
degenerados (
ρ
=
4
.
3
×
10
11
g
cm
−
3
);
N ´ucleo: mat´eria na forma l´ıquida (
ρ
=
2
.
4
×
10
14
g
cm
−
3
M
AGNETOSFERA
~
E
in
+
~
Ω
×
~
r
c
×
~
B
=
0
B
∼
10
11
−
10
13
Gauss
E
∼
10
10
−
10
12
V
cm
−
1
n
c
=
~
Ω
·
~
B
2
π
c
|
e
|
n
c
=
10
6
cm
−
3
: Magnetosfera da Terra;
M
AGNETOSFERA
Fonte:
Beskin
et
al,
1993
Fonte:
Beskin
et
al,
E
STRUTURA DO
GRB
Luminosidade: 10
51e 10
52erg
s
−1Durac¸˜ao entre
∼
1 mseg e 1000 seg
GRBs de curta durac¸˜ao (
t
<∼
2 seg): EN-EN
e BN-EN
(Kouveliotou et al. 1993)
Modelo
fireball
(M´esz´aros 2006)
Energia total isotr ´opica
∼
10
51erg;
Emiss˜ao
prompt
: GRB;
Emiss˜ao
afterglow
: raio-x, vis´ıvel e
r´adio;
Fator de Lorentz:
Γ
∼
100
−
1000
(L ¨u et al. 2012)
Fonte:
ecuip.lib.uchicago.edu
Fonte:
universe-r
eview
Fireball
Fonte:
Zhang,
F
ATOR DE
L
ORENTZ
Fireball
= el´etron-p ´ositron + quantidade de b´arions
10
−
9
M
J
, reduz bastante a radiac¸˜ao;
10
−
5
M
J
, nunca se torna relativ´ıstica.
Contaminac¸˜ao de B´arions
(Zhang 2011)
Dissipac¸˜ao Magn´etica e Reconex˜ao das linhas de campo
(Parker 1957)
Ondas Alfv´en
D
ETECC
¸ ˜
AO INDIRETA
O
NDA
G
RAVITACIONAL
Onda Tranversal
Amplitude
∝
G
/
c
4
Oposta e ao longo dos eixos ortogonais
(Trace-free)
Duas polarizac¸ ˜oes: ’+’ e ’
×
’
Objetos Astron ˆomicos
Supernovas de Colapso Nuclear
Rotac¸˜ao de EN com pequena
assimetria em sua forma
T
EORIA DA
R
ELATIVIDADE
L
INEARIZADA
Equac¸˜ao de Campo de Einstein:
R
µν
−
1
2
g
µν
R
=
−
8
π
G
c
4
T
µν
Tensor de Riemann e Conex˜ao M´etrica:
R
a
bcd
=
∂
c
Γ
a
bd
−
∂
d
Γ
a
bc
+ Γ
e
bd
Γ
a
ec
−
Γ
e
bc
Γ
a
ed
Γ
a
bc
=
1
E
QUAC
¸ ˜
AO DA ONDA
Equac¸˜ao da Onda para campos fracos em gauge TT
h
TT
ab
=
−
16
π
G
c
4
T
ab
A onda gravitacional plana no gauge TT:
h
TT
µν
(
t
,
z
) =
h
TT
µν
(
t
−
z
/
c
) =
0
0
0
0
0
h
+
h
x
0
0
h
x
−h
+
0
0
0
0
0
S
OLUC
¸ ˜
AO DA
E
QUAC
¸ ˜
AO DE
O
NDA
A soluc¸˜ao da Equac¸˜ao de Onda:
h
TT
ab
(
t
,~
r
) =
4
G
c
4
Z
1
|
~
r
−
~
r
′
|
T
ab
t
−
|
~
r
−
~
r
′
|
c
,~
r
′
d
3
x
′
A soluc¸˜ao da Equac¸˜ao de Onda
h
TT
ab
(
t
,~
r
) =
1
r
2
G
c
4
Q
¨
TT
ab
(
t
−
r
/
c
)
onde
Q
ab
≡
Z
ρ
(
t
,~
r
)
x
a
x
b
−
1
3
r
2
δ
ab
S
ISTEMA
B
IN
ARIO DE
´
EN
S
.tapir
E
MISS
AO DE UM
˜
S
ISTEMA
B
IN
ARIO
´
Onda Gravitacional Plana em func¸˜ao do tempo de coalescˆencia
h
+
(
t
) =
1
r
GM
c
c
2
5
/
4
5
c
τ
1
/
4
(
1
+
cos
2
(
l
))
2
cos
(
φ
(
τ
))
h
×
(
t
) =
1
r
GM
c
c
2
5
/
4
5
c
τ
1
/
4
cos
(
l
)
sen
(
φ
(
τ
))
onde a Massa ”chirp”
⇒
M
c
=
(m
1m
2)
3/5
(m
1+m
2)
1/5Fonte:
Sesana,
E
MISS
AO DE UM
˜
S
ISTEMA
B
IN
ARIO
´
A frequˆencia orbital do movimento circular orbital
f
OG
(
τ
)
≃
134
Hz
1
.
21
M
J
M
c
5
/
8
1
s
τ
3
/
8
Energia total radiada durante a fase inspiral
∆
E
rad
∼
4
.
2
×
10
−
2
M
J
c
2
M
c
1
.
21
M
J
5
/
3
2
∗
(
f
s
)
ISCO
1
kHz
2
/
3
P
LASMA COMO UM
UNICO FLUIDO NEUTRO
´
CONDUTOR
Equac¸˜ao de Movimento
Neutralidade macrosc ´opica,
ρ
=
0
Equac¸˜ao da Energia
Viscosidade desprez´ıvel,
P
=
p
I
Dissipac¸˜ao Joule,
~
J
·
~
E
=
0
Sem fluxo de calor,
~
q
=
0
Lei de Ohm
Desconsiderar os termos
∂~
∂
J
t
,
∇
p
e
C
ONJUNTO
F
ECHADO DE
E
Q
’
S
- MHD
Fluido Magnetizado
∂ρ
m
∂
t
+
∇ ·
[
ρ
m
~
v
]
ρ
m
d
~
v
d
t
=
~
J
×
~
B
− ∇p
d
[
p
ρ
−
γ
m
]
d
t
=
0
Lei de Ohm generalizada
Eletromagnetismo
∂~
B
∂
t
=
∇ ×
~
E
∇ ×
~
B
=
4
π~
J
∇ ·
~
E
=
4
πρ
O
NDAS
MHD
Perturbac¸˜ao de 1
o
ordem nos parˆametros do plasma:
ρ
m
(
~
r
,
t
) =
ρ
m
(
0
)
+
ρ
(
m
1
)
(
~
r
,
t
)
~
B
(
~
r
,
t
) =
B
~
(
0
)
+
~
B
(
1
)
~
v
(
~
r
,
t
) =
~
v
(
1
)
(
~
r
,
t
)
Obt´em-se
∂
2
~
v
(
1
)
∂
t
2
−
c
2
s
∇
[
∇ ·
~
v
(
1
)
] +
~
v
A
× {∇ ×
[
∇ ×
(
~
v
(
1
)
×
~
v
A
)]
}
=
0
onde
~
v
A
=
~
B
(0)q
T
RANSFORMADAS
Onda plana
⇒
~
v
(
1
)
(
~
r
,
t
) =
~
Aexp
[
i
~
k
·
~
r
−
i
ω
t
]
Usando a Transformada de Fourier para a coordenada temporal
F
(
ω
) =
F{
f
}
(
ω
)
≡
√
1
2
π
Z
∞
−∞
f
(
t
)
e
i
ω
t
dt
f
(
t
) =
F
−
1
{
F
}
(
t
)
≡
√
1
2
π
Z
∞
−∞
F
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
ω
e a Transformada de Laplace para as coordenadas espaciais
F
(
s
) =
L{
f
}
(
s
)
≡
Z
∞
0
f
(
t
)
e
−
sz
dz
R
ELAC
¸ ˜
AO DE
D
ISPERS
AO
˜
Temos a relac¸˜ao de dispers˜ao:
−
ω~
v
(
1
)
+ [
c
2
s
+
v
A
2
][
~
k
·
~
v
(
1
)
]
~
k
O
NDAS
MHD (N
ELSON
,2013)
Ondas Magnetos ˆonicas
ω
k
= [
c
2
s
+
v
2
A
]
1
/
2
F
ORMALISMO
3+1
Considerando um referencial se movendo
com velocidade
~
u
, o sistema de
coordenadas desse referencial ´e dado:
ˆ
e
0=
∂
∂
t
,
0
,
0
,
0
ˆ
e
1=
0
,
[
1
−
h
+2
]
∂
∂
x
,
−
h
×2
∂
∂
y
,
0
ˆ
e
2=
0
,
−
h
×2
∂
∂
x
,
[
1
+
h
+2
]
∂
∂
y
,
0
ˆ
e
3=
0
,
0
,
0
,
∂
∂
z
Com a m´etrica em termos das polarizac¸ ˜oes
da perturbac¸˜ao h:
g
abTT(t
,
z) =
−
1
0
0
0
0
1
+
h
+h
x0
0
h
x1
−
h
+0
0
0
0
1
E
LETROMAGNETISMO
∇
b
F
ab
=
4
π
j
a
m
∇
b
F
ab
=
0
F
ab
=
0 1−h+2 Ex−h×2 Ey
1+h+2Ey−h×2 Ex Ez
−1−h+2 Ex+h×2 Ey 0 Bz −1−h+2By−h×2 B
−1+h+ 2
Ey+h×2 Ex −Bz 0 1+h+
2
Bx+h×2 By
−Ez
1−h+2 By+h×2 Bx −
GRM - F
LUIDO
M
AGNETIZADO
Equac¸˜ao Adiab´atica
∇p
(
1
)
=
c
2
s
∇
µ
(
1
)
c
2
s
=
γ
p
(
0
)
ω
(
0
)
ω
(
0
)
=
µ
(
0
)
+
p
(
0
)
µ
=
ρ
m
+
p
γ
−
1
Fluido Magnetizado
∂ρ
(
m
1
)
∂
t
+
ρ
m
0
∇ ·
~
v
(
1
)
=
0
(
µ
(
0
)
+
p
(
0
)
)
∂~
v
(
1
)
∂
t
+
∇
p
(
1
)
=
~
J
(
1
)
m
×
~
B
(
0
)
∂
p
(
1
)
∂
t
+
γ
p
(
0
)
GRM-E
LETROMAGNETISMO
Eletromagnetismo
∇ ×
~
E
(
1
)
+
∂~
B
(
1
)
∂
t
=
−
~
J
(
1
)
B
∇ ×
~
B
(
1
)
−
∂~
E
(
1
)
∂
t
=
4
π~
J
(
1
)
m
+
~
J
(
E
1
)
∇ ·
~
E
(
1
)
=
4
πρ
(
1
)
Termos de OGs
~
J
(
1
)
B
=
−
B
(
x
0
)
2
∂
∂
t
h
+
h
×
0
~
J
(
1
)
E
=
B
(
x
0
)
2
∂
∂
z
h
×
−
h
+
0
Lei de Ohm generalizada
O
NDAS
GRM
∂
2
∂
t
2
−
u
2
m
∇∇ ·
~
v
(
1
)
−
~
u
A
∂
2
∂
t
2
−
(
~
u
A
· ∇
)
∇
~
v
(
1
)
·
~
u
A
= (
~
u
A
· ∇
)
2
~
v
(
1
)
−
~
u
A
(
~
u
A
· ∇
)(
∇ ·
~
v
(
1
)
)
+
√
1
4
πω
tot
∇
(
~
u
A
·
~
J
(
B
1
)
)
−
∂
∂
t
(
~
J
(
1
)
E
×
~
u
A
)
−
(
~
u
A
· ∇
)
~
J
(
1
)
B
onde
u
2
A
=
|
B
(
0
)
|
2
4
πωtot
u
2
m
=
γ
p
(
0
)
ω
tot
+
|
B
(
0
)
|
2
4
πω
tot
ω
tot
=
ω
(
0
)
+
|
B
(
0
)
|
2
R
ELAC
¸ ˜
AO DE
D
ISPERS
AO
˜
Supondo
h
+
,
×
∝
e
i
ω
(z
−
t)
D
~
v
(
1
)
=
J
(
OG
1
)
D
=
ω
2(
1
−
u
2A⊥
)
−
k
2u
2Ak0
−
(
ω
2−
k
2)u
Aku
A⊥0
ω
2−
k
2u
Ak
0
−
(
ω
2−
k
2)u
Ak
u
A⊥0
ω
2(
1
−
u
2Ak)
−
k
2(u
2m−
u
2Ak)
J
(1)OG=
−
i
ω
2
u
A⊥ω
−
k
u
Akh
+u
Akh
×−
u
A⊥h
+
S
OLUC
¸ ˜
OES DA RELAC
¸ ˜
AO DE DISPERS
AO
˜
Ondas Alfv´en
ω=±kAuAk
OndasSlow,FastMagnetos ˆonicas
ω=±ks,f
√
2 s
u2
m+c2su2Ak
r
1±q(1−σ)
ondeσ(θ)≡ 4c
2 s u2Ak
