www.interscienceplace.org 1 O Teorema de Bieberbach sobre as zonas de Brillouin
A.R. da Silva*
C. Sigaud**
Questionado se suas freqüentes referências e sugestões para a leitura dos clássicos não seriam fora de moda para o leitor moderno I.R. Shafarevich respondeu: Because we know of other people's bad habits, it doesn't follow that we should encourage them, does it?
I. Introdução
O objetivo desse artigo, de caráter puramente didático, é apresentar uma tradução adaptada de um artigo clássico de Bieberbach que contém uma prova rigorosa de uma afirmação feita por Brillouin em seu famoso livro sobre Mecânica Estatística (ver [Br], p.107). A necessidade de uma tal prova foi levantada por von Laue, quem claramente previu a importância do resultado em questão. Como veremos, embora o artigo original tenha sido publicado muitas décadas atrás, as idéias e conceitos envolvidos na prova de Bieberbach têm sido objeto de diversas extensões e aplicações recentes (ver, por exemplo, [Jo], [K1], [K2] e [Ve et al.]).
*Instituto de Matemática - UFRJ **Instituto de Física - UFRJ
www.interscienceplace.org 2 II. O artigo de Bieberbach ([Bi])
Sobre a igualdade de volume das zonas de Brillouin, por Ludwig Bieberbach, em Berlin.
A conjectura geométrica, cuja prova tratamos aqui, foi feita pela primeira vez por Brillouin em seu livro sobre mecânica estatística em 1931. A conjectura foi verificada, mas uma prova matemática ainda não foi dada. A prova da conjectura que apresentamos segue uma sugestão do Sr. von Laue.
O Teorema a ser provado se refere a um reticulado na aplicação física esse é o reticulado recíproco de um cristal. Escolhe-se um ponto do reticulado Ao e unimo-lo
através de linhas retas a todos os outros pontos An do reticulado. Sobre cada um
dos segmentos obtidos tomamos planos perpendiculares passando pelo ponto médio. Esses planos decompõe o espaço em um número infinito de poliedros. Reunidos eles formam as zonas. Afim de explicar isso com mais detalhes, introduziremos a seguinte nomenclatura:
Um ponto arbitrário P do espaço é dito um ponto primeiro relativamente a Ao ,
se nenhum plano intercepta o interior do segmento AoP . P é dito um ponto segundo relativamente a Ao , se exatamente um plano intercepta o interior do segmento AoP . P é dito um ponto terceiro relativamente a Po , se exatamente dois planos
interceptam o interior do segmento AoP e etc. Claramente os pontos primeiros
relativamente a Ao formam um domínio, o qual inclui Ao , e esse domínio contém sua
fronteira. Os pontos segundos relativamente Ao , ao contrário, se decompõe em
vários poliedros e suas fronteiras. Os pontos segundos formam então o que chamamos de segunda zona de Brillouin. A primeira zona é o domínio formado pelos pontos primeiros relativamente a Ao , enquanto os pontos segundos formam a
www.interscienceplace.org 3 segunda zona. O teorema a ser provado afirma que:
Todas as zonas de Brillouin têm o mesmo volume.
Afim de apresentar a prova, consideramos o grupo de translações no espaço que levam o reticulado sobre si mesmo. Dois pontos no espaço são ditos equivalentes, se um pode ser levado no outro por uma aplicação de recobrimento do reticulado.
É bem conhecido que, um domínio fundamental de um grupo é definido como um conjunto de pontos que contém para cada ponto no espaço exatamente um ponto equivalente. O nosso teorema pode então ser estendido para a seguinte afirmação:
Cada zona de Brillouin é um domínio fundamental do grupo das aplicações de recobrimento, se excluímos a fronteira.
Como é bem conhecido, domínios fundamentais de um mesmo grupo têm o mesmo volume. Ele é igual ao volume do paralelepípedo que gera o reticulado, que é o mais simples dos domínios fundamentais. Assim a primeira afirmação segue da segunda, que é mais profunda. A propósito, a segunda afirmação é utilizada na Física, ou mais precisamente é a segunda afirmação que aparece nas aplicações físicas.
Na prova a ser apresentada abaixo, é utilizada essencialmente a seguinte propriedade das aplicações de recobrimento do reticulado. Em cada subdomínio limitado do espaço existe apenas um número finito de pontos equivalentes a um ponto fixo arbitrariamente dado. Como os pontos equivalentes formam eles próprios um reticulado, essa propriedade do grupo é clara. Segue daí, também o seguinte:
www.interscienceplace.org 4 Um domínio limitado é interceptado por apenas um número finito de planos associados a um mesmo ponto A.
Essas afirmativas dão origem as seguintes observações: Se temos um grupo de movimentos no plano ou mesmo no Rn, que tem um domínio fundamental, isto é, para o qual em cada domínio limitado existe apenas um número finito de pontos equivalentes entre si, então a nossa afirmativa também é válida para esse grupo. Os planos ou retas
de Brillouin são definidas então como as perpendiculares passando pelos pontos médios dos segmentos unindo um ponto Ao e os pontos equivalentes a ele pelo
grupo. Pode-se mesmo estabelecer que nossa afirmação também é válida para grupos de movimentos em espaços não-euclidianos e pode ser provada textualmente do mesmo modo, como explicaremos agora. No entanto o ponto com o qual construímos as zonas não pode ser um ponto fixo de um elemento do grupo. Neste caso é necessário alterar levemente o teorema.
A prova de nossa afirmativa está decomposta, para cada zona, em duas partes, que são provadas separadamente, a primeira diz que um ponto não pode pertencer a n-ésima zona relativamente a dois pontos distintos do reticulado, a menos que esse ponto seja um ponto de fronteira, a segunda é que qualquer ponto pertence a n-ésima zona relativamente a pelo menos um ponto do reticulado, ou como ponto interior ou como um ponto de fronteira.
Assim eu provo agora:
1. Um ponto, que é um ponto primeiro relativamente a Ao e que não pertence a qualquer plano de Brillouin com respeito a Ao , não pode ser simultaneamente um ponto primeiro relativamente a um outro ponto equivalente a Ao .
Se admitimos que P é um ponto primeiro relativamente a Ao e a A1 . Então o plano perpendicular ao segmento AoA1 intercepta ou o segmento AoP ou o segmento A1P ou ele passa por P . De acordo com a afirmativa 1, basta tratarmos os dois
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primeiros casos. É suficiente considerar o caso no qual o interior do segmento AoP é
interceptado pelo plano perpendicular ao segmento AoA1 . Então P não é um ponto primeiro relativamente a Ao , contradizendo a hipótese.
2. Um ponto que é um ponto segundo relativamente a Ao , e não pertence a nenhum plano de Brillouin não pode ser simultaneamente um ponto segundo relativamente a um outro ponto A1 equivalente a Ao .
A prova é completamente análoga a 1. Admitindo que P seja um ponto segundo relativamente a ambos os pontos equivalentes Ao e A1 . Então o plano perpendicular a AoA1 intercepta o interior de um dos segmentos AoP e A1P ou ele passa por P . De acordo com a afirmação 2. precisamos considerar apenas as duas primeiras possibilidades. Basta supor que o interior de AoP é interceptado pelo plano
perpendicular ao segmento AoA1 . Uma olhada no triângulo A1PAo na Figura 1
mostra que AoP > A1P .
Fig.1
Pois, nesse triângulo, o lado AoP é oposto a um ângulo maior do que o
correspondente ao lado A1P . Agora um outro plano perpendicular passando pelo ponto médio, correspondendo a A1 , deve interceptar o interior do segmento A1P . Tomemos então o plano perpendicular a esse segmento e prolonguemos esse
www.interscienceplace.org 6 segmento a partir de A1 para o outro lado até a sua imagem refletida.
Fig.2
O ponto A´1 obtido pela reflexão de A1 é novamente um ponto do reticulado equivalente a A1 , a saber, aquele que com A1 gera o plano perpendicular, relativamente a A1 , que intercepta o segmento A1P . Uma olhada no triângulo A1 A´1
P na Figura 2 mostra, a partir do que dissemos sobre a Figura 1, que A1P > A´1 P . Considerando agora o triângulo Ao A´1 P na Figura 2, segue como consequência que
AoP > A´1 P . Logo o plano perpendicular relativamente a Ao passando pelo ponto
médio de Ao A´1 intercepta o interior do segmento AoP . Desse modo encontramos
então dois planos relativos a Ao que interceptam o interior do segmento AoP .
Portanto P não é um ponto segundo relativamente a Ao , contrariando a hipótese.
Analogamente pode-se provar também que nenhum ponto pode ser ponto terceiro relativamente a dois pontos equivalentes Ao e A1 , desde que ele não pertença a nenhum plano de Brillouin relativamente a Ao . Pois se o plano
perpendicular ao segmento AoA1 passando pelo seu ponto médio intercepta o interior do segmento AoP , e se refletimos A1 com relação a cada um dos planos perpendiculares que interceptam o interior do segmento A1P , então obtemos dois outros pontos equivalentes a Ao , que quando conectados com Ao dão dois novos
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existem três planos, que interceptam o interior de AoP . Isso é contrário a nossa
hipótese que P é um ponto terceiro relativamente a Ao . Do mesmo modo a prova
funciona para as zonas restantes.
3. Resumindo as afirmações 1 e 2 já provadas, constatamos que o conjunto dos pontos primeiros, o conjunto dos pontos segundos, etc. relativamente a Ao consistem de um número finito de poliedros, cuja fronteira é formada por planos de Brillouin relativamente a Ao .
De fato, se P é um ponto primeiro relativamente a Ao , sem ser um ponto
sobre um plano correspondendo a Ao , então o segmento AoP não é interceptado por
qualquer plano correspondendo a Ao . Assim existe uma bola centrada em P
consistindo apenas de pontos primeiros relativamente a Ao . O conjunto desses
pontos P é não vazio, pois todo ponto suficientemente próximo a Ao é um ponto
primeiro relativamente a Ao . Além disso, o conjunto dos pontos primeiros
relativamente a Ao é fechado. Pois sua fronteira consiste de pontos Q, para os quais
o interior do segmento AoQ não é interceptado por qualquer plano correspondendo a Ao , enquanto Q pertence a pelo menos um tal plano. O conjunto dos pontos
primeiros relativamente a Ao consiste do interior e da fronteira de um poliedro. Pois
sendo P um ponto primeiro relativamente a Ao , então todos os pontos do segmento AoP são, do mesmo modo, pontos primeiros relativamente a Ao . Além disso, existe
somente um número finito de planos relativamente a Ao . De fato, considerando-se
os 23 paralelepípedos primitivos do reticulado do qual Ao é um vértice, ligando-se os
pontos do reticulado com Ao e tomando-se os planos perpendiculares que passam
pelos pontos médios dos segmentos assim obtidos, então esses planos limitam um poliedro em torno de Ao , em cujo interior só poderá entrar um número finito de
planos de Brillouin relativamente a Ao .
Agora eu considero os pontos segundos relativamente a Ao . Se P é um ponto
segundo relativamente a Ao , que não está sobre qualquer plano de Brillouin
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pontos segundos relativamente a Ao . O conjunto desses pontos não é vazio. Pois se
unimos um ponto primeiro Q relativamente a Ao , que está em apenas um plano
passando por uma face do poliedro dos pontos primeiros relativamente a Ao e
prolongamos um pouco mais esse segmento passando por Q, então esse prolongamento consiste de pontos segundos relativamente a Ao . Assim cada face
do poliedro dos pontos primeiros de Ao está unida, pelo lado de fora, ao conjunto dos
pontos segundos relativamente a Ao . Mas se unimos a Ao um ponto Q situado sobre
a fronteira do poliedro dos pontos primeiros de Ao , pelo qual passam pelo menos
dois planos perpendiculares relativos a Ao e prolongamos esse segmento um pouco
mais além de Q então esse prolongamento não contém nenhum ponto segundo relativamente a Ao . Logo o conjunto dos pontos segundos relativamente a Ao
consiste de pelo menos tantos contínuos separados quanto seja o número de planos na fronteira do poliedro dos pontos primeiros relativamente a Ao . O conjunto dos
pontos segundos de Ao não é fechado. Pois os pontos da fronteira do poliedro dos
pontos primeiros relativamente a Ao também são pontos da fronteira do conjunto dos
pontos segundos relativamente a Ao , sem ser eles próprios pontos segundos
relativamente a Ao . Os outros pontos da fronteira do conjunto dos pontos segundos
relativamente a Ao são pontos Q para os quais o interior do segmento AoQ é
interceptado por exatamente um plano perpendicular relativamente a Ao e o próprio Q pertence a um outro tal plano perpendicular. Novamente existe apenas um
número finito de planos perpendiculares relativamente a Ao sobre os quais estão
pontos segundos relativamente a Ao . Pois um ponto segundo relativamente a Ao
pode distar de Ao no máximo duas vezes mais do que um ponto primeiro
conveniente relativamente a Ao . Assim todos os pontos segundos relativamente a Ao
pertencem a um domínio limitado, no qual só pode penetrar um número finito de planos de Brillouin relativamente a Ao .
Exatamente do mesmo modo podemos provar que os pontos terceiros relativamente a Ao são interior e fronteira de um número finito de poliedros, e
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Passamos agora para a prova de que cada ponto do espaço pertence, para cada n, na n-ésima zona relativamente a, pelo menos, um ponto equivalente a Ao .
Eu provo:
4. Todo ponto é ponto primeiro relativamente a pelo menos um ponto equivalente a Ao .
Admitindo que P não é ponto primeiro relativamente a qualquer ponto equivalente a Ao . Unimos P a Ao e a todos os seus pontos equivalentes An através
de linhas retas. O interior de todos os segmentos AnP deve ser interceptado por pelo
menos um plano de Brillouin relativamente a An . De fato, se o interior do segmento AnP não fosse interceptado por um plano de Brillouin relativamente a An então P
seria, por definição, um ponto primeiro desse An . Tomamos agora a partir de An a
perpendicular a esse plano que intercepta o interior do segmento AnP , e o
prolongamos até a sua imagem refletida do outro lado. O ponto refletido A´n obtido
desse modo é novamente um ponto equivalente a An . Como já foi mencionado em
2, do triângulo An A´nP temos que A´nP < AnP pois o interior de AnP é interceptado
pelo plano perpendicular a An A´n . O interior do segmento A´nP é interceptado
novamente por um plano de Brillouin relativamente a A´n . Se repetimos com A´n a
construção que acabamos de fazer com An obtemos um novo ponto equivalente a A´n e assim equivalente também a An , que novamente está a uma distância de P
menor do que de A´n . Continuando esse processo obtemos um número infinito de
pontos equivalentes no interior de um círculo fixo (de raio AnP ) centrado em P . Mas
como já estabelecemos acima, isso não pode ocorrer.
5. Todo ponto no plano é um ponto segundo ou um ponto da fronteira do conjunto dos pontos segundos de pelo menos um ponto equivalente a Ao .
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fato a afirmativa segue imediatamente, por meio de uma ação do grupo, para os outros pon-tos. De fato, de acordo com 4. todo ponto é ponto primeiro relativamente a um ponto A1 equivalente a Ao . Logo se um ponto é um ponto primeiro
relativamente a A1 e um ponto segundo relativamente a A2 , então consideramos a translação do reticulado que leva Ao em A1 . Ela leva A2 em A´2 e P em P´. Assim P´ é um ponto segundo relativamente a A´2 . Obviamente podemos escolher P de modo que P´ seja um ponto primeiro arbitrário relativamente a A1 . Pois os pontos primeiros de todos os An formam poliedros equivalentes. Portanto restringimos a
prova de 5. ao caso dos pontos primeiros relativamente a Ao . Aqui novamente é
suficiente realizar a prova para os pontos interiores do poliedro dos pontos primeiros relativamente a Ao . Resultará daí que cada um de tais pontos é um ponto segundo
relativamente a pelo menos um ponto equivalente a Ao . Seja então P um ponto
interior do poliedro dos pontos primeiros relativamente a Ao . Admitindo que P não é
um ponto segundo relativamente a qualquer ponto equivalente a Ao , consideramos
então a translação do reticulado que leva Ao em A1 . Ela leva A2 em A´2 e P em P´. Logo P´ é um ponto segundo relativamente a A´2 . Obviamente podemos escolher P de modo que P´ seja um ponto primeiro relativamente a A1 . Pois os pontos primeiros de todos os An formam poliedros equivalentes. Assim restringimos a prova de 5. aos
pontos primeiros relativamente a Ao . Aqui novamente basta realizar a prova para os
pontos interiores do poliedro dos pontos primeiros relativamente a Ao . Resultará que
cada tal ponto é um ponto segundo relativamente a pelo menos um ponto equivalente a Ao . Seja agora P um ponto interior do poliedro dos pontos primeiros
relativamente a Ao . Admitindo que P não seja um ponto segundo relativamente a
nenhum ponto equivalente a Ao . Conectamos P por linhas retas com Ao e com todos
os outros pontos equivalentes a Ao . O interior de cada segmento AnP (com n > 0)
deve então ser interceptado por pelo menos dois planos perpendiculares correspondendo a An . Pois se o interior de AnP não fosse interceptado, então P
seria também um ponto primeiro relativamente a An , o que já mostramos ser
impossível, pois já sabemos que P , como ponto interior do conjunto dos pontos primeiros de Ao , não pode ser ponto primeiro relativamente a dois pontos
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equivalentes. Além disso, se AnP fosse interceptado por apenas um dos planos
perpendiculares relativos a An , então P seria, por definição, um ponto segundo
relativamente a An , contradizendo a hipótese. Tomemos agora as perpendiculares a
partir de An µa ambos os planos que interceptam o interior de AnP e prolonguemo-las
até suas imagem refletidas do outro lado. Isso conduz a dois pontos distintos equivalentes a An e também a Ao . Um deles poderia coincidir com Ao . O outro que
certamente está de novo a uma distância mais curta de P do que de An , permite
repetir a construção que acabamos de fazer associada a An . Desse modo obtemos
novamente pelo menos um ponto diferente de Ao e equivalente a Ao , que de novo
está a uma distância mais curta de P do que de An . Assim obtemos uma infinidade
de pontos equivalentes a Ao , os quais pertencem a um círculo fixo em torno de P
(com raio AnP ). Mas sabemos que um domínio limitado pode conter apenas um
número finito de pontos equivalentes entre si.
De forma completamente análoga provamos também que cada ponto deve ser ponto terceiro relativamente a pelo menos um ponto equivalente a Ao ou ponto
de fronteira do conjunto dos pontos terceiros. Admita que isso não seja verdadeiro para um ponto P . Seja então P um ponto primeiro relativamente a Ao e um ponto
segundo relativamente a A1 e sejam An (n > 1) os outros pontos equivalentes a Ao e A1 . Novamente basta assumir que P é um ponto interior do conjunto dos pontos primeiros relativamente a Ao e um ponto interior do conjunto dos pontos segundos
relativamente a A1 . Agora o interior de cada segmento AnP (n > 1) deve ser
interceptado por pelo menos três planos de Brillouin relativamente a An . Se
refletimos An com relação a esses três planos perpendiculares, obtemos três pontos,
diferentes entre si, equivalentes a Ao , dos quais dois podem coincidir com Ao ou A1 , enquanto que o interior do segmento unindo o terceiro a P é de novo interceptado por pelo menos três planos perpendiculares, o que torna possível continuar o processo. Desse modo obtemos uma infinidade de pontos equivalentes a Ao no
www.interscienceplace.org 12 análogo podemos realizar a prova para as demais zonas.
(Recebido em 13.11.1939)
III. Comentários
Uma análise simples do texto acima nos mostra que de certa forma algumas das versões modernas do resultado provado por Bieberbach foram na verdade previstas
por ele. E claro que isso não tira o mérito das extensões e conclusões, elaboradas a partir do artigo original, que obviamente tratam de vários outros resultados não mencionados por Bieberbach. Mas cabe salientar que além da previsão de parte de tais extensões Bieberbach destacou o papel dos grupos que admitem um domínio fundamental no contexto de resultados físicos. Tal como Minkowski e Wigner, ele observou que relações de natureza intrinsecamente algébrica podem por vezes estar por trás de afirmações que provém de problemas puramente físicos. Não podemos também deixar de destacar a sensibilidade matemática de von Laue que com a sua proposta a Bieberbach mostrou que mesmo os fatos tidos como “ óbvios “ fisicamente podem necessitar para suas provas matemáticas de uma análise cuidadosa e refinada. Finalmente gostaríamos de mencionar que tem ficado cada vez mais patente a existência de uma forte ligação entre os diversos ramos da chamada matemática pura, em especial a teoria dos números, e os fundamentos da física moderna (ver, por exemplo, [Pe], [Ve] e [Wa]).
IV. Referências
[Bi] L. Bieberbach, Über die Inhaltgleichheit der Brillouinschen Zonen, Monatsh. Math. und Phys. 48 (1939), 508-515.
[Br] L. Brillouin, Wave propagation in periodic structures, electric filters and crystal lattices, 2nd ed., Dover, New York (1953).
www.interscienceplace.org 13 Soc. 16 (1984), 241-263.
[K1] F.H. Kwakkel, Rigidity of Brillouin Zones, M.Sc. Thesis, University of Groningen (2006).
[K2] F.H. Kwakkel, M. Martens, M.M. Peixoto, Focal Rigidity of Flat Tori, arXiv 1104.5541 (2011).
[Pe] M.M. Peixoto, Focal decomposition in geometry, arithmetic and physics. Em: Geometry, Topology and Physics edited by Apanasov, Bradlow, Rodrigues e Uhlenbeck, Walter de Gruyter & Co., Berlin-New York (1997).
[Ve et al.] J.H. P. Veerman, M.M. Peixoto, A.C. Rocha, S. Sutherland, On Brillouin Zones, Commun. Math. Phys. 212, 725-744 (2000).
[Wa] M. Waldschmidt, From number theory to physics. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg (2010).
