Governo Federal Presidente da República

André Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Cálculo I

D I S C I P L I N A

A primitiva

Autores

aula

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Governo Federal Presidente da República

Luiz Inácio Lula da Silva

Ministro da Educação

Fernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEED

Carlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor

José Ivonildo do Rêgo

Vice-Reitora

Ângela Maria Paiva Cruz

Secretária de Educação a Distância

Vera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais

Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de Edição

Ary Sergio Braga Olinisky

Projeto Gráfico

Ivana Lima

Revisores de Estrutura e Linguagem

Eugenio Tavares Borges Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua Portuguesa

Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisores Técnicos

Leonardo Chagas da Silva Thaísa Maria Simplício Lemos

Revisora Tipográfica

Nouraide Queiroz

Ilustradora

Carolina Costa

Editoração de Imagens

Adauto Harley Carolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo

Adaptação para Módulo Matemático

André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos

Colaboradora

Viviane Simioli Medeiros Campos

Imagens Utilizadas

Apresentação

C

omeçamos a estudar a derivada de uma função na aula 4 (A derivada), na qual a definimos; nas aulas seguintes, calculamos a derivada de diversas funções utilizando as propriedades das funções deriváveis. Nesta aula, trataremos de uma situação a qual chamaremos de “situação inversa”: dada uma função, queremos saber a função que, quando derivada, resulta na função dada. Esta é chamada de primitiva da função dada e constituirá o tema central desta aula.

Objetivos

A primitiva

Se perguntarmos qual a derivada da função f฀x) =฀os฀x), você, mais que rapidamente,

me responderá f฀฀x) =_฀s฀n฀x). Vamos agora pensar na situação inversa, através das perguntas que seguem.

1)

Qual função, quando derivada, nos fornece como resposta f฀฀x) =_฀s฀n฀x)? Ou melhor, qual a função ฀฀x) cuja derivada é f฀฀x) =_฀s฀n฀x)?

Sem nos preocuparmos muito com os sinais, sabemos que quando derivamos um seno obtemos um cosseno e que ao derivarmos um cosseno obtemos um seno. Assim, se a derivada envolve a função seno, é porque a função que derivamos envolve a função cosseno e, portanto, uma possibilidade de resposta é f฀x) =฀os฀x). Precisamos agora verificar

se f฀x) =฀os฀x) é realmente a resposta à pergunta 1, e vamos fazê-lo derivando ฀฀x): sabemos que f฀฀x) =฀s฀n฀x), logo f฀x) =฀os฀x) é a resposta.

E se a pergunta fosse:

2)

Qual função cuja derivada é f฀฀x) =s฀n฀x)?

Agora, já não teríamos f฀x) =฀os฀x) como solução, já que f฀฀x) =_฀s฀n฀x). Ora, mas e aquela conversa de que, a menos de sinal, a função que, quando derivada, gera um seno é um cosseno, furou? Não, não furou nada! Lembra-se de que dissemos a menos de sinal? Pois bem, se f฀x) =฀os฀x) não está funcionando, que tal experimentar f฀x) =฀฀os฀x)?

Derivando, obtemos

Atividade 1

Logo, uma resposta para a pergunta 2 é f฀x) =_฀฀os฀x).

Para se acostumar a essa pergunta, nada melhor do que você responder a algumas questões.

Encontre uma função cuja derivada é representada pelas funções abaixo:

a)

ff฀฀xx) =) =฀os฀os฀฀xx))

b)

ff฀฀xx) =) =฀฀฀os฀os฀฀xx))

c)

ff฀฀xx) =) =฀฀฀฀

d)

฀฀฀฀xx) =) = 11 x x

e)

ff฀฀xx) =) =sensen฀฀xx) +) +฀os฀os฀฀xx))

Agora que essas novas idéias não estão mais nos parecendo tão estranhas, voltemos nossa atenção novamente para a pergunta 1. Sendo a função f฀x) =฀os฀x) resposta a essa pergunta, qual a função cuja derivada é a função f฀฀x) =_฀s฀n฀x)? Observe, então, que f฀x) =฀os฀x) + 3 também é uma resposta. De fato, derivando f฀x) =฀os฀x) + 3,

obtemos

f฀฀x) = ฀฀os฀x) + 3)฀= ฀฀os฀x))฀+ ฀3)฀ =฀sen฀x) + 0 =฀sen฀x),

ou seja, não existe apenas uma resposta, pois f฀x) =f฀x) =฀os฀x) +฀os฀x) +k, k onde é uma constante

qualquer, também é resposta à pergunta inicial e como essa constante pode assumir qualquer valor, temos que a pergunta inicial possui infi nitas respostas corretas!

Defi nição

Seja ff ฀฀฀฀ _฀฀RR uma função defi nida em um intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função ฀฀ ฀฀II _฀฀RR , tal que ฀฀฀฀฀฀xx) =) =ff฀฀x)x) para todo xx_฀฀฀฀ e

dizemos que as infi nitas primitivas da f, dadas por ฀฀฀฀xx) +) +kk, onde k é uma

Atividade 2

Exemplo 1

฀฀x) = 1

3x฀ é uma primitiva para ฀฀x) =x฀ em R, pois

฀฀x) = ฀₁

3x3 

= 1

33x3฀฀ =x2

e ฀฀x) = 1

3x฀+k, onde k é uma constante qualquer é a família das primitivas da f. Então, perguntar: qual a função que quando derivada nos fornece como resposta f฀฀x) =_฀s฀n฀x), ou melhor, qual a função ฀฀x), cuja derivada é f฀฀x) =_฀s฀n฀x), é equivalente a perguntar qual a primitiva de _฀s฀n฀x).

Você deve ter notado que se souber qual é a derivada de uma função, automaticamente, saberá identifi car a família das primitivas da função derivada. Observe: dada ฀฀x) =x฀_,

temos ฀฀฀x) = 2x. Assim, uma primitiva de ฀฀x) = 2x é ฀฀x) =x฀ _{e, consequentemente,} ฀฀x) =x฀+k é a família das primitivas da ฀฀x) = 2x.

Liste as funções cujas derivadas você conhece e dessa forma, encontre a família das primitivas da derivada. Monte uma tabela mais ou menos assim:

Tabela 1

Função Derivada Função Família

das primitivas

฀

฀฀฀ _฀x฀x฀฀฀฀฀฀ _{⇒ ฀x฀x}฀฀฀฀฀฀ _xx฀฀_฀฀฀฀

฀

฀฀฀ ฀฀฀฀ ⇒ ฀฀฀฀ _฀฀฀฀_฀฀kk

฀n

฀n฀฀xx)) ฀฀

฀

฀ ⇒

฀

฀

฀

฀ lnln฀฀xx) +) +฀฀

Vamos lá, você tem muito trabalho pela frente!

Atividade 3

Relembre a regra da cadeia (aula 5) e acrescente à sua tabela primitivas mais elaboradas como, por exemplo:

g฀x) =ln฀฀฀x))_฀g฀฀x) = ฀฀฀x) ฀฀x) .

Com essa informação em mãos, podemos encontrar muitas outras famílias de primitivas, por exemplo:

Tabela 2

Função ฀฀฀฀xx)))) Derivada de lnln฀฀฀฀฀฀xx)))) ⇒ Função Família das primitivas

฀os

฀os฀฀xx)) ฀฀sensen฀฀xx))

฀os

฀os฀฀xx)) ==฀฀tgtg฀฀xx)) ⇒ t฀t฀฀฀xx)) ฀฀lnln฀฀os฀฀os฀฀xx)) +)) +kk

s฀n

s฀n฀฀xx)) ฀os฀os฀฀xx)) sen

sen฀฀xx)) ==฀otg฀otg฀฀xx)) ⇒ ฀otg฀otg฀฀xx)) lnln฀฀os฀฀os฀฀xx)) +)) +kk

A única observação que faremos na tabela anterior é que devemos tomar cuidado quando compomos as funções para que a imagem da primeira

g esteja contida no domínio da segunda f, de modo que a composta ฀฀g

faça sentido. Por exemplo, na ln฀฀os฀x)) devemos ter cuidado para que os pontos x sejam tais que o cos฀x)฀0, já que o domínio do são

os reais positivos. Por isso, na maioria das tabelas encontradas nos livros,

a primitiva da tg฀x)é_฀ln_|฀os฀x)_| ou, para complicar um pouco mais,

฀ln_|฀os฀x)_|=ln_|฀os฀x)_|฀฀=ln 1

|฀os฀x)| =ln|se฀฀x)|. Então, não fi que

muito preocupado se sua resposta não fi car igualzinha à dos livros.

Notação – Usaremos a notação ฀ f฀x)฀x para representar a família das primitivas da

função ฀฀x), ou seja,

฀

f฀x)dx=฀฀x) +k,

onde k é uma constante.

Na notação ฀ f฀x)฀x, a função f denomina-se integrando. Uma primitiva de f é, também,

denominada uma integral indefi nida de f.

O símbolo

฀ ฀

signifi ca apenas que estamos procurando a família das primitivas da função ฀฀฀฀xx)) e o dx expressa a variável (independente) com a qual estamos

trabalhando, ou seja, x. Então, só para fi xarmos a idéia:

Símbolos que delimitam a Símbolos que delimitam a função de interesse função de interesse z

z }|}| {{

Z Z

f

f฀฀xx)) |

|{z{z}} ฀x฀x função da qual

função da qual queremos a primitiva queremos a primitiva

Que negócio é esse de variável independente?

Não está lembrado? Então é um bom momento para reler a aula 3, no qual iniciamos uma conversa sobre taxa de variação. Se a variável independente é x, o que representa a

função ฀฀x) = 2t?

Vamos lá, suponhamos que o domínio dessa função seja toda a reta (R). Então, quanto

valem f฀1)฀ f฀2)ef฀10)?

Calculemos tais valores. Note que a função toma um valor x e o transforma (leva no ponto

de sua imagem) em ฀฀x) = 2t. Assim ele transformará 1 em f฀1) = 2t฀22 em ฀฀2) = 2te10

e 10 em ฀฀10) = 2t. Ou seja, todo ponto do domínio está sendo levado num mesmo ponto da imagem, a saber, 2t. Ora, mas a função que leva todo valor num mesmo ponto é chamada função constante. Então, se a variável independente não aparece na expressão da função, isso signifi ca que a função será uma função constante.

Exemplo 2

Encontre ฀ ฀x฀x

Mas, ฀ ฀x฀x signifi ca: qual a família das primitivas da função ฀฀x) = 2x se a variável

independente for x? Resposta: ฀฀x) =x฀+K.

Exemplo 3

Encontre ฀ ฀t฀x

Mas,฀ ฀t฀x signifi ca: qual a família das primitivas da função ฀฀x) = 2t, se a

variável independente for x? Em outras palavras, qual a função cuja derivada nos dá uma

função constante?

Solução

Vamos lá: se tivéssemos perguntado qual a função ฀฀฀฀xx)) cuja derivada é ฀

฀฀฀฀฀xx) = 1) = 1, você mais que rapidamente me diria ฀฀฀฀xx) =) =xx.

E se pedirmos a função ฀฀฀฀xx)) cuja derivada é ff฀฀฀฀xx) =) =฀฀, onde L é uma

constante? Sabemos, pelas regras de derivação (seria um bom momento de rever a aula 4), que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função ฀฀ff฀฀xx) =) =฀g฀g฀฀xx))฀฀ff฀฀฀฀xx) =) =฀g฀g฀฀฀฀xx)))),

logo, podemos imaginar ff฀฀฀฀xx) =) =LL==L฀1L฀1, onde 1 =1 =฀฀฀฀฀฀xx)). Ora, sabemos

que se 1 =1 =฀฀฀฀฀x฀x)), então, ฀฀฀฀xx) =) =xx, assim, ff฀฀xx) =) =฀g฀g฀฀xx) =) =฀x฀x. Verifi cando: f

f฀฀฀฀xx) = ฀) = ฀LxLx))฀฀==LxLx฀฀ ==L฀L฀1 =1 =LL.

Resumindo: ฀฀ ฀dx฀dx==฀x฀x฀฀kk.

Voltando a

฀ ฀

฀

฀t฀xt฀x, temos que a função ฀฀฀฀xx) = 2) = 2tt é constante se a variável

independente for x, e como já vimos qual é a primitiva de uma função constante,

temos

฀ ฀

2

Se você ainda não releu a aula 4, seria um bom momento de fazer isso. Estamos insistindo nesse ponto porque usaremos as propriedades das derivadas e gostaríamos que estivesse claro cada passo que faremos.

Revisando, se f฀ gf฀ g฀฀II _฀฀RR são funções deriváveis e cc_฀฀฀฀ é uma constante,

temos:

i)

฀฀฀f฀f฀฀xx))))฀฀ ==฀f฀f฀฀฀฀xx))

ii

) ฀฀฀฀฀฀xx) +) +gg฀฀xx))))฀฀ ==฀฀฀฀฀฀xx) +) +gg฀฀฀฀xx))

iii)

฀฀฀฀฀฀xx))฀฀gg฀฀xx))))฀฀ ==฀฀฀฀฀฀xx))฀฀gg฀฀฀฀xx))

Usando essas propriedades da derivada, vamos demonstrar as propriedades da integral indefi nida.

Teorema 1

Sejam f฀ gf฀ g฀฀II _฀฀RR funções, cc฀฀฀฀ uma constante e F฀ GF฀ G฀฀II ฀ ฀ R as

primitivas de f e g, respectivamente. Então:

a)

฀฀ ฀f฀f฀฀xx))dxdx==฀฀ ฀ ฀

f f฀฀xx))dxdx

b)

฀฀ ฀฀ff฀฀xx) +) +gg฀฀xx))))฀x฀x== ฀ ฀

f

f฀฀xx))฀x฀x++ ฀ ฀

g

g฀฀xx))฀x฀x

c)

฀฀ ฀฀ff฀฀xx))_฀฀gg฀฀xx))))฀x฀x== ฀ ฀

f

f฀฀xx))฀x฀x_฀฀ ฀ ฀

g

g฀฀xx))฀x฀x

Demonstração – Por hipótese, temos que Fé uma primitiva da f, ou seja, ฀

f฀x)dx=฀฀x) +K฀, onde ฀฀ é uma constante qualquer e G uma primitiva da g, ou

seja, ฀ g฀x)dx=฀฀x) +k฀, onde ฀฀ também é uma constante qualquer. Em particular,

fazendo ฀฀ = ฀, obtemos:

฀

f฀x)dx=฀฀x)

e, fazendo ฀฀= ฀, obtemos: ฀

g฀x)dx=฀฀x).

a)

A equação (1) é equivalente a ฀฀฀x) =f฀x), para todo x฀฀.

Se multiplicarmos a igualdade anterior por c_฀฀, temos

c฀฀฀x) =cf฀x), para todo x_฀฀.

Pelo item i) das propriedades de derivadas, temos que c฀฀฀x) = ฀c฀฀x))฀. Retornando à

equação (3), podemos reescrevê-la da seguinte forma

฀c฀฀x))฀ _{=cf฀x) para todo x฀฀.}

A equação anterior significa que c฀฀x) _{é uma primitiva de} c฀฀x) e, novamente, fazendo a

constante da família de primitivas igual a zero, temos

฀1) ฀

cf฀x)dx=c฀฀x) =c ฀

f฀x)dx.

b)

As equações (1) e (2) são equivalentes a:

฀฀฀x) =f฀x)eG฀฀x) =g฀x) _{e , para todo} x_฀฀.

Somando as igualdades anteriores, temos

฀฀฀x) +G฀฀x) =f฀x) +g฀x) , para todo x฀฀.

Pelo item ii) das propriedades de derivadas, temos que

฀฀฀x) +G฀฀x) = ฀฀฀x) +G฀x))฀. Retornando à equação (4), podemos reescrevê-la da seguinte forma

฀฀฀x) +G฀x))฀_{=f฀x) +g฀x), para todo x฀฀.}

A equação anterior significa que ฀฀x) +G฀x) é uma primitiva de ฀฀x) +g฀x) e, fazendo

novamente a constante da família de primitivas igual a zero, temos: ฀1)e฀2)

฀

฀f฀x) +g฀x))dx=฀฀x) +G฀x) =

฀

f฀x)dx+

Atividade 4

Vamos ver, por meio dos exemplos, como esse teorema facilita o cálculo de primitivas.

Exemplo 4

Calcule

฀

x฀฀x.

Demonstre, usando as idéias da demonstração do item b), o item c) do

teorema 1.

Solução

Pela nossa tabela, sabemos que ฀฀ nxnx฀฀฀฀฀฀฀x฀x==xx฀฀. Multiplicando ambos os

lados da igualdade por ฀฀

฀

฀, temos

฀ ฀ n n ฀ ฀ nx

nx฀฀฀฀฀฀฀x฀x== ฀฀ n nxx

฀ ฀

;

mas, pela propriedade a do teorema 1, temos que ฀ ฀ n n ฀ ฀ nx

nx฀฀฀฀฀฀฀x฀x== ฀ ฀ _฀฀

n nnxnx

฀

฀฀฀฀฀_฀x฀x==฀฀ _xx฀฀฀฀฀฀_฀x฀x.

Juntando essas informações, obtemos ฀฀ xx฀฀฀฀฀฀฀x฀x฀฀ xx ฀ ฀

n n .

Dessa forma, encontramos a primitiva de todas as funções do tipo ฀฀_: ฀

x2dx= x 3

3 , ฀

x3dx= x 4

4 , ฀ ฀ ฀ , ฀

x฀dx= x ฀฀1

n฀ 1, ฀ ฀ ฀

1)

฀ ฀x+x฀_฀x3)฀x= ฀

x฀x+ ฀

x฀฀x_฀ ฀

x3฀x= x ฀ 2 + x3 3 ฀ x4 4

2)

฀ ฀3x+ 4x6_)฀x=฀ _3x฀x฀฀ _4x6_{฀x= 3}฀ _x฀x฀4฀ _x6_{฀x= 3}x฀ 2 ฀4

x7 7

Lembre que essa é uma das possíveis primitivas. Para sermos mais precisos na resolução, devemos acrescentar uma constante para exprimir que para qualquer constante o valor anterior continua sendo uma primitiva, assim

1)

฀ ฀x+x฀_฀x3)dx= x ฀

2 + x3

3 ฀ x4

4 +฀

2)

฀ ฀3x+ 4x6_)dx= 3x฀ 2 ฀

4x7 7 +฀

onde K e L são constantes.

Fazendo mais uma revisão da aula 4, vimos que se f฀ g฀I ฀R são funções deriváveis,

então:

1)

฀฀฀x)g฀x))฀ _=฀฀_{฀x)g฀x) +฀฀x)g}฀_฀x)

2)

Se ฀฀x)_฀= 0, para todo x_฀฀,então, vale ฀

฀฀x) g฀x)

_฀

= ฀฀฀x)g฀x)฀฀฀x)g฀฀x) g฀x)฀

.

Podemos, então, calcular

฀

฀f฀_{฀x)g฀x) +f฀x)g}฀_{฀x))dx=f฀x)g฀x) +฀}

e

 ฀_f฀x) g฀x)

฀

dx=

 ฀_{f฀฀x)g฀x)}

฀f฀x)g฀฀x) g฀x)฀



dx= f฀x) g฀x) +฀.

Exemplo 5

Calcule:

฀ ฀os฀x) ln฀x)_฀sen฀x) x

Atividade 5

Chegou a hora de praticar primitivas!!!

Calcule:

a)

฀ ฀2 +y฀)฀฀x

b)

 ฀₂

x ฀e

฀

 ฀x

c)

฀ ฀3sen฀+ 2cos฀)d฀

d)

฀ t฀1 +t฀)฀t

e)

 ฀x฀3฀√x_฀3x฀฀4_฀x2฀x

f)

 ฀ ₁

2y ฀ ฀

2e฀



฀y

g)

 ฀x฀฀os฀x)_฀2xsen฀x) x4

 dx

h)

฀ ฀2x฀os฀x)฀x฀sen฀x))dx

Solução

Nesta situação dá para perceber nitidamente que se fi zermos ff฀฀xx) =) =s฀ns฀n฀฀xx))

e ฀฀฀฀xx) = ln฀) = ln฀xx)) _{a expressão anterior a ser calculada é exatamente} 

 ฀฀

f

f฀฀xx)) g

g฀฀xx))

 _฀฀

dx

dx==   ฀฀

f

f฀฀฀฀xx))gg฀฀xx))฀฀ff฀฀xx))gg฀฀฀฀xx)) g

g฀฀xx))฀฀

 

dx

dx== ff฀฀xx))

g

g฀฀xx)) ++฀฀, portanto,

o resultado é ฀฀ coscos฀฀xx) ln฀) ln฀xx))฀฀ sen

sen฀฀xx)) x

x ln฀

ln฀xx))฀฀ dxdx==

sen

sen฀฀xx))

ln฀

Resumo

Auto-avaliação

Descreva com suas palavras o que entendeu sobre o significado da primitiva de uma função.

Referências

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v 1.