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“Aprender matemática é obter independência e autonomia para resolução de futuras questões de matemática”
Funções. Limites e Continuidade. Derivada. Regras de derivação. Derivadas das funções elementares. Derivadas sucessivas. Teorema do valor médio. Aplicações da derivada. Conceito de integral. Integral definida e indefinida. Propriedades da integral. Teorema fundamental do cálculo. Técnicas de integração.
1. Chamada;
2. Lista de atividades; 3. Provas
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Cálculo: É o estudo do comportamento das funções.
O sucesso no cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo: álgebra, geometria analítica, funções e trigonometria.
Função é uma lei que associa dada valor de um conjunto A
(Domínio) a um único correspondente em um conjunto B (Contradomínio).
Raiz de uma f(x) é todo x tal que f(x) = 0.
Para t = 17 H, qual é o valor de P(t)?
Quando t se aproxima de 9 h, qual é o valor de P(t)?
Para t = 22+
horas, qual é o valor de P(t)?
Para t = 22
Considere a unção definida por duas sentenças.
a) Calcule f(x) quando x se aproxima de 1+
b) Calcule f(x) quando x se aproxima de 1
Escreva os intervalos onde a função representada no gráfico é;
No intervalo [-2; 3] quantas raízes têm a função representada no gráfico acima?
Para x=0 qual é o valor da função?
Atividades de fixação
a) f(x)= -3+6x b) g(x) = x² – 4
2. Estude o sinal da função h(x) = 2x – 6
3. A Figura abaixo mostra curvas de velocidade para dois
carros, A e B, que partem lado a lado e se movem ao longo da
mesma estrada.
a) Para o carro B qual é a velocidade quanto t se aproxima de
16 s?
b) Para o carro A qual é a velocidade quanto t se aproxima de
13 s?
4. Estude o sinal da função definida de R em R que está
5. A função f(x) = -x²-2x definida de R em R. Tem um ponto
de máximo ou de mínimo. Quais são as coordenadas deste
ponto?
6. Dada a função definida para
a) Obtenha f(2); f(1)
b) Obtenha f(0)
c) Qual valor de f(x) quando x se aproxima de 0?
Calcular um limite é dizer qual é o valor de uma função
quando x tende a um certo valor xo
Considere a função representada no gráfico abaixo.
Analisar o comportamento de f(x) quando:
O gráfico de uma função t é apresentado na figura abaixo.
Use-o para estabelecer os valores (caso existam) dos
seguintes limites:
Considerando os resultados anteriores calcule se existir.
Calcule o limite
Estude o comportamento da função f(x) = quando x tende a
zero.
Como descrever o processo representado pela função
Como descrever o processo representado pela função
quando x se aproxima de 2?
Lista de exercícios
1. Estude o sinal da função f(x) = x² – 4x
2. Determine o ponto máximo ou mínimo da função
3. Estude o comportamento da função f(x) = quando x
tende a zero.
4. Obtenha o ponto máximo da função f(x) = x² – 4x a qual é definida de R em R.
5. Calcule os limites.
a) b)
c) d)
Técnicas básicas para cálculo de um limite
• Substituição direta;
• Fatoração para eliminar indeterminação;
• Multiplicação pelo conjugado para eliminar
indeterminação.
Exercícios
Calcule os limites indicados abaixo.
a) b) c)
Continuidade de uma função real com uma variável definida em um intervalo real [a; b]
Uma função real f(x) é continua em xo quando:
Ou seja, uma função é contínua em xo se
Uma função se diz contínua num intervalo I se, e somente se, ela for contínua em cada ponto de I.
Obs:. Dizemos que é um valor crítico da função
acima.
Analisar se f(x) é continua em x = -1
Dada a função representada no gráfico abaixo.
Analisar se f(x) é continua em x=2
Analisar se f(x) é continua em x=5
Dada a função representada no gráfico abaixo. Analisar se f(x) é continua em x=1
Exercício
a) Calcule f(2) b)
c) Analise em que intervalos f(x) é crescente.
d) Analise em que intervalos f(x) é decrescente.
Um empresa de tratamento de água cobra em função do consumo de água em m³. Para o consumo residencial de zero até 10m³ de consumo de água é cobrado uma taxa de R$15,00. Entre 10 m³ até 20 m³ é cobrado R$2,00 por m³ excedente e acima de 20 m³ é cobrado R$3,00 por m³ excedente.
a) Escreva a função definida acima;
c) Explique se a função é contínua em .
Exercícios
1) Uma função f (x) é definida pelo gráfico abaixo. Com base no
gráfico e em seu conhecimento extraordinário sobre limites,
avalie os limites a seguir. Se não existir nenhum, explique o
porquê.
2) Calcule os limites
(c) A função é contínua em x = 0? Justifique!
Determine se a função g(x), definida abaixo, é contínua em x = 1.
Lista de atividades sobre continuidades e limites
1. Dada a função definida por f(x)=
{
x−1, se x<3 5, se x=3 8−x se , x>3
calcule lim
x→3
f(x)
2. Dada a função definida por f(x)=
{
3−x , se x>2 2, se x=2 x
2, se x<2
calcule lim
x→2
f(x)
3. Determine o valor de m para que a função f(x)=
{
−2x+5, se x≠−2m, se x=−2 seja contínua em x=2.
4. Avalie e justifique se a função f(x) é contínua em x=2 ; f(x)=
{
x²−x−2
x−2 , se x≠2
3, se x=2
5. Calcule o limite de lim
x→−1
√x+5−2
x+1
6. Os gráficos representam as funções f(x) e g(x) que são definidas por mais de uma sentença.
i. Calcule os limites se existirem:
a) lim
x→−2
g(x) b) lim
x→2
g(x) c) lim
x→0 g(x)
d) lim
x→−2
f(x) e) lim
x→2
f(x) f) lim
Os limites podem ser calculados apenas por observação do desenho das funções, no entanto é importante justificar cada resposta usando limites laterais.
7. Calcule o limite
8)
10. Verifique se cada função abaixo é contínua no ponto
11.
Limites quando x tende
∞ e -∞
Considere a função f(x) representada no gráfico
abaixo.
Pela análise gráfica observa que:
Esses são chamados de limites no infinito, já que
você não está aproximando um número fixo,
como faz com limites típicos. No entanto, ainda
existe limite porque a função tende claramente a
uma altura limite indicada pela assíntota
horizontal, ainda que nunca seja alcançada.
Avaliar limites no infinito é um pouco diferente
de avaliar limites comuns; a substituição, a
fatoração e a conjugação não vão funcionar,
Embora o método de L’Hôpital é o ideal para
muitos casos, mas este método precisa de
conhecer derivadas.
Nesse meio-tempo, vamos avaliar esses limites
simplesmente comparando os expoentes maiores
ou trabalhando com fator comum em evidência
em seus numeradores e denominadores.
Analisaro comportamento da função quando x
tende a
∞ e quando x tende a -∞
10000 0,0002
Fica fácil observar que se x tende a
∞ f(x) tende para 0
(zero). Logo:
x f(x) 0,5 -4 1 -2 2 -1 2,5 -1,6 4 -0,5 10 -0,2 100 -0,02 200 -0,01 1000 -0,002 10000 -0,0002
Fica fácil observar que se x tende a
∞ f(x) tende
Considere função real
para
estudar o comportamento da função quando x
tende a
∞ e quando x tende a -∞
Calcular os limites.
a)
b)
c) d)
Derivadas
Seja y = f(x) uma função com domínio D. A função derivada de f é a taxa instantânea de variação de f em x, para cada ponto x D em que é possível calcular essa∈ D em que é possível calcular essa
Vamos formalizar essa definição de função derivada, para torná-la operacional. Com essa intenção, observe a Figura abaixo.
Nomenclatura:
• Notação de Newton: ;
• Notação de Leibniz:
Para calcular a derivada de f(x) = x² escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x. E em seguida calcular o limite E em seguida calcular o limite quando h tende a zero.
Regras de derivação básicas
• , derivada é
• , derivada é
• , derivada é
Exercícios
1. Usando o conceito de limite calcule as derivadas
das funções.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2. Seja a função
, calcule
e dê a
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] KELLEY. W. Michael. O Guia Completo para Quem Não É C. D. F. Cálculo. Alta Books, Rio de Janeiro, RJ, 2013, 356p
[2] KELLEY. W. Michael. O Guia Completo para Quem Não É C. D. F. Pré - Cálculo. Alta Books, Rio de Janeiro, RJ, 2014, 352p.
