TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL AULA 4 – Programação Linear

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 20 de Agosto 2013

TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL

AULA 4 – Programação Linear

2

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

Os problemas da cerca e do uso de material em embalagens anteriormente abordados podem ser entendidos como problemas de otimização. Em um problema de otimização existem três principais elementos:

(1) Variáveis de decisão: variáveis cujos valores devem ser determinados observando a Função Objetivo e as restrições

do problema.

(2) Função Objetivo: é uma função relacionada com uma medida que se deseja maximizar ou minimizar. Ex.: maximizar a área, minimizar gasto de material.

(2)

Rio

cerca

y

x

Maximizar Área (A = xy) S.a.:

Gastar até 1200m de cerca (Perímetro = 2x + y)

A

Max xy S.a.: 2x + y ≤ 1200

0≤x≤1200 0≤y≤1200

EXEMPLO 1:

4

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Max Z = xy

S.a.: 2x + y ≤ 1200

0≤x≤1200

0≤y≤1200

Função Objetivo

Restrições

Variáveis

De

(3)

5

RESOLUÇÃO GRÁFICA

A solução do problema anterior pode ser obtida a partir de um procedimento gráfico. Este procedimento consiste nos seguintes passos:

(1) Desenhar a região que represente todas as possíveis soluções do problema.

(2) Calcular o gradiente (direção de crescimento da função objetivo).

(3) Traçar retas perpendiculares ao gradiente (curvas de nível ou curvas onde a função objetivo tem o mesmo valor) até encontrar o limite da região factível. O ponto encontrado será ponto de solução ótima (máximo valor) e factível (respeita as restrições do problema).

6

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

1200

y

(4)

x

1200

y

0 x≤

1200

y≤

1200

0 ≤y

0 ≤x

Região factível

Soluções possíveis

Soluções factíveis

0≤x≤1200

0≤y≤1200

8

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

1200

y

x=0: y = 1200

0 1200

2x + y ≤ 1200

600

(5)

9

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Para funções de mais de uma variável (p. ex., z = xy) a variação da função pode ser obtida com o Gradiente (∇∇∇∇f):

Variação de f em relação à x

Variação de f em relação à y

Deve-se utilizar a informação do Gradiente (∇∇∇∇f) no gráfico para se obter a direção de crescimento ! Sucessivas retas perpendiculares ao Gradiente deverão ser traçadas até se atingir o limite da região factível.

      =             ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ x y x z x z f 2 1 10

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

1200

y

0

300

600 1200

600

Solução ótima

Combinação de valores de x e y tal que a função objetivo é máxima

e respeita as restrições.

(6)

x

y

z = 10cm

EXEMPLO 2:Uma empresa pretende lançar um

creme com uma nova embalagem retangular no

mercado. Esta embalagem deve conter 1

litro de produto e, por questões de

Marketing, deve ter altura de 10 cm.

Encontrar as dimensões da embalagem

tal que o material gasto para a embalagem (área) é

mínimo. Formular o problema de otimização.

12

A área total A é dada por:

A = 2xy + 2yz + 2xz (1)

O volume V é dado por:

V = xyz (2)

E além disso: z = 10 cm e V ≥ 1 litro = 1000 cm3_.

Assim, a equação (2) pode ser escrita como:

xy ≥ 100 (3)

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

(7)

13

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Min Z=2xy + 20y + 20x

S.a.: xy ≥ 100

0≤x≤1000

0≤y≤1000

Função Objetivo

Restrições

Variáveis

de

decisão

14

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

1000

y

(8)

x

1000

y

0 x≤

1000

y≤

1000

0 ≤y

0 ≤x

Região factível

Soluções possíveis

Soluções factíveis

0≤x≤1000

0≤y≤1000

16

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

1000

y

0 1000

(9)

17

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Eixo x

E

ix

o

y

Região factível

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Região factível

Soluções possíveis

Soluções factíveis

xy ≥ 100

18

0 20 40 60 80 100 120

Eixo x

E

ix

o

y

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Região factível

Soluções possíveis

(10)

Z = 2xy + 20y + 20x

20

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Eixo x

E

ix

o

y

Curvas de nível

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 5 10 15 20

Z = 2xy + 20y + 20x

z=600 z=800 z=1000 _z=1200

(11)

21

Para funções de mais de uma variável (p. ex., z = x + y) a variação da função pode ser obtida com o Gradiente (∇∇∇∇f):

      + + =             ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ x y y z x z f 2 20 2 20

Variação de f em relação à x

Variação de f em relação à y

RESOLUÇÃO GRÁFICA

As curvas de nível permitem determinar o crescimento da função, porém, sua obtenção é extremamente cara !!!

22

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Eixo x E ix o y

Curvas de nível

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 5 10 15 20

Min Z = 2xy + 20y + 20x

      + + =             ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ x y y z x z f 2 20 2 20       = ∇ 40 40 f       − − = ∇ − 40 40 f

Usar -

∇

f

z=600 z=800 z=1000 z=1200

(12)

xy ≥ 100

Restrição

Região factível

z=600 z=800 z=1000 z=1200 z=400

24

xy ≥ 100

Solução ótima Restrição

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Região factível

z=600 z=800

      − − = ∇ −

40 40

(13)

25

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

EXERCÍCIO 1:Em uma fábrica deve ser decidido a quantidade de produção x1 e x2 de dois produtos P1 e P2. O

lucro com o produto P1 é de R$ 5,00 por unidade e do produto P2 é de R$ 2,00 por unidade. Existe uma máquina para processar apenas o produto P1 cuja capacidade máxima é de 3 unidades de tempo e para o produto P2, 4 unidades. Nestas duas máquinas gasta-se 1 unidade de tempo para processar 1 produto. Existe uma máquina capaz de processar tanto o produto P1 como o produto P2 cuja capacidade máxima de tempo é de 9 unidades de tempo. Assumindo que nesta máquina o tempo para processar o produto P2 é o dobro do gasto para processar o produto P1 e P1 gasta-se 1 unidade de tempo, pede-se:

(A) Formular o problema de otimização.

(B) Encontrar a solução gráfica deste problema.

p

1

p

2

26

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

x

1

x

2

Máquina 1

3 unidades

de tempo

Máquina 2

4 unidades

de tempo

x

1

x

2

Máquina 3

9 unidades

de tempo

x

2

x

1

Tempo

1x

Tempo

2x

Tempo

1x

(14)

Max Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

x

₁

, x

₂

≥ 0

Função Objetivo

Restrições

Variáveis

De

Decisão

28

Max Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

x

₁

, x

₂

≥ 0

Lucro por unidade

de cada produto

Restrições:

••••

Tempo maq.1

••••

Tempo maq.2

••••

Tempo maq.3

••••

não neg.

Quantidades

dos produtos

p

1

e p

2

(15)

29

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0

3

5 x

1

30

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0 x

₁

≤

3

3 x

₂

≤ 4

0 ≤x

₂

0 ≤x

₁

0≤x

₁

≤3

0≤x

₂

≤4

x

₁

(16)

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

≤ 9

Se x

₁

= 3:

3+ 2x

₂

= 9

x

₂

= 3

Se x

₂

= 4:

x

₁

+ 8 = 9

x

₁

= 1

x

₁

5

32

RESOLUÇÃO GRÁFICA

(17)

33

RESOLUÇÃO GRÁFICA

z=8 z=10 z=12 z=14 z=16 z=18 z=20 z=22

34

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Para funções de mais de uma variável (p. ex., z = 5x₁+2x₂) a variação da função pode ser obtida com o Gradiente (∇∇∇∇f):

      =   

 

  

 

∂ ∂ ∂ ∂ = ∇

2 5

2 1

x z x z

f

Variação de f em relação à x₁

Variação de f em relação à x₂

Deve-se utilizar a informação do Gradiente (∇∇∇∇f) no gráfico para se obter a direção de crescimento !

Sucessivas retas perpendiculares ao gradiente, correspondentes às curvas de nível, deverão ser traçadas

(18)

© UNESP 6 Agosto 2008 Eixo x1 E ix o x 2

Curvas de nível

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1 2 3 4 5

z=10 z=15 z=12 z=14 _z=18

z = 5x₁ + 2x₂ = 5*3 + 2*0 = 15

      =           ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 2 5 2 1 x z x z f 36

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

z =0

z =13

z =21

(19)

37

RESOLUÇÃO GRÁFICA

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

z =5x

₁

+ 2x

₂

**=53+23**

=21

x

₁

5

38

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

EXERCÍCIO 2:

Em uma fábrica deve ser decidido a quantidade de produção x1 e x2 de dois produtos P1 e P2. Os custos de produção com

o produto P1 é de R$ 5,00 por unidade e do produto P2 é de R$ 2,00 por unidade. Existe uma máquina para processar apenas o produto P1 cuja capacidade máxima é de 3 unidades de tempo e para o produto P2, 4 unidades. Existe uma máquina capaz de processar tanto o produto P1 como o produto P2 cuja utilização mínima é de 9 unidades de tempo. Assumindo que nesta máquina o tempo para processar o produto P2 é o dobro do gasto para processar o produto P1, pede-se:

(A) Formular o problema de otimização.

(B) Encontrar a solução gráfica deste problema.

(20)

Min

Z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≥

9 x

₁

, x

₂

≥ 0

Modelo Matemático

custo

_{de cada produto}

por unidade

Tempo

mínimo

utilização

da máquina 3

40

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

(21)

41

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0 x

₁

≤

3

3 x

₂

≤ 4

0 ≤x

₂

0 ≤x

₁

0≤x

₁

≤3

0≤x

₂

≤4

42

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

x

₁

+ 2x

₂

≥ 9

(22)

z=8 z=10 z=12 z=14 z=16 z=18 z=20 z=22

44

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Para funções de mais de uma variável (p. ex., z = 5x₁+2x₂) a variação da função pode ser obtida com o Gradiente (∇∇∇∇f):

Variação de f em relação à x₁

Variação de f em relação à x₂

As curvas de nível permitem determinar o crescimento da função, porém, sua obtenção é extremamente cara !!!

      =   

 

  

 

∂ ∂ ∂ ∂ = ∇

2 5

2 1

x z x z

(23)

45

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

z =0

z =13

z =21

      − − =   

 

  

 

∂ ∂ −

∂ ∂ − = ∇ −

2 5

2 1

x z x z

f

46

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(24)

Observar a seguinte equivalência:

Min z = Max -z

Min

z=5x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≥

9 x

₁

, x

₂

≥ 0

Max

z=-5x

₁

- 2x

₂

S.a.: x

₁

≤ 3

x

₂

≤ 4

x

₁

+ 2x

₂

≥

9 x

₁

, x

₂

≥ 0

      − − =           ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∇ − 2 5 2 1 x z x z f _      − − =           ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∇ 2 5 2 1 x z x z f 48

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

Min z =5x

₁

+ 2x

₂

(25)

49

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

4 x

₂

0

3

1 (1,4)

(3,3)

Max -z =-5x

₁

- 2x

₂

      − − =   

 

  

 

∂ ∂ −

∂ ∂ − = ∇

2 5

2 1

x z x z

f

50

Min

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

(26)

x

1

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

-x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

52

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

-x

₁

+ x

₂

≤ 2

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

x

₁

≤ 5

(27)

53

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

-x

₁

+ x

₂

≤ 2

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

54

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

(28)

x

1

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Região

factível

      =           ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 10 6 2 1 x z x z f 56

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8

(29)

57

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Múltiplas

soluções

(x1, x2) = (5, 0)

z = 6x1 + 10x2

= 6*5 + 10*0 =30

(x1, x2) = (3, 6/5)

z= 6x1 + 10x2

= 6*3 + 10*6/5 =18 + 12 = 30

58

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

3x

₁

+ 5x

₂

= 15

5x

₂

= 15- 3x

₁

x

₂

= 3-3/5 x

₁

6x

₁

+ 10x

₂

=0

10x

₂

=- 6x

₁

x

₂

= -3/5 x

₁ Coeficiente angular

da restrição e da função objetivo

são iguais !

(30)

Max

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

Exercício 3:Encontrar a solução ótima.

60

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

(31)

61

Max Z = 6x

₁

+ 10x

₂

62

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Eixo x

1

E

ix

o

x2

Curvas de nível

0 5 10 15 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

z=110

z=90 z=130 z=150z=170 z=190

(32)

Curvas de nível

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 z=120

z=100 z=140 z=160z=180 z=200

z=200

64

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8

(33)

65

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x

₁

8 x

₂

0

2

10

6

4

2

4

6

8 -2

Solução ilimitada

(z tão grande quanto se queira, ou seja, x1 pode crescer sem limite)