A Three dimensional hydrodynamic model implemented with EcoDynamo: Implemetação de um modelo hidrodinâmico tridimensional com o EcoDynamo
60
0
0
Texto
(2)
(3) 1 2 3. Introduction ............................................................................................................. 1 General equations ................................................................................................. 1 Numerical solutions ............................................................................................... 2 3.1 Numerical solutions for the equations of motion ............................................. 3 3.1.1 West-East velocity component ................................................................. 4 3.1.2 South-North velocity component ............................................................. 9 3.2 Equation of continuity .................................................................................... 15 3.2.1 Water level estimation ............................................................................ 15 3.2.2 Vertical velocity calculation................................................................... 50 3.3 Transport equation.......................................................................................... 51 3.4 Sea boundary conditions................................................................................. 54 4 References............................................................................................................ 57.
(4) 1. Introduction. This report presents a three dimensional hydrodynamic and transport model developed at University Fernando Pessoa by the author, over the period 2006-2008. This model is a follow-up of a two dimensional model developed previously within the scope of two European projects (Duarte et al., 2003, 2005, 2008). It was applied first in the work of two post-graduated students – one Msc and one PhD student, for the Alqueva reservoir and the Douro estuary, respectively. The model was implemented with EcoDynamo – an object oriented modelling software (Pereira & Duarte, 2005; Pereira et al., 2006). In this report, all the equations and respective numerical resolution are presented, together with some explanations.. 2. General equations. The model is based on the horizontal equations of motion (1 and 2), the equation of continuity (3 and 4), the transport equation (5) and on the hydrostatic assumption (Pond & Pickard, 1983).. d u x ∂ ( uu ) ∂ ( uv ) ∂ ( uw ) ∂P Cf u u ∂τ x ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + −ν x −ν y −ν z =− − + + f v y (1) ρ∂x ρ∂z dt ∂x ∂y ∂z H ∂ z2 ∂ x2 ∂ y2 dv y dt. +. ∂ ( vv ) ∂ ( vu ) ∂ ( vw ) ∂P Cf v v ∂τ y ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v + + −ν x −ν y −ν z =− − + − f u x (2) 2 2 2 ρ ρ ∂y ∂x ∂z ∂ y H ∂ z ∂z ∂x ∂y. d ξ ∂u x ∂ v y ∂ w z = + + dt ∂x ∂y ∂z. (3). ∂u x ∂ v y ∂ w z + + =0 ∂x ∂y ∂z. (4). ∂S ∂S ∂S ∂ Ax ∂ A y ∂ Az dS ∂ ( uS ) ∂ ( vS ) ∂ ( wS ) ∂y + ∂x + ∂z + + + = dt ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z. (5). Where, u, v and w - Current speed (East-West(x), North- South(y) and Bottom-Up(z), respectively) (m s-1); P – Pressure (N m-2); ρ – Density (kg m-3); ν - Eddy diffusivity (East-West(x), North- South(y) and Bottom-Up(z), respectively) (m2 s-1); Cf – rugosity coefficient (dimensionless); τ - wind stress (N m-2); f – Coriolis parameter; ξ - Surface elevation (m); H- Depth (m); S – concentration of any dissolved or particulate property (kg m-3); A – diffusivity of the mentioned property along each of the three dimensions m2 s-1). Equation 3 is applied at the surface, where flow divergence/convergence may change surface elevation. Equation 4 is applied below the surface, where the balance of inflows and outflows at any control volume must be zero.. 1.
(5) 3. Numerical solutions. The numerical solutions were obtained following a finite difference scheme, based on a Cartesian coordinate system (Fig. 1). Hereafter, superscripts t-1, t and t+1, refer the time step to which the value being used corresponds. i or j-1, -1/2, +1/2 or +1 represent the position in the model grid where the variable is evaluated. i, j and k refer grid cell coordinates along west-east, south-north and bottom-up directions, respectively.. j+1 j j-1 i-1. k+1. i. i+1. k North. k-1. wijk+1 vi+1jk West. uijk. vijk. X. uij+1k. East. wijk South. Hijk e Sijk Figure 1 – A simplified view of the three dimensional model grid (upper left) showing the usage of indexes i, j and k. Scalar quantities are calculated at the centre of each cell, whereas vector quantities are calculated at the interfaces between cells, as shown in the amplified grid cell (lower right) . In this model, a semi-implicit numerical scheme is used for stability. The generic algorithm is: t+ 1. t +1 v ijk → ξ ij. 2. t +1. t +1 t +1 → u tijk+1 → wijk → V ijk and ξ ij → S tij+1. One horizontal velocity component is calculated explicitly and together with an implicit calculation of the other horizontal velocity component, embedded in the equation of continuity, used to estimate water levels. Using these water levels in the barotropic pressure term, the implicit horizontal velocity component is calculated implicitly. Afterwards, vertical velocities are calculated with the continuity equation from bottom till the surface. At the surface layer, the numerical solution of equation 3 is used to calculate a final estimate for the water level. Calculated velocities are then used in the transport equation to calculate the concentration of dissolved or particulate substances. In the next (semi) time step, the explicit velocity term of the previous one becomes implicit and the implicit becomes explicit and so forth.. 2.
(6) 3.1. Numerical solutions for the equations of motion. Equations 6 and 7 are the numerical version of equations 1 and 2.. 2u 2w ∆u x ∆ ( uuH ∆y ) ∆ ( uvH ∆x ) ∆ ( uw∆y ) ∂ 2v + + + −ν x ∆ − ν y −ν z ∆ = dt H ∆y∂x H ∆x∂y ∆y∂z ∆z2 ∆ x2 ∂ y2 z ∂ z ρ z ∆ξ z∫=0 − Cf u u + ∆τ x + f v −g + x ∆x H ρ∆x ρ∆z . (6). 2u 2w ∆v x ∆ ( vvH ∆x ) ∆ ( vuH ∆y ) ∆ ( vw∆y ) ∂ 2v + + + − ν x ∆ −ν y −ν z ∆ = dt H ∆x∂y H ∆y∂x ∆y∂z ∆z2 ∆ x2 ∂ y2 z ∂ z ρ z ∆ξ z∫=0 − Cf v v + ∆τ y − f u −g + x ∆y H ρ∆y ρ∆z . (7). 3.
(7) 3.1.1. West-East velocity component. In the following pages, the West-East velocity component (hereafter referred as u component) will be solved implicitly considering intermediate, bottom and surface layers to emphasize some differences related to the presence of different borders. The explicit version of each equation will be presented first, followed by the implicit solution. Intermediate layers: t +1 t u ijk − u ijk + ∆t. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 1 2 k + u ij − 1 2 k u ij −1k ∆x ij − 1 2 k 1 ( H ijkt + H ijt −1k ) H ijkt u t 1 − u t 1 u ijt +1k − H ijt −1k u t 1 − u t 1 u ijkt ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k. (. ). (. ). (. (. ). + . ). t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 12 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 12 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 12 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk 1 2 + t t ( H ijk + H ij −1k ) H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ti +1 jk − H t 1 1 vt 1 1 − v t 1 1 u ijkt i+ j− k i+ j− k i+ j − k i− j− k i− j− k i− j − k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 1 1 1 1 t− t− t− t− 2 t t 2 2 2 wij − 1 2 k +1 + wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 1 2 k + wij − 1 2 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 + = t− 1 t− 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 2 2 w 1 −w 1 − wij − 1 k − wij − 1 k u ijk ij − k +1 u ijk +1 2 2 2 ij − 2 k +1 t 2 H ij − 1 k 2 k = surflayer 1 t+ t+ 1 ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H tij −1k ) 2 2 2 ∑ ξ −ξ ij − 1 − g ij + k =0 ∆x ij − 12 k ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 1 2 k . (. ) (. (. ). ). (. ). ( (. + + +. νx ∆x. 2 ijk. (u. t ij +1k. νy ∆y. 2 i + 1 jk 2. (u. ν ijk +1 ∆z. 2 ij − 1 k + 1 2 2. − u tijk ) − t i +1 jk. (u. νx ∆x. − u tijk ) −. t +1 ijk +1. ) ). 2 ij −1k. (u. t ijk. νy ∆y. t +1 − u ijk )−. 2 i − 1 jk 2. − u tij −1k ). (u. t ijk. ν ijk ∆z. 2 ij − 1 k − 1 2 2. − u it −1 jk ). (u. t +1 ijk. − u tijk+1−1). + f v*ijk (8). 4. (. ). + .
(8) Equation (8) may be solved explicitly for u or implicitly as described below. In this case, it must be rearranged in order to obtain a tridiagonal system with coefficients a, b, c and r, that may be solved for u in t+1 (9 and 10). The system is represented in (10). It may be solved by matrix inversion and multiplication using very efficient algorithms, like Tridag (Press et al., 1992).. −. ∆tν ijk ∆tν ijk ∆tν ijk +1 t +1 ∆tν ijk +1 t +1 t +1 t +1 t +1 t u ijk −1 + u ijk + 2 u ijk + 2 u ijk − 2 u ijk +1 = u ijk 2 ∆z ij − 1 k − 1 ∆z ij − 1 k + 1 ∆z ij − 1 k + 1 ∆z ij − 1 k + 1 2. 2. 2. (. 2. 2. ). 2. 2. (. 2. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 1 2 k + u ij − 1 2 k u ij −1k ∆x ij − 1 2 k ∆t − ( H tijk + H ijt −1k ) H tijk u t 1 − u t 1 u ijt +1k − H tij −1k u t 1 − u t 1 u ijkt ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k . (. ). (. (. ). (. ). ). (. + . ). t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 1 2 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk ∆t 2 − t t + ( H ijk H ij −1k ) H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ti +1 jk − H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ijkt i+ j− k i+ j − k i+ j− k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 . (. ) (. (. ). t − 12 + t − 12 wij − 1 2 k +1 wij − 1 2 k +1 −∆t 1 1 wt − 12 − wt − 12 ij − k +1 ij − k +1 2 2 . ). t− 1 t− 1 t t u ijk − wij − 12 k + wij − 12 k u ijk −1 2 2 + t 2 H ij − 1 k 2 t− 1 t− 1 t t u ijk +1 − wij − 12 k − wij − 12 k u ijk 2 2 t 2 H ij − 1 k 2. (. ). k = surflayer 1 t+ t+ 1 ρ kj − ρ kj −1 ( H tkj + H tkj −1) 2 ∑ ξ 2 −ξ 2 ij ij − 1 − g ∆t + k =0 ∆x ij − 1 2 ρ ij + ρ ij −1 2 ∆x ij − 12 . ( (. + +. νx ∆x. 2 ijk. (u. t ij +1k. νy ∆y. 2 i + 1 jk 2. (u. t − u ijk ) ∆t −. t i +1 jk. ). ). νx ∆x. t − u ijk ) ∆t −. 2 ij −1k. (u. t ijk. νy ∆y. 2 i − 1 jk 2. − u ijt −1k ) ∆t. (u. t ijk. − u it −1 jk ) ∆t + f v*ijk (9). 5. (. ). + .
(9) a jkiu ijk −1 + b jkiu ijk + c jkiu ijk +1 = r ijk t +1. a jki = −. t +1. t +1. ∆tν ijk 2 ∆z ij − 1 k − 1 2. b jki c jki 2. ∆tν ijk ∆tν + 2 ijk +1 b jki = 1 + 2 ∆z ij − 1 k − 1 ∆z ij − 1 k + 1 2. 2. ∆tν ijk +1 c jki = − 2 ∆z ij − 1 k + 1 2. 2. . a jki b jki . (10) 2. . . c jki a jki + n. . t +1. r ijk . u ijk. t +1 ijk +1. u = b jki + n .... 2. Bottom layer: At the bottom layer it is necessary to consider bottom drag (last term on the right side of equation 11). t +1 t u ijk − u ijk ∆t. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 12 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 12 k + u ij − 1 2 k u ij −1k + ∆x ij − 1 2 k 1 + t t ( H ijk + H ij −1k ) H tijk u t 1 − u t 1 u tij +1k − H tij −1k u t 1 − u t 1 u tijk ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k t t t t t t t t H i + 12 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 12 j − 12 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 12 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk 1 2 + t t + ( H ijk H ij −1k ) H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u it+1 jk − H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ijkt i+ j− k i+ j− k i+ j− k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 1 1 1 1 t − t − t − t − t t 2 2 2 2 wij − 1 2 k +1 + wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 1 2 k + wij − 1 2 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 + = 1 1 t− 1 t− 1 t − t − t w 12 − w 12 − wij − 12 k − wij − 12 k u tijk ij − k +1 u ijk +1 2 2 2 ij − 2 k +1 t 2 H 1 ij − k 2 k = surflayer 1 ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H tij −1k ) 2 ∑ ξ t+ 2 − ξ t+ 12 ij − 1 − g ij + k =0 ∆x ij − 12 k ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 1 2 k . (. ). (. ). (. ) (. (. ). (. + +. νx ∆x. 2 ijk. (u. t ij +1k. νy ∆y. 2 i + 1 jk 2. (u. ν ijk +1 ∆z ij − 1. k+ 1. t i +1 jk. (u. 2. 2. t − u ijk )−. 2 ij −1k. − u tijk ) −. t +1 ijk +1. (. ). + . ). (u. t ijk. νy ∆y i − 1. − u tij −1k ). (u. 2. 2. t ijk. − u ti −1 jk ). jk. (11). − u tijk+1). 2. (. ). ) ). νx ∆x. ). (. ). ( (. +. (. ). 1 − t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk u tijk+1 + f v*ijk t + H ijk H ij −1k. 6.
(10) Again, this equation is rearranged in order to obtain a tridiagonal system (12 and 13). However, due to stability criteria (see above) the bottom drag term is solved implicitly, reason why it is on the left side of 12. t +1 ∆tν ijk +1 ∆t ∆tν ijk +1 t +1 t + + u ijk 2 − u it ++11 j 2 = Cf Cf u ijk 1 + t u ijk ijk ij − 1 k t ∆z ij − 1 k + 1 ∆z ij − 1 k + 1 H ijk + H ij −1k 2 2 2 2. (. ). (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 1 2 k + u ij − 1 2 k u ij −1k ∆x ij − 1 2 k ∆t t u ijk − ( H tijk + H ijt −1k ) H tijk u t 1 − u t 1 u tij +1k − H tij −1k u t 1 − u t 1 u ijkt ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k. (. (. ). (. ). ). (. + . ). t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 1 2 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk ∆t 2 − t t ( H ijk + H ij −1k ) H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ti+1 jk − H t 1 1 vt 1 1 − v t 1 1 u ijkt i+ j− k i+ j− k i+ j− k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2. (. ) (. (. ). (. ). t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 w w u ijk − wij − 1 k + wij − 1 k u ijk −1 1 1 ij − k + 1 ij − k + 1 2 2 2 2 + t H ij − 1 k 2 −∆t − 1 1 1 1 t− t− t t 2 2 wt − 12 − wt − 12 − − wij − 1 k wij − 1 k u ijk ij − k +1 u ijk +1 2 2 2 ij − 2 k +1 t H 1 ij − k 2 k = surflayer 1 ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H ijt −1k ) 2 ∑ ξ t+ 2 − ξ t+ 12 ij − 1 − g ∆t ij + k =0 ∆x ij − 1 2 k ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 12 k . (. ). ( (. + +. νx ∆x. 2 ijk. (u. t ij +1k. νy ∆y i + 1. (u. 2. 2. − u tijk ) ∆t − t i +1 jk. ) ). νx ∆x ij −1k 2. − u tijk ) ∆t −. jk. (u. t ijk. νy ∆y i − 1. − u tij −1k ) ∆t. (u. 2. 2. t ijk. − u it −1 jk ) ∆t + f v*ijk. jk. (12). a ijk u ijk −1 + b ijk u ijk + c ijk u ijk +1 = r ijk t +1. t +1. t +1. a ij = 0 ∆t ∆tν t + + 2 ijk +1 Cf Cf b ijk = 1 + t u ijk ijk ij − k 1 t H ijk + H ij −1k ∆z ij − 1 2 k + 1 2. (. c ijk = −. ∆tν ijk +1 2 ∆z ij − 1 k + 1 2. ). 2. 7. (13). ). + .
(11) Upper layer: At the upper layer it is necessary to consider the wind drag (last term on the right side of equation 14.. ∆tν ijk ( u tijk+1 − u tijk+1−1) = 2 ∆z ij − 1 k − 1. t +1 u ij +. 2. 2. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 1 2 k + u ij − 1 2 k u ij −1k ∆x ij − 1 2 k ∆t t − u ij ( H ijkt + H ijt −1k ) H ijkt u t 1 − u t 1 u ijt +1k − H ijt −1k u t 1 − u t 1 u ijkt ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 12 k. (. (. ). (. ). ). (. + . ). t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 12 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 12 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 12 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk ∆t 2 − t t ( H ijk + H ij −1k ) H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ti +1 jk − H t 1 1 vt 1 1 − v t 1 1 u ijt k i+ j− k i+ j− k i+ j − k i− j− k i− j− k i− j − k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2. (. )u − (w. (. ). t − 12 + t − 12 wij − 12 k +1 wij − 1 2 k +1 −∆t 1 1 wt − 12 − wt − 12 ij − k +1 2 ij − 2 k +1 . (. ). t− 1 + wij − 12 k u tijk −1 2 + t 2 H ij − 1 k 2 1 1 t− t− t t 2 2 − − u ijk +1 wij − 1 k wij − 1 k u ijk 2 2 t 2 H ij − 1 k 2 t ijk. t− 1 2 ij − 1 k 2. (. ). k = surflayer 1 t+ t+ 1 ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H ijt −1k ) 2 ∑ ξ 2 −ξ 2 ij ij − 1 − − g ∆t + k =0 ∆x ij − 1 2 k ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 1 2 k . ( (. + +. νx ∆x. 2 ijk. (u. νy ∆y i + 1. (u. 2. 2. t − u ijk )−. t ij +1k. t i +1 jk. −u. jk. t ijk. νx ∆x ij −1k 2. )−. (u. t ijk. νy ∆y i − 1. ) ). − u ijt −1k ). (u. 2. 2. ) + ∆ρtτ ij + f v*ijk ∆z ijk vento. t ijk. −u. jk. t i −1 jk. (14). a ijk u ijk −1 + b ijk u ijk + c ijk u ijk +1 = r ijk t +1. a ijk = −. t +1. t +1. ∆tν ijk 2 ∆z ij − 1 k − 1 2. b ijk = 1 +. 2. (15). ∆tν ij ∆z ij − 1 2. 2. k−1. 2. c ijk = 0. 8. ). + .
(12) 3.1.2. South-North velocity component. In the following pages the North-South velocity component (referred as v) will be solved implicitly considering intermediate, bottom and surface layers. The explicit version of each equation will be presented first, followed by the implicit solution. Intermediate layers: t +1 t v ijk − v ijk + ∆t. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk v i + 12 jk + v i + 12 jk v ijk − H i −1 jk v i − 12 jk + v i − 1 2 jk v i −1 jk + ∆y i − 1 jk 1 2 t t ( H ijk + H i −1 jk ) H tijk v t 1 − v t 1 v ti +1 jk − H ti −1 jk v t 1 − v t 1 v ijkt i + jk i + jk i − jk i − jk 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 t t t t t t t t H i − 1 2 j + 1 2 k u i − 1 2 j + 12 k + u i − 12 j + 12 k v ijk − H i − 12 j − 12 k u i − 1 2 j − 12 k + u i − 12 j − 1 2 k v ij −1k ∆x ij − 1 2 k 1 + t t ( H ijk + H i−1 jk ) H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijt +1k − H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijkt i− j+ k i− j+ k i− j+ k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ∆x ij − 2 k. (. ). (. ). (. (. ). (. ) (. (. ). ). t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wi − 12 jk +1 wi − 12 jk +1 v ijk − wi − 12 jk + wi − 12 jk v ijk −1 + t 2 H i − 1 jk 2 + = 1 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 wt − 1 2 − wt − 1 2 − wi − 1 jk − wi − 1 jk v ijk i − jk +1 v ijk +1 2 2 2 i − 2 jk +1 t 2 H i − 1 jk 2 k = surflayer ρ ijk − ρ i −1 jk ( H tijk + H ti −1 jk ) 2 ∑ ξ t+ 12 − ξ t+ 12 ij i −1j −g + k =0 ∆ y + ρ i −1 jk 2 ∆y i − 1 jk ρ i − 1 jk ijk 2 2 . (. ). ( (. + + +. νx ∆y. 2 ijk. (v. t i +1 jk. νy ∆x. 2 ij + 1 k 2. (v. t ij +1k. ν ijk +1 ∆z. t − v ijk )−. 2 i − 1 jk + 1 2 2. (v. νx ∆y i −1 jk. t − v ijk )−. t +1 ijk +1. 2. ) ). (v. t ijk. νy ∆x. t +1 − v ijk )−. 2 ij − 1 k 2. − v it −1 jk ). (v. t ijk. − v ijt −1k ). ν ijk ∆z. 2 i − 1 jk − 1 2 2. (v. t +1 ijk. − v tijk+1−1) − f u *ijk. (16). 9. ). (. ). + .
(13) −. ∆tν ijk ∆tν ijk ∆tν ijk +1 t +1 ∆tν ijk +1 t +1 t +1 t +1 t +1 t v ijk −1 + v ijk + 2 v ijk + 2 v ijk − 2 v ijk +1 = v ijk 2 ∆z i − 1 jk − 1 ∆z i − 1 jk − 1 ∆z i − 1 jk + 1 ∆z i − 1 jk + 1 2. 2. 2. (. 2. 2. ). 2. 2. (. 2. ). t t t t t t t t H ijk v i + 12 jk + v i + 1 2 jk v ijk − H i −1 jk v i − 12 jk + v i − 12 jk v i −1 jk + ∆y i − 1 jk ∆t 2 − t t ( H ijk + H ij −1k ) H tijk v t 1 − v t 1 vit +1 jk − H ti −1 jk v t 1 − v t 1 v ijkt i + jk i + jk i − jk i − jk 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 t t t t t t t t H i − 12 j + 12 k u i − 1 2 j + 1 2 k + u i − 1 2 j + 1 2 k v ijk − H i − 12 j − 1 2 k u i − 12 j − 1 2 k + u i − 1 2 j − 12 k v ij −1k ∆x ij − 12 k ∆t − ( H tijk + H ijt −1k ) H t 1 1 vt 1 1 − v t 1 1 u tij +1k − H t 1 1 vt 1 1 − v t 1 1 u tijk i− j+ k i− j+ k i− j+ k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆x ij − 12 k t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wi − 12 jk +1 wi − 12 jk +1 v ijk − wi − 1 2 jk + wi − 1 2 jk v ijk −1 + t 2 H 1 i jk − 2 −∆t 1 1 t− 1 t− 1 t − t − t t 2 2 w 12 − w 12 − − v w w v ijk +1 ijk i − jk +1 i − 1 jk i − 1 jk 2 2 2 i − 2 jk +1 t 2 H i − 1 jk 2 k = surflayer 1 ρ kj − ρ kj −1 ( H tkj + H tkj −1) 2 ∑ ξ t+ 2 − ξ t+ 12 ij i −1j − g ∆t + k =0 ∆y ij − 1 + 2 ∆ y ρ ρ 1 ij i −1 j i− j 2 2 . (. ). (. ). (. ). (. ) (. ). (. ). (. +. νx 2. (v. t i +1 jk. νy ∆x. 2 ij + 1 k 2. (v. t − u ijk ) ∆t −. t ij +1k. ). (. ). ). νx ∆y i −1 jk 2. t − v ijk ) ∆t −. (. ). (. ∆y ijk. ). ). (. +. (. (v. t ijk. νy ∆x ij − 1. − v ti −1 jk ) ∆t. (v. 2. 2. t ijk. − v tij −1k ) ∆t − f u *ijk. k. (17). a jki v ijk −1 + b jki v ijk + c jki v ijk +1 = r ijk t +1. a jki = −. t +1. t +1. ∆tν ijk 2 ∆z i − 1 jk − 1 2. b jki = 1 +. 2. ∆tν ijk ∆tν + 2 ijk +1 2 ∆z i − 1 jk − 1 ∆z i − 1 jk + 1 2. c jki = −. ∆tν ijk +1 2 ∆z i − 1 jk + 1 2. 2. 2. (18) 2. b jki c jki a jki b jki c jki a jki + n b jki + n. 2. 10. t +1 r ijk v ijk t +1 v ijk +1 = .... + .
(14) Bottom layer: At the bottom layer it is necessary to consider bottom drag (last term on the right side of equation 19. t +1 t v ijk − v ijk ∆t t t t t t t t t H ijk v i + 12 jk + v i + 12 jk v ijk − H i −1 jk v i − 1 2 jk + v i − 12 jk v i −1 jk + ∆y i − 1 jk 1 2 + t t ( H ijk + H i −1 jk ) H ijkt v t 1 − v t 1 v it +1 jk − H it −1 jk vt 1 − v t 1 vijkt i + jk i + jk i − jk i − jk 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 t t t t t t t t H i − 12 j + 1 2 k u i − 12 j + 12 k + u i − 12 j + 12 k v ijk − H i − 12 j − 12 k u i − 1 2 j − 1 2 k + u i − 12 j − 12 k v ij −1k + ∆x ij − 12 k 1 + t t + ( H ijk H i −1 jk ) H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijt +1k − H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijkt i− j+ k i− j+ k i− j+ k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆x ij − 12 k t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wi − 12 jk +1 wi − 12 jk +1 v ijk − wi − 12 jk + wi − 1 2 jk v ijk −1 + t 2 H i − 1 jk 2 + = 1 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 wt − 1 2 − w t − 1 2 − wi − 1 jk − wi − 1 jk v ijk i − jk +1 v ijk +1 2 2 2 i − 2 jk +1 t 2 H i − 1 jk 2 k = surflayer ρ ijk − ρ i −1 jk ) ( H tijk + H ti −1 jk ) 2 ( ∑ ξ t + 12 − ξ t + 12 i −1j − g ij + k =0 ∆y i − 1 jk + ρ i −1 jk ) 2 ∆y i − 1 jk ρ ( ijk 2 2 ν t + x2 ( v ti +1 jk − v ijk ) − ν2x ( vijkt − v it −1 jk ) ∆y ijk ∆y i −1 jk + + −. (. ). (. ). ). (. ). ) (. (. ). ∆x. 2 ij + 1 k 2. (v. t ij +1k. ν ijk +1 ∆z. 2 i − 1 jk + 1 2 2. (v. t − v ijk )−. t +1 ijk +1. (. ). (. νy ∆x. 2 ij − 1 k 2. (v. ). t ijk. − v ijt −1k ). − v tijk+1). ). 1 t +1 − f u *ijk Cf ijk + Cf i −1 jk v tijk v ijk t + H H i −1 jk t ijk. ). (. (. (. νy. (. (19). 11. ). (. ). (. ).
(15) Again, this equation is rearranged in order to obtain a tridiagonal system (20 and 21). However, due to stability criteria (see above) the bottom drag term is solved implicitly, reason why it is on the left side of equation 20. t +1 ∆tν ijk +1 ∆t ∆tν ijk +1 t +1 t − v ti ++11 j 2 = Cf ijk + Cf i −1 jk v ijk v ijk 1 + t + v ijk 2 t + H H ∆ z ∆ z ijk i −1 jk i − 1 jk + 1 i − 1 jk + 1 2 2 2 2. (. ). (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk v i + 12 jk + v i + 12 jk v ijk − H i −1 jk v i − 1 2 jk + v i − 1 2 jk v i −1 jk + ∆y i − 1 jk ∆t 2 t u ijk − ( H tijk + H it−1 jk ) H tijk v t 1 − v t 1 v it+1 jk − H ti−1 jk uv t 1 − v t 1 v ijkt i + jk i + jk i − jk i − jk 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 . (. (. ). (. ). ). (. ). t t t t t t t t H i − 1 2 j + 1 2 k u i − 12 j + 1 2 k + u i − 1 2 j + 1 2 k v ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k u i − 1 2 j − 1 2 k + u i − 12 j − 12 k v ij −1k ∆x ij − 12 k ∆t − t t ( H ijk + H i−1 jk ) H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v tij +1k − H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v tijk i− j+ k i− j − k i− j − k i− j− k i− j + k i− j+ k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k. (. ) (. (. ). (. ). ). t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wi − 1 2 jk +1 wi − 1 2 jk +1 v ijk − wi − 1 2 jk + wi − 1 2 jk v ijk −1 + t H i − 1 jk 2 −∆t − 1 1 t− 1 t− 1 t − t − t t 2 2 w 12 − w 12 − − v w w v ijk + 1 ijk 1 1 i − jk +1 i − jk i − jk 2 2 2 i − 2 jk +1 t H 1 i − jk 2 k = surflayer 1 ρ ijk − ρ i −1 jk ( H tijk + H it −1 jk ) 2 ∑ ξ t + 2 − ξ t + 12 i −1j − g ∆t ij + k =0 ∆y i − 1 jk + ρ i −1 jk 2 ∆y i − 1 jk ρ ijk 2 2 . (. ). ( (. + +. νx ∆y ijk 2. (v. νy ∆x ij + 1. t i +1 jk. (v. 2. 2. t − v ijk ) ∆t −. t ij +1π k. νx ∆y i −1 jk 2. t − v ijk ) ∆t −. k. ) ). (v. t ijk. νy ∆x ij − 1. − v ti −1 jk ) ∆t. (v. 2. 2. t ijk. − v ijt −1k ) ∆t − f u *ijk. k. (20). a ijk v ijk −1 + b ijk v ijk + c ijk v ijk +1 = r ijk t +1. t +1. t +1. a ij = 0. ∆t ∆tν ijk +1 Cf ijk + Cf i −1 jk v tijk + 2 b ijk = 1 + t t H ijk + H i −1 jk ∆z i − 1 2 jk + 1 2. (. c ijk = −. ∆tν ijk +1 2 ∆z i − 1 jk + 1 2. ). 2. 12. (21). + .
(16) Upper layer: At the upper layer it is necessary to consider the wind drag (last term on the right side of equation 22. t +1 t v ijk − v ijk ∆t. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk v i + 12 jk + v i + 12 jk v ijk − H i −1 jk v i − 1 2 jk + v i − 12 jk v i −1 jk + ∆y i − 1 jk 1 2 + t t ( H ijk + H i −1 jk ) H ijkt v t 1 − v t 1 v it +1 jk − H it −1 jk vt 1 − v t 1 vijkt i + jk i + jk i − jk i − jk 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 t t t t t t t t H i − 12 j + 1 2 k u i − 12 j + 12 k + u i − 12 j + 12 k v ijk − H i − 12 j − 12 k u i − 1 2 j − 1 2 k + u i − 12 j − 12 k v ij −1k + ∆x ij − 12 k 1 + t t ( H ijk + H i −1 jk ) H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v it +1 jk − H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijkt i− j+ k i− j+ k i− j+ k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆x ij − 12 k t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wi − 12 jk +1 wi − 12 jk +1 v ijk − wi − 12 jk + wi − 1 2 jk v ijk −1 + t 2 H 1 i − jk 2 + = 1 1 t− 1 t− 1 t − t − t t w 12 − w 12 − wi − 1 2 jk − wi − 1 2 jk v ijk i − jk +1 v ijk +1 2 2 2 i − 2 jk +1 t 2 H i − 1 jk 2 k = surflayer ρ ijk − ρ i −1 jk ( H tijk + H ti −1 jk ) 2 ∑ ξ t + 12 − ξ t + 12 i −1j − g ij + k =0 ∆y ij − 1 k 2 + ∆ y ρ ρ 1 ijk i −1 jk i − jk 2 2 . (. ). (. ). (. ) (. (. ). ). (. ). ( (. + +. −. νx ∆y ijk 2. (v. νy ∆x. 2 ij + 1 k 2. t i +1 jk. (v. t ij +1k. ν ijk ∆z. − v tijk ) −. 2 i − 1 jk − 1 2 2. (v. νx ∆y i −1 jk. − v tijk ) −. t +1 ijk. 2. ) ). (v. t ijk. νy ∆x ij − 1. − v tijk+1−1) +. (. (v. 2. τ. − v it −1 jk ). 2. t ijk. − v tij −1k ). k. vento ij. ρ ∆z ijk. − f u *ijk. (22). 13. ). (. ). (. ).
(17) ∆tν ijk ( vijt +1 − vijt +−11) = 2 ∆z i − 1 jk − 1. t +1 v ij +. 2. 2. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk v i + 12 jk + v i + 1 2 jk v ijk − H i −1 jk v i − 12 jk + v i − 1 2 jk v i −1 jk + ∆y i − 1 jk ∆ t 2 t v ij − t t ( H ijk + H i−1 jk ) H ijkt v t 1 − v t 1 v it+1 jk − H it −1 jk vt 1 − v t 1 vijkt i + jk i + jk i − jk i − jk 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 t t t t t t t t H i − 1 2 j + 12 k u i − 1 2 j + 12 k + u i − 1 2 j + 12 k v ijk − H i − 12 j − 12 k u i − 12 j − 12 k + u i − 1 2 j − 1 2 k v ij −1k ∆x ij − 12 k ∆t − ( H ijkt + H it −1 jk ) H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijt +1k − H t 1 1 u t 1 1 − u t 1 1 v ijkt i− j+ k i− j+ k i− j+ k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ∆x ij − 2 k. (. (. ). (. ). (. ) (. (. ). ). (. ). (. ). ). + . t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wi − 1 2 jk +1 wi − 1 2 jk +1 v ijk − wi − 1 2 jk + wi − 12 jk v ijk −1 + t 2 H i − 1 jk 2 −∆t 1 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 wt − 1 2 − wt − 1 2 − − v w w v ijk ijk + 1 i − jk +1 i − 1 jk i − 1 jk 2 2 2 i − 2 jk +1 t 2 H i − 1 jk 2 . (. ). k = surflayer ρ ijk − ρ i −1 jk ( H tijk + H ti −1 jk ) 2 ∑ ξ t+ 12 − ξ t+ 12 ij i −1j + k =0 − − g ∆t ∆y ij − 1 k + ρ i −1 jk 2 ∆y i − 1 jk ρ ijk 2 2 . ( (. + +. νx ∆y ijk 2. (v. νy ∆x ij + 1. t i +1 jk. (v. 2. 2. t − v ijk ) ∆t −. t ij +1k. −v. t ijk. νx ∆y i −1 jk. ) ∆t −. k. 2. ) ). (v. t ijk. νy ∆x ij − 1. − v it −1 jk ) ∆t. (v. 2. 2. ) ∆t + ∆ρtτ ij − f u *ijk∆t ∆z ijk vento. t ijk. −v. t ij −1k. k. (23). a ijk v ijk −1 + b ijk v ijk + c ijk v ijk +1 = r ijk t +1. a ijk = −. t +1. t +1. ∆tν ijk 2 ∆z i − 1 jk − 1 2. b ijk = 1 +. 2. (24). ∆tν ij ∆z i − 1 2. 2. jk − 1. 2. c ijk = 0 Again, this equation is rearranged in order to obtain a tridiagonal system (23 and 24). The three different solutions of the terms a, b, c and r (equations 18, 21 and 24) are applied according to the type of layers.. 14.
(18) 3.2 3.2.1. Equation of continuity Water level estimation. The numerical version of the equation of continuity (3) is presented in equation 25. The elevation is calculated from the difference between the total inflows and the total outflows of each grid column, making unnecessary to know the values of vertical velocities at this point. The terms “FlowInput” and “FlowOutput” are included to account for any water discharges and uptakes.. Water level variations at the surface layer result from flow divergence. ΣQij. ΣQij+1. Input and output flows are integrated vertically for each column in both horizontal directions (for simplicity it is shown only one direction) Figure 2 – A columns of cells, illustrating how the equation of continuity is used to estimate water level to be used in the barotropic term of the u and v equations. Semi time step = 1. u tijk+1 ( H tijk + H tij −1k ) u tij++11k ( H tijk + H tij +1k ) − ξ ij = ξ ij + ∆t ∑ 2∆x ijk 2∆x ijk k =bottom t t t t t surface t v ijk ( H ijk + H i −1 jk ) v i +1 jk ( H ijk + H i +1 jk ) +∆t ∑ − (25) 2∆y ijk 2∆y ijk k = bottom surface FlowInput ijk − FlowOutput ijk +∆t ∑ ∆x ijk ∆y ijk k = bottom t+ 1. surface. 2. t. 15.
(19) The velocity terms in t+1 may be obtained by solving equations 8, 11 and 14 for u ijt +1 and summing them over each column obtaining equation 26. The vertical diffusion terms cancel each other and it is possible to obtain an equation for ut+1 to use in equation 25.. ∑. surface k =bottom. t +1 u ijk ( H tijk + H tij −1k ) = ∑ k =bottom u tij ( H tijk + H tij −1k ). surface. (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 1 2 k + u ij − 1 2 k u ij −1k + ∆x ij − 1 2 k ∆t t t t t t t t t H ijk u ij + 1 k − u ij + 1 k u ij +1k − H ij −1k u ij − 1 k − u ij − 1 k u ijk 2 2 2 2 x ∆ ij − 1 k 2 t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 1 2 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk 2 t +∆ surface t −∑ k =bottom H ti + 1 j − 1 k v ti + 1 j − 1 k − v ti + 1 j − 1 k u it +1 jk − H ti − 1 j − 1 k v ti − 1 j − 1 k − v it − 1 j − 1 k u ijk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 +∆t ( t + t ) H ijk H ij −1k t − 12 t− 1 t− 1 t− 1 t t wij − 1 2 k +1 + wij − 122 k +1 u ijk − wij − 122 k + wij − 122 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 t− 1 t− 1 t − 12 − t − 12 t t 2 2 − − w w u w w u 1 ijk + ijk 1 1 1 1 ij − k +1 ij − k ij − k ij − 2 k +1 2 2 2 t 2 H ij − 1 k 2 . (. ). (. ). (. (. ). (. ) (. (. ). ). (. ). (. ). t+ t+ ξ ij 2 − ξ ij −2 1 t t ( H ijk + H ij −1k ) ∆x ij − 1 2 k surface k = surflayer − g ∆t ∑ k =bottom t t ρ ijk − ρ ij −1k ( H ijk + H ij −1k ) 2 ∑ t t + ( H ijk + H ij −1k ) k =0 + 2 ρ ρ ∆ x ij − 1 k ijk ij − 1 k 2 ν surface t + ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) ∆t x2 ( u tij +1k − u ijk ) − ν2x ( u ijkt − u ijt −1k ) ∆x ij −1k ∆x ijk 1. 1. ( (. ) ). ν surface νy y t t t t + ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) ∆t 2 ( ( u i +1 jk − u ijk ) − 2 u ijk − u i −1 jk ) ∆y i + 1 jk ∆y i − 1 jk 2 2 vento t t ( H ijk + H ij −1k ) ∆tτ ij − ∆t Cf + Cf surface t t +1 * + ijk ij −1k u ijk u ijk + ∆t ∑ k =bottom f v ijk t ρ H ij − 1 k. (. ). 2. (26). 16. ). + .
(20) However, there is still a velocity in t+1 on the right side of equation 26, in the bottom drag term. This term may be replaced by solving equation 11 for u ijt +1 as shown in equations 27 and 28. Equation 29 is just a simplified version of 28.. ∆t t +1 t + = u tijk Cf Cf u ijk 1 + u ijk ijk ij k − 1 t t ( H ijk + H ij −1k ) . (. ). (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 12 k + u ij − 12 k u ij −1k + 1 k ∆ x ij − ∆t 2 − ( H ijkt + H ijt −1k ) H ijkt u t 1 − u t 1 u ijt +1k − H ijt −1k u t 1 − u t 1 u ijkt ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 12 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 1 2 k u i −1 jk + ∆y i − 1 jk ∆t 2 − t t ( H ijk + H ij −1k ) H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u ti +1 jk − H t 1 1 v t 1 1 − v t 1 1 u tijk i+ j− k i+ j− k i+ j− k i− j− k i− j− k i− j− k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 1 1 1 1 t− t− t− 2 + t− 2 t t 2 2 wij − 1 2 k +1 wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 1 2 k + wij − 1 2 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 −∆t 1 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 wt − 12 − wt − 12 − − u w w u ijk ijk + 1 1 1 ij − k +1 ij − k ij − k 2 2 2 ij − 2 k +1 t H 2 1 ij − k 2 k = surflayer ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H ijt −1k ) 2 ∑ ξ t+ 12 − ξ t+ 12 ij − 1 − g ∆t ij + k =0 ∆x ij − 1 2 k ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 1 2 k . (. ). (. ). (. ) (. (. ). ). (. ). ( (. + + +. νx ∆x. (u. 2 ijk. t ij +1k. νy ∆y. 2 i + 1 jk 2. (u. ν ijk +1 ∆z ij − 1 k + 1 2. 2. t − u ijk ) ∆t −. t i +1 jk. (u. t +1 ijk +1. ) ). νx ∆x ij −1k. − u tijk ) ∆t −. (. 2. (u. t ijk. νy ∆y i − 1. − u ijt −1k ) ∆t. (u. 2. 2. t ijk. − u it −1 jk ) ∆t. jk. − u tijk+1) ∆t + f v*ijk∆t. 2. (27). 17. ). (. ). (. ).
(21) (. ). (. ). (. ). t t t t t t t t H ijk u ij + 1 2 k + u ij + 1 2 k u ijk − H ij −1k u ij − 1 2 k + u ij − 1 2 k u ij −1k + ∆x ij − 1 2 k ∆t t u ijk − t t ( H ijk + H ij −1k ) H ijkt u t 1 − u t 1 u ijt +1k − H ijt −1k u t 1 − u t 1 u ijkt ij + k ij + k ij − k ij − k 2 2 2 2 ∆x ij − 1 2 k t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 1 2 k u i −1 jk ∆y i − 1 jk ∆t 2 − t t t ( H ijk + H ij −1k ) H it + 1 j − 1 k v it + 1 j − 1 k − v it + 1 j − 1 k u ti +1 jk − H it − 1 j − 1 k v it − 1 j − 1 k − v it − 1 j − 1 k u ijk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y i − 1 jk 2 1 1 1 1 t− t− t− t− 2 t t 2 2 2 wij − 1 2 k +1 + wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 1 2 k + wij − 1 2 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 −∆t 1 1 1 1 wtij−− 12 k +1 − wtij−− 12 k +1 u tijk +1 − wtij−− 12 k − wtij−− 12 k u tijk 2 2 2 2 t H 2 1 ij − k 2 k = surflayer 1 t+ t+ 1 ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H tij −1k ) 2 2 2 ∑ ξ ij − ξ ij − 1 + k =0 − g ∆t 1 ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 1 2 k ∆ x ij − k 2 t + ν x ( u tij +1k − u tijk ) ∆t − ν x ( u ijk − u ijt −1k ) ∆t 2 2 ∆x ijk ∆x ij −1k + ν y ( u t − u t ) ∆t − ν y ( u t − u t ) ∆t ijk i −1 jk 2 ∆y i2+ 1 jk i +1 jk ijk ∆y i − 1 jk 2 2 ν ijk +1 ( u tijk+1+1 − u ijt +k1) ∆t + f v*ijk∆t + 2 ∆ z 1 1 ij − k + 2 2 t +1 u ijk = ∆t t + Cf Cf 1 + u ijk ijk ij − 1 k t t ( H ijk + H ij −1k ) . (. (. ). (. ). (. ) (. (. ). (. ). ) ). (. ). (28) 1 1 ξ t+ 2 − ξ t+ 2 ij ij − 1 − g ∆t + Other _ terms 1 ∆x ij − 2 k (29) t +1 u ijk = ∆t t + Cf Cf 1 + u ijk ijk ij − 1 k t t ( H ijk + H ij −1k ) . (. ). Equation 30 is obtained by inserting equation 27 into equation 26.. 18. ). (. ). (. ( (. ). ). + .
(22) t+ t+ ξ ij 2 − ξ ij −2 1 t t + ∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H ijk + H ij −1k ) ∆x ij − 1 2 1. t+ 1. ξ ij. 2. . 1. surface. ( 2∆x ij ) . . ξ −ξ surface surface −∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ij + 1 ij ( 2∆x ij ) = ξ tij + ∆t ∑ k =bottom u tijk ( H tijk + H tij −1k ) 2∆x ij ∆x ij + 12 H tijk u ijt + 1 k + u ijt + 1 k u tijk − H tij −1k u ijt − 1 k + u ijt − 1 k u ijt −1k 2 2 2 2 + 1 ∆x ij − 2 k ∆t ( 2∆x ij ) t t t t t t t ut − − − u u u u u H ij −1k ij − 1 k ij +1k ijk ij + 1 k ij − 1 k H ijk ij + 12 k 2 2 2 ∆ x ij − 1 k 2 t t t t t t t t H i + 1 j − 1 k v i + 1 j − 1 k + v i + 1 j − 1 k u ijk − H i − 1 j − 1 k v i − 1 j − 1 k + v i − 1 j − 1 k u i −1 jk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + ∆y i − 1 jk surface 2 −∆t ∑ k =bottom + ∆t H ti + 1 j − 1 k v ti + 1 j − 1 k − v ti + 1 j − 1 k u ti +1 jk − H ti − 1 j − 1 k v ti − 1 j − 1 k − v ti − 1 j − 1 k u tijk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆ y 1 i − jk 2 t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wij − 12 k +1 wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 1 2 k + wij − 12 k u ijk −1 + t 2 H 1 ij − k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ijk H ij −1k ) t − 1 1 1 t− 1 t − t − t t 2 2 2 2 w 1 − wij − 1 k +1 u ijk +1 − wij − 1 k − wij − 1 k u ijk 2 2 2 ij − 2 k +1 t 2 H ij − 1 k 2 t+ 1. t+ 1. 2. (. ). (. ). 2. (. ). (. ). (. ). (. (. ). ). (. (. ) (. (. ). ). ). (. ). k = surflayer ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H tij −1k ) 2 ∑ surface −∆tg ∆t ∑ k = kbottom ( H tijk + H ijt −1k ) k =i ( 2∆x ij ) ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 1 2 k surface t +∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H ijt −1k ) ∆t ν x2 ( u tij +1k − u tijk ) − ν2x ( u ijk − u tij −1k ) ( 2∆x ij ) ∆x ij −1k ∆x ijk . ( (. surface +∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H ijt −1k ) ∆t . (. ). −∆t ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u u +∆t ∑ k =bottom surface. t ijk. t +1 ijk. ) ). ν2 y ( u ti +1 jk − u tijk ) − ν2 y ( u tijk − u ti −1 jk ) ∆y ∆y i − 1 jk i + 12 jk 2 . ( 2∆x ij ) + ∆t. (H. t ijk. + H ijt −1k ) ∆tτ ij. vento. ρ ∆z ijk. f v *ijk ∆t surface t + ∑ v ( H tijk + H ti−1 jk ) 2∆x ij 2∆y ij k =bottom ijk . (. ). 19. ( 2∆x ij ). . ( 2∆x ij ) . ( 2∆x ij ) .
(23) −∆t ∑ k =bottom u tij +1k ( H tij +1k + H tijk ) 2∆x ij surface. (. ). (. ). (. ). (. ). t H ij +1k u tij + 3 k + u tij + 3 k u tij +1k − H tijk u tij + 1 k + u tij + 1 k u tij +1k 2 2 2 2 + ∆x ij + 1 2 k ∆t ( 2∆x ij ) t t t t t t t Ht − − − u u u u u u H ijk ij + 1 k ij + 2 k ij +1k ij + 1 k ij + 3 k ij +1k ij + 3 2 k 2 2 2 ∆ x ij + 1 k 2 t t t t t t t t H i + 1 j + 1 k v i + 1 j + 1 k + v i + 1 j + 1 k u ij +1k − H i − 1 j + 1 k v i − 1 j + 1 k + v i − 1 j + 1 k u i −1 j +1k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + ∆y ij + 1 k surface 2 +∆t ∑ k =bottom + ∆t H ti + 1 j + 1 k v ti + 1 j + 1 k − v ti + 1 j + 1 k u ti +1 j +1k − H ti − 1 j + 1 k v ti − 1 j + 1 k − v ti − 1 j + 1 k u tij +1k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆ y ij + 1 k 2 t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t wij + 1 k +1 wij + 1 k +1 u ij +1k − wij + 12 k + wij + 12 k u ij +1k −1 2 2 2 2 + t 2 H ij + 1 k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ij +1k H ijk ) t − 1 1 1 t− 1 t − t − t t 2 2 2 2 wij + 1 k +1 − wij + 1 k +1 u ij +1k +1 − wij + 1 k − wij + 1 k u ij +1k 2 2 2 2 t 2 H 1 ij + k 2 . (. ). (. ). (. (. (. ). (. ). ). (. ). (. ). k = surflayer ρ ij +1k − ρ ijk ( H tij +1k + H tijk ) 2 ∑ surface t t k i = +∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H ij +1k + H ijk ) ρ ij +1k + ρ ijk 2 ∆x ij + 12 k . ( (. ). ) ). ( 2∆x ij ) . surface t −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ∆t ν2x ( u tij + 2 k − u ijt +1k ) − ν x2 ( u ijt +1k − u ijk ) ∆x ijk ∆x ij +1k . . ( 2∆x ij ). . ν surface νy t t t t −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ∆t 2 y ( ( u i +1 j +1k − u ij +1k ) − 2 u ij +1k − u i −1 j +1k ) ∆y i + 1 j +1k ∆y i − 1 j +1k 2 2 . (. ). + ∆t∆t Cf ij +1k + Cf ijk u. t ij +1k. u. t +1 ij +1k. ( 4∆x ij ) − ∆t. (H. t ij +1k. + H tijk ) ∆tτ. ρ ∆z ij +1k. FlowInputijk − FlowOutputijk ∆x ijk ∆y ijk k =bottom * surface f v ij +1k surface ∆t −∆t ∑ k =bottom − ∑ v t ( H tij +1k + H tijk ) 2∆x ij 2∆y ij +1k k =bottom ij + 1k +∆t. surface. ∑. (. ). (30). 20. vento j. ( 2∆x ij ). . ( 2∆x ij ) . ( 2∆x ij ) .
(24) Equation 31 is obtained from 30, placing all implicit terms on the left side of 30 and explicit terms on its right side.. t+ t+ ξ 2 − ξ ij −2 1 2∆x ij ) ξ ij 2 + ∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) ij ( ∆x ij − 12 t+ 1 t+ 1 2 2 ξ −ξ surface −∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ij + 1 ij ( 2∆x ij ) ∆x ij + 1 2 1. t+ 1. 1. surface. ( −∆t ∆t ( Cf. ) )u. +∆t ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk u tijk+1 ( 2∆x ij ) ij +1k. + Cf ijk. ( 2∆x ij ) ( H tijk + H tij −1k ) 2∆xij . = ξ ij + ∆t ∑ k =bottom u tijk surface. t. t ij +1k. t +1. u ij +1k. (. ). (. ). (. ). H tijk u ijt + 1 k + u ijt + 1 k u tijk − H tij −1k u ijt − 1 k + u ijt − 1 k u ijt −1k 2 2 2 2 + ∆x ij − 1 2 k ∆t ( 2∆x ij ) t t t t t t t t u − − − H ijk ij + 1 2 k u ij + 1 2 k u ij +1k H ij −1k u ij − 12 k u ij − 1 2 k u ijk ∆x ij − 1 2 k t t t t t t t t H i + 1 2 j − 12 k v i + 1 2 j − 12 k + v i + 1 2 j − 12 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 12 k + v i − 1 2 j − 12 k u i −1 jk + ∆y i − 1 jk surface 2 −∆t ∑ k =bottom + ∆t t t t t t t t t H i + 1 j − 1 k v i + 1 j − 1 k − v i + 1 j − 1 k u i +1 jk − H i − 1 j − 1 k v i − 1 j − 1 k − v i − 1 j − 1 k u ijk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆ y 1 jk i − 2 1 1 1 1 t t t t − − − − t t 2 2 2 2 wij − 12 k +1 + wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 12 k + wij − 12 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ijk H ij −1k ) t − 1 t− 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 2 2 − − − w 1 wij − 1 k +1 u ijk +1 wij − 1 k wij − 1 k u ijk 2 2 2 ij − 2 k +1 t H 2 1 ij − k 2 . (. ). (. ). (. (. ). ). (. (. ) (. (. ). ). ). (. ). k = surflayer ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H tij −1k ) 2 ∑ surface −∆tg ∆t ∑ k = kbottom ( H tijk + H tij −1k ) k =i ( 2∆x ij ) ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 12 k surface t +∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) ∆t ν x2 ( u tij +1k − u ijk ) − ν2x ( u ijkt − u ijt −1k ) ( 2∆x ij ) ∆x ij −1k ∆x ijk ν surface ν t t +∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) ∆t 2 y ( u ti +1 jk − u ijk − 2 y ( u ijk − u it −1 jk ) ( 2∆x ij ) ) ∆y ij + 1 k ∆y ij − 1 k 2 2 . ( (. +∆t. (H. t ijk. + H tij −1k ) ∆tτ ij. vento. ρ ∆z ijk. +∆t ∑ k =bottom surface. ) ). ( 2∆x ij ). f v*ijk ∆t surface t t t + v ijk ( H ijk + H i −1 jk ) ∑ 2∆x ij 2∆y ij k =bottom . (. ). 21. ( 2∆x ij ) .
(25) t −∆t ∑ k =bottom u tij +1k ( H tij +1k + H ijk ) 2∆x ij surface. (. ). (. ). (. ). (. ). t H ij +1k u tij + 3 k + u ijt + 3 k u tij +1k − H tijk u ijt + 1 k + u ijt + 1 k u tij +1k 2 2 2 2 + ∆x ij + 1 2 k ∆t ( 2∆xij ) t t t t t t t Ht ij +1k u ij + 3 k − u ij + 3 k u ij + 2 k − H ijk u ij + 1 k − u ij + 1 k u ij +1k 2 2 2 2 x ∆ ij + 1 k 2 t t t t t t t t H i + 1 2 j + 1 2 k v i + 1 2 j + 1 2 k + v i + 1 2 j + 1 2 k u ij +1k − H i − 1 2 j + 1 2 k v i − 1 2 j + 1 2 k + v i − 1 2 j + 1 2 k u i −1 j +1k + ∆y ij + 1 k surface 2 +∆t ∑ k =bottom + ∆t t t t t t t t t H i + 1 j + 1 k v i + 1 j + 1 k − v i + 1 j + 1 k u i +1 j +1k − H i − 1 j + 1 k v i − 1 j + 1 k − v i − 1 j + 1 k u ij +1k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y ij + 1 k 2 t− 1 t− 1 t − 12 + t − 12 t t 2 2 wij + 1 2 k +1 wij + 12 k +1 u ij +1k − wij + 1 2 k + wij + 1 2 k u ij +1k −1 + t 2 H ij + 1 k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ij +1k H ijk ) t − 1 1 1 t− 1 t − t − wij + 12 k +1 − wij + 12 k +1 u tij +1k +1 − wij + 12 k − wij + 12 k u ijt +1k 2 2 2 2 t 2 H ij + 1 k 2 . (. ). (. ). (. ). (. (. ). (. ). (. ). ). (. ). k = surflayer t ρ ij +1k − ρ ijk ( H tij +1k + H ijk )2 ∑ surface t t k = i +∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H ij +1k + H ijk ) ( 2∆xij ) ρ ij +1k + ρ ijk 2 ∆x ij + 12 k νx surface ν x t t t t t t −∆t ∑ k =bottom ( H ij +1k + H ijk ) ∆t 2 ( u ij + 2 k − u ij +1k ) − 2 ( u ij +1k − u ijk ) ( 2∆x ij ) ∆x ijk ∆x ij +1k surface t −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H ijk ) ∆t ∆y 2ν y ( u ti +1 j +1k − u tij +1k ) − ∆y 2ν y ( u ijt +1k − u it −1 j +1k ) i − 1 j +1k 2 i + 1 2 j +1k . ( (. −∆t. (H. t ij +1k. t + H ijk ) ∆tτ. ( 2∆x ij ) . ) ). . ( 2∆x ij ) . vento. ( 2∆x ij ). j. ρ ∆z ij +1k. FlowInputijk − FlowOutputijk ∆x ijk ∆y ijk f v*ij +1k surface ∆t surface t −∆t ∑ k =bottom − ∑ v ( H tij +1k + H ijkt ) 2∆x ij 2∆y ij +1k k =bottom ij + 1k +∆t. surface. ∑. k =bottom. (. ). (31) Equation 32 is obtained by inserting equation 29 into equation 31. . ξ ij − ξ ij − 1. . ∆x ij − 1 2. ξ ij 2 + ∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) t+ 1. surface. t+ 1. ξ −ξ surface −∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ij + 1 ij ∆x ij + 1 2 t+ 1. (. ). +∆t ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. (. ). 2. t+ 1. 2. t+ 1. 2. 2. . ( 2∆xij ) . . . ( 2∆x ij ) . . 1 1 ξ ijt + 2 − ξ ijt+ −2 1 − g ∆t + Other _ terms ∆x ij − 1 k 2 ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t ( H ijk + H ij −1k ) . −∆t ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. (. ). 1 1 ξ t+ 2 − ξ t+ 2 − g ∆t ij + 1 ij + Other _ terms ∆x ij + 1 k 2 ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t ( H ij +1k + H ijk ) . (. = see _ above. 22. ). ( 2∆x ij ). ( 2∆xij ) (32).
(26) The next step is to simplify the left side of 32 and moving back to its right side all terms that do not have terms in t+1, obtaining 33. t+ ξ ij −2 1 g ∆t 2 surface t t + ( H ijk H ij −1k ) 1 ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij − 2 1. −. ξ ijt + −2 1 ∆x ij − 1 k 2 1. (. ). + g ∆t 3 Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. 2∆x ij. ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t + ( H ijk H ij −1k ) . (. ). t+ t+ ξ ij 2 ξ ij 2 g ∆t 2 surface t g ∆t 2 surface t t t + + + ( ) ( ) H H H H ijk ij − 1 k ij + 1 k ijk ∑ ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij − 1 2 2∆x ij k =bottom ∆x ij + 12 1. t+ 1. +ξ ij. 2. +. 1. ξ ijt + 2 ∆x ij − 1 k 2 1. (. ). (. ). − g ∆t 3 Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. − g ∆t 3 Cf ij +1k + Cf ijk. ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t + ( H ijk H ij −1k ) t+ 1 2 ξ ij ∆x ij + 1 k 2 t u ij +1k ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t ( H ij +1k + H ijk ). (. ( 2∆xij ). ). (. ). . ( 2∆xij ). t+ ξ ij +2 1 g ∆t 2 surface t t − + ( ) H H ij + 1 k ijk ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij + 1 2 1. ξ ijt+ +2 1 ∆x ij + 1 k 2 1. (. ). + g ∆t 3 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t ( H ij +1k + H ijk ) . (. ). . ( 2∆x ij ). = see _ above. (. ). (. ). [Other _ terms ] ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t ( H ijk + H ij −1k ) [Other _ terms ] t u ij +1k ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t + ( ) H H ij + 1 k ijk . −∆t 2 Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. + ∆t 2 Cf ij +1k + Cf ijk. (. ( 2∆xij ). ). (. ). . ( 2∆x ij ). (33). Equation 34 is the complete version of 33 and it corresponds to the continuity equation for “normal” cell columns. Equations 35 and 36 are modified versions of 34 for upstream and the downstream boundaries, respectively.. 23.
(27) t+ ξ ij −2 1 g ∆t 2 surface t t − + ( ) H H − 1 ijk ij k ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij − 1 2 1. ξ ijt + −2 1 ∆x ij − 1 k 2 1. (. ). + g ∆t 3 Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. (. ). t+ ξ ij 2 g ∆t 2 surface t t ( H ijk + H ij −1k ) + + ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij − 1 2 1. t+ 1. +ξ ij. 2. 2∆x ij. ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t ( H ijk + H ij −1k ) . t+ ξ ij 2 g ∆t 2 surface t t ( H ij +1k + H ijk ) ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij + 12 1. ξ ijt + 2 ∆x ij − 1 k 2 1. (. ). − g ∆t 3 Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. ( 2∆xij ). ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t ( H ijk + H ij −1k ) . (. ). ξ ijt+ 2 ∆x ij + 1 k 2 1. (. ). − g ∆t 3 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t + ( ) H H + 1 ij k ijk . (. ). . ( 2∆xij ). t+ ξ ij +2 1 g ∆t 2 surface t t − ( H ij +1k + H ijk ) 1 ∑ 2∆x ij k =bottom ∆x ij + 2 1. ξ ijt+ +2 1 1 ∆x ij + 2 k 1. (. ). + g ∆t 3 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t + ( ) H H + 1 k ijk ij . (. ). 24. . ( 2∆x ij ) =.
(28) = ξ ijt + ∆t ∑ k =bottom u tijk ( H tijk + H ijt −1k ) 2∆x ij surface. (. ). (. ). (. ). t − H tij −1k u ijt − 1 k + u ijt − 1 k u ijt −1k H tijk u ijt + 1 k + u ijt + 1 k u ijk 2 2 2 2 + ∆x ij − 1 2 k ∆t ( 2∆x ij ) t t t t t t t t − − − H ijk u ij + 1 2 k u ij + 1 2 k u ij +1k H ij −1k u ij − 1 2 k u ij − 1 2 k u ijk ∆x ij − 1 2 k t t t t t t t t H i + 1 2 j − 1 2 k v i + 1 2 j − 1 2 k + v i + 1 2 j − 1 2 k u ijk − H i − 1 2 j − 1 2 k v i − 1 2 j − 1 2 k + v i − 1 2 j − 1 2 k u i −1 jk + ∆y i − 1 jk surface 2 −∆t ∑ k =bottom + ∆t t t t t t t t t H i + 1 j − 1 k v i + 1 j − 1 k − v i + 1 j − 1 k u i +1 jk − H i − 1 j − 1 k v i − 1 j − 1 k − v i − 1 j − 1 k u ijk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y ∆ 1 i − jk 2 1 1 1 1 t− t− t− t− 2 t t 2 2 2 wij − 1 2 k +1 + wij − 1 2 k +1 u ijk − wij − 1 2 k + wij − 1 2 k u ijk −1 + t 2 H ij − 1 k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ijk H ij −1k ) t − 1 1 1 t− 1 t − t − wij − 12 k +1 − wij − 12 k +1 u tijk +1 − wij − 12 k − wij − 12 k u tijk 2 2 2 2 t H 2 1 ij k − 2 . (. ). (. ). (. (. ). ). (. (. ) (. (. ). ). (. ). k = surflayer ρ ijk − ρ ij −1k ( H tijk + H tij −1k ) 2 ∑ surface −∆tg ∆t ∑ k = kbottom ( H tijk + H ijt −1k ) k =i ρ ijk + ρ ij −1k 2 ∆x ij − 12 k . ( (. ). ) ). surface t +∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H tij −1k ) ∆t ν x2 ( u tij +1k − u ijk ) − ν2x ( u ijkt − u ijt −1k ) ∆x ij −1k ∆x ijk . ( 2∆x ij ) . surface ν ν t t +∆t ∑ k =bottom ( H tijk + H ijt −1k ) ∆t 2 y ( u ti +1 jk − u ijk − 2 y ( u ijk − u it −1 jk ) ) ∆y ∆y i − 1 jk i + 1 2 jk 2 +∆t. (H. t ijk. + H tij −1k ) ∆tτ ij. vento. ρ ∆z ijk. +∆t ∑ k =bottom surface. (. ( 2∆x ij ). f v*ijk ∆t surface t + ∑ v ( H tijk + H ti −1 jk ) 4∆x ij 2∆y ij k =bottom ijk . (. ). − ∆t 2 Cf ijk + Cf ij −1k u tijk. ). [Other _ terms ] ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u tijk 1 + t t ( H ijk + H ij −1k ) . (. ). 25. . ( 2∆x ij ). ( 2∆x ij ). . . ( 2∆x ij ) . ( 2∆x ij ) .
(29) t −∆t ∑ k =bottom u tij +1k ( H tij +1k + H ijk ) 2∆x ij surface. (. ). (. ). (. ). (. ). H tij +1k u tij + 3 k + u tij + 3 k u tij +1k − H tijk u tij + 1 k + u tij + 1 k u tij +1k 2 2 2 2 + ∆x ij + 1 2 k ∆t ( 2∆x ij ) t t t t t t t Ht − − − ij +1k u ij + 3 2 k u ij + 3 2 k u ij + 2 k H ijk u ij + 12 k u ij + 12 k u ij +1k ∆x ij + 1 2 k t t t t t t t t H i + 12 j + 1 2 k v i + 1 2 j + 12 k + v i + 12 j + 12 k u ij +1k − H i − 12 j + 12 k v i − 12 j + 12 k + v i − 12 j + 12 k u i −1 j +1k + ∆y ij + 1 k surface 2 +∆t ∑ k =bottom + ∆t t t t t t t t t − − − v v u v v u H H i + 1 j + 1 k ij + 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i+ j+ k i+ j+ k i+ j+ k i− j+ k i− j+ k i− j + k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆y ij + 1 k 2 1 1 1 1 t− t− t− t− 2 t t 2 2 2 wij + 12 k +1 + wij + 12 k +1 u ij +1k − wij + 1 2 k + wij + 1 2 k u ij +1k −1 + t 2 H ij + 1 k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ij +1k H ijk ) t − 1 t− 1 t− 1 t− 1 t t 2 2 2 2 − − − w 1 wij + 1 k +1 u ij +1k +1 wij + 1 k wij + 1 k u ij +1k 2 2 2 ij + 2 k +1 t 2 H 1 ij + k 2 . (. ). (. ). (. (. (. ). (. ). (. ). ). (. ). k = surflayer t ρ ij +1k − ρ ijk ( H tij +1k + H ijk )2 ∑ surface t k =i +∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H ijk ) ρ ij +1k + ρ ijk 2 ∆x ij + 1 2 k . ( (. ). ) ). ( 2∆x ij ) . surface t −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H ijk ) ∆t ν2x ( u tij +2k − u tij +1k ) − ν x2 ( u tij +1k − u tijk ) ( 2∆x ij ) ∆x ijk ∆x ij +1k ν surface νy t t t t t −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H ijk ∆t 2 y ( ( ) u i +1 j +1k − u ij +1k ) − 2 u ij +1k − u i −1 j +1k ) ∆y i + 1 j +1k ∆y i − 1 j +1k 2 2 −∆t. (H. t ij +1k. +H. t ijk. ) ∆tτ. vento j. ρ ∆z ij +1k. ( 2∆x ij ). FlowInputijk − FlowOutputijk ∆x ijk ∆y ijk k =bottom * surface f v ij +1k surface ∆t −∆t ∑ k =bottom − ∑ v t ( H tij +1k + H ijkt ) 2∆x ij 2∆y ij +1k k =bottom ij + 1k +∆t. surface. ∑. (. (. ). + ∆t 2 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ). [Other _ terms ] ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t ( H ij +1k + H ijk ) . (. ). (34). 26. . ( 2∆x ij ). . ( 2∆x ij ) . ( 2∆x ij ) .
(30) At the upstream boundary:. t+ 2 surface ξ ij 2 g ∆ t t t 2+ ( H ij +1k + H ijk ) ∑ 2∆x ij k =bottom ∆ x ij + 1 2 1. t+ 1. +ξ ij. ξ ijt + 2 ∆x ij + 1 k 2 1. (. ). − g ∆t 3 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t ( H ij +1k + H ijk ). (. ). . ( 2∆x ij ). t+ ξ ij +2 1 g ∆t 2 surface t t ( H ij +1k + H ijk ) − ∑ 2∆x ij k =bottom 1 ∆ x ij + 2 1. ξ t+ 2 ij + 1 1 ∆x ij + 2 k 1. (. ). + g ∆t 3 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t + ( H ij +1k H ijk ). (. 27. ). . ( 2∆x ij ) =.
(31) u t +1 H t ∆y iriverk ij iriverk k = bottom 2∆x ijk ∆y ij + 1 k 2 t surface t surface u H ij ∆y iriverk +∆t ∑ iriverk − ∆t ∑ k =bottom u ijt +1k ( H tij +1k + H tijk ) ( 2∆x ij ) k = bottom 2∆x ijk ∆y ij + 1 k 2 . ξ ijt + ∆t. surface. ∑. (. ). (. ). (. ). (. ). t t H ij +1k u tij + 3 k + u ijt + 3 k u tij +1k − H tijk u ijt + 1 k + u ijt + 1 k u ijk 2 2 2 2 + ∆x ij + 12 k ∆t ( 2∆xij ) t t t t t t t Ht ij +1k u ij + 3 k − u ij + 3 k u ij + 2 k − H ijk u ij + 1 k − u ij + 1 k u ij +1k 2 2 2 2 ∆ x ij + 1 k 2 t t t t t t t t H i + 12 j + 12 k v i + 12 j + 12 k + v i + 1 2 j + 1 2 k u ij +1k − H i − 1 2 j + 1 2 k v i − 12 j + 12 k + v i − 1 2 j + 1 2 k u i −1 j +1k + ∆y ij + 1 k surface 2 +∆t ∑ k =bottom + ∆t t t t t t t t t H i + 1 j + 1 1k v i + 1 j + 1 k − v i + 1 j + 1 k u i +1 j +1k − H i − 1 j + 1 k v i − 1 j + 1 k − v i − 1 j + 1 k u ij +1k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆ y 1 k ij + 2 1 1 1 1 t − t − t − t − t t 2 2 2 2 wij + 1 2 k +1 + wij + 1 2 k +1 u ij +1k − wij + 1 2 k + wij + 1 2 k u ij +1k −1 + t 2 H ij + 1 1k 2 + ∆t t + t ( 2∆x ij ) ( H ij +1k H ijk ) t − 1 1 1 1 wij + 12 k +1 − wijt −+ 12 k +1 u tij +1k +1 − wijt −+ 12 k − wijt −+ 12 k u tij +1k 2 2 2 2 t 2 H 1 1 ij k + 2 . (. ). (. ). (. (. (. ). (. ). (. ). ). (. ). k = surflayer ρ ij +1k − ρ ijk ( H tij +1k + H tijk ) 2 ∑ surface t t k i = +∆tg ∆t ∑ k =bottom ( H ij +1k + H ijk ) ρ ij +1k + ρ ijk 2 ∆x ij + 12 k . ( (. ). ) ). ( 2∆x ij ) . surface −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ∆t ν2x ( u tij + 2 k − u ijt +1k ) − ν x2 ( u ijt +1k − u tijk ) ∆x ijk ∆x ij +1k . . ( 2∆x ij ) . ν surface νy t t t t −∆t ∑ k =bottom ( H tij +1k + H tijk ) ∆t 2 y ( ( u i +1 j +1k − u ij +1k ) − 2 u ij +1k − u i −1 j +1k ) ∆y ∆y i − 1 j +1k i + 12 j +1k 2 −∆t. (H. t ij +1k. + H tijk ) ∆tτ. vento j. ρ ∆z ij +1k. ( 2∆x ij ). FlowInput − FlowOutput ijk ijk ∆ x k = bottom ijk ∆y ij + 1 k 2 * surface fv surface ∆t −∆t ∑ k =bottom ij +1k − ∑ v t ( H tij +1k + H tijk ) 2∆x ij 2∆y ij +1k k =bottom ij + 1k . +∆t. surface. ∑. (. (. ). + ∆t 2 Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k. ). [Other _ terms ] ∆t Cf ij +1k + Cf ijk u tij +1k 1 + t t ( H ij +1k + H ijk ). (. ). (35). 28. . ( 2∆x ij ). . ( 2∆xij ). . ( 2∆x ij ) .
(32) At the downstream boundary. t+ ξ ij −2 1 g ∆t 2 surface t t ( H ijk + H ij −1k ) − ∑ 2∆x ij k =bottom 1 ∆x ij − 2 1. ξ ijt + −2 1 ∆x ij − 1 k 2 1. (. ). (. ). t + g ∆t 3 Cf ijk + Cf ij −1k u ijk. ∆t t + Cf Cf 1 + u ijk ijk ij −1k t t ( H ijk + H ij −1k ) t+ 1 2 surface ξ ij 2 g t+ 1 ∆ t t t ( H ijk + H ij −1k ) +ξ ij 2 + ∑ 2∆x ij k =bottom 1 ∆ x ij − 2 1 ξ t+ 2 ij ∆x ij − 1 k 2 t 3 − g ∆t Cf ijk + Cf ij −1k u ijk ∆t t 1 + + Cf Cf ijk ij −1k u ijk t t ( H ijk + H ij −1k ) =. (. (. 29. ). ). 2∆x ij. ( 2∆x ij ).
Imagem
Documentos relacionados