2- As 1 as QFG são obtidas por derivação das equações paramétricas de uma superfície, em relação às suas curvas paramétricas.

Primeiras Quantidades Fundamentais de Gauss ( e , f, g

)

A expressão para o arco infinitesimal para

uma

superfície qualquer

resulta, expresso com as 1

QFG, em:

(1)

=

+

+

=

+

+

=

+

+

1- As primeiras quantidades fundamentais de Gauss (1as _{QFG) explicam a}

métrica de uma superfície.

2- As 1as_{QFG são obtidas por derivação das equações paramétricas de uma}

superfície, em relação às suas curvas paramétricas.

3- Para qualquer superfície há duas curvas paramétricas, por exemplo ( u,v) ou ( ϕ, λ ), ou outro par de variáveis que proporcionem o posicionamento de pontos numa superfície. Mas em projeções cartográficas as curvas serão dadas por valores de latitude e longitude.

4- Se uma superfície for tridimensional então terá três equações paramétricas, e se a superfície for bi-dimensional terá duas equações paramétricas.

=

+ 2

+

1

(1)

N

_{N ( 1- e}

₎

=

Y =

Z =

N ( 1- e

₎

A superfície denominadaelipsoide também já foi abordada nesta disciplina de projeções cartográficas. Umelipsoide tem como curvas paramétricas as linhas de latitudee as linhas de longitude. O valor de latitude (ϕ) é válido ao longo de todo o paralelo, e o valor de longitude (λ) é válido ao longo de todo o meridiano.

Desse modo, a posição de um ponto é individualizada por um par de valores (ϕ,λ), dados por números reais.

A determinação da expressão do arco infinitesimal para o elipsoide requer que sejam obtidas as derivadas das suas equações paramétricas em relação às suas curvas paramétricas. Isso quer dizer determinar o conjunto de derivadas parciais:

Para a superfície do elipsoide as coordenadas cartesianas tridimensionais foram convencionadas, aqui, por (X, Y, Z), e as curvas paramétricas convencionadas por u = ϕ e v = λ.

Assim, as derivadas procuradas são:

, , , , e .

ϕ

!

ϕ

"

ϕ

λ

!

λ

"

λ

2

(5)

1- As derivadas parciais das equações paramétricasdo elipsoide em relação às suas curvas paramétricasresultam em expressões mais trabalhosas do que para o caso da esfera. A razão para isso é que o raio de curvatura para o elipsoide é dependente da latitude, além disso, para um dado ponto, há infinitos valores de raio de curvatura que dependem da direção da linha em questão.

Existem dois raios de curvatura que são os mais importants, são eles: a) o raio de caurvatura da seção meridiana, identificado pela letra M; e

b) O raio de curvatura da seção normal ao meridiano, indentificado pela letra N.

Além disso, para saber o raio e curvatura, em um ponto, para uma direção particular cujo azimute é conhecido, usa-se oTeorema de

Euler, que relaciona os raios M e N com o azimute da direção.

2- As 1as _{QFG para o elipsoide resultam:}

e =

#

f =

%

g =

&'(

)

As quantidades M e N têm suas expressões repetidas aqui pois são úteis na comparação da complexidade da superfície do elipsoide com a superfície da esfera.

Um elipsoide, do ponto de vista geométrico, é definido por um valor de semi-eixo maior (a) e por um valor de achatamento (α). A partir deste par de valores se pode obter, por cálculo outras grandezas do elipsoide.

3

(7)

* = + −

+ -=

+ − *

+

=

+

1 −

1 =

+ ( 1 −

₎

1 −

= 1 φ +

φ λ

Assim, a expressão do arco infinitesimal para a superfície do elipsoide é dada por:

a

b

N

Neste elipsoide estão representados: 1- Os pontos A, B, C e D

2- O ângulo latitude ϕ de A e de D 3- O valor da longitude λ de A e de B 4- As grandezas dϕe dλ (vermelho)

5- O arco infinitesimal ds que liga os pontos A e C (não escrito)

6- Os semi-eixos a e b do elipsoide, o seu centro

O, e o raio de curvatura da seção normal Npara o ponto A

Arco infinitesimal representado na

superfície do elipsoide

λ

λ

λ

λ

O arco infinitesimal ds é obtido por adição de ( dϕ, dλ) à posição

A ( ϕ,

λ

Esta figura presente no elipsoide pode ser mostrada no plano como:

Nesta figura há tanto grandezas

angulares quanto grandezas lineares. A quantidade ds é linear, e é a hipote-nusa de um trângulo infinitesimal, e como tal, relaciona-se a dois catetos infinitesimais que podem ser expressos como as distâncias AD=BC e AB=DC.

= 67 + 78

Fica evidente, então, a relação:

(10)

A questão é: como se obtém os com-primentos AB e BC a partir das gran-dezas angulares ϕ, dϕe dλ.

A distância AB é dada pelo compri-mento de um arco de meridiano, e a distância BC é dada pelo comprimen-to de um arco de paralelo, AMBOS COMPRIMENTOS INFINITESIMAIS.

67 = 1 φ

78 =

cos φ λ

4

5

1- Para o contexto de Projeções Cartográticas, ao se tratar da superfície da esfera ou da superfície do elipsoide, deve tornar-se um hábito escrever:

Esfera ( R, e = R2_{, f = 0, g = R}2_cos2_ϕ)

Elipsoide ( a, α,e = M2_{, f = 0, g = N}2_cos2 _ϕ)

2- Para toda e qualquer superfície da qual se conheçam suas equações paramétricas e curvas paramétricas é possível determinar as correspondentes Primeiras Quantidades Fundamentais de Gauss.

3- Assim, para a projeção cartográfica 1 - (SP₁) há um conjunto { E₁, F₁, G₁}, para a projeção carográfica 2 - (SP₂) há um conjunto {E₁, F₂, G₂}, e assim é para qualquer projeção cartográfica.

4- Por convenção, são usadas as letras maiúsculas para diferenciar as Primeiras Quantidades Fundamentais de Gauss das projeções cartográficas (SP) daquelas das superfícies de referência (SR)

.

3- O seguinte par de funções determina uma projeção cartográfica, e como tal admite 1as_{QFG, e portanto permite escrever a}

expressão do arco infinitesimal nesta superfície.

X = R sen ϕ

Y = R

_∆

λ,

com

_∆

λ = λ - λ

A determinação das 1as_{QFG requer a derivação das equações paramétricas em relação às curvas paramétricas:}

< ϕ = = &'( ϕ < λ = % > λ = = > ϕ= %

? =

+

=

R

A substituição das derivadas parcias nas

expressões das 1as_{QFG, conduz a:} A exprssão para o arco inifinitesimal nesta

superfície é dado, então, por:

J = 5

+ 5

Ao se aceitar que numa dada superfície, por exemplo uma SR, um par de pontos P₁, P₂está afastado entre si de uma distância

ds, pode-ser dizer que se estes mesmos pontos forem representados numa outra superfície, por exemplo uma SP,

apresentarão entre si uma distância dS.

λ

ϕ + dϕ

λ + dλ

ϕ

ds

SR

P

P

P’

P’

dS

Y

X

X

X

+ dX

Y

+ dY

Y

ϕ

ϕ + dϕ

λ

λ + dλ

SP

Na primeira figura se vê a posição de dois pontos P₁e P₂ afasta-dos entre si de dϕ e dλ na SR, e seu correspondente arco ds. A determinação dos valores (X₁, Y₁) e (X₁+ dX, Y₁+ dY ) se faz por

meio das equações paramétricas da projeção cartográfica, ou simplesmente, pela projeção cartográfica.

Enquanto paralelos e meridianos na primeira figura (aparecem em azul) têm aparência regular, na segunda figura (aparecem em vermelho) têm aparência não regular. Isto se caracteriza como uma manifestação da distorção.

Como o afastamento

ds

SR

dS

SP

ds

dS

São eles: a)

dS

=

ds

;

b)

dS

>

ds

; e

c)

dS

<

ds

.

X = f1( ϕ, λ )

Y = f2( ϕ, λ )

O que se pode dizer acerca

destas relações em termos

de distorção?

Para cada superfície se pode escrever uma expressão de arco infinitesimal. Para uma SR qualquer a expressão é:

= φ + λ

Para uma SP qualquer a expressão, já aplicada a convenção para as 1as_{QFG, é:}

J

= ? φ + 2 G φ λ + E λ

8

A relação entre estes comprimentos infinitesimais torna adequado estabelecer a relação:

J

Desta relação surge, obrigatoriamente, um número positivo, adimensional e diferente de zero.

Da leitura das relações dse dS, então, chega-se a:

J

> 1

J

= 1

b)

c)

J

< 1

a)

A grandeza reasultante destas três relações se denomina distorção de escala, e tem o símbolo (m). A distorção de escala (m) pode assumir valor 1, maoir do que 1 e menor do que 1, apenas. Não pode ser zero ou negativa, pois tem origem em um quociente de dois valores elevados ao quadrado.

M =

NO