Usando a calculadora gráfica – 12º ANO
Trigonometria
1. Considere a função g(x)= sen(x) +cos(x)
Utilizando as capacidades da calculadora gráfica, responda às questões que a seguir se colocam. Explique, sucintamente, como procedeu para responder a cada uma delas. Nessa explicação, pode usar alguns gráficos, coordenadas relevantes, etc. Se proceder a arredondamentos, utilize 3 ou mais casas decimais.
¾ h(x)=0, tem uma infinidade de soluções?
¾ Quais os extremos da função h, entre [-π,π]? Indique as coordenadas desses pontos.
¾ Qual o contradomínio da função?
¾ Considere a função: h(x)=a.sen(b.x) +c.cos(d.x), com a,b,c,d ∈ IR+.
o Supondo b=d=1, qual a alteração provocada pelo parâmetro a no gráfico?
E pelo c?
o Considerando b=d=1, determine a e c, de modo que h tenha por
contradomínio o intervalo [-2, 2], (ou o mais próximo deste intervalo). o Agora suponha a=c=1, qual a alteração provocada pelo parâmetro b no
gráfico? E pelo d?
Pode-se explorar um pouco mais esta actividade. Por exemplo, considerar os parâmetros negativos ou uns negativos e outros positivos.
Usando a calculadora gráfica – 12º ANO
Trigonometria – sugestões.
Algumas sugestões para acompanhar o trabalho dos alunos.
O gráfico de referência, em algumas das imagens, encontra-se a tracejado. ¾ h(x)=0, tem uma infinidade de soluções?
É óbvio que a função é periódica de período 2π e intersecta o eixo das abcissas em mais do que um ponto.
Utilizou-se π/4 como escala no eixo das abcissas.
Recorrendo à análise gráfica depreende-se facilmente que existe uma infinidade de soluções para a equação: π kπ π 2kπ
4 5 2 4 3 + ∧ + , k ∈ Z
¾ Quais os extremos da função h, entre [-π,π]? Indique as coordenadas desses pontos.
Podemos observar que os extremos da função no intervalo [-π, π], ocorrem em 5 pontos e foram calculados recorrendo à determinação dos extremos através da calculadora.
Rapidamente se identifica 1.4142136 com 2 .
Como se observa e atendendo à escala que foi utilizada no eixo das abcissas, podemos dizer que para:
Mínimo -1, as coordenadas dos pontos são (-π, -1) e (π, -1); Mínimo 1, as coordenadas do ponto é (0, 1);
Máximo 2 , as coordenadas dos pontos são (-π/4, 2 ) e (π/4, 2 ).
¾ Qual o contradomínio da função?
Atendendo aos extremos já determinados e à periodicidade da função, podemos concluir que o contradomínio da função é [-1, 2 ].
¾ Considere a função: h(x)=a.sen(b.x) +c.cos(d.x), com a,b,c,d ∈ IR+.
o Supondo b=d=1, qual a alteração provocada pelo parâmetro a no gráfico? E
pelo c?
Analisando os valores isoladamente.
Fixemos c (por exemplo c = 1) e analisemos as alterações no parâmetro a (a=2, a=1.5,
a=0.5, a=0.2,,)
Para a > 1, o gráfico expande-se para cima no sentido positivo do eixo vertical, mantendo os mínimos.
Os mínimos não se alteram, aumentando os valores máximos. Para a < 1, o gráfico retrai-se (encolhe) no sentido vertical.
Os valores mínimos não se alteram, diminuindo os valores máximos.
Fixemos agora a (por exemplo, a = 1) e analisemos as alterações no parâmetro c (c = 2,
c = 0.5).
Para c > 1, o gráfico expande-se (estica) no sentido vertical. Para c < 1, o gráfico retrai-se (encolhe) no sentido vertical.
Relacionando a com b.
Se ambos os parâmetros forem maiores que 1, o gráfico expande-se, na vertical.
Se ambos os parâmetros forem menores que 1, o gráfico contrai-se, na vertical.
Se a< 1 e c > 1 o gráfico expande-se, na vertical.
Se a> 1 e c < 1 o gráfico expande-se e desloca-se na vertical provocando uma pequena subida dos valores mínimos mas um aumento mais acentuado dos valores máximos. Conclusão:
• a > 1 (c = 1), o gráfico expande-se, na vertical. Os mínimos não se alteram, aumentando os valores máximos.
• a < 1 (c = 1), o gráfico retrai-se no sentido vertical. Os mínimos não se alteram, diminuindo os máximos.
• c > 1 (a = 1), o gráfico expande-se no sentido vertical.
• a < 1 e c < 1, o gráfico contrai-se, na vertical.
• a < 1 e c > 1 o gráfico expande-se, na vertical.
• a > 1 e c < 1 o gráfico expande-se e desloca-se, na vertical provocando uma pequena subida dos valores mínimos mas um aumento mais acentuado dos valores máximos.
o Considerando b=d=1, determine a e c, de modo que h tenha por
contradomínio o intervalo [-2, 2], ou o mais próximo deste intervalo. ) cos( . ) ( . ) (x x x h =asen +c
Após o estudo anterior verifica-se que se a for próximo de zero e c = 1, o comportamento da função h é próximo do comportamento da função co-seno. Assim, para que tenhamos o contradomínio pedido, consideremos a próximo de zero (p.e. a = 0.005) e c = 2.
o Agora suponha a=c=1, qual a alteração provocada pelo parâmetro b no
gráfico? E pelo d?
Poder-se-á proceder à exploração dos parâmetros de modo análogo, ao da questão anterior.
