UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA RESOLUÇÃO Nº 01 / 2018 RESOLVE:

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO Nº 01 / 2018

Estabelece a matriz curricular, disciplinas obrigatórias e optativas do programa com as respectivas ementas e bibliografias.

O COLEGIADO ACADÊMICO DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA, considerando os Art. 28 e Art. 29 do Regimento do PPGMAT, reunido em 10/11/2010,

RESOLVE:

Art. 1º. Que a matriz curricular do Programa é a que consta do Anexo I desta resolução.

Art. 2º. Que as disciplinas obrigatórias do programa são: Álgebra ou Álgebra Linear Numérica, Análise no Rn, Análise Complexa, Equações Diferenciais Ordinárias ou Variedades Diferenciáveis, Medida e Integração e Preparação e Redação de Dissertação.

Art. 3º. Que as disciplinas optativas do programa são: Análise Funcional, Anéis e Módulos, Equações Diferenciais Parciais, Geometria Diferencial, Geometria Riemanniana, Introdução à Geometria Algébrica, Introdução à Topologia Algébrica, Preparação e Redação da Dissertação, Probabilidade, Variedades Diferenciáveis, Equações Diferenciais Ordinárias, Álgebra, Álgebra Linear Numérica, Seminário I, Seminário II, Seminário III, Seminário IV, Tópicos de Álgebra I, Tópicos de Álgebra II,Tópicos de Análise I, Tópicos de Análise II, Tópicos de Geometria e Topologia I, Tópicos de Geometria e Topologia II, Tópicos de Processos Estocásticos I, Tópicos de Processos Estocásticos II, Tópicos em Matemática Aplicada I e Tópicos em Matemática Aplicada II.

Art. 4º. Que as ementas e bibliografias das disciplinas do programa são as que constam do Anexo II desta resolução.

Art.5º. O número mínimo de créditos que o aluno deverá obter em disciplinas ou outras atividades acadêmicas para conclusão do Mestrado é 32 (trinta e dois).

(2)

ANEXO I - Matriz Curricular

1º ano 2º ano

Verão Escola de Verão

1º semestre Análise no Rn Medida e Integração

Álgebra OU Álgebra Linear Numérica Optativa 2º semestre

Análise Complexa Dissertação

Seminário ou Optativa Equações Diferenciais Ordinárias OU

Variedades Diferenciáveis

ANEXO II - Ementas e bibliografias das disciplinas

Código da Disciplina PMAT 1001 Nome da Disciplina Álgebra Carga Horária Total 60

Ementa Grupos. Grupos de permutações. Teoremas de Sylow. Teorema de Jordan- Hölder. Grupos solúveis. Corpo de fatoração e grupo. Teorema fundamental da teoria de Galois. Solubilidade por radicais.

Créditos 4.0

Bibliografia Artin, M., Algebra, Prentice-Hall, 1991;

Endler, O., Teoria dos Corpos, Monografias de Matemática do IMPA, no 44, 1987; Garcia, A. e Lequain, Y., Álgebra: Um Curso de Introdução, IMPA, Projeto

Euclides, 1988;

Jacobson, N., Lectures in Abstract Álgebra, Vol. I, Van Nostrand, 1951; Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1965;

Van der Waerden, B.L., Álgebra Moderna. Vol 1, Soc. Portuguesa de Matemática, 1948

Código da Disciplina PMAT 1032

Nome da Disciplina Álgebra Linear Numérica Carga Horária Total 60

Ementa Álgebra matricial – erro, estabilidade e condicionamento. Sistema lineares – métodos diretos (Eliminação de Gauss, LU, QR e Cholesky) e iterativos (Jacobi, GS, GMRES e MINRES). Aplicações: equações de diferenças; cadeias de Markov (page rank; beisebol). Autovalores e Autovetores – métodos de potência, Lanczos, Arnoldi e Francis (QR), PCA. Aplicações: sistema dinâmicos; equações diferenciais. Ortogonalidade – decomposição QR; mínimos quadrados. Aplicações: modelagem geométrica (ajuste de curvas). Diagonalização de matrizes simétricas (Teor Espectral) – SVD. Aplicações: processamento de imagens. Matrizes Esparsas – estrutura de dados, espaço de Krylov. Aplicações: grafos e matrizes.

Créditos 4.0

Bibliografia Quarteroni, A.; Saleri, F.; Scientific Computing with MATLAB and Octave, Springer, 2006.

(3)

Golub, G.H.; Van Loan, C.F.; Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, 1996 (3rd. ed.).

Wendland, H.; Numerical Linear Algebra – An Introduction; Cambridge University Press, 2018.

Demmel, J.W.; Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997. Leader, Jeffery J.; Numerical Analysis and Scientific Computation; Addison Wesley, 2004.

LAX, P.; Linear Algebra and its applications; John Wiley, 1997. Código da Disciplina PMAT 1002

Nome da Disciplina Anéis e Módulos Carga Horária Total 60

Ementa Módulos sobre anéis associativos. Sequências exatas. Soma e produto direto. Módulos livres. Módulos de torção. Módulos finitamente gerados sobre domínios principais. Estrutura de módulos projetivos e injetivos. Sequências de composição. Comprimento de módulos. Módulos indecomponíveis. Teorema de Krull-Schmidt. Anéis e módulos semi-simples. Teorema de Wedderburn. Lema de Schur. Anéis artinianos e noetherianos. Álgebras de Artin. Radical de anéis e módulos. Exemplos de álgebras e módulos.

Créditos 4.0

Bibliografia Millies, F.C.P., Anéis e Módulos, Publicações do IME-USP, 1972; Jacobson, N., Basic Algebra, Vol. II, W.H. Freeman & Cia, 1980;

Auslander, M., Reiten, I. e Smalo, S.O., Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36, 1995;

Lang, S., Estruturas Algébricas, Ao Livro Técnico S.A., 1972 Código da Disciplina PMAT 1008

Nome da Disciplina Análise Complexa Carga Horária Total 60

Ementa Sequências e séries de funções: convergência uniforme, séries de potências. Funções analíticas: séries de potências, fórmula integral de Cauchy, séries de Taylor e de Laurent. Singularidades. Teorema de resíduos e aplicações.

Créditos 4.0

Bibliografia Ahlfors, L., Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966;

Cartan, H., Théorie Élementaire des Fonctions Analytiques d'une ou Plusieurs Variables Complexes, Hermann, 1961;

Conway, J.B., Functions of One Comnplex Variable, Springer-Verlag, 1978. Código da Disciplina PMAT 1012

Nome da Disciplina Análise Funcional Carga Horária Total 60

Ementa Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.

Créditos 4.0

Bibliografia Bachman, G. Narici, L. Functional Analysis. New York, Academic Press, 1966; Botelho, G., Pellegrino, D., Teixeira, E., Fundamentos de Análise Funcional, SBM, 2015;

Brezis, H., Analyse Fonctionelle: Théorie et Aplications, Masson, 1987;

Reed, M. e Simon, B, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Academic Press, 1972;

(4)

Código da Disciplina PMAT 1007 Nome da Disciplina Análise no Rn Carga Horária Total 60

Ementa Caminhos no espaço euclidiano. Funções reais de n variáveis; derivadas parciais e direcionais; Teorema de Schwarz; Fórmula de Taylor; Teorema da função implícita; Multiplicador de Lagrange; Aplicações diferenciáveis: diferenciabilidade de uma aplicação; a regra da cadeia; a fórmula de Taylor; a desigualdade do valor médio; O teorema da aplicação inversa; aforma local das imersões e das submersões; o teorema do posto. Integrais múltipla; mudança de variáveis.

Créditos 4.0

Bibliografia Cipolatti, R., Cálculo Avançado, SBM.

Lima, E.L., Curso de Análise, vol II, IMPA, Projeto Euclides, 1989; Lima, E.L., Análise no Espaço Rn, IMPA 2007;

MUNKRES, J. R., Analysis on manifolds. Addison-Wesley, Advanced Book Program, 1991.

Spivak, M., Calculus on Manifolds, Benjamin, 1965. Código da Disciplina PMAT 1009

Nome da Disciplina _{Equações Diferenciais Ordinárias} Carga Horária Total 60

Ementa Teorema de existência e unicidade. Dependência diferenciável das condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes.Classificação dos campos lineares. Forma canônica de Jordan. Equações lineares não-autônomas: solução fundamental e teorema de Liouville. Equações lineares não-homogêneas. Estabilidade e instabilidade assintótica de um ponto singular de uma equação autônoma. Funções de Liapunov. Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do teorema de linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes.Campos no plano: órbitas periódicas e o teorema de Poincaré-Bendixon. Estabilidade de órbitas periódicas.

Créditos 4.0

Bibliografia SOTOMAYOR, J. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Textos Universitários do IME – USP, 2011.

Doering I. C. e Lopes O. A. - Equações Diferenciais Ordinárias, IMPA, 2016. SCÁRDUA, B. Equações Ordinárias e Aplicações, Textos Universitário, Rio de janeiro, SBM, 2015.

HALE, J. K. - Ordinary Differential Equations, Dover Publications; Dover edition, 2009.

ARNOLD, V. - Equations Differentialles Ordinaires. Moscou, Ed. Mir, 1974. HIRSCH, M. e SMALE, S. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. New York, Academic Press, 1974.

HARTMAN, P. - Ordinary Differential Equations, Classics in Applied Mathematics, 38. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2002.

Pontryagin L.S., Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, 1969; Código da Disciplina PMAT 1010

Nome da Disciplina Equações Diferenciais Parciais Carga Horária Total 60

Ementa Equações lineares de primeira ordem. Classificação das equações de segunda ordem em duas variáveis independentes, redução à forma canônica. Problemas com condições contorno / condições iniciais; problemas bem-postos. O método de separação de variáveis e o problema de condução do calor em uma barra finita. Séries de Fourier em senos e cossenos e na forma complexa; convergência pontual e convergência uniforme; aplicações aos problemas da condução do calor em uma barra, da corda vibrante finita e de Dirichlet no retângulo e no disco unitário. Transformada de Fourier na reta e aplicações. A

(5)

equação de Laplace em RN: solução fundamental, solução da equação de Poisson, fórmulas do valor médio, propriedades de funções harmônicas, princípios do máximo, fórmula de representação de soluções usando a função de Green. Os princípios do máximo clássicos para operadores diferenciais lineares elípticos – o Princípio do Máximo Fraco, o Princípio do Máximo Forte de E. Hopf. Aplicações.

Créditos 4.0

Bibliografia Evans, L. C., Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, vol 19, American Mathematical Society, 1998;

Figueiredo, D.G., Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA, Projeto Euclides, 1977;

Folland, G.B., Introduction to Partial Differential Equations, 2ª. ed., Princeton University Press, 1995;

Gilbarg, D., Trudinger, N. S., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, New York, 1983;

Iório Jr., R.J. e Iório, V., Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução, IMPA, Projeto Euclides, 1988;

McOwen, R., Partial Differential Equations – Methods and Applications, Prentice-Hall, 1996.

PMAT 1013

Nome da Disciplina Geometria Diferencial Carga Horária Total 60

Ementa Curvas em R3. Fórmulas de Frenet. Superfícies regulares. Primeira e segunda formas quadráticas. Geodésicas. O teorema de Gauss-Bonet.

Créditos 4.0

Bibliografia DO CARMO M., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies; 6a edição, SBM, 2014;

STOKER, J. J. Differential Geometry. New York: John Wiley & Sons, 1989; O'NEILL, B. Elementary Differential Geometry. 2nd ed. Amsterdam: Academic Press, 2006;

ARAÚJO, P. V. Geometria Diferencial. Rio de Janeiro: IMPA, 2004;

GRAY, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2006;

KÜHNEL, W. Differential Geometry: curves, surfaces and manifolds. 2nd ed. Providence, RI: American Mathematical Society, 2006;

Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3, Publish or Perish, 1979;

STRUIK, D. J. Lectures on Classical Differential Geometry. 2nd ed. New York: Dover Publications, 1988;

TENENBLAT, K. Introdução à geometria diferencial. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2008;

Nome da Disciplina Geometria Riemanniana Carga Horária Total 60

Ementa Métricas Riemannianas. Conexão de Levi-Civitta. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Tensor de curvatura. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades Riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco, aplicações. Teorema de comparação de Rauch, Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge e outras aplicações. O Teorema do índice de Morse. O lugar dos pontos mínimos,

(6)

Teorema da Esfera.

Créditos 4.0

Bibliografia do Carmo, M.P., Geometria Riemanniana, IMPA, Projeto Euclides, 1979; Cheeger, J. e Ebin, D., Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland, 1975.

Nome da Disciplina _{Introdução à Geometria Algébrica} Carga Horária Total 60

Ementa Variedades Afins: Teorema dos Zeros de Hilbert. Funções polinomiais e aplicações polinomiais. Funções racionais e aplicações racionais. Variedades Projetivas: O espaço projetivo. Funções racionais e morfismos. Pontos regulares e dimensão: pontos regulares e pontos singulares. Característica algébrica da dimensão de uma variedade. Curvas cúbicas planas: curvas algébricas planas. Multiciplidade de interseção. Classificação das cúbicas planas. A estrutura de grupo de uma curva elíptica. Superfícies cúbicas: a existência de retas numa superfície cúbica não singular. A racionalidade das superfícies cúbicas. Introdução à teoria das curvas: divisores em curvas. O grau de um divisor principal. O Teorema de Bézout. Sistemas lineares em curvas. Mergulhos projetivos de curvas.

Créditos 4.0

Bibliografia Hulek, K., Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, vol. 20 , AMS, 2003;

Kunz, E., Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, 1985;

Fulton, W., Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1989.

Nome da Disciplina Introdução à Topologia Algébrica Carga Horária Total 60

Ementa Homotopia; Grupo fundamental; Espaços de recobrimento.

Créditos 4.0

Bibliografia Greenberg, M. e Harper, J. Algebraic Topology: A First Course, Addison-Wesley; Hatcher, A. Algebraic Topology, Cambridge University Press (ou online);

Lima, E. L. Grupo fundamental e espaços de recobrimento, IMPA (livro-texto); Lee, J.M. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer;

Lee, J.M. Introduction to Topological manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer;

Lima, E.L. Homologia Básica, SBM; Massey, W. S. - A basic course in algebraic topology, Springer-Verlag Spanier, E. - Algebraic Topology, Springer;

Nome da Disciplina Medida e Integração Carga Horária Total 60

Ementa Teoremas de extensão de medidas e integrais. Teoremas básicos de convergência. Medidas com sinal. Teorema de decomposição de Hahn-Jordan. Medidas absolutamente contínuas. Teorema da decomposição de Lebesgue. Teorema de Radon-Nikodym. Espaços L^p: propriedades básicas, dualidade. Espaços produto. Teorema de Fubini-Tonelli. Teorema de representação de Riesz-Markov. Convergência em medida. Relação entre diferenciação e integração: Teorema de Vitali, Teorema de Diferenciação de Lebesgue.

(7)

Bibliografia Bartle, R.G. - The elements of Integration, Willey; Fernadez, P. - Medida e Integração, IMPA;

Foland G.B – Real Analysis – Modern; Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons;

Isnard, C. - Introdução à Medida e Integração, IMPA; Royden, M. - Real Analisys, The MacMillan;

Rudin, W. - Real and Complex Analisys, Tata McGraw-Hill. Código da Disciplina PMAT 1034

Nome da Disciplina Probabilidade Carga Horária Total 60

Ementa Espaços de probabilidade. Variáveis e vetores aleatórios. Distribuições de probabilidade e funções de distribuição em Rn. Independência estocástica. Esperança de variáveis aleatórias: propriedades e desigualdades básicas, teoremas de convergência. Distribuição e esperança condicionais: teoremas de existência e regularização. Leis dos grandes números: lei fraca, lema de Borel-Cantelli, lei forte. Funções características e convergência em distribuição em Rn . Teorema de Lindeberg-Feller.

Créditos 4.0

Bibliografia CHUNG, K. L. A Course in Probability Theory,

Academic Press; 3 edition, 2000

FELLER, W. – An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. II, 2nd ed., New York, John Wiley & Sons, 1966;

GRIMMETT, G.; STIRZAKER, D. Probability and random processes. 3rd ed. - Oxford: Oxford University Press, 2001.

JAMES, B. Probabilidade: um curso em nível intermediário, 4ª edição, SBM. 2015; ROSS, S. Probabilidade: um curso moderno com aplicações. 8ª Ed. – Porto Alegre, RS: Bookman, 2010.

ROSS, S. M. Introduction to probability models. 10th ed. Amsterdam: Boston: Academic Press, 2010.

SHIRYAYEV, A. N. – Probability. New York, Springer-Verlag, 1984. Código da Disciplina PMAT 1035

Nome da Disciplina Variedades Diferenciáveis Carga Horária Total 60

Ementa Variedades Diferenciáveis: aplicações diferenciáveis, espaço tangente, campos vetoriais, orientação, variedades com bordo; Formas Diferenciáveis: integração em variedades, Teorema de Stokes; Geometria Diferencial de superfícies; Teorema de Gauss-Bonnet.

Créditos 4.0

Bibliografia do Carmo, M. Formas Diferenciais e Aplicações, SBM;

Lee, J.M. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer;

Lima, E. L. - Curso de Análise vol. 2, IMPA;

Munkres, J. R. - Analysis on Manifolds, Advanced Book Classics; Spivak, M. - O Cálculo em Variedades, Editora Ciência Moderna; Código da Disciplina PMAT 1103

Nome da Disciplina Seminário I Carga Horária Total 30

Ementa Variável.

Créditos 2.0

Bibliografia Variável. Código da Disciplina PMAT 1104

(8)

Nome da Disciplina Seminário II Carga Horária Total 30

Ementa Variável.

Créditos 2.0

Bibliografia Variável. Código da Disciplina PMAT 1036 Nome da Disciplina Seminário III Carga Horária Total 30

Ementa Variável

Créditos 2.0

Bibliografia Variável. Código da Disciplina PMAT 1037 Nome da Disciplina _{Seminário IV} Carga Horária Total 30

Ementa Variável

Créditos 2.0

Nome da Disciplina Tópicos de Álgebra I Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Álgebra II Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Análise I Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina _{Tópicos de Análise II} Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos em Matemática Aplicada I Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

(9)

Nome da Disciplina Tópicos em Matemática Aplicada II Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Geometria e Topologia I Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Geometria e Topologia II Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina _{Tópicos de Processos Estocásticos I} Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Nome da Disciplina Tópicos de Processos Estocásticos II Carga Horária Total 60

Ementa Variável

Créditos 4.0

Bibliografia Variável. Código da Disciplina PMATPDT

Nome da Disciplina Preparação e Redação da Dissertação Carga Horária Total 60

Ementa Variável.

Créditos 2.0