Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 1- Introdução Na figura 1, que está ao lado temos um livro apoiado sobre uma superfície plana. O livro, através de seu peso, como está mostrado na figura 2 exerce uma força sobre a superfície. Podemos observar que na figura 2 colocamos essa força aproximadamente, no “ centro do livro” . O livro está numa situação de equilíbrio. Isto é: não desliza, não gira, em suma, permanece como está. Saber determinar onde está aplicada exatamente essa força bem como as conseqüências decorrentes desse fato será uma das preocupações desta seqüências de ati-vidades. Nela mostraremos como construir,
des-de simples brinquedos até uma balança extrema-mente sensível e, ao mesmo tempo, discutiremos os princípios físicos envolvidos nesse trabalho.
Vamos voltar, mais uma vez ao nosso livro. Vamos supor que quiséssemos equilibrar o livro sobre um lápis como aparece na figura 3. Não seria colocando o lápis em qualquer posição que obteríamos êxito. O lápis deveria ficar numa posição tal que o peso do livro estivesse agindo sobre o lápis. Algo semelhante ao
que está representado na figura 4. Vocês podem notar que o peso do livro passa pela base do lápis. Caso o lápis tivesse sido colocado mais para a direita ou mais para a esquerda, o livro poderia cair. Ele não estaria mais
numa situação de equilíbrio. Vamos prosseguir um pouco com o tema.
Figura 5
Figura 6a Descobrir onde parece estar localizado
o peso do livro, “ aproximadamente no seu centro” como dissemos, pode não parecer tão fácil. O livro não é muito regular e as coisas podem com-plicar um pouco. Porém, como veremos mais adi-ante, existem meios simples para determinar esse ponto, que recebe o nome de centro de gravidade ou centro de massa.
Mas, vamos discutir ainda um pouco mais. Vamos supor que o objeto em questão fosse uma rosquinha como a que está na figura 5. Esse caso é, até, um pouco mais estranho. O ponto que procuramos nem pertence à rosquinha propriamente dita. Ele está localiza-do num ponto que seria o “ centro da rosquinha” e que não faria parte da própria rosquinha.
Porém, isto é fácil de ser entendido. Basta-rá analisar um pouco a questão.
Vamos supor que vamos pegar a rosquinha utilizando uma espécie de pinça como aparece na figura 6.
As três posições da rosquinha desenhadas acima podem elucidar um pouco a questão. Quando a rosquinha é segura como na figura 6b seu peso faz com que ela gire até atingir a posi-ção que está na figura 6c. Quando chega nessa posição ela poderá até escorregar e cair mas não vai mais girar. Note que ao atingir essa posi-ção, o centro da rosquinha está logo abaixo do ponto onde as duas pontas da pinça estão a se-gurando.
Nestas atividades falaremos bastante no centro de gravidade de figuras e corpos e fala-remos também nos pontos nos quais estes cor-pos se apoiam, como o lápis com relação ao livro ou nos pontos pelos quais os objetos são sus-pensos como as pontas das pinças com relação à rosquinha. Falaremos de pontos de apoio e pontos de suspensão.
Figura 7
Figura 8 2- Material experimental
Os experimentos que descreveremos em seguida serão, em grande parte realizados com o auxílio de um dispositivo como o que está na figura ao lado. Em primeiro lugar precisamos de uma ripa de madeira com um comprimento de 20 cm aproximadamente. A largura e a altura, são da ordem de 1 cm. Essas medidas são apenas indicativas. Não é necessário que tenham exatamente tais valores.
A ripa é fincada num pedaço de massa de modelar que vai servir de base de apoio para o sistema. Na parte superior da madeira espeta-se um alfinete. Neste último amarra-se um fio de linha de costura. Na outra extremidade do fio é colocado mais um pe-daço de massa de modelar. O fio de linha não deve ser amarrado muito fortemente no alfinete.
Ele deve permitir que o pedaço de massa de modelar mova-se livremente.
Esse fio, devido ao peso da massa de mo-delar, vai comportar-se como um fio de prumo. Ele vai indicar a direção perpendicular ao solo no local. Ele pode servir, até, para que coloquemos a madeira numa posição bem perpendicular ao solo.
Vamos precisar também de alguma figuras geométricas recortadas em cartão duro. Caso não se disponha de um cartão suficientemente grosso, pode-se colar duas, ou mais, folhas. Em suma, necessitamos de uma figura que não do-bre com facilidade. Na realidade necessitaremos de várias figuras: retângulos, triângulos, círculos elipses etc. Figuras irregulares também serão úteis.
Podemos incluir nesse conjunto figuras que se assemelhem à letra C. Veremos, mais tarde, que o centro de gravidade nesse caso, pode não pertencer à figura, como aconteceu quando falamos da rosquinha.
Figura 9
3- Verificando a posição do centro de gravi-dade de um retângulo.
Para esta parte do experimento precisamos, em primeiro lugar, recortar um retângulo de cartão. Em seguida determinamos seu centro traçando suas diagonais. Por fim, fazemos dois furos em dois pontos quaisquer do retângulo. Os furos devem Ter um diâmetro tal que seja possível pendurar o cartão no suporte, como mostram as figuras abaixo.
Quando o cartão é pendurado no alfinete ele gira, oscila até parar e quando isso acontece, pode-se observar que o fio de prumo passa pelo centro do retângulo. Veja a figura 10a.
Em seguida, repetimos o mesmo processo e, mais uma vez, podemos notar que o fio passa também pelo centro do retângulo como está na figura 10b.
As três posições do cartão na figura 11 mostram como o cartão oscila em torno do alfi-nete. Na primeira o peso do cartão, situado no centro do mesmo, faz com que o mesmo gire no sentido anti-horário. Na segunda, o peso agindo do outro lado faz com que o cartão gire no senti-do horário. Finalmente, na última, o cartão atinge o equilíbrio e seu peso apenas puxa o alfinete para baixo.
Figura 10b Figura 10a
Figura 11 4- Outros exemplos
Um fato que é de grande importância neste conjunto de experimentos é que quando suspen-demos um objeto que possa girar em torno desse centro de suspensão é que o centro de gravidade vai se posicionar abaixo do centro de suspensão.
Procedendo da mesma maneira que fize-mos com o retângulo, podemos verificar que o centro de gravidade de um círculo ou de um dis-co muito fino, mais precisamente, localiza-se no localiza-seu centro geométrico, o mesmo ocorrendo com elipses, quadrados, losangos etc. Porém, onde estará o centro de gravidade de um triângulo ou de um trapézio?
Utilizando o mesmo método que foi aplica-do para a verificação da posição aplica-do centro de massa do retângulo, podemos determinar esses pontos. Deveremos construir uma figura em cartão bem duro, fazer dois furos para pendurá-la duas vezes no suporte marcando, em cada caso, a direção vertical. Observe a figura 11. O que tem de ser feito é obter a direção que, apro-ximadamente, na figura, está representada pela sombra do fio de linha. O ponto de encontro des-sas verticais é o centro de gravidade do triângu-lo.
Construa um triângulo qualquer. Procure que o mesmo não seja retângulo ou equilátero. Use os mesmos procedimentos para determinar o que os matemáticos chamam de baricentro do triângulo. Ele nada mais é que o centro de mas-sa do triângulo que você construiu. Uma vez determinado esse ponto você poderá responder se o baricentro de um triângulo é o encontro das medianas, das alturas ou das bissetrizes do tri-ângulo.
Determine também, procedendo da mesma maneira, o centro de gravidade de um trapézio ou de uma figura irregular. E se essa figura fosse uma mapa do Brasil? Onde estaria esse ponto?
Figura 12 Figura 13 5- Equilibrando figuras. Quando uma figura plana está apoiada num suporte de maneira tal que seu centro de gravidade esteja sobre esse suporte, a figura ficará em equilíbrio. É algo semelhante ao que discuti-mos quando discuti-mostradiscuti-mos o livro que apoiava-se sobre o lápis. É bastante fácil construir um su-porte que sustente nossas figuras. Um pedaço de massa de modelar, um parafuso para metal (de ponta plana), ou um pedaço de palito de churrasco (não a parte pontiaguda), servem para isso.
Construa o suporte e apoie as figuras so-bre o mesmo. Note que você somente consegui-rá o equilíbrio quando o centro de gravidade es-tiver sobre o apoio.
Algumas vezes temos de ser um pouco cri-ativos para conseguir isso. É o caso das figuras cujo centro de gravidade não pertence à mesma,
como, por exemplo, um aro de cartão. Bastará um simples olhar na figura 13 para notarmos que o centro de gravidade não está localizado fisicamente no aro. Ele está no seu centro, que não faz parte do aro propriamente dito.
Porém, podemos repetir o mesmo proces-so e ao invés de traçarmos duas retas para de-terminar o centro de gravidade, colamos com fita adesiva, um fio de linha no lugar onde estaria a reta. A situação está mostrada na figura 14. As-sim, podemos constatar que, mesmo fora do corpo, o centro de gravidade não perde suas propriedades e o aro fica equilibrado.
Figura 15
Figura 16 6- Balançando objetos
A atividade que realizaremos em seguida é de suma importância. Apesar de simples ela dá subsídios para entender tanto como funciona um brinquedo baseado em princípios de equilíbrio, como também quais os conceitos físicos que entram em jogo numa balança.
Para realizar este experimento você precisa apenas de uma das figuras em cartão que apareceram nas atividades anteriores. Por exemplo, o triângulo. De início, precisamos determinar onde está o centro de massa do triângulo (ou da figura que será usada). Em seguida são feitos, na figura, vários furos que servirão para sustentá-la. O objetivo é verificar que, uma vez pendurada e retirada da sua posição de equilíbrio, a figura irá “ balançar” . Durante essa oscilação, pode-se notar que o centro de massa fica, sempre, abaixo do centro de suspensão.
Faça o que foi sugerido. Pendure a figura “ esburacada” e verifique que o centro de gravi-dade fica oscilando abaixo do centro de suspen-são.
7- Brinquedos de equilíbrio
Inicialmente vamos construir uma figura, em cartão, de modo que seu centro de gravidade fique fora da mesma. Por exemplo uma figura como a arara que está ao lado. Para isso, recortamos a figura em cartão duro e, colocamos um palito como pé da arara e pintamos o conjunto. Além disso, precisamos modificar um pouco o suporte no qual testávamos as figuras. Ele vai servir de poleiro para a arara.
Figura 17
Figura 18 A figura ao lado
mostra a pequena modificação que foi feita no suporte, bem como a primeira fase para a determinação do centro de gravidade da arara.
Após determinar o centro de massa da arara, devemos nos certificar que ele cai abaixo do ponto de apoio ou seja o pé da arara. Caso isso não aconteça, você poderá dar um jeito acrescentando mais massa na região própria. Assim, se o centro de gravidade ficar muito alto bastará colarmos “mais penas” na cauda da arara. Um pedaço a mais de papelão às vezes resolve o problema. Outra so-lução seria “ amputar” um pedaço do pé da arara.
Às vezes, apesar do centro de gravidade estar abaixo do centro de apoio, a rara pode ficar muito inclinada para frente ou para trás. Nesse caso, deveremos corrigir essa posição
aumen-tando o tamanho do bico ou colocando “ mais pe-nas” na parte direita do rabo da arara. Alguma vezes mesmo com a colocação de bastante cartões simulando novas penas, não consegui-mos obter o equilíbrio, nem para o caso de ajustar o centro de gravidade, baixando-o nem para o caso das inclinações laterais. Nesse caso, pode-se substituir os cartões simples por cartões chumbados isto é, colocamos, dentro dos car-tões objetos mais pesados. Como moedas, por exemplo.
Após as correções, a arara ficará como a que está mostrada na figura 18.
Outras figuras, com formas semelhantes podem ser construídas de maneira análoga. Como veremos mais adiante, os princípios en-volvidos nesta construção estão intimamente li-gados aos de uma balança.
Figura 19 10 - O ET
Um brinquedo de equilíbrio que pode con-tribuir bastante para o entendimento do funcio-namento de uma balança é o que tem sido de-nominado de ET. Ele é constituído por duas
partes construídas com rolhas e palitos de chur-rasco, e que têm uma forma parecida com a que está acima.
A parte superior do ET, e que conterá, ao mesmo tempo, sua cabeça e seus braços deverá ser feita com uma rolha um pouco menor que a da parte inferior. Os palitos de churrasco que formarão os braços do boneco deverão ter cor-tados uns 3 centímetros antes de serem introdu-zidos na rolha.
Da mesma forma é montada a parte inferior onde estarão as pernas do ET e seu corpo. Com cartão construímos suas mãos e pés.
A parte superior do ET é construída antes e, a cada instante devemos buscar equilibrar o boneco. Uma vez feita a parte superior, procede-se da mesma maneira para o resto. Aqui, talvez, tenhamos que exagerar o tamanho dos pés para conseguirmos baixar o centro de gravidade do boneco como um todo. Lembre-se que cada parte tem um centro de gravidade e o todo tam-bém tem o seu.
Figura 21
Figura 22 11 – Um modelo de balança
Agora vamos construir um objeto que nos vai dar oportunidade de discutir muitos dos princípios envolvidos no funcionamento de uma balança. Para isso precisamos de recortar um T em cartão. Sua largura pode ter uns 15 centímetros e sua altura um pouco menos. A largura dos “ braços” e de sua parte vertical pode ser da ordem de 2 centímetros. Ao longo de sua parte vertical são feitos alguns furos. O diâmetro destes furos deve ser tal que permita pendurar o T por estes furos. Mais dois furos devem ser feitos nas extremidades do braço horizontal, quase na extremidade destes últi-mos. Estes furos também devem Ter um diâmetro que permita a passagem do alfinete quando colocado no su-porte. Mais ainda, estes furos vão servir para determi-narmos o centro de massa do objeto. A figura 21 dá uma idéia do que deve ser feito.
Uma vez construído este protótipo de balança, vamos determinar se centro de gravidade da mesma maneira que procedemos com outras figuras. Par isso, penduramos o objeto por um de seus furos laterais como está representado na figura 22. Em seguida, vamos suspender a figura pelo furo que está situado no lado
oposto de braço como mostra a figura ao lado. Repetindo, mais uma vez o procedimento, poderemos determinar o centro de gravidade da figura. Ele está marcado com um pequeno círculo.
Agora que já sabemos onde está o centro de massa da figura, vamos suspendê-la por um de seus orifícios situados no braço vertical. Vamos escolher o primeiro, que está na parte superior.
Como os dois braços do T são simétricos, a figura vai ficar em equilíbrio, isto é, não vai pender nem para a direita nem para a esquerda. Porém, o que vai acontecer se “ rompermos” este equilíbrio colocando um pequeno pedaço de papel sobre um dos braços? O papel vai introduzir uma força adicional que fará com que o sistema gire.
Teremos, ao final da operação, uma situação análoga à que está representada na figura 23: um dos braços, devido ao peso do papel, fica mais baixo que o outro.
Figura 23a Figura 23b
Figura 24 Porém, o que vai acontecer se conservarmos o
papel na mesma posição e passarmos a suspender o T pelo segundo furo de cima para baixo?
Se realizarmos este experimento, poderemos no-tar que a figura vai ficar mais inclinada. Quando muda-mos o ponto de suspensão um furo mais abaixo, ficamuda-mos mais perto do centro de gravidade da figura. Neste caso, podemos constatar, se realizarmos o experimento, é cla-ro, que a figura vai ficar mais inclinada.
Não mudamos o papel. Seu peso continuou o mesmo e agindo no mesmo ponto mas o fato de mudar-mos o centro de suspensão para um ponto mais perto do centro de gravidade tornou a figura mais sensível ao giro. Podemos concluir que:
Quanto mais perto estiverem o centro de gravidade e o centro de suspensão de uma figura, mais fácil de
ser girada por uma força ela será.
Se o T fosse uma balança, no caso da figura 23b ela seria mais sensível que o outro caso pois com o mesmo peso produziríamos um giro maior. Este é um dos principais princípios nos quais está fundamentada a sensibilidade de uma balança. A proximidade entre o seu centro de suspensão e o seu centro de massa. Como veremos mais adiante, vamos tentar, nas balanças que iremos propor para construção, buscas que o centro de massa se situe perto do centro de suspensão. Todavia, não podemos prosseguir baixando indefinidamente o centro de suspensão pois o centro de gravidade pode ficar abaixo dele e todo o sistema girar.
Mesmo nessa situação, como está representado na figura 24, poderemos constatar que o centro de gravidade sempre vai oscilar abaixo do centro de suspensão e, ainda assim, será válida a afirmação que fizemos no início da coluna..
Figura 25
12– A balança de canudo de refresco.
Para a construção de uma balança de ca-nudo de refresco precisamos apenas, além de canudos de plástico, grossos, dois alfinetes. Em primeiro lugar recortamos três pedaços de
ca-nudo: um com 4 centímetros e dois com 5, apro-ximadamente. Em seguida os pedaços maiores são dobrados ao meio e introduzidos no menor, como aparece na figura 25, formando uma espé-cie de presilha.
Então são introduzidos dois canudos intei-ros e os dois alfinetes espetados no canudo de 4 cm. O conjunto deve ficar semelhante ao que está mostrado em detalhe na figura 26.
O canudo amarelo vai fazer as vezes do ponteiro da balança enquanto que o avermelha-do fará o papel avermelha-dos braços. A balança vai ter um suporte e apoiar-se no mesmo através dos alfi-netes. Os canudos que formam a presilha devem segurar tanto o ponteiro como os braços. Toda-via, devem permitir que se possa deslocar os canudos para eventuais ajustes: igualar os bra-ços, por exemplo, ou ainda subir ou descer o ponteiro para variar a posição do centro de gra-vidade.
Figura 26
Figura 27
Prof. Dr. Norberto Ferreira
Instituto de Física da USP Departamento de Física Aplicada
