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Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq. Bolsa de Produtividade em Pesquisa (PQ) Projeto de Pesquisa

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(1)

Conselho Nacional de Desenvolvimento

Cient´ıfico e Tecnol´

ogico - CNPq

Bolsa de Produtividade em Pesquisa

(PQ)

Projeto de Pesquisa

Existˆ

encia e Multiplicidade de Solu¸

oes

Para Alguns Problemas El´ıpticos

(2)

Sum´

ario

Identifica¸c˜ao 3 Metas Atingidas 4 Resumo 5 Introdu¸c˜ao 6 Projetos de Pesquisa 8

(3)

Identifica¸

ao

Dados do Pesquisador

Jo˜

ao Marcos Bezerra do ´

O

Professor Adjunto IV - UFPB

Matr´ıcula - SIAPE - 0335874

CPF: 133 135 844 20

Doutor - UNICAMP - 95

Pos-Doc. COURANT - 98/99

e-mail: jmbo@mat.ufpb.br

homepage: http://www.mat.ufpb.br/∼jmbo/

Dados do Projeto de Pesquisa

T´ıtulo:

Existˆ

encia e Multiplicidade de Solu¸c˜

oes

Para Alguns Problemas El´ıpticos

´

Area de Conhecimento:

An´

alise

Sub-´

area de Conhecimento:

An´

alise N˜

ao-Linear e

Equa¸c˜

oes Diferenciais Parciais

Local de execu¸c˜

ao

:

Departamento de Matem´

atica.

(4)

Metas Atingidas na Proposta

Anterior

No plano anterior, com rela¸c˜ao a pesquisa, t´ınhamos proposto cinco sub-projetos de pesquisa e conseguimos desenvolver e publicar doze artigos em peri´odicos de circula¸c˜ao internacioal.

Com respeito a forma¸c˜ao de recursos humamos preparamos trˆes professores mestres para programas de doutoramento, hoje eles se encontram em fase de elabora¸c˜ao de tese de doutorado nas institui¸c˜oes UFC, UFRJ e UNICAMP, sendo um sob nossa orienta¸c˜ao. Orientamos oito alunos de mestrado, dos quais quatro eram nossos ex-bolsistas de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica. Seis destes alunos foram encaminhados para programas de doutorado (dois na UNICAMP, um na UFRJ, um na UFPE e dois na UnB), o s´etmo orientando ´e atualmente professor concursado da UFMT e o oitavo ´e professor da UFCG. Com o apoio da FAPESQ, orientamos sete alunos do Ensino M´edio de Escolas P´ublicas no programa de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica Junior.

Finalmente com projetos apoiados pelo PADCT/CT-INFRA/CNPq/MCT e IM-AGIMB/IMPA conseguimos ampliar e renovar nosso laborat´orio de infom´atica e nossa biblioteca com aquisi¸c˜ao de mais de quatrocentos livros especializados.

(5)

Resumo

O presente projeto tem como objetivo a pesquisa em Matem´atica, mais precisamente, na sub-´area de equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-lineares. Visamos com este projeto atualizar e criar novas linhas de pesquisas e, assim, ampliar a ´

area dos projetos do grupo que lideramos.

Pesquisaremos sobre quest˜oes relacionadas com existˆenica, n˜ao-existˆencia, multiplicidade e comportamento assint´otico de solu¸c˜oes para algumas classes de problemas de valores de fronteira envolvendo equa¸c˜oes diferenciais parciais el´ıpticas n˜ao-lineares de segunda e quarta ordem que modelam problemas originados na Geometria Diferencial, Matem´atica Aplicada, F´ısica, Biologia, dentre outros.

Pretendemos estudar algumas classes de sistemas el´ıpticos usando a Teoria dos Lagrangeanos anti auto-adjuntos (Anti-Selfdual Lagrangians) que vem sendo desenvolvida nos ´ultimos anos por Ghoussoub. Esta teoria tem a grande vantagem de poder resolver variacionalmente muitos tipos de equa¸c˜oes que n˜ao podem ser obtidas como equa¸c˜oes de Euler-Lagrange de um funcional energia.

Al´em disso, para dar continuidade a nossa pesquisa atual, aplicaremos tamb´em outros m´etodos da An´alise N˜ao-Linear tais como: Teoria dos Pontos Cr´ıticos, Teoria do Grau e Teoremas de Ponto Fixos, dentre outras t´ecnicas.

(6)

Introdu¸

ao

O presente projeto ´e sobre pesquisa em Matem´atica na ´area de An´alise, mais precisamente, em equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-lineares. Na verdade, trata-se de seis projetos de pesquisa que apresentaremos, posteriormente, de forma suscinta, exibindo seus objetos de estudo, bem definidos, as equipes de colaboradores envolvidas, metodologia e resultados esperados.

O tema central de toda nossa pesquisa tem sido o estudo e o desenvolvimento de novas t´ecnicas ligadas aos m´etodos “Variacionais e Topol´ogicos”e suas aplica¸c˜oes nas equa¸c˜oes diferenciais parciais n˜ao-lineares que modelam problemas advindos de v´arios ramos da Ciˆencia, tais como: Matem´atica Aplicada, Geometria Diferencial, F´ısica Matem´atica, Biologia, Quimica, Economia, Engenharias dentre outros.

Mais especificamente, nosso interesse recai sobre problemas modelados por equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas n˜ao-lineares, que s˜ao uma das principais ferramentas para compreender certos fenˆomenos f´ısicos, qu´ımicos ou biol´ogicos estacion´arios, ou at´e mesmo, processos evolutivos que tendem a um estado estacion´ario.

Nos ´ultimos anos, tem-se desenvolvido intensa pesquisa sobre problemas modelados por Equa¸c˜oes Diferenciais N˜ao Lineares, o que tem levado `a procura de novos m´etodos para a resolu¸c˜ao destas classes de equa¸c˜oes e tem contribu´ıdo de forma substancial para o desenvolvimento da Matem´atica e, mais especificamente, da An´alise N˜ao-Linear.

Em nossa pesquisa, desenvolvemos e usamos novas ferramentas que est˜ao diretamente ligadas a dois m´etodos: Variacional e Topol´ogico. Estes m´etodos est˜ao dentre as mais frut´ıferas ferramentas matem´aticas para lidar com problemas envolvendo equa¸c˜oes diferencias. Em particular, temos usado bastante a Teoria dos Pontos Cr´ıticos em nossas pesquisas. A id´eia b´asica desta teoria ´e associar, de modo natural, a uma equa¸c˜ao diferencial dada, um funcional definido em um espa¸co de fun¸c˜oes adequado. De modo informal, resolver a equa¸c˜ao diferencial dada ´e equivalente a determinar pontos cr´ıticos do funcional associado. Um ponto cr´ıtico do funcional associado ´e, ent˜ao, denominado uma solu¸c˜ao fraca da equa¸c˜ao diferencial. Para achar pontos cr´ıticos do funcional associado, usam-se ferramentas topol´ogicas poderosas, bem como An´alise Funcional, o que dar um car´ater interdisciplinar a esta teoria.

(7)

As metas que pretendemos atingir no desenvolvimento deste projeto, est˜ao focalizadas em dois pontos principais:

1. Consolida¸c˜ao da produ¸c˜ao cient´ıfica com as equipes de pesquisadores envolvidos no projeto.

2. Contribuir na forma¸c˜ao de recursos humanos nos n´ıveis de doutorado, mestrado, gradua¸c˜ao e ensino m´edio.

(8)

Projetos de Pesquisa

A seguir descreveremos alguns dos temas de pesquisa que estamos desenvolvendo e iremos desenvolver nos pr´oximos trˆes anos.

Projeto de pesquisa 1:

Sistemas El´ıpticos via a Teoria dos Lagrangeanos anti

auto adjuntos (Anti-Selfdual Lagrangians)

Projeto em conjunto com o professor: Nassif Ghoussoub

Department of Mathematics University of British Columbia Vancouver, Canad´a

Objetivos Gerais:

O principal objetivo deste projeto ´e aplicar a teoria dos Lagrangeanos anti auto adjuntos (anti-selfdual lagrangians) para estudar quest˜oes relacionadas com existˆencia de solu¸c˜oes para certas classes de problemas de valores de fronteira envolvendo sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas semi-lineares de segunda ordem. Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa te´orica em Matem´atica, na ´area de An´alise Matem´atica, mais especificamente, em Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, fazendo uso de m´etodos variacionais e mais precisamente de um princ´ıpio variacional para o fluxo gradiente.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

A teoria dos Lagrangeanos anti auto-adjuntos vem sendo desenvolvida por Ghoussoub e colaboradores nos artigos [23], [24], [25], [26] [27], [28]

(9)

e se mostra inerente a muitos problemas advindos da F´ısica Matem´atica, Geometria riemanniana, Equa¸c˜oes Diferenciais, dentre outros. Por um lado, esta classe de Lagrangeanos ´e extens˜ao natural de gradientes de fun¸c˜oes convexas, portanto operadores auto-adjuntos positivos que, usualmente, conduz a sistemas dissipativos, e por outro lado, suas estruturas s˜ao suficientemente ricas para fornecer certas representa¸c˜oes de operadores anti-sim´etricos que normalmente geram fluxos unit´arios. A teoria fornece formula¸c˜oes variacionais e resolu¸c˜oes para uma grande classe de problemas de valores de fronteira que n˜ao s˜ao do tipo potencial e n˜ao admitem uma formula¸c˜ao na teoria de Euler-Lagrange. As solu¸c˜oes nesta teoria s˜ao m´ınimos de funcionais da forma onde ´e um Lagrangeano anti auto-adjunto e ´e um operador anti-sim´etrico. Por´em, assim como a equa¸c˜oo autodjunta (e anti-autodajunta) na teoria quˆantica dos campos (por exemplo, Yang-Mills), as equa¸c˜oes associadas a tais m´ınimos n˜ao s˜ao obtidos como pontos cr´ıticos do funcional, mas como zeros do Lagrangeano. A grande vantagem deste m´etodo ´e poder ser utilizado para resolver variacionalmente muitas equa¸c˜oes e sistemas que n˜ao podem ser obtidos como equa¸c˜oes de Euler-Lagrange de um funcional energia, uma vez que podem envolver operadores que n˜ao s˜ao auto-adjuntos ou n˜ao s˜ao do tipo potencial. Pretendemos aplicar esta teoria no estudo de certas classes de sistemas el´ıpticos que n˜ao podem ser resolvidos por m´etodos cl´assicos como, por exemplo, via a teoria de Euler-Lagrange.

Benef´ıcios Esperados

Acreditamos que esta nova teoria ´e muito promissora e pretendemos envolver nossos alunos e o nosso colega de ´area, professor Everaldo Souto de Medeiros, nesta nova frente de pesquisa, abrindo assim novas possibilidades para nossos trabalhos conjuntos. Portanto, com o presente projeto, vamos dar in´ıcio a uma intera¸c˜ao entre os grupos de pesquisa em equa¸c˜oes dos dois departamentos de matem´atica das universidades envolvidas. Al´em disso, temos os benef´ıcios naturais esperados com a realiza¸c˜ao deste projeto, ou seja, a contribui¸c˜ao dos resultados obtidos para o desenvolvimento da pesquisa em equa¸c˜oes diferenciais.

(10)

Projeto de pesquisa 2:

Estimativas a priori para equa¸

oes el´ıpticas n˜

ao-lineares

envolvendo crescimento exponencial

Projeto em conjunto com os professores: Djairo Guedes de Figueiredo

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica UNICAMP

Bernhard Ruf

Departamento de Matem´atica

Universidade de Mil˜ao, Mil˜ao, It´alia. Objetivos Gerais:

Obter estimativas a priori para solu¸c˜oes positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos em subdom´ınios limitados do plano euclidiano com n˜ao linearidades com crescimento exponencial.

Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa te´orica em Matem´atica, na ´area de An´alise Matem´atica, em Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais. Nesta pesquisa, estar˜ao em destaque t´ecnicas da teoria dos pontos cr´ıticos, teoria de regularidade para equa¸c˜oes el´ıpticas, estimativas a priori para dom´ınios convexos, moving planes, desigualdades de Hardy-Sobolev, t´ecnicas de Blow-up e teoria da medida. Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

Neste projeto, vamos considerar uma classe de sistemas semilineares de equa¸c˜oes el´ıpticas da forma:

           −∆u = g(x, v) em Ω −∆v = f (x, u) em Ω u > 0 , v > 0 em Ω u = v = 0 sobre ∂Ω (1) onde Ω ´e um sobconjunto limitado de R2 e as fun¸c˜oes g(x, v) e f (x, u) s˜ao superlineares no infinito.

(11)

Problemas deste tipo surgem em uma variedade de situa¸c˜oes, tais como em Geometria Diferencial, Teoria de difus˜ao n˜ao-linear gerada por fontes n˜ ao-lineares, de igni¸c˜ao t´ermica e combust˜ao de misturas de gases quimicamente ativas, e de equilibrio gravitacional de estrelas politr´opicas.

Estamos interessados aqui em obter estimativas a priori para o sistema (1). Este tipo de informa¸c˜ao ´e fundamental para obtermos existˆencia de solu¸c˜oes bem como informa¸c˜oes sobre a estrutura do conjunto de solu¸c˜oes. Recentemente, v´arios autores tˆem trabalhado neste tipo de quest˜ao. Em [11], de Figueiredo, Lions e Nussbaum obtiveram estimativas a priori para um problema do tipo

−∆u = f (x, u) em Ω,

sob a hip´otese f (x, u)/uσ → 0 quando u → ∞ para algum σ > 0. Cl´ement, de

Figueiredo e Mitidieri, em [CFM1], obtiveram estimativas a priori para solu¸c˜oes positivas de uma classe de sistemas el´ıpticos via o m´etodo de Brezis-Turner combinado com interpola¸c˜ao e inequa¸c˜oes do tipo Hardy-Sobolev.

Para equa¸c˜oes el´ıpticas n˜ao-lineares envolvendo crescimento cr´ıtico veja [6] e [7]. Enquanto que equa¸c˜oes el´ıpticas n˜ao-lineares em subdom´ınios de R2 envolvendo crescimento exponencial tˆem sido estudadas por v´arios autores utilizando m´etodos variacionais, inclusive pelos participantes deste projeto (cf. [12], [13], [14], [15], [10], [17]). Com o objetivo de obter resultados mais gerais, todas as nossas pesquisas neste tema converge para a necessidade de conseguir estimativas a priori para as solu¸c˜oes desta classe de problemas. Para tanto, a id´eia ´e tentar os m´etodos usados em dimens˜ao superior, como por exemplo: “moving planes”, desigualdades de Hardy-Sobolev e “Blow-up”. A nossa pesquisa est´a mostrando que a utiliza¸c˜ao de “moving planes”de Serrin-Aleksandrov dar´a um melhor resultado no sentido de considerarmos crescimentos maiores. Usaremos tamb´em t´ecnicas desenvolvidas no artigo [9], bem como aquelas desenvolvidas por Berzis-Merle em [8].

Benef´ıcios Esperados

Pretendemos dar continuidade `a forte intera¸c˜ao j´a existente entre o nosso grupo de pesquisa e o grupo da UNICAMP liderado por Djairo de Figueiredo e Bernhard Ruf da It´alia e, com isto, podermos realizar este projeto produzindo pelo menos dois artigos de pesquisa. Tamb´em envolveremos alunos de mestrado neste projeto de pesquisa, com o objetivo de motiva-los para a complementa¸c˜ao de sua forma¸c˜ao com um futuro doutorado na UNICAMP.

(12)

Projeto de pesquisa 3:

Ondas solit´

arias para equa¸

oes de Schr¨

odinger quase

lineares: o caso Trudinger-Moser

Projeto em conjunto com os professores: Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki

Departamento de Matem´atica Universidade Federal de Vi¸cosa Sergio Henrique Monari Soares Departamento de Matem´atica

Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, SP. Objetivos Gerais:

O presente projeto tem por objetivo a obten¸c˜ao de resultados de existˆencia de solu¸c˜oes de energia m´ınima para uma classe de equa¸c˜oes el´ıpticas quaselineares em R2.

Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa te´orica em Matem´atica, na ´area de An´alise Matem´atica, mais especificamente, em equa¸c˜oes diferenciais parciais. Faremos uso de t´ecnicas da teoria dos pontos cr´ıticos, minimiza¸c˜ao em variedades de Nehari, teoria de regularidade para equa¸c˜oes el´ıpticas, o princ´ıpio de concentra¸c˜ao de compacidade de Lions e desigualdades do tipo Trudinger-Moser.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

Esta parte do projeto ´e dedicada ao estudo de solu¸c˜oes de energia m´ınima para a seguinte classe de equa¸c˜oes el´ıpticas quaselineares

−∆u + V (x)u − (∆(u2

))u = f (u) em R2.

Solu¸c˜oes deste tipo est˜ao relacionadas com a existˆencia de ondas solit´arias est´aveis para equa¸c˜oes de Schr¨odinger da forma

i∂tz = −∆z + V (x)z − f (|z|2)z − κ∆h(|z|2)h0(|z|2)z,

onde V = V (x), x ∈ RN ´e uma fun¸c˜ao potencial dada, κ ´e uma constante real

(13)

e tem sido intensivamente estudado nos ´ultimos anos por v´arios autores [5], [22], [54].

Equa¸c˜oes quaselineares como estas aparecem mais naturalmente em f´ısica matem´atica, mais especificamente, em modelos que descrevem fenˆomenos f´ısicos correspondentes a v´arios tipos de fun¸c˜oes f e h ([30], [31], [36], [48], [41]). Na literatura matem´atica, h´a poucos resultados conhecidos sobre estas equa¸c˜oes. A nossa principal referˆencia ´e o trabalho [37], onde os autores estabelecem a existˆencia de ondas solit´arias para a equa¸c˜ao de Schr¨odinger no caso em que N ≥ 3 e as fun¸c˜oes h e f se comportam como potˆencias. Como um modelo, eles consideraram h(s) = s e f (s) = s(p−1)/2 e k > 0. Neste projeto, consideraremos o caso N = 2 cr´ıtico, cuja situa¸c˜ao modelo ´e h(s) = s, k > 0 e f (s) = exp(4s2− 1).

Para lidar com esta classe de problemas surgem algumas dificuldades. A primeira ´e que h´a trˆes diferentes escalas na equa¸c˜ao, causando problemas para utilizar m´etodos de minimiza¸c˜ao com v´ınculos. Por outro lado n˜ao existe um espa¸co de fun¸c˜oes natural no qual o funcional energia esteja bem definido. ´E necess´ario, pois, introduzir uma nova formula¸c˜ao variacional proposta em [37] e ent˜ao reformular o problema em um espa¸co de Orlicz. Uma nova dificuldade surge devido a presen¸ca agora da n˜ao linearidade do tipo exponencial (veja detalhes em [13], [16], [47], [55]). Usaremos tamb´em t´ecnicas devidas a Lions [42], [43] e Rabinowitz [50].

Benef´ıcios Esperados

Al´em dos benef´ıcios naturais esperados com a realiza¸c˜ao deste projeto, ou seja, a contribui¸c˜ao dos resultados obtidos para o desenvolvimento da pesquisa em equa¸c˜oes diferenciais, acreditamos que o presente projeto inicie uma forte intera¸c˜ao entre os grupos de pesquisa em equa¸c˜oes dos trˆes departamentos de matem´atica das universidades envolvidas.

(14)

Projeto de pesquisa 4:

Solu¸

oes Positivas para uma Classe de Sistemas El´ıpticos

com Multiparˆ

ametros

Projeto em conjunto com os professores: Pedro Ubilla

Departamento de Matem´atica y Ciencias de la Computacion Universidad de Santiago de Chile, Chile

Sebastian Lorca

Departamento de Matem´aticas Universidad de Tarapac´a, Chile Justino S´anchez

Departamento de Matem´aticas Universidad de la Serena, Chile Objetivos Gerais:

O presente projeto tem por objetivo obter resultados de existˆencia, n˜ ao-existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos envolvendo equa¸c˜oes ordin´arias de segunda ordem com multiparˆametros. Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa te´orica em Matem´atica, na ´area de An´alise Matem´atica, mais especificamente, em Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias de Segunda Ordem. Pretendemos usar m´etodos topol´ogicos tais como teoria do grau de Leray-Schauder, Teorema de Ponto Fixo de Krasnoselkii, m´etodo de sub-super solu¸c˜oes e ´Indice de Ponto Fixo.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

O objetivo deste projeto de pesquisa ´e estudar quest˜oes relacionadas com a existˆencia, n˜ao existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes positivas para a seguinte classe de sistemas el´ıpticos envolvendo equa¸c˜oes diferencias ordin´arias de segunda ordem:    −u00 = g 1(t, u, v, a, b) in (0, 1) , −v00 = g 2(t, u, v, a, b) in (0, 1) , u(0) = v(0) = u(1) = v(1) = 0 . (Sab)

(15)

onde a e b s˜ao parametros e h, g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas.

Pretendemos introduzir novas vers˜oes da no¸c˜ao de superlinearidade para n˜ ao-linearidade que podem, em um certo sentido, ser singulares.

O tema deste projeto de pesquisa tem sua motiva¸c˜ao em certas classes de problemas el´ıpticos definidos em dom´ınios euclidianos com simetria radial, por exemplo, sistemas el´ıpticos em dom´ınios anulares e dom´ınios exteriores. Aplicaremos tamb´em nossos resultados abstratos a problemas envolvendo equa¸c˜oes diferencias ordin´arias de quarta ordem, tais como as equa¸c˜oes da viga el´astica. Nossos resultados pretendem incluir, em particular, as seguintes classes de problemas el´ıpticos:

I. Sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem em dom´ınios euclidianos anulares com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet:

       −∆u = k1(|x|, u, v), in r1 < |x| < r2, ∆v = k2(|x|, u, v), in r1 < |x| < r2, (u, v) = (0, 0), in |x| = r1, (u, v) = (a, b), in |x| = r2. (2) II. Sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem em dom´ınios euclidianos exteriores com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet:

      

−∆u = f (|x|, u, v) , for |x| > 1 and x ∈ RN, −∆v = g(|x|, u, v ) , for |x| > 1 and x ∈ RN,

(u, v) = (a, b) , for |x| = 1, (u, v) −→ (0, 0) as |x| → +∞ .

(3) III. Equa¸c˜oes de quarta ordem:

   w(IV ) = f (t, w, w00), in l = (0, 1), w(0) = a in w(1) = b, w00(0) = 0 in w00(1) = 0. (4) Observamos que, aplicando mudan¸cas de vari´aveis adequadas, podemos transformar as equa¸c˜oes dos problemas acima em sistemas de equa¸c˜oes diferencias ordin´arias de segunda ordem do tipo (Sab)) definido anteriormente. Problemas

de valores de fronteira modelados por estas classes de sistemas tˆem atra´ıdo o interesse de muitos pesquisadores. Alguns s˜ao advindos de diversas ´areas da Matem´atica Aplicada e da F´ısica.

Quest˜oes como existˆencia, n˜ao existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes positivas para equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem, definidas em dom´ınios euclidianos,

(16)

de Pohozaev [49] mostra que, de fato, este tipo de restri¸c˜ao n˜ao ´e devido apenas ao m´etodo. Prova-se que, neste caso, n˜ao existem solu¸c˜oes positivas para n˜ ao-linearidades com crescimento acima do cr´ıtico. Quando o dom´ınio de defini¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e um anel ou um dom´ınio exterior, n˜ao podemos aplicar mais a identidade de Pohozaev para se obter este tipo de resultado de n˜ao-existˆencia. De fato, resultados de existˆencia e multiplicidade podem ser obtidos como, por exemplo, usando teoremas de ponto fixo, m´etodo de sub-super solu¸c˜oes e teoria de ´ındice de ponto fixo.

Neste contexto, o estudo de equa¸c˜oes el´ıpticas semilineares em dom´ınios anulares tem obtido consider´aveis avan¸cos, devido a expressiva aten¸c˜ao que tem recebido por v´arios pesquisadores da ´area.

Um modelo simples desta classe de problemas, no caso escalar, ´e dado por −∆u = f (u) onde f (u) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao-decrescente e superlinear no zero e no infinito, isto ´e, f (t)/t → +∞ quando t → +∞ e f (t)/t → 0 quando t → 0. Esta classe de problemas foi estuda por Bandle, Coffman e Marcus em [3] e no caso particular em que f (t) = t(N +2/(N −2) foi estudada por Bandle e Peletier em [4]. Usando o chamado ”Shooting Method”, os resultados de [4] foram estendidos por Lee e Lin em [34] para n˜ao-linearidades f (t) que s˜ao convexas e s˜ao superlineares no zero e no infinito. Usando argumentos da teoria do grau e o m´etodo de sub-super solu¸c˜oes, Hai em [29] estendeu e complementou alguns dos resultados contidos em [4] e [34] para n˜ao-linearidades localmente Lipschitzianas. Fazemos ainda referˆencia ao artigo [18] para resultados sobre o problema escalar para equa¸c˜oes definidas em dom´ınios anulares com condi¸c˜oes de fronteira n˜ao homogˆeneas e sem restri¸c˜oes do tipo convexidade ou localmente Lipschitzianas.

H´a v´arios artigos, publicados recentemente, que tratam sobre quest˜oes de existˆencia e multiplicidade de solu¸c˜oes radiais e positivas para sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas em dom´ınios euclidianos anulares com condi¸c˜oes de fronteira de Dirichlet ou Neumann. Para condi¸c˜oes homogˆeneas, veja [20], [21] e suas referˆencias. Para condi¸c˜oes de fronteira n˜ao homogˆeneas, veja [19].

Sobre problemas exteriores, indicamos as referˆencias [32], [33], [51], [52], [53] e para problemas de quarta ordem relacionados com o nosso projeto, indicamos as referˆencias [1], [2], [35], [38], [40], [44].

Benef´ıcios Esperados

Pretendemos dar continuidade `a forte intera¸c˜ao j´a existente entre o nosso grupo de pesquisa e o grupo de pesquisa do Chile, liderado pelo professor Pedro Ubilla e, com isto, podermos realizar este projeto produzindo pelo menos trˆes artigos de pesquisa. Tamb´em envolveremos alunos de mestrado e doutorado de ambos os grupos neste projeto de pesquisa, com o objetivo de completar suas forma¸c˜oes bem como atrair novos talentos para nossa institui¸c˜ao.

(17)

Projeto de pesquisa 5:

Sistemas n˜

ao lineares envolvendo operadores do tipo

curvatura m´

edia ou perturba¸

oes do p-Laplaciano

Projeto em conjunto com os professores: Pierluigi Benevieri

Dipartimento di Matematica Applicata Universit`a degli Studi di Firenze, Italy Everaldo Souto de Medeiros

Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba Objetivos Gerais:

Pretendemos estudar existˆencia de solu¸c˜oes peri´odicas para sistemas de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias n˜ao lineares envolvendo operadores do tipo curvatura m´edia ou perturba¸c˜oes do operador p-Laplaciano. Para isto, usamos m´etodos topol´ogicos, mais precisamente, Teoria do Grau de Laray-Schauder. Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa te´orica em Matem´atica, na ´area de An´alise, em sistemas de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, fazendo uso de m´etodos topol´ogicos, tais como teoria do grau de Leray-Schauder, Teorema de Ponto Fixo de Schauder, Invariˆancia por homotopia do grau de Leray-Schauder e Teoremas de Compacidade para espa¸cos de fun¸c˜oes.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

Recentemente, surgiram muitos trabalhos de pesquisa com o objetivo de estudar existˆencia de solu¸c˜oes para v´arios problemas de valores de fronteira envolvendo equa¸c˜oes diferencias parciais ou ordin´arias de segunda ordem, no caso de perturba¸c˜oes n˜ao-lineares do operador p−Laplaciano u 7→ ∆pu, definido por

∆pu := (|u0|p−2u0)0, se N = 1 e ∆pu := div(|∇u|p−2∇u) se N ≥ 2. Veja por

exemplo [16], [45], [46] e [56], [57].

(18)

onde f : [0, T ] × RN× RN

→ RN ´e uma fun¸c˜ao de Carath´

eodory e φ : RN → RN

´e uma fun¸c˜ao que satisfaz certas propriedades de monotonicidade que asseguram, ser tamb´em, um homeomorfismo sobre o RN e pertence a uma classe de

homeomorfismos que incluem, em particular, a aplica¸c˜ao ψp definida por

ψp(u) = |u|p−2u se u 6= 0 e ψp(0) = 0,

onde u = (u1, . . . , uN) ∈ RN, |u| = (P u2i)1/2 e p ∈ (0, +∞). Como

conseq¨uˆencia, seus resultados se aplicam a uma classe de operadores que incluem em particular, o p-Laplaciano. Notamos que, no caso particular em que p = 2, temos o problema cl´assico

u00= f (t, u, u0), u(0) = u(T ), u0(0) = u0(T ).

Condi¸c˜oes de fronteira tipo do peri´odica tˆem uma dificuldade extra em rela¸c˜ao as condi¸c˜oes de fronteira de Dirichlet u(0) = u(T ). Notemos que o problema de Dirichlet homogˆeneo

ψp(u0))0 = h(t), u(0) = u(T ) = 0 (6)

possui solu¸c˜ao ´unica em L1 e, conseq¨uˆentemente, o problema n˜ao-linear ψp(u0))0 = f (t, u, u0), u(0) = u(T ) = 0

´e equivalente a determinar um ponto fixo de um operador obtido da composi¸c˜ao do operador solu¸c˜ao com o operador de Nemytski associado a fun¸c˜ao n˜ao linear f (t, u, u0). No caso de condi¸c˜ao de fronteira peri´odica, o problema correspondente ψp(u0))0 = h(t), u(0) = u(T ), u0(0) = u0(T ), (7)

em geral, n˜ao possui solu¸c˜ao e quando possui n˜ao ´e ´unica. Al´em disso, o problema (5) n˜ao tem em geral uma estrutura variacional e, portanto, ´e natural usar m´etodos topol´ogicos para se obter solu¸c˜oes de (5).

Nosso interesse, aqui, ´e estudar o problema (5) no caso em que a aplica¸c˜ao ϕ n˜ao ´e sobrejetiva, o que ´e motivado pelo modelo envolvendo o operador curvatura m´edia.

Predentemos usar t´ecnicas da Teoria do Grau com o objetivo de estender e complementar os resultados em [45], de modo a incluirmos problemas envolvendo operadores do tipo curvatura m´edia

Lu = u

0

p1 + |u0|2

!0 perturba¸c˜oes do operador p-Laplaciano

Lu = u00+ (|u0|p−2u0

(19)

ou, mais geralmente, do tipo:

Lu = (|u0|q−2(1 + |u0|q)p/q−1)0

com p, q ∈ (1, +∞) e p 6= q.

Nossa id´eia ´e usar a invariˆan¸cia por homotopia do grau, mais precisamente, a partir de uma decomposi¸c˜ao do espa¸co L1 = L1m + F , onde F ' RN e L1m ´e o espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis com m´edia nula, estabelecemos uma homotopia que ´e uma perturba¸c˜ao da identidade por um operador de posto finito.

Formalmente, podemos verificar que o problema (5) ´e equivalente ao seguinte problema u0(t) = ϕ−1  a + Z t 0 f (s, u(s), u0(s))ds  (8) Uma vez que o nosso homeomorfismo ϕ n˜ao ´e sobrejetor, temos que determinar condi¸c˜oes adquadas sobre a n˜ao-lineariridade f (t, u, u0) de modo que o operador dado pelo lado direito de (8) esteja bem definido. Este ´e certamente um dos pontos de dificuldade no estudo desta classe de problemas que estamos propondo. Benef´ıcios Esperados

Al´em dos benef´ıcios naturais esperados com a realiza¸c˜ao deste projeto, ou seja, a contribui¸c˜ao dos resultados obtidos para o desenvolvimento da pesquisa em equa¸c˜oes diferenciais; acreditamos que o presente projeto inicie uma forte intera¸c˜ao entre os grupos de pesquisa em equa¸c˜oes dos dois departamentos de matem´atica das universidades envolvidas.

(20)

Projeto de pesquisa 6:

Sistemas Hamiltonianos em R

2

Projeto em conjunto com os professores: Liliane de Almeida Maia

Elves Alves e Silva UnB

Objetivos Gerais:

Obter estimativas a priori para solu¸c˜oes positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos em subdom´ınios limitados do plano euclidiano com n˜ao linearidades com crescimento exponencial.

Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa te´orica em Matem´atica, na ´area de An´alise Matem´atica, em Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais. Usaremos t´ecnicas da teoria dos pontos cr´ıticos, o princ´ıpio de concentra¸c˜ao de compacidade de Lions e desigualdades do tipo Trudinger-Moser.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

Neste projeto, estudaremos existˆencia de solu¸c˜oes para algumas classes de sistemas Hamiltonianos emenvolvendo crescimento cr´ıtico do tipo Trudinger-Moser, bem como, potencial coercivo e de outras naturezas, tais como:

           −∆u + a(x)u = g(v) em R2 −∆v + b(x)v = f (u) em R2 u > 0 , v > 0 em R2 u, v → 0 quando|x| → ∞ (9) onde a, b s˜ao potenciais positivos limitados inferiormente por constantes positivas e os termos n˜ao-lineares f (u), g(v) tˆem crescimento maximal de modo que o sistema (9) ainda possa ser tratado variacionalmente no espa¸co de Sobolev. Usaremos m´etodos variacionais, mais precisamente, teoremas do tipo minimax, tais como, o Teorema do Passo da Montanha Generalizado e Local Linking. Benef´ıcios Esperados

Pretendemos dar continuidade `a intera¸c˜ao j´a existente entre o nosso grupo de pesquisa e parte do grupo de pesquisa em EDP el´ıpticas da UnB, e com isto,

(21)

podermos realizar este projeto produzindo pelo menos dois artigos de pesquisa. Tamb´em envolveremos alunos de mestrado neste projeto de pesquisa, com o objetivo de motiva-los para a complementa¸c˜ao de sua forma¸c˜ao com um futuro doutorado na UnB.

(22)

Referˆ

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Joao Pessoa 25 de julho de 2006 Jo˜ao Marcos Bezerra do ´O

Referências

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