(d) Funcionamento de um amortecedor e mola da suspensão de um carro. (e) Movimento de átomos e de moléculas numa rede cristalina de uma substância.

1

Introdução

Existem situações na vida prática em que ocorrem problemas que envolvem uma situação em que a posição de um corpo é de equilíbrio; uma vez deslocado dessa posição, ele sofre a atuação de uma força restauradora, que o obriga a uma posição de vai e vem em torno da posição de equilíbrio.

Exemplos dessas situações são:

 O pêndulo: uma massa suspensa por uma corda. Na posição de equilíbrio, a massa fica na posição vertical do ponto de suspensão e quando deslocada desta posição, ela retorna a ela oscilando de um lado para outro de forma regular e repetitiva.

 Uma massa conectada a uma mola. Nesse caso, a massa, presa à mola, uma vez deslocada da posição de equilíbrio (quando a mola está relaxada) ela retorna a essa posição num movimento repetitivo.

 Os pistões de um motor a gasolina.  As cordas de um instrumento musical.  O movimento das moléculas de um sólido. Movimentam-se em torno de sua posição de equilíbrio na rede cristalina do sólido.

 As vibrações das moléculas de água causadas pelas microondas num forno de microondas, rompendo as ligações de hidrogênio nas moléculas, causando o aquecimento da substância.

 A batida do coração humano.

 Circuitos elétricos: Num circuito elétrico no qual há uma corrente elétrica alternada, podemos descrevê-lo em termos de voltagens, correntes e cargas elétricas que oscilam com o tempo.

Figura 1 – Exemplos de sistemas oscilantes e vibratórios.

(a) Pêndulo de um relógio.

(b) Movimento dos pistões num motor de automóvel.

(c) Movimento da suspensão de um carro.

(d) Funcionamento de um amortecedor e mola da suspensão de um carro.

(e) Movimento de átomos e de moléculas numa rede cristalina de uma substância.

(f) Sistemas oscilantes e massa-mola.

Assim, os estudos de movimentos vibratórios e oscilantes servem de base para muitos campos da Física.

Quando há a inclusão de forças dissipativas nesse estudo, chamaremos de força de amortecimento, importante para descrever o funcionamento da suspensão de um automóvel.

Também quando há a necessidade de se acoplar uma força periódica externa ao sistema, para mantê-lo forçado, onde situações da chamada ressonância aparecerão, de importante aplicação em diferentes setores da física.

2

Oscilações livres: O movimento Harmônico

simples - MHS

Quando submetemos um corpo a forças de tração, compressão ou torção, ele sofre deformação.

Cessando a aplicação, o corpo pode ou não retornar à sua forma original, retomando as suas dimensões ou formas iniciais ou permanecer deformado.

A propriedade que determina como um corpo retorna às suas condições iniciais depois da aplicação da força é denominada de elasticidade.

Tracionando-se ou comprimindo-se certa mola helicoidal, esta irá se deformar em relação à seu comprimento inicial L0, de uma deformação x e apresentando-se um comprimento final L.

0 ( )

LL x t

Figura 1 - Variação do comprimento de uma mola em função da deformação x(t).

A intensidade da força aplicada na mola é proporcional à deformação observada x(t), dentro de um certo limite elástico. Essa propriedade é traduzida pela equação:

F  k x

Conhecida como Lei de Hooke.

A constante de proporcionalidade k é chamada de constante elástica da mola e sua unidade no sistema internacional é o N/m (Newton por metro).

O gráfico de F versus x é uma reta que passa pela origem, com inclinação k.

No caso de um bloco de massa m suspenso por uma mola, quando em equilíbrio, a força peso P é igual à força elástica –kx, a uma deformação que chamaremos de :

P

 

k



Se houver uma pequena deformação xp da mola em torno dessa posição de equilíbrio:

0

L L



 

A nova deformação da mola oscilará entre um máximo e um mínimo desse valor:

  

0



p

x t



L L



 



x

Ou seja,

x t

 



x

A segunda lei de Newton ficará: 2 2 d x m k x P k dt



       2 2 d x m k x dt     2 2 0 d x k x dt   m

Situação similar ocorrerá quando tivermos um bloco conectado à mola na posição horizontal, desprezando o atrito entre o solo e o bloco.

Observa-se que, uma vez abandonado o bloco de massa m a partir de uma amplitude xm, a aceleração será máxima para a esquerda, a velocidade nula. Quando passar pela posição de equilíbrio, situada em x = 0, sua velocidade será máxima para a esquerda e aceleração nula. Ao chegar em –xm, o bloco comprimiu o máximo a mola, possuirá velocidade 0 e aceleração máxima para a direita. Ao passar novamente na posição de equilíbrio em x = 0, sua velocidade será máxima para a direita e sua aceleração nula. Assim o movimento se repete num período T, com uma freqüência f e se relacionando por:

1

T f 

3

Figura 2 – Variação da posição, velocidade

e aceleração num MHS.

 Período: Intervalo de tempo de uma oscilação ou um ciclo.

 Unidade: Segundo (s).

 Freqüência: Número de oscilações por unidade de tempo: _f n

t 



 Unidade: Hertz: 1 Hz= 1/s

Rotações por minuto: 1rpm =(1/60)Hz A dimensão de k

m

é de 1/s2 e esse termo

aparece na equação de movimento do MHS: 2

2 0

d x k x dt   m

Para resolvermos essa equação, utilizamos a teoria das equações diferenciais. Assim, podemos ter como solução:

 

_m

cos





x t



x





 

t



Ou

 

m





x t



x



sen



 

t



Aqui:

 Fase: ,: Constante que depende das condições iniciais do problema.

 Unidade: Radiano: rad.

 Freqüência angular : Constante que dependerá da constante elástica da mola e da massa do oscilador.

Observamos que para x(t) ser solução da equação diferencial que representa o movimento do MHS, deve satisfazê-la.

Assim, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de x(t). Escolhendo:

 

_m

cos





x t



x





 

t



 

m





d

x t

x

sen

t

dt









   





 



 





2 2 2 m

cos

d

x t

x

t

dt









  







 



ou

 

 

2 2 2

d

x t

x t

dt















Assim: 2 2 2 0 0 d x k k x x x dt         m  m k m  2 f 2 T             Posição do oscilador:

 

_m

cos





x t



x





 

t



 Unidade: metro (m).  xm: máxima amplitude.  Velocidade instantânea:

 

 

m





dx

v t

v t

x

sen

t

dt











   

 

 Velocidade máxima: m m v   x

 Unidade: metro por segundo: (m/s).  aceleração instantânea:

4





2 2 2

( )

dv

d x

( )

_m

cos

a t

a t

x

t

dt

dt













  



 

 Aceleração máxima: 2 m m m m a  x a   v

 Unidade: metro por segundo ao

quadrado: (m/s2).

 Condições iniciais:

As condições iniciais do problema de oscilação são fundamentais para se conhecer a solução do problema. São dadas por:

 Posição inicial:



0



0

x t





x

 Velocidade inicial:



0



0

v t





v

Assim, se aplicarmos as condições iniciais na equação:

 

_m

cos





x t



x





 

t



Teremos: 0

cos

m

x

x

x

sen

v













  





Resolvendo o sistema, acharemos:

2 2 0 0 m

v

x

x



 



_{  }

 

(Amplitude máxima) 0 0

v

arctg

x











_



_







(Constante de fase)

Se aplicarmos as condições iniciais na equação:

 

m





x t



x



sen



 

t



Teremos:

 

dx

 

_m

cos





v t

v t

x

t

dt













 

 

 

2

 

2





2 m

d x

a t

a t

x

sen

t

dt











  



 

0 0

cos

m m

x

sen

x

x

v













  





Resolvendo o sistema, acharemos:

2 2 0 0 m

v

x

x



 



_{  }

 

(Amplitude máxima) 0 0

x

arctg

v









_





_





(Constante de fase)  Gráficos (t, x(t)); (t, v(t)) e (t, a(t))

5

 Oscilador Harmônico e Movimento

circular uniforme:

Podemos associar o Movimento Harmônico Simples ao movimento de uma partícula de massa m sobre uma circunferência com velocidade constante (em módulo). Observe que a projeção da posição x da partícula sobre o eixo x é a posição x(t) do MHS e:

t

 

  



 

_m

cos

x t



x





 

m

y t



x



sen



Figura 3 – Relação entre movimento circular uniforme e MHS.

6

 A Energia no Movimento Harmônico

Simples

Conforme ocorre o movimento Harmônico Simples, há uma transformação constante da energia potencial elástica da mola (U) em energia cinética da massa (K). Lembrando que:

2

2

k x

U





2

2

m v

K





A energia mecânica (E) é dada por:

2 2

2

2

k x

m v

E

   

U

K

E







Se substituirmos:

x t

 



x

_m



cos





 

t





e

v t

 

   

x

_m



sen





 

t









2





2

cos

2

2

m m

k

x

t

m

x

sen

t

E













 









   









 







Lembrando que: k _{k m} 2 m     Teremos: 2

2

m

k x

E





ou 2 2

2

m

m

x

E









Figura 4 – Relação entre as energias no MHS, energias em função do tempo e da posição.

7

 Associação de molas

Pode-se encontrar as molas associadas da seguinte maneira:

 Série (a).  Paralelo (b).

Figura 5 – Associação de molas em série (a) e paralelo (b). (a) (b)

x

 

x

₁

x

₂

x

₁



x

₂ 1 2

F

F

F

k



k



k

k

 

k

1

k

2 1 2

1

1

1

1

s n

k



k



k

 

k

k

p

   

k

1

k

2

k

n  Períodos



1 2



1 2 1 2

2

A

;

2

A s p

k

k

m

m

T

T

k k

k

k













Exemplo: (a) O sistema abaixo começa a

oscilar a 40 mm de sua posição de equilíbrio. Determine o período de oscilação. (b) No sistema, a oscilação é 2 in a partir da posição de equilíbrio. Em cada caso, determine o período de oscilação, a freqüência, a máxima velocidade e a máxima aceleração.

(a) (b)

Pêndulo simples

Pêndulo simples é um instrumento ou uma

montagem que consiste em um objeto oscilando em torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada

posição de equilíbrio. É muito utilizado em estudos da

força peso e do movimento oscilatório.

A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico).

Figura 5 – Parâmetros necessários para medir a gravidade g utilizando um pêndulo simples de massa

m: ângulo inicial de lançamento, (t): ângulo num instante t; l: comprimento do pêndulo.

 l  (t)  Pcos  h s Psen 2 2

d s

F

ma

Psen

m

mgsen

dt







 



 

 

2 2 2 2

d

l

d

m

mgsen

l

gsen

dt

dt



_{ }

_

_



_{ }

_

2 2

d

g

sen

dt

l



_

 

2 2

0

d

g

sen

dt

l



_

_

_

3 5 3! 5! sen

 

 









8

2 2

0,1

sen

d

g

0

dt

l







 

 







2 2 2

0

g

d

l

dt











 



 

t

0

cos



t





 





 



2

g

T

l







 



2

l

T

g





Velocidade do ponto mais baixo:

 

t

_m

cos



t













 







cos

m

d

t

dt

    

  

 



 



m m m m

v

 

l





v

 

l

 



Exemplo: Um pequeno corpo de massa m está preso a um fio de comprimento l = 1.2 m quando é solto a partir do repouso a um ângulo



_A



5

0. Sabendo que d = 0.6 m, determine:

(a) o tempo requerido para a bola retornar ao ponto A. (b) a amplitude máxima



_C. (a)

2

2

4

4

BC AB ABCBA

T

T

T





1.2

2

2

2.1975

9.81

AB AB AB AB

l

T

T

T

s

g















0.6

2

2

1.5539

9.81

BC BC BC BC

l

T

T

T

s

g















1.8757

ABCBA

T



s

(b) A A m AB m

v



l





A A m m AB











A A m AB m AB

v



l









A C C m m BC m BC

v



v



l









A A C C m AB m AB BC m BC m

v



l











l











v

C A AB AB m m BC BC

l

l













Como: _AB AB

g

l





e _BC BC

g

l





: BC AB BC AB

l

l







C A BC AB m m BC AB

l

l

l

l









C A AB m m BC

l

l









0

12

5

7.07

6

C C m m





 





9

Apêndice

Discussão - Pêndulo simples: Caso de qualquer ângulo inicial

Analisando com a conservação da energia mecânica: 2

1

2

m c p

E



E



E



mv



mgh

(para os pontos  = 0 e  = 0°) Como: 0

cos

cos

h



l





l



e

v

ds

d l

( )

l

d

dt

dt

dt











Substituindo, teremos:





2 0

1

cos

cos

2

d

m l

mgl

dt



_

_



_{ }

_

















2 2 0 2 0

1

cos

cos

2

2

cos

cos

d

ml

mgl

dt

d

g

dt

l



_

_



_

_



_{ }

_















_

_











0



2

cos

cos

d

g

dt

l



_

_





{1}



0



( )

t

2

g

cos

cos

d

l















Se invertermos a relação {1}, teremos:

0

1

1

2

cos

cos

dt

l

d





g







0

1

1

2

cos

cos

l

t

d

g













O período será dado, portanto, por:

4

T

t



0 0 0

4

1

2

cos

cos

l

T

d

g















Como 2 2 2 2 2 1 2 2

1 cos

2

cos

1

2

2

sen

sen

  











 

0 2 1 0 2 2

cos



 

1

sen







0 0 2 2 1 1 0 _{2 2 2 2}

4

1

2

₁

₁

l

T

d

g

_sen

_sen

  







 







0 0 2 2 0 2 2

4

1

2

1

2

l

T

d

g

sen

sen

  









0 0 2 2 0 _{2 2}

1

4

l

T

d

g

_sen

_sen

  _









Fazendo a mudança de variável:

0 1 1 0

2 2 2

cos

2 2 2

cos

sen





sen sen









d





sen



 

d

0 2 2

cos

cos

sen

d

d

 





 

Observe que: 0 2 2

arcs n

e

sen

sen

 







_



_





. Assim, quando 0 2

0

 

 

  

0



 Substituindo, teremos: 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 _{2 2}

1

4

cos

cos

sen

l

T

d

g

_sen

_sen

_sen

    

_

 







0 0 0 2 2 2 0 ₂

1

4

cos

cos

1

sen

l

T

d

g

_sen

_sen

   

_

 







0 0 0 2 2 2 0

1

4

cos

cos

cos

sen

l

T

d

g

sen

  

_

_

 



_

0 2 0

1

4

cos

l

T

d

g

 







0 2 0 ₂

1

4

1

l

T

d

g

_sen

 









0 0 2 2 0 ₂

4

1

l

d

T

g

_sen

_sen

 











2 0 2 2 0 ₂

4

1

l

d

T

g

_sen

_sen

 











Como:

 

2 2 2 0

1

d

K k

k sen

















2 0 0 2 2 _{2 2} 0

1

₂

d

K k

sen

sen

sen

  













 

2 2 _{2 2} 0

( , )

1

d

K k

F

k

k sen

 













Série:

 

1 2 2 1 3 2 4 1 3 5 2 6 1 2 2 2 4 2 4 6 K k    _{ } k _ _{ } k _  _{ } _ k      

10

 

 

0

 

0

 

0

 

0 2 2 2 2 4 6 2 2 2 2 1 1 3 1 3 5 1 2 2 2 4 2 4 6

K sen _ _{ } sen  _  _sen  _   _sen   _

  

     

 

 

Abramowitz & Stegun – Handbook of Mathematical functions – 9a Ed..17, pg. 589.



2 0



2

4

l

T

K k

sen

g







A expansão em série para a integral elíptica de primeira espécie K(z) fica:

2 3 4

9

25

1225

( )

1

2

4

64

256

16384

k

k

k

k

K k







_

 









_





 



0



 

0

 

0

 

0 2 2 2 2 4 6 2 2 2 2 1 1 3 1 3 5 1 2 2 2 4 2 4 6

K sen  _ _{ }sen  _  _sen  _   _sen   _

             2 2 0

( , )

1

d

F

sen

sen



_

 











(

, )

( )

2

F



k



K k

Assim:

 

0

 

0

 

0 2 2 2 2 4 6 2 2 2 1 1 3 1 3 5 2 1 2 2 4 2 4 6 l

T sen sen sen

g                 _{ }  _ _{ } _{  } _       Pêndulo físico

Pêndulo físico é chamado de pêndulo real,

pois não tem uma distribuição uniforme de massa. Para pequenas amplitudes, o cálculo do período é :

2

I

T

m g h



 

 

, onde:  I: momento de inércia,  m: massa do pêndulo,

 g: é o valor da aceleração da gravidade e  h: é a distância do ponto de pivô onde o pêndulo está fixo até seu centro de massa.

Se o ponto de apoio O (de pivô) estiver em seu centro de massa C, não haverá oscilação.

O pêndulo de Foucault Adaptado de:

http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo_de_Foucault

Um pêndulo de Foucault (pronunciado "fu-cô"), assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a um referencial, bem como a existência da força de Coriolis. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo foi fixado ao teto do Panthéon de Paris. A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida (e prova) à rotação da Terra. A velocidade e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.

11

Oscilações Forçadas

As vibrações mais importantes do ponto de vista da engenharia são as vibrações forçadas de um sistema, que ocorrem quando o sistema é submetido à uma força periódica ou quando está elasticamente ligado a um suporte que tem um movimento alternado.

Suponha uma força periódica do tipo:

 

m





F t



F



sen





t

Onde: Fm é a amplitude de força e  a frequência angular da força externa.

A 2ª Lei de Newton para esse sistema será:





 

2 2 est m

d x

m

P k

x

F

sen

t

dt







  

 





Na ausência de força externa (no equilíbrio):

est

P

 

k



Assim:





2 2 m

d x

m

k x

F

sen

t

dt





  









m

m x

   

k x

F



sen





t





m

F

k

x

x

sen

t

m

m



  









2 0 m

F

x

x

sen

t

m







 





Aqui chamaremos a frequência angular natural do sistema como:

0

k

m





A solução da equação diferencial é dada por:

 

H

 

p

 

x t



x

t



x

t

Onde:

x

_H

 

t

é a solução da equação diferencial homogênea:

x





₀2

 

x

0

 



_

0



_

0

cos

M H M

x

t

x

t

x

sen

t











 



 

_

_{ }



 

cos



0





0



H

x

t

 

A



  

t

B sen





t

 

p

x

t

é a solução particular da equação

diferencial: ₀2

F

m



 

1

x

x

sen

t

m







 





Podemos considerar como solução particular a função:

 





p m

x

t



x



sen





t

Assim, para satisfazer {1} teremos:

 

cos





p m

x

t



x

 







t

 

2





p m

x

t

  

x





sen





t

Substituindo em {1} teremos:

 

 

 

2 2 0 m m m

F

x

sen

t

x sen

t

sen

t

m











  

   

 







2 2



0 m m

F

x

m











2 2 0 m m

F

m

x









12

2 m m

F

m

x

k

m







2 m m

F

x

k

m





 

2

1

m m

F

k

x

k

m







2 2 0

1

m m

F

k

x









Chamamos de: m m

F

k





Assim: 2 0

1

m m

x













 







A solução geral será, portanto:

 

H

 

p

 

x t



x

t



x

t

 

cos



0





0



m

 

x t

 

A



  

t

B sen



  

t

x sen





t

 

 

0

 

0 2

 

0

cos

1

m

x t

A



t

B sen



t



sen



t





 

  

 





 

 

 

Assim, a vibração obtida consiste em duas vibrações sobrepostas. Os dois primeiros termos representam as vibrações livres do sistema, cuja frequência é chamada de frequência natural do

sistema, que depende apenas da constante da mola k e

da massa m do sistema. Também chamamos de vibração transitória, pois logo será dominada pelo termo permanente xp(t) a seguir. As condições iniciais para a posição inicial x0 e velocidade inicial v0 permitirão calcular os termos A e B.

Podemos ainda a amplitude máxima xm do termo permanente da forma:

2 0

1

1

m m

x



_









 







2 0

1

1

m m m m

x

x

F

k



_











 







O fator de ampliação m m m m

x

x

F

k





versus a

razão das frequências angulares

0





está representado

graficamente, onde se observa uma singularidade em

0

 



. Nesse caso, a amplitude da vibração forçada se torna infinita. Dizemos que a força excitadora ou o movimento excitador do suporte está em ressonância com o sistema dado. Na realidade essa amplitude permanece finita devido às forças dissipativas amortecedoras, que desconsideramos inicialmente; porém, essa situação deve ser evitada e a frequência forçada não deve ser escolhida muito próxima da frequência natural do sistema.

Notamos que para

 



₀o coeficiente de sen(.t) é positivo: a vibração forçada está em fase com a força excitadora ou o movimento excitador do suporte, enquanto que no caso

 



₀esse coeficiente será negativo e ela estará 180° defasada.

13

Exemplos

1. Imagine que você está numa embarcação que oscila na água para cima e para baixo. O deslocamento vertical y da embarcação é:



1, 2



cos

2

6

t

y

m

s









_



_





(a) Determinar a amplitude, a freqüência angular, a constante de fase, a freqüência e o período do movimento.

(b) Qual a posição da embarcação no instante

t = 1 s?

(c) Determinar a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.

(d) Determinar a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.

 Solução: (a)



1, 2



cos cos





2 6 m t y m y t s



_

_

   _  _      ym = 1.2m;

1

2

rad s





;

6

rad







2

4

T



T



s







  

(b)



 



1 1 1, 2 cos 2 6 y t m s



    _  _  



1

 

1, 2

 

cos 1.024



y t  m



1

 

1.2

 

cos 1.024



0.624 y t  m  m (c) 0.6 2 6 y dy t v sen dt



     _  _   0.3cos 2 6 y dv t a dt



     _  _   (d)



 



0 0 1, 2 cos 2 6 y t m s



    _  _   0 1.04 y  m





0 0 0.6 2 6 y v t sen s



      _  _   0 0.3 m y s v  





0 0 0.3 cos 2 6 y a t s



      _  _   2 0 0.260 m y s a  

2. Um corpo de 0.8 kg está preso a uma certa mola de constante elástica k = 400 N/m. Calcular a freqüência e o período do movimento do corpo quando for ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio.  Solução:

400

22.36

0.8

rad s

k

m









2

0.28

T



T

s





 

 

1

3.56

f

f

Hz

T



 

3. Um corpo oscila com freqüência angular de 8 rad/s. No instante t = 0s, o corpo está na posição x0 = 4 cm, com a velocidade inicial v0=-25 cm/s.

(a) Determinar a amplitude do movimento. (b) Dar x em função do tempo.

 Solução: (a) 2 2 0 0 m

v

x

x



 



_{  }

 

(Amplitude máxima) x0 = 4 cm =0.04m v0 = -25 cm/s = 0.25 m/s  = 8 rad/s 2 2

0.25

0.04

0.0506

8

m

x







_



_



m





0 0

0.66

v

arctg

rad

x











_



_









(b)

 

_m

cos





x t



x





 

t



 

5.06 cos 8



0.66

 

x t





 

t

cm

4. Um corpo de 2kg está preso a uma mola. A constante de força da mola é de k = 196 N/m. O corpo, inicialmente, está a 5 cm de distância da posição de equilíbrio e é solto no instante t = 0.

(a) Calcular a freqüência angular , a freqüência f e o período T do movimento.

(b) Dar a equação de x em função do tempo t.

 Solução: (a)

196

9.90

2

rad s

k

m









2

0.633

T



T

s





 

 

1

1.58

f

f

Hz

T



 

14

(b) x0 = 5 cm =0.05m v0 = 0 m/s  = 9.90 rad/s 2 2

0

0.05

0.05

9.90

m

x







_



_



m





0 0

0

v

arctg

rad

x











_



_









 

5 cos 9.90



 

x t

 



t cm

5. Seja um corpo preso a uma mola com o movimento descrito pela equação:

 

5 cos 9.90



 

x t

 



t cm

(a) Qual a velocidade máxima do corpo? (b) Em que instante o corpo tem esta velocidade máxima?

(c) Qual a aceleração máxima do corpo? (d) Em que instante o corpo tem essa aceleração máxima?  Solução: (a)

v

dx

d



5 cos 9.90



t





dt

dt









 

m





v t

  



x



sen





t

m m v   x 9.9 0.05 495cm m s v    (b)





3

5

1

,

,

2

2

2

sen



     

t



t

  

0.159

2

2

2 9.90

t



t





s





 

 







(c)







m



dv

d

a

x

sen

t

dt

dt









 





 

2





cos

m

a t

 





x







t

2 m m a  x 2 2 9.9 0.05 490cm m _s a    (d) t = 0s.

6. Um corpo preso a uma mola, de massa 3kg, oscila com amplitude 4 cm e período 2s.

(a) Qual a energia mecânica total do sistema? (b) Que velocidade máxima tem o corpo? (c) Em que posição x1 a velocidade é metade da velocidade máxima?  Solução: (a)

T

2









2

m

T

k



  

2 2

4

m

k

T



 



2 2

3

4

2

k

 





29.6

N m

k



2

2

m

k x

E





2

29.6 0.04

2

E





2

2.37 10

E







J

(b) 2

2

0.126

2

m m m s

m v

E

E

v

m













(c) 2 2

2

2

m v

k x

E

  

K U







 

max 2 2 2

2

2

v

m

_{k x}

E









x = 3.46 cm.

7. Um corpo de 3 kg, pendurado numa certa mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e solto para que oscile preso à mola.

(a) Determinar a freqüência do movimento. (b) Determinar a freqüência se o corpo de 3 kg for substituído por um de 6 kg.

 Solução: (a) 0 0

184

N m

m g

m g

k y

k

y



  

 



2

f









1

1.25

k

f

Hz











15

(b) 2

1

0.884

2

k

f

Hz

m











8. Calcular  no exemplo anterior e determinar

vmax.

 Resposta

 = 3.14 rad/s; vmax=0.126 m/s.

9. Um corpo de 2 kg e massa oscila preso a uma mola de k = 40 N/m. Sua velocidade é 25 cm/s quando está na posição de equilíbrio.

(a) Qual a energia total do sistema oscilante? (b) Qual a amplitude do movimento?

 Resposta (a) 0.0625J.

(b) 5.59 cm.

10. Um corpo de 4 kg, pendurado numa mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e solto para que oscile preso à mola.

(a) Determine a freqüência do movimento. (b) Determine a freqüência se o corpo for substituído por outro de 8 kg.

11. Uma plataforma oscila com freqüência de 4 Hz e amplitude 7 cm, presa a uma mola vertical. Uma pequena conta é pousada na plataforma no exato momento em que ela se encontra na posição mais baixa. Admita que a conta seja leve de forma que não altere a oscilação.

(a) A que distância da posição de equilíbrio da plataforma sobre a mola a conta perde contato com a plataforma?

(b) Qual a velocidade da conta no instante em que abandona a plataforma?

 Resposta (a) 1.55cm.

(b) 1.72 m/s.

12. O corpo de 3 kg do exemplo anterior estica 16 cm a mola quando pendurado na vertical e em equilíbrio. A mola é então alongada outros 5 cm em relação à posição de equilíbrio e o sistema é solto para oscilar livremente. Calcular a energia total e a energia potencial da mola quando o corpo está na posição de deslocamento máximo.

 Resposta

E = 0.23 J.

1.70 J.

13. Calcular o período de oscilação de um pêndulo simples com 1 m de comprimento.

 Resposta

T = 2.01 s.

14. Um pêndulo simples com o comprimento de 1 m está num vagão que se desloca com aceleração a0 = 3m/s2. Calcular a aceleração g´ e o período T.

 Resposta

g´= 10.3 m/s2 e T = 1.96s.

15. Um relógio de pêndulo é calibrado para manter o período exato de oscilação com um ângulo  = 100. Se a amplitude das oscilações diminuir e ficar muito pequena, o relógio irá adiantar ou atrasar? Qual o valor do atraso ou do adiantamento em um dia?

 Resposta

Adianta. 2.74 min por dia.

16. Uma barra homogênea de massa M e comprimento L está suspensa por uma das extremidades.

(a) Calcular o período da oscilação quando os deslocamentos angulares forem pequenos.

(b) Calcular o período de oscilação se o ponto de suspensão P estiver à distância x do centro de massa.  Resposta (a)

2

2

3

l

T

g





  



(b) 2 2

1

12

2

l

x

T

x g



 

  



17. Qual o período de oscilação, com deslocamentos angulares pequenos, de uma barra de um metro suspensa por uma de suas extremidades?

16

 Resposta

T = 1.64 s.

18. Mostrar que, quando x = l/6, o período é igual ao da oscilação quando x = l/2.

19. Determinar o valor de x, no exemplo 16, para o qual o período é um mínimo.

 Resposta

12

l

x



20. Um motor pesando 1750 N está apoiado por 4 molas, cada uma com constante elástica de 105 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a um peso de 0.3 N localizado a 0.15 m do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a mover-se verticalmente, determine:

(a) a frequência em rpm que ocorrerá a ressonância.

(b) a amplitude da vibração do motor na frequência de 1200 rpm.  Solução: (a) e

4

m

k

k

m

P g





 





3

4 150 10

58

1750 9.81

rad

s









 



58

2

2

f



f







 





9.23

9.23 60

f



Hz

 

f



rpm

554

f



rpm

(b) Amplitude de força:





2 2

2

d m d m

P

F

m

r

F

f

r

g









 









2 2

4

d m

P

F

f

r

g









2 2

0.3

1200

4

0.15

9.81

60

m

F









_



_







72.43

m

F



N

2 0

1

1

m m

x



_









 







3

72.43

4 150 10

m m m e

F

k















4

1.207 10

m

m



_

_

 2 0

1

1

m m

x

f

f





_

_

  





2

1

1200

1

554

m m

x





_

_

 

_



_

0.2708

m m

x



 

4

0.2708 1.207 10

m

x

 





 5

3.2 10

m

x

 





21. Um pêndulo simples de massa m funciona como um relógio.

(a) Encontre seu comprimento.

(b) Calcule o novo valor do período sem considerar a aproximação de pequenos ângulos para cada ângulo dado na tabela.

 

0

 

0

 

0 2 2 2 2 4 6 2 2 2

1

1 3

1 3 5

2

1

2

2 4

2 4 6

l

T

sen

sen

sen

g

  







 









 









_



_{ }



_

_



_

_



_



 

 



















0

(°)

180    

(rad)

T(s)

5

5 180

10

10 180

15

15 180

20

20 180

25

25 180

30

30 180

35

35 180

40

40 180

45

45 180

1.00193

50

50 180



17

 Solução: (a)

_T

₂

l

g





2 2 2 2

1

9.81

4

4

T

l

g

l







 

0.2485

l



m

Beer Johnston – Capítulo 19

19.1 Um ponto material desloca-se em

movimento harmônico simples com aceleração máxima de 3,00 m/s2 e sua máxima velocidade, 150 mm/s. Determine a amplitude e a freqüência do movimento.

19.2 Determine a máxima velocidade e a

máxima aceleração do um ponto material que se move em movimento harmônico simples com amplitude de 150 mm e período de 0.90s.

19.3 O cursor está preso à mola ilustrada na

figura e pode deslizar sem atrito na barra horizontal. Se o cursor for afastado 0.102 m de sua posição de equilíbrio e liberado, determinar o período, a velocidade máxima e a aceleração máxima do movimento resultante. A massa vale 2.27 kg e a constante da mola, 525 N/m.

A

19.4 Um cursor de 1,36 kg está preso a uma

mola de constante 700 N/m e poda deslizar sem atrito ao longo de uma haste horizontal. O cursor inicialmente em repouso receba um golpe, adquirindo uma velocidade de 1.27 m/s. Determine a amplitude e a máxima aceleração do cursor durante o movimento subseqüente.

19.5 Um motor de velocidade variável está

rigidamente preso à viga BC. O motor está ligeiramente desbalanceado e faz a viga vibrar com freqüência angular igual à velocidade do motor.

Quando a velocidade do motor é menor que 450 rpm ou mais que 900 rpm, observa-se que um pequeno objeto colocado em A permanece em contato com a viga. Para velocidades entra 450 e 900 rpm o objeto "dança" e realmente perde o contato com a barra. Determine a amplitude do movimento de A quando a velocidade do motor é:

(a) 450 rpm, (b) 900 rpm. A

19-6. Coloca-se um pacote B sobra uma

mesa oscilante, como indica a figura. A mesa se move horizontalmente em movimento harmônico

simples com freqüência de 3 Hz. Sabendo que o coeficiente de atrito estático pacote-mesa é  = 0.40, determine a máxima amplitude do pacote para que ele não escorregue da mesma.

19.7 O cursor de 3.00 kg repousa sobre,

mas não está preso a, a mola Ilustrada. O cursor é pressionado 0.050 m e liberado. Se o movimento que se segue é harmônico, determine

(a) o valor máximo permissível da constante k da mola

(b) a posição, a velocidade e a aceleração do cursor 0.15 s após ele ter sido solto.

19.8 Um cursor de 4.00 kg está preso a uma

mola de constante k = 800N/m como ilustrado. Se a ele é dado um deslocamento de 40 mm para baixo de sua posição de equilíbrio, determine

(a) o tempo necessário para o cursor mover-se 60 mm para cima e

(b) a sua aceleração correspondentes.

19.9 Um cursor de 1.36 kg está ligado a

uma mola da constante k = 876 N/m como ilustrado. Se deslocarmos o cursor 63.5 mm para baixo da sua posição de equilíbrio, determine

(a) o tempo gasto pelo cursor para ele se mover 50.8 mm para cima

(b) suas correspondentes velocidade e aceleração.

19.10 No Problema 19.9, determine a

posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.20s após sua liberação.

19.11 e 19.12 Sustenta-se um bloco por

meio de molas, como indicam as figuras. Se movermos o bloco verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e então o soltarmos, determine:

(a) o período e a freqüência do movimento e

(b) a velocidade e a aceleração máxima atingidas pelo bloco para uma amplitude de 0,0318 m.

18

2.63 kN/m 2.63 kN/m

1.75 kN/m

19.13 e 19.14 O bloco mostrado na figura

foi deslocado verticalmente para cima da posição de equilíbrio, e, então, liberado. Determine

(a) o período e a freqüência do movimento adquirido pelo bloco e

(b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.

19.15 O período de vibração do sistema

indicado na figura é de 0.40s. Com a remoção do cilindro B, o período se torna igual a 0.30 s.

Determine:

(a) a massa do cilindro

(b) a constante elástica da mola.

19.16 O período de vibração do sistema

indicado na figura é 1.5º s. Se substituirmos o cilindro

B por outro de peso igual a 17.8 N, o período passará

a ser de 1.6 8. Determinar

(a) a massa do cilindro A e (b) a constante da mola.

19.17 Uma bandeja de massa m, presa a três

molas tem o período de vibração igual a 0.50s. Colocando-se um bloco de 1.50 kg sobre a bandeja, o período se altera para 0.60 s. Sabendo que a amplitude das vibrações é pequena, determine a massa m da bandeja.

19.18 O período de vibração do sistema

bandeja-molas é 0.75s. Removendo-se a mola central

C, o período se altera para 0.90 s. Sabendo-se que a

constante da mola C vale 100N/m, determinar a massa m da bandeja.

19.19 Um cursor de massa m desliza

sem atrito numa barra horizontal e está presa uma mola AB de constante k.

(a) Se o comprimento da mola não deformada é exatamente ic mostre que o cursor não executa um movimento harmónico simples mesmo quando as osc são de pequena amplitude, (b) Se o comprimento da mola não deformada é menor que /, mós;

o movimento é harmónico simples para pequenas amplitudes.

19.20 A barra AB esta presa d uma

articulação A e a duas molas, cada uma de constante elástica k. Quando h = 0,60 m, d = 0.25 m e m = 25kg, determine o valor de k para que o período de pequenas oscilações seja

(a) 1.0 s. (b) infinito.

Despreze o peso da barra e suponha que cada mola pode atuar tanto na tração como na compressão.