Sobre o n ´umero de Neper ou de ¨Euler “e”, exponenciais e logaritmos
Defini¸c˜ao:
e :
=
lim
n→+∞1
+
1
n
n •A fun¸c˜ao exponencial
•Lembrete:Dados a∈ IR, com a >0 e r ∈Q, a potˆencia ar ∈ IR ´e definida da seguinte forma:
• Se r= m n, m∈ Z n∈ N, n≥1 , ent˜ao ar = am/n := n
√
a
m.Com tal definic¸˜ao, para cada a ∈ IR, a>0, podemos definir a func¸˜ao fa :Q→ IR, definida por
f
a(
r
)
:
=
a
r, para todo r
∈
Q.
Observa¸c˜ao: Note que a func¸˜ao f1, para a=1, ´e a func¸˜ao constante g(x) =1, para todo x∈ Q.
Teorema: Seja a ∈ IR, com a>0 e a6= 1. Ent˜ao existe uma func¸˜ao bfa : IR→ IR, cont´ınua, tal que
b
f
a(
r
) =
f
a(
r
) =
a
r, para todo r
∈
Q.
A func¸˜ao bfa ´e denominada fun¸c˜ao exponencial de base a e ´e tamb´em denotada por expa.
Portanto, escrevemos
b
f
a(
x
) =
a
x=
exp
a
(
x
)
, para todox ∈ IR.•
Com as seguintes propriedades:
1. D(expa) = IR e Im( expa) = ]0,+∞[.2. a0 =1 e a1= a
3. ax1 ·ax2 = ax1 +x2, ∀x
8. Se a>1 ent˜ao lim x→+∞a x = +∞ lim x→−∞a x =0 (caso E.C.) Se 0<a <1 ent˜ao lim x→+∞a x = 0 lim x→−∞a x = +∞ (caso E.D.)
•
A fun¸c˜ao logar´ıtmica
log
aSeja a ∈ IR, com a > 0 e a 6= 1. Consideremos a func¸˜ao exponencial (∗) expa : IR →]0,+∞[, definida por
y
=
exp
a(
x
) =
a
x.Usando os limites da propriedade 8 acima e o Teorema do Valor Intermedi´ario, obtem-se a seguinte proposic¸˜ao, que servir´a para definir Logaritmo.
Proposi¸c˜ao: Sejam a > 0, a 6= 1 e α > 0 dois n ´umeros reais dados. Ent˜ao existe um ´unico n ´umero real β tal que aβ =
α.
Defini¸c˜ao: Sejam a >0, a 6=1, eα>0dois n ´umeros reais dados.
O ´unico n ´umero real β tal que aβ =α ´e denominado logaritmo deαna base ae indicado por β =logaα.
Temos pois que logaα =β ⇐⇒ aβ =α.
Desta forma podemos definir uma nova func¸˜ao - a func¸˜ao logar´ıtmica.
Defini¸c˜ao: Seja a >0, com a 6= 1. Consideremos a func¸˜ao, denotada por loga, definida por
loga : ]0,+∞[ → IR tal que para cada x >0, loga(x) = y : ⇐⇒ ay = x.
A func¸˜ao acima que associa a cada numero real estritamente positivoxo logar´ıtmo de logaxna base a ´e denominada func¸˜ao logar´ıtmica de base a.
Observa¸c˜ao: No caso em que a base ´e o n ´umero de Neper e o logar´ıtmo na base e ´e denotado por ln, ou seja, ln =loge.
•
Propriedades da fun¸c˜ao logar´ıtmica
log
aLembrando que: logax = y ⇐⇒ ay =x
1. D (loga) = ]0,+∞[ e Im(loga) = IR
2. loga1 = 0 e logaa = 1.
3 . loga(x1·x2) = logax1 + logax2, ∀x1, x2 >0.
4. loga x1 x2 = logax1 − logax2, ∀x1, x2 >0. 5. logaxα = α·logax, ∀x>0, ∀α∈ IR. 6.
Paraa>1, se 0 <x1 <x2 ent˜ao logax1<logax2. (i.´e., loga ´e E.C.)
Para0< a<1, se 0<x1 <x2 ent˜ao logax1 >logax2. (i.´e., loga ´e E. D.)
7. Seja b >0, b 6=1. Ent˜ao, para todo x >0, logax = logbx
logba (mudanc¸a de base)
8. Importantes: alogax = x, ∀x>0 loga(ax) = x, ∀x∈ IR
•
Gr´aficos das fun¸c ˜oes
exp
ae
log
ade base a, a
>
1
y =ax y =logax y =x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 x y y = exp(x) y = x y = ln(x) lim x→p a x =ap, ∀p∈ IR lim
x→p logax =logap, para todo p >0
lim x→−∞a x =0 lim x→+∞a x = +∞
•
Gr´aficos das fun¸c ˜oes
exp
ae
log
ade base a,
0
<
a
<
1
y =ax y =logax y=x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y y = exp(-x) y = x y = -ln(x) lim x→p a x = ap, ∀p∈ IR limx→p logax =logap, para todo p >0
lim x→−∞a x = +∞ lim x→+∞a x =0 lim x→0+ logax = +∞ lim x→+∞logax = −∞
•
2
oLimite fundamental e outros limites relacionados
•lim
n→+∞1
+
1
n
n:
=
e. (n
∈
IN, n
≥
1)
•
lim
x→+∞1
+
1
x
x=
e. (2o.Limite Fundamental)
•
lim
x→−∞1
+
1
x
x=
e.
• lim u→0 1 + u 1/u = e. • lim h→0 eh−1 h =1.•Exerc´ıcio: Seja a∈ IR, com a>0 e a 6=1. Mostre que existe o lim
t→0 at−1 t e que lim t→0 at−1 t = ln a.