Sobre o número de Neper ou de Ëuler e, exponenciais e logaritmos. A função exponencial. f a (r) := a r, para todo r Q.

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Texto

(1)

Sobre o n ´umero de Neper ou de ¨Euler “e”, exponenciais e logaritmos

Defini¸c˜ao:

e :

=

lim

n→+∞



1

+

1

n



n •

A fun¸c˜ao exponencial

•Lembrete:Dados a∈ IR, com a >0 e r ∈Q, a potˆencia ar ∈ IR ´e definida da seguinte forma:

• Se      r= m n, m∈ Z n∈ N, n≥1 , ent˜ao ar = am/n := n

a

m.

Com tal definic¸˜ao, para cada a ∈ IR, a>0, podemos definir a func¸˜ao fa :Q→ IR, definida por

f

a

(

r

)

:

=

a

r

, para todo r

Q.

Observa¸c˜ao: Note que a func¸˜ao f1, para a=1, ´e a func¸˜ao constante g(x) =1, para todo x∈ Q.

Teorema: Seja a ∈ IR, com a>0 e a6= 1. Ent˜ao existe uma func¸˜ao bfa : IR→ IR, cont´ınua, tal que

b

f

a

(

r

) =

f

a

(

r

) =

a

r

, para todo r

Q.

A func¸˜ao bfa ´e denominada fun¸c˜ao exponencial de base a e ´e tamb´em denotada por expa.

Portanto, escrevemos

b

f

a

(

x

) =

a

x

=

exp

a

(

x

)

, para todox ∈ IR.

Com as seguintes propriedades:

1. D(expa) = IR e Im( expa) = ]0,+∞[.

2. a0 =1 e a1= a

3. ax1 ·ax2 = ax1 +x2,x

(2)

8.                          Se a>1 ent˜ao      lim x→+∞a x = + lim x→−∞a x =0 (caso E.C.) Se 0<a <1 ent˜ao      lim x→+∞a x = 0 lim x→−∞a x = + (caso E.D.)

A fun¸c˜ao logar´ıtmica

log

a

Seja a ∈ IR, com a > 0 e a 6= 1. Consideremos a func¸˜ao exponencial (∗) expa : IR →]0,+∞[, definida por

y

=

exp

a

(

x

) =

a

x.

Usando os limites da propriedade 8 acima e o Teorema do Valor Intermedi´ario, obtem-se a seguinte proposic¸˜ao, que servir´a para definir Logaritmo.

Proposi¸c˜ao: Sejam a > 0, a 6= 1 e α > 0 dois n ´umeros reais dados. Ent˜ao existe um ´unico n ´umero real β tal que aβ =

α.

Defini¸c˜ao: Sejam a >0, a 6=1, eα>0dois n ´umeros reais dados.

O ´unico n ´umero real β tal que aβ =α ´e denominado logaritmo deαna base ae indicado por β =logaα.

Temos pois que logaα =β ⇐⇒ aβ =α.

Desta forma podemos definir uma nova func¸˜ao - a func¸˜ao logar´ıtmica.

Defini¸c˜ao: Seja a >0, com a 6= 1. Consideremos a func¸˜ao, denotada por loga, definida por

loga : ]0,+∞[ → IR tal que    para cada x >0, loga(x) = y : ⇐⇒ ay = x.

A func¸˜ao acima que associa a cada numero real estritamente positivoxo logar´ıtmo de logaxna base a ´e denominada func¸˜ao logar´ıtmica de base a.

Observa¸c˜ao: No caso em que a base ´e o n ´umero de Neper e o logar´ıtmo na base e ´e denotado por ln, ou seja, ln =loge.

(3)

Propriedades da fun¸c˜ao logar´ıtmica

log

a

Lembrando que: logax = y ⇐⇒ ay =x

1. D (loga) = ]0,+∞[ e Im(loga) = IR

2. loga1 = 0 e logaa = 1.

3 . loga(x1·x2) = logax1 + logax2, ∀x1, x2 >0.

4. loga x1 x2  = logax1 − logax2, ∀x1, x2 >0. 5. logaxα = α·logax, ∀x>0, ∀α∈ IR. 6.   

Paraa>1, se 0 <x1 <x2 ent˜ao logax1<logax2. (i.´e., loga ´e E.C.)

Para0< a<1, se 0<x1 <x2 ent˜ao logax1 >logax2. (i.´e., loga ´e E. D.)

7. Seja b >0, b 6=1. Ent˜ao, para todo x >0, logax = logbx

logba (mudanc¸a de base)

8. Importantes:    alogax = x, x>0 loga(ax) = x, ∀x∈ IR

Gr´aficos das fun¸c ˜oes

exp

a

e

log

a

de base a, a

>

1

y =ax y =logax y =x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 x y y = exp(x) y = x y = ln(x) lim x→p a x =ap, p IR lim

x→p logax =logap, para todo p >0

lim x→−∞a x =0 lim x→+∞a x = +

(4)

Gr´aficos das fun¸c ˜oes

exp

a

e

log

a

de base a,

0

<

a

<

1

y =ax y =logax y=x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y y = exp(-x) y = x y = -ln(x) lim x→p a x = ap, p IR lim

x→p logax =logap, para todo p >0

lim x→−∞a x = + lim x→+∞a x =0 lim x→0+ logax = +∞ lim x→+∞logax = −∞

(5)

2

o

Limite fundamental e outros limites relacionados

lim

n→+∞



1

+

1

n



n

:

=

e. (n

IN, n

1)

lim

x→+∞



1

+

1

x



x

=

e. (2o.Limite Fundamental)

lim

x→−∞



1

+

1

x



x

=

e.

• lim u→0 1 + u 1/u = e. • lim h→0 eh−1 h =1.

Exerc´ıcio: Seja a∈ IR, com a>0 e a 6=1. Mostre que existe o lim

t→0 at−1 t e que lim t→0 at−1 t = ln a.

Imagem

Referências

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