Método Automático de Planificação de Chapas Adaptado ao Processo Produtivo

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Método Automático de Planificação de Chapas Adaptado

ao Processo Produtivo

Rui Manuel Gonçalves Lourenço

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia e Arquitectura Naval

Júri

Presidente: Prof. Carlos António Pancada Guedes Soares

Orientador: Prof. José Manuel Antunes Mendes Gordo

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RESUMO

Este documento apresenta o estudo para um programa informático que permite a automatização do processo de planificação de chapas do casco tendo em consideração os processos de fabrico, de modo a aumentar o grau de automatização nas linhas de processamento do casco de um navio, num estaleiro naval, mais propriamente aumentar a qualidade de traçagem das chapas.

O programa trabalha a partir de um ficheiro que contém pontos notáveis da chapa, obtidos no plano vertical de um navio, uma vez que é aplicado o método da geodésica para planificar as chapas.

No caso de as chapas serem de dupla curvatura, o programa tem em conta os processos práticos de fabrico, considerando os encurtamentos plásticos devidos a processos térmicos de enformação. A planificação final considera mais material na chapa para compensar os encurtamentos sofridos.

Palavras-Chave: programa informático; planificação de chapas; casco; método da geodésica;

processos de fabrico.

ABSTRACT

This document presents the study for the creation of a computer program that enables the developments of the hull plates, considering the manufacturing processes. The program’s aim is to increase the degree of automation in the production lines in a hull of a ship, more specifically, the quality of the plate development prior to its forming.

The program works from a file that contains key points of the plate, these points are obtained from the body plan of the ship. The program applies the geodesic method of plate development.

In the case of a double curvature plate development, the program takes into account the manufacture processes, inserting the necessary corrections in the plate development.

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AGRADECIMENTOS

Ao Professor José Gordo pela orientação desta dissertação de mestrado.

Ao colega Filipe Rebelo na ajuda que me deu na compreensão do método da geodésica.

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ÍNDICE

1- INTRODUÇÃO... 1

2- CLASSIFICAÇÃO DAS CHAPAS DO CASCO DE UM NAVIO... 3

2.1- Chapas planas... 4

2.2- Chapas de curvatura simples... 4

2.3- Chapas de dupla curvatura... 5

3- DISTRIBUIÇÃO DE CHAPAS NO CASCO DE UM NAVIO... 7

3.1- Distribuição de chapas - Tradicional... 7

3.2- Distribuição de chapas - Moderna... 8

3.3- Tipos de chapas – Quantidades... 9

4- CASOS EXISTENTES NA PLANIFICAÇÃO DE UMA CHAPA... 10

4.1- Elementos planos... 10

4.2- Elementos com curvatura - Método da geodésica... 12

5- APLICAÇÃO DO MÉTODO DA GEODÉSICA... 15

5.1- Dados de entrada... 17

5.2- Método da geodésica... 18

5.2.1- Traçagem da projecção da geodésica sobre o plano vertical... 19

5.2.2- Desenvolvimentos da geodésica e bainhas... 27

5.2.3- Planificação da chapa... 29

5.3- Dados de saída... 34

5.4- Comparação de resultados... 36

6- CORRECÇÃO NA PLANIFICAÇÃO PARA CHAPAS DE DUPLA CURVATURA... 39

6.1- Método da pseudo-planificação por plastificação... 39

6.2- Aplicação em MatLab... 43

6.3- Novos dados de saída... 45

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7- RESULTADOS OBTIDOS... 49 7.1- Chapa 1... 49 7.2- Chapa 2... 53 7.3- Chapa 3... 56 7.4- Chapa 4... 60 7.5- Chapa 5... 63 7.6- Discussão de resultados... 67

8- PROCESSOS DE ENFORMAÇÃO PRATICADOS EM ESTALEIRO... 71

8.1- Enformação mecânica... 71

8.2- Enformação térmica... 72

8.3- Enformação de chapas de simples curvatura... 74

8.4- Enformação de chapas de dupla curvatura... 75

8.5- Automatização de enformação de chapas... 76

9- CONCLUSÕES... 79

BIBLIOGRAFIA... 81

ANEXOS... 83

ANEXO A... 85

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Curvatura de uma linha... 3

Figura 2.2 Curvatura de uma superfície... 4

Figura 2.3 Chapa cilíndrica... 5

Figura 2.6 União de duas chapas (concha e sela)... 6

Figura 3.1 Plano vertical - Distribuição tradicional de chapas... 7

Figura 3.2 Plano vertical - Distribuição moderna de chapas... 8

Figura 3.3 Modelação da superfície de casco de um navio petroleiro... 9

Figura 3.4 Tipos de chapa de um navio petroleiro [Quantidades]... 9

Figura 4.1 Plano vertical – Exemplo para uma chapa marginal... 10

Figura 4.2 Desenvolvimento da directriz – Exemplo para uma chapa marginal... 11

Figura 4.3 Planificação – Exemplo para uma chapa marginal... 11

Figura 4.4 Traçagem de uma geodésica numa superfície... 14

Figura 5.1 Arranjo geral de um navio de transporte de produtos químicos... 15

Figura 5.2 Plano vertical - Distribuição de chapas... 15

Figura 5.3 Plano vertical – Chapa modelo [assinalada a vermelho]... 16

Figura 5.4 Plano vertical – Chapa seleccionada... 16

Figura 5.5 Algoritmo do programa... 17

Figura 5.6 Plano vertical – Pontos de entrada... 18

Figura 5.7 Plano vertical - Traçagem da geodésica – Início... 20

Figura 5.8 Construção auxiliar no plano longitudinal... 20

Figura 5.9 Construção auxiliar - Traçagem da geodésica – Inicio... 21

Figura 5.10 Construção auxiliar - Traçagem da geodésica – Iteração [1]... 22

Figura 5.12 Plano vertical - Traçagem da geodésica – Iteração [1]... 23

Figura 5.16 Plano vertical – Geodésica... 27

Figura 5.17 Construção auxiliar – Geodésica... 27

Figura 5.18 Desenvolvimentos das baínhas e da geodésica... 28

Figura 5.19 Desenvolvimento da baínha inferior – Limite... 29

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Figura 5.23 Plano vertical – Arco de baliza... 32

Figura 5.24 Planificação da chapa – Iteração [2]... 33

Figura 5.25 CAD - Planificação da Chapa... 34

Figura 5.26 MatLab - Planificação da Chapa... 35

Figura 5.27 MatLab - Chapa representada em 3D... 36

Figura 6.1 Algoritmo do programa – Chapa de dupla curvatura... 39

Figura 6.2 Transformação de chapa cónica para chapa em concha (A) ou chapa em sela (B)... 40

Figura 6.3 Raio de curvatura longitudinal da geodésica entre 3 balizas consecutivas... 41

Figura 6.4 Comprimento da linha da geodésica para um passo de baliza...41

Figura 6.5 Distâncias di_inf e di_sup para uma secção transversal da chapa... 42

Figura 6.6 Desvio para chapas do tipo concha e sela... 43

Figura 6.7 Vectores u e v entre dois planos de baliza, e o ângulo  entre os mesmos vectores... 44

Figura 6.8 MatLab - Novos Desenvolvimentos das bainhas... 45

Figura 6.9 MatLab - Nova Planificação da Chapa... 46

Figura 6.10 Novos pontos obtidos na planificação de uma chapa em concha... 47

Figura 7.1 Plano vertical – Chapas escolhidas na aplicação do algoritmo... 49

Figura 7.2 MatLab - Chapa representada em 3D – Chapa 1... 50

Figura 7.3 MatLab - Planificação da Chapa – Chapa 1... 51

Figura 7.4 MatLab - Novos Desenvolvimentos das bainhas – Chapa 1...51

Figura 7.5 MatLab - Nova Planificação da Chapa – Chapa 1... 51

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Figura 7.21 MatLab - Nova Planificação da Chapa – Chapa 5 - [1]...64

Figura 7.22 Novos pontos obtidos na planificação de uma chapa em sela... 65

Figura 7.23 MatLab - Nova Planificação da Chapa – Chapa 5 - [2]...65

Figura 7.24 Valores de ds, Clong, di_inf e di_sup ao longo da Chapa 2... 67

Figura 7.25 Valores de ds, Clong, di_inf e di_sup ao longo da Chapa 5... 68

Figura 8.1 Aplicação de esforços de tracção... 71

Figura 8.2 Aplicação de esforços de compressão... 72

Figura 8.3 Aplicação de esforços de flexão... 72

Figura 8.4 Cinemática da enformação térmica em meia espessura da chapa... 72

Figura 8.5 Exemplo de aplicação de calores a meia espessura de uma chapa... 73

Figura 8.6 Cinemática da enformação térmica em toda espessura da chapa... 73

Figura 8.7 Aplicação de linhas de calor – chapa em concha e em sela... 74

Figura 8.8 Aplicação de calores em V – Chapa em concha... 74

Figura 8.9 Flexão de uma chapa na calandra... 75

Figura 8.10 Efeito de estiramento... 75

Figura 8.11 Aplicação de calores – Forma de sela... 75

Figura 8.12 Aplicação gradual de calores em V – Chapa em concha... 76

Figura 8.13 Automatização de enformação de chapas – Interface do programa... 77

Figura 8.14 Automatização de enformação de chapas – Maçarico em funcionamento....77

Figura A.1 Pasta que contem os ficheiros de MatLab e Excel... 85

Figura A.2 Abrir o ficheiro “METODO_GEODESICA.m”... 86

Figura A.3 Interface do MatLab... 86

Figura A.4 Programa iniciado – Inserir nome do ficheiro de entrada... 87

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LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 Tabela em Excel - Dados de entrada... 18

Tabela 5.2 CAD - Dados de saída... 34

Tabela 5.3 MatLab - Dados de saída... 35

Tabela 5.4 Erros relativos percentuais – Programa em relação a CAD... 37

Tabela 5.5 Erros absolutos em módulo – Entre o programa e CAD...37

Tabela 6.1 MatLab – Novos dados de saída... 46

Tabela 6.2 MatLab - Diferença de valores nos dois métodos... 47

Tabela 6.3 MatLab – Distâncias d e D, extensões ε e εo... 48

Tabela 7.1 Tabela em Excel - Dados de entrada – Chapa 1... 50

Tabela 7.2 MatLab – Novos dados de saída – Chapa 1... 52

Tabela 7.3 MatLab - Diferença de valores nos dois métodos – Chapa 1... 52

Tabela 7.4 MatLab – Distâncias d e D, extensões ε e εo – Chapa 1... 52

Tabela 7.6 MatLab – Novos dados de saída – Chapa 2... 55

Tabela 7.10 MatLab - Novos dados de saída – Chapa 3... 58

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1- INTRODUÇÃO

Nos dias de hoje, para responder às crescentes necessidades de transporte de carga entre continentes, os navios são construídos de maneira a poder transportar o máximo possível de carga numa única viagem. Estes navios de grandes dimensões são bastante complexos no que diz respeito à sua produção, por isso os estaleiros modernos tentam a automatização do maior número possível de tarefas de maneira a aumentar a eficácia na sua construção.

O objectivo desta dissertação de mestrado centra-se em automatizar uma parte da produção total do navio: a traçagem de chapas a serem produzidas para o casco de um navio. Para concretizar este objectivo foi adoptado um método de planificação para um programa informático. As duas grandes vantagens para esta implementação automática em relação à aplicação manual do método em sistemas de desenho assistidos por computador (CAD) são as seguintes:

 A velocidade de processamento, obtendo-se assim resultados para uma determinada chapa muito mais rapidamente.

 A consideração de possíveis correcções a serem introduzidas na traçagem de chapas de dupla curvatura, devido às contracções térmicas que a chapa irá sofrer na sua enformação [1].

A traçagem engloba um conjunto de tarefas, parte delas são feitas na fase de projecto do navio, e as restantes são feitas na fase de produção do navio, havendo assim informação disponível para a preparação da construção do casco. Existe um elo de ligação entre o projecto desenvolvido e o fabrico dos elementos do casco, sendo conveniente fazer um enquadramento entre projecto e produção.

Em projecto são obtidas as formas definitivas do casco e são representadas no plano geométrico do navio: plano vertical, plano longitudinal e plano horizontal. O plano vertical, para além de representar a forma do casco, tem informação sobre a distribuição de chapas do casco. Uma chapa contém quatro fronteiras, duas baínhas correspondentes aos lados maiores da chapa, e dois topos correspondentes aos lados menores da chapa. Normalmente no casco do navio, as baínhas das chapas são dispostas longitudinalmente. Um outro desenho técnico utilizado é o arranjo geral do navio, e que tem informação sobre o espaçamento entre balizas.

Em [2], são descritos vários métodos os quais podem ser aplicados para a planificação de um elemento do casco. Para esta dissertação de mestrado foi usado o “Método da Geodésica”, complexo na sua compreensão, mas em contrapartida apresenta resultados mais precisos que outros métodos, como por exemplo o “Método Flamengo”. Para iniciar o método da geodésica, são necessários valores que provêem do plano vertical e do arranjo geral do navio. A planificação serve

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Em produção, os grandes navios são construídos em blocos, em secções ou em anéis. Estas partes são feitas em oficinas de estaleiro sendo unidas posteriormente no local de edificação do casco. Em relação ao casco, esta estrutura do navio representa uma grande percentagem na mão-de-obra total, sendo importante que esta parte esteja bem organizada não só nas suas tarefas construtivas mas também no encadeamento das restantes tarefas existentes. Na linha de montagem do casco, o estaleiro tem de encomendar o número necessário de chapas rectangulares de aço a uma siderurgia. No estaleiro, as chapas têm de ser submetidas a um tratamento prévio de desempeno de maneira a retirar o melhor possível deformações que possam existir após a saída da siderurgia. De seguida, com os elementos planificados obtidos na fase de projecto, efectua-se a traçagem nas chapas encomendadas de modo a serem cortadas nos sítios pretendidos. As chapas são normalmente cortadas com tecnologia térmica, como o corte a laser ou o corte a plasma. Passa-se de seguida a um processo de enformação das chapas de maneira a obter a curvatura desejada. A enformação pode ser realizada mecanicamente, termicamente, ou um misto das duas. A enformação mecânica pode ser feita em prensas, rolos, calandras, ou quinadeiras. A enformação térmica passa pela aplicação de calores pontuais, em linha ou em V em certas zonas da chapa. Na finalização da linha de montagem do casco, a união das várias chapas constituintes é feita na zona de doca seca ou carreira, sendo soldadas nesse local. Na soldadura, algumas tecnologias disponíveis são o arco submerso, o MIG/MAG (Gas Metal Arc) ou o TIG (Tungsten Inert Gas). A última parte na montagem do casco consiste na sua protecção através da aplicação de várias camadas de tintas.

Em [3] é apresentado um programa similar em que considera a planificação de chapas do casco através de geodésicas. A planificação de chapas de um casco em modo automatizado talvez não seja uma novidade, mas o que se pretendeu nesta dissertação, foi chegar um pouco mais além nas capacidades do método da geodésica.

No desenvolvimento desta dissertação de mestrado, são considerados os seguintes conteúdos:

 Os tipos de chapas existentes num casco de navio.

 A distribuição típica de chapas num navio de grandes dimensões.

 Os casos existentes para as planificações de chapas feitas a partir do plano vertical do navio.  A explicação do método da geodésica com um exemplo prático, e em paralelo, a explicação

das expressões usadas no algoritmo.

 A comparação de resultados para uma chapa, quando aplicada com método numérico ou com um método gráfico.

 Será apresentada a explicação teórica da correcção a ser efectuada na planificação de chapas de dupla curvatura, e as expressões usadas no algoritmo para esta parte.

 Resultados obtidos para várias chapas de um casco de navio.

 A descrição dos processos de enformação típicos praticados num estaleiro naval.  As conclusões dos resultados obtidos.

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2- CLASSIFICAÇÃO DAS CHAPAS DO CASCO DE UM NAVIO

O casco de um navio é constituído por vários tipos de chapas, sendo a curvatura da chapa o elemento que vai definir qual o seu tipo. Deste modo, convém introduzir o conceito de curvatura para uma linha e o conceito de curvatura para uma superfície.

Conceito de curvatura de uma linha

Para uma linha curva, e para qualquer ponto dessa linha, é possível encontrar uma circunferência de raio finito que se adapte à curvatura da linha e que seja tangente no ponto seleccionado. O raio da circunferência é o raio de curvatura da linha nesse ponto (figura 2.1). A curvatura nesse ponto é definida pelo inverso do raio de curvatura (

C



r

1).

Figura 2.1 - Curvatura de uma linha

Conceito de curvatura de uma superfície

Para uma superfície curva

(figura 2.2) num ponto arbitrário

P u v

_

,

_

, existe apenas um plano tangente à superfície

 para esse ponto, designado por

. Definindo o vector

n, perpendicular ao

plano  e tendo origem no ponto

P u v

_

,

_

. Definindo o plano , perpendicular ao plano  e contendo o vector n. Intersectando o plano  à superfície é criada uma linha curva em que a sua curvatura pode ser obtida conforme a definição acima descrita. O plano



ao girar 360 graus sobre o vector n, forma linhas curvas ao intersectar a superfície . As curvaturas das linhas geradas, e que em média

1/

m

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principais da superfície:

C

_máx e

C

_mín. Estes dois valores podem ser usados para caracterizar a forma da chapa, os valores podem ter valores positivos, negativos ou nulos: se a curvatura for convexa o valor de C é positivo, se a curvatura for côncava o valor de C é negativo, e se não houver curvatura ou uma das curvaturas principais for nula, o valor de C é nulo. A curvatura Gaussiana é definida pelo produto das curvaturas principais



C

_Gauss



C

_máx



C

_mín



, sendo uma medida intrínseca de curvatura, i.e., o seu valor depende somente de como as distâncias são medidas sobre a superfície [4].

Figura 2.2 - Curvatura de uma superfície

Num casco de navio, as formas usuais das chapas são: chapas planas, chapas de curvatura simples, e chapas de dupla curvatura.

2.1- Chapas planas

Chapas que não apresentam curvatura em qualquer direcção da sua superfície são designadas como chapas planas. Este tipo de chapas está normalmente situado no fundo e no costado do corpo cilíndrico do navio. A sua manufactura é simples, sendo necessário apenas a traçagem e posterior corte.

2.2- Chapas de curvatura simples

São chapas com uma curvatura principal e que apresentam uma forma cilíndrica (figura 2.3) ou uma forma cónica. Este tipo de chapas está situado no encolamento do corpo cilíndrico do navio. Estas chapas têm uma curvatura Gaussiana igual a zero (

C

_máx ou

C

_mín igual a zero). A sua planificação

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pode ser obtida directamente pelo método da geodésica. Na manufactura, a chapa é enformada em apenas uma direcção.

Figura 2.3 - Chapa cilíndrica

2.3- Chapas de dupla curvatura

São chapas com duas curvaturas principais, podendo existir duas condições na curvatura Gaussiana: se

C

_Gauss> 0, implica que as curvaturas

C

_máx e

C

_mín têm valores com o mesmo sinal, ou seja, as curvaturas principais são simultaneamente concavas ou convexas, originando chapas em forma de concha (figura 2.4); se

C

_Gauss< 0, implica que as curvaturas

C

_máx e

C

_mín têm valores de diferentes sinais, em que

C

_máx pode ser concavo e

C

_mín pode ser convexo ou vice versa, formando chapas em forma de sela (figura 2.5). No navio, os elementos deste tipo encontram-se principalmente a vante e a ré do casco. A sua planificação pode ser obtida por uma correcção aplicada ao método da geodésica. Na manufactura, a chapa é enformada nas duas direcções.

Figura 2.4 - Chapa em forma de concha Figura 2.5 - Chapa em forma de sela

Uma outra situação que pode existir nas chapas de dupla curvatura é a seguinte: uma variação de sinal pode ocorrer para uma das curvaturas principais (

C

_máx ou

C

_mín), o que equivale a dizer que parte da chapa apresenta valores

C

_Gauss> 0, e a restante parte apresenta valores

C

_Gauss< 0. Uma

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forma de concha e a outra seja em forma de sela (figura 2.6), conduzindo aos dois casos descritos no parágrafo anterior. Este tipo de junção de chapas pode estar situado em zonas de transição na forma do casco, como por exemplo, entre o bolbo e o costado do navio.

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3- DISTRIBUIÇÃO DE CHAPAS NO CASCO DE UM NAVIO

Na concepção de um projecto de navio as decisões tomadas para a forma e para a distribuição de chapas do casco, devem ter em conta a maneira como as chapas vão ser produzidas. Esta preocupação centra-se nas chapas de dupla curvatura que por si são difíceis de enformar a partir de uma chapa plana, necessitando de trabalhadores de estaleiro com um grau de experiência elevado. Através deste e de outros tipos de problemas, o engenheiro tem de pensar numa perspectiva de produção, para que as suas decisões em projecto sejam as melhores para a fase de produção.

Neste capítulo compara-se o modelo tradicional de distribuição de chapas de um casco de navio com o modelo actual, expondo a complexidade que os engenheiros navais se deparam nos dias de hoje em relação aos velhos tempos.

3.1- Distribuição de chapas - Tradicional

A figura 3.1, mostra a plano vertical de vante de um navio e a distribuição de chapas pela maneira tradicional. Como se pode observar as baínhas acompanham a forma do casco do navio. Este tipo de construção tinha as seguintes vantagens [4]:

 Melhores resultados obtidos na planificação destas chapas.

 As oficinas poderiam lidar mais facilmente com a enformação destas chapas, aumentado a sua produção.

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3.2- Distribuição de chapas - Moderna

Nos dias de hoje, continua-se a usar o método tradicional para navios de pequeno porte, mas as necessidades de construir navios cada vez maiores implicou uma mudança na maneira como as chapas são distribuídas. Desta forma, grande parte das baínhas passou a estar em planos horizontais facilitando o processo construtivo global do navio no sentido vertical.

A desvantagem desta implementação está no aparecimento de chapas de dupla curvatura com formatos diferentes prejudicando os resultados de planificação como os processos de enformação destas chapas. Para melhorar este aspecto será necessário a implementação de correcções na planificação de chapas de dupla curvatura, podendo melhorar a sua traçagem e também a sua enformação para que a chapa depois de enformada não necessite de correcções nos seus contornos.

A figura 3.2 mostra o plano vertical de vante de um navio e a distribuição de chapas pela maneira moderna. Como se pode observar, as baínhas acompanham a forma do casco do navio apenas no bolbo e na parte inferior. As restantes baínhas estão colocadas em planos horizontais.

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3.3- Tipos de chapas - Quantidades

Para um navio de grandes dimensões (graneleiro, petroleiro, etc.), entre 65 e 80% das chapas do casco são planas ou com uma curvatura, sendo o restante chapas de dupla curvatura [5].

A figura 3.3 representa a modelação de um casco de um navio petroleiro com comprimento fora a fora de 271 m, boca de 42,2 m e pontal de 20,2 m. Na figura 3.4 estão identificados os tipos de chapas do casco, segundo um método automático que foi testado para o mesmo navio. Num total de 336 superfícies, existem 66% de chapas planas, 23% de chapas com uma curvatura e 11% de chapas de dupla curvatura [6].

Figura 3.3 - Modelação da superfície de casco de um navio petroleiro

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4- CASOS EXISTENTES NA PLANIFICAÇÃO DE UMA CHAPA

Na planificação de uma chapa é usado essencialmente o plano vertical do navio como base de trabalho. Para os vários tipos de chapas existentes no navio, existem diferentes situações na aplicação de métodos de planificação [7]. Estes diferentes casos irão ser discutidos neste capítulo.

4.1- Elementos planos

As chapas sem curvatura podem estar dispostas no plano vertical de três maneiras possíveis:

 Em planos transversais. Sendo o plano vertical a vista transversal do navio, as chapas encontram-se já na forma planificada, sendo as dimensões retiradas directamente do plano vertical.

 Em planos longitudinais. São feitas medições verticais nas várias balizas onde a chapa está inserida, as medidas longitudinais são obtidas através dos espaçamentos entre balizas. Com estes valores é desenhada a chapa num novo plano frontal, sendo essa a sua planificação.  Inclinadas em relação ao plano vertical implicando uma explicação mais elaborada.

Considerando a figura 4.1, que representa uma chapa marginal no plano vertical entre as balizas 6 e 9, é necessário construir uma recta directriz perpendicular aos traços dos planos de baliza da chapa marginal. São necessárias também as seguintes distâncias:

D D

_i _i₁,

i i

A D

,

B D

_i _i .

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De seguida importa saber a verdadeira grandeza da recta directriz, sendo para isso necessário a construção de um desenho auxiliar, contendo triângulos rectângulos em cada passo de baliza, onde o cateto oposto é a distância

D D

_i _i₁, o cateto adjacente é o passo

entre as balizas, e a hipotenusa é a directriz na sua verdadeira grandeza nesse intervalo. Fazendo a construção para todas as balizas da chapa, a recta fica conforme a figura 4.2.

Figura 4.2 - Desenvolvimento da directriz – Exemplo para uma chapa marginal

A directriz desenvolvida

D D D D

₆ ₇ ₈ ₉ é rodada de maneira a que fique no eixo horizontal, e

em cada ponto

D

_i são construídas duas rectas verticais, uma acima desse ponto com o tamanho

A D

_i _i, e a outra recta em baixo com o tamanho

B D

_i _i. As extremidades destas rectas correspondem aos pontos da chapa

A

_i e

B

_i. Assim, a chapa marginal apresentada na figura 4.1 tem uma planificação como mostra a figura 4.3.

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4.2- Elementos com curvatura - Método da geodésica

Para este tipo de chapas, elementos com curvatura, é usado o método da geodésica e que é bastante semelhante ao terceiro caso apresentado na secção anterior. A diferença está na forma da chapa, sendo necessária uma nova abordagem na construção da directriz.

Em termos gerais, o método da geodésica tem como base a utilização de uma geodésica da superfície da chapa a planificar, como uma directriz à qual se referencia o seu contorno através das linhas de baliza. A geodésica a escolher como directriz deve ser perpendicular a pelo menos uma das linhas de baliza. Assim a geodésica irá transformar-se numa recta no momento de planificação servindo como referência e mantendo-se perpendicular a essa baliza.

No caso de a forma das chapas ser de simples curvatura o método da geodésica é exacto porque as chapas são partes de superfícies cilíndricas ou cónicas. Se as chapas forem de dupla curvatura tal não acontece porque não são matematicamente planificáveis, mas podem ser aproximadas a superfícies cónicas.

Neste trabalho, as chapas de dupla curvatura consideradas são as que têm de raios de curvatura longitudinais a partir de 3000 m [7].

A planificação de uma superfície cónica depende da geodésica que se escolhe como directriz. Como o número de geodésicas que passam por um ponto de uma superfície cónica é infinito, existem vários casos possíveis na aplicação do método da geodésica. Os dois casos mais relevantes para o processo de traçagem em engenharia naval são os seguintes:

1. Utilização de uma geodésica num ponto de uma superfície cónica, que coincida com a geratriz da cónica que passa por esse mesmo ponto. Deste modo a geratriz da cónica é a directriz. Este caso é usado geralmente para chapas situadas na zona central do encolamento e nos pavimentos.

2. Utilização de uma geodésica num ponto de uma superfície cónica, que não coincida com a geratriz da cónica que passa por esse mesmo ponto. Este caso é o que tem maior campo de aplicação para os elementos do casco, principalmente para as chapas de dupla curvatura.

Nesta dissertação de mestrado foi desenvolvido o segundo caso descrito anteriormente. Neste caso a aplicação prática do método pode ser repartida em três fases:

Traçagem da projecção da geodésica sobre o plano vertical – considera-se uma geodésica

mediana à chapa, sendo o ponto inicial de construção. A traçagem da geodésica (sua projecção) é feita no plano vertical do navio e num desenho auxiliar para uma vista longitudinal.

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Desenvolvimentos da geodésica e das baínhas – esta fase corresponde ao cálculo das

verdadeiras grandezas da geodésica e das baínhas, construindo um desenho semelhante ao da figura 4.2, mas desta vez, irão aparecer três desenvolvimentos, onde os catetos opostos correspondem aos comprimentos dos troços das baínhas e geodésica, em cada passo de baliza.

Planificação da chapa – nesta última fase é necessário recolher os seguintes comprimentos: os

arcos de baliza divididos pela projecção da geodésica no plano vertical e que podem ser obtidos na primeira fase, os desenvolvimentos obtidos na fase anterior para cada passo de baliza, e por fim a determinação da flecha que a linha da baliza central apresenta na sua planificação. Com estes dados, pode-se construir a planificação da chapa como na figura 4.3, mas desta vez a planificação consiste em identificar intersecções de circunferências em certos pontos e com raios iguais aos comprimentos recolhidos.

Resumindo: é traçada uma geodésica na superfície da chapa que irá posteriormente ser transformada numa recta directriz no momento da planificação, servindo como referência para as restantes operações relativas à planificação. A directriz deve tomar uma posição mediana, por isso escolhe-se a geodésica que é perpendicular à linha da secção transversal central (baliza central) num ponto vizinho do seu ponto médio.

Genericamente, a traçagem de uma geodésica numa superfície S (figura 4.4), a partir de um ponto M e seguindo uma tangente T à superfície S e ao ponto M, envolve os seguintes passos:

 Pelo ponto M traça-se a normal N à superfície S.

 Considera-se o plano P, que contém a normal N e a tangente T segundo uma dada direcção, e que intersecta a superfície S por uma curva C que contém o ponto M.

 Considera-se um ponto M´ da curva C e vizinho do ponto M.  Pelo ponto M´ traça-se a normal N´ à superfície S.

 Considera-se o plano P´, que contém a normal N´ e o ponto M, este plano intersecta a superfície S por uma curva C´ que contém M´.

 Considera-se um ponto M´´ da curva C´ e vizinho do ponto M´.  Pelo ponto M´´ traça-se a normal N´´ à superfície S.

 Considera-se o plano P´´ que contém N´´ e o ponto M´, este plano intersecta a superfície S por uma curva C´´ contém o ponto M´´.

 O processo é repetido as vezes necessárias.

 Os segmentos MM´, M´M´´, M´´M´´´, etc. pertencentes à superfície S, definirão uma geodésica (o número de pontos M, M´, M´´, etc. na superfície de uma chapa coincidem com as balizas de projecto).

(28)

Figura 4.4 – Traçagem de uma geodésica numa superfície

No próximo capítulo irá ser abordado este caso do método da geodésica em pormenor com um exemplo prático de uma chapa.

(29)

5- APLICAÇÃO DO MÉTODO DA GEODÉSICA

No desenvolvimento deste trabalho utilizou-se como exemplo um navio de transporte de produtos químicos, devido ao facto de este navio ter sido estudado no âmbito da cadeira de Tecnologia e Estaleiros Navais e por isso dispor de informação em sistema CAD, nomeadamente o arranjo geral e o plano vertical com a sua distribuição de chapas. As características principais de projecto do navio são as seguintes: comprimento fora a fora igual a 140 metros; comprimento entre perpendiculares igual a 134 metros; boca igual a 23 metros, calado igual a 12,4 metros; imersão de projecto igual 8,3 metros.

No arranjo geral do navio (figura 5.1), os espaçamentos entre balizas são os seguintes: à ré da baliza 12 o espaçamento entre balizas é igual a 0,61 metros; entre as balizas 12 e 159 o espaçamento entre balizas é igual a 0,78 metros; à vante da baliza 159 o espaçamento entre balizas é igual a 0,61 metros.

Figura 5.1 - Arranjo geral de um navio de transporte de produtos químicos

O plano vertical disponibiliza apenas a forma do navio entre as balizas 120 e 184, sendo a zona de vante do casco do navio, incluindo uma parte do corpo cilíndrico, a zona do castelo de proa, finalizando no bolbo do navio (figura 5.2).

(30)

Neste capítulo, na aplicação do método da geodésica foi usada a chapa assinalada na figura 5.3. Esta chapa está localizada na zona inferior do bolbo do navio entre as secções 166 e 178 e espaçamentos entre balizas iguais com o valor de 0,61 m. Em relação ao referencial, foi usado o típico para projecto naval: x- longitudinal, y- transversal, e z- cota.

Figura 5.3 - Plano vertical – Chapa modelo [assinalada a vermelho]

O método da geodésica será explicado através da sua aplicação prática em CAD para a chapa seleccionada. De inicio são limpas as linhas que não vão interessar para a aplicação do método, ficando apenas as linhas do contorno da chapa mais as linhas de baliza no interior do contorno, e as balizas situadas a vante e a ré da chapa (figura 5.4).

Figura 5.4 - Plano vertical – Chapa seleccionada

No que diz respeito à estrutura do algoritmo do programa, são necessários dados de entrada para o método da geodésica ser aplicado, fornecendo no final dados de saída (figura 5.5).

(31)

Figura 5.5 - Algoritmo do programa

5.1- Dados de entrada

Na aplicação informática, é necessário construir um ficheiro com valores de entrada em formato Excel (tabela 5.1), com a seguinte estrutura:

 As primeiras seis colunas da tabela são reservadas a coordenadas cartesianas de pontos: Os que no plano vertical estão localizados nas intersecções entre balizas e baínhas, mais os pontos medianos das balizas (figura 5.6). Os pontos podem ser extraídos facilmente de CAD para um ficheiro Excel e ordenados em coluna de vante para ré (da baliza 178 para a baliza 166). As duas primeiras colunas são referentes à baínha inferior, as duas colunas seguintes são referentes à mediana das balizas, e as duas seguintes são referentes à baínha superior.  A sétima coluna é reservada ao espaçamento entre balizas. Para este caso o passo de baliza

é sempre igual. No caso de existir uma variação nos valores do passo devem ser referenciados os dois valores, onde um deles está posicionado na linha correspondente à baliza de mudança do passo. No capítulo 7- RESULTADOS OBTIDOS é apresentado uma tabela no caso de haver uma variação no passo de baliza.

 Na oitava coluna são referenciados os vários valores longitudinais das balizas. A baliza mais a ré (166) inicia o referencial tomando o valor zero e acumula-se o passo à medida que se vai avançando para o resto das balizas. De notar que estes valores não contam com os topos da chapa, por isso esta coluna tem menos duas linhas em relação às primeiras seis colunas.  Na nona e última coluna são reservados dois espaços para inserir dois códigos. Para a

primeira linha, se o passo de baliza for sempre igual o valor do código é 0, se existir uma variação no passo de baliza o código é 1. A segunda linha diz respeito à orientação do vértice da cónica onde a chapa esta inserida: se a chapa está a vante o vértice está virado para vante sendo o código 0, o caso contrário será para as chapas de ré sendo o código 1. Na chapa em estudo, como o passo é igual e pertence a vante do navio, os códigos são 0 e 0.

(32)

Y´s inf. [m] Z´s inf. [m] Y´s inter. [m] Z´s inter. [m] Y´s sup. [m] Z´s sup. [m] Espaç. Balizas [m] Espaç. Long. [m] Código 0,510 1,019 0,753 1,296 0,973 1,590 0,610 0,000 0 0,515 0,959 0,781 1,256 1,022 1,575 0,610 0 0,534 0,796 0,871 1,149 1,173 1,531 1,220 0,568 0,622 0,994 1,029 1,373 1,479 1,830 0,608 0,490 1,118 0,928 1,571 1,427 2,440 0,653 0,393 1,244 0,844 1,767 1,374 3,050 0,702 0,315 1,369 0,771 1,963 1,320 3,660 0,750 0,250 1,493 0,705 2,160 1,266 4,270 0,797 0,199 1,617 0,644 2,358 1,212 4,880 0,845 0,160 1,741 0,586 2,554 1,157 5,490 0,891 0,128 1,864 0,531 2,748 1,103 6,100 0,940 0,098 1,982 0,479 2,934 1,048 6,710 0,986 0,071 2,092 0,429 3,110 0,991 7,320 0,998 0,064 2,118 0,417 3,151 0,977 1,034 0,047 2,196 0,383 3,273 0,932

Tabela 5.1 - Tabela em Excel - Dados de entrada

Figura 5.6 - Plano vertical – Pontos de entrada

5.2- Método da geodésica

Após o programa ler os dados de entrada, este vai desenhar num gráfico uma figura semelhante à figura 5.6, da seguinte maneira:

Bainhas São usados os pontos de entrada referentes às baínhas sendo unidos graficamente por segmentos de recta.

Balizas e Topos Cada uma é definida por um arco de circunferência a partir de três pontos de entrada. A equação (1) pode ser desenvolvida até chegar-se à forma equação (2). Com um sistema de três equações na forma da expressão (2) e mais três pontos definidos -

P y z

₁



₁

,

₁



,

P

₂



y z

₂

,

₂



,

P y z

₃



₃

,

₃



- podem ser calculadas as constantes A, B e C com as equações (3), (4) e (5). Explicitando a variável y da equação (2) são obtidos as soluções com as expressões (6), definindo

(33)

2 2 2

(

y



yc

)



(

z



zc

)



r

(1) 2 2

0 y



z



Ay



Bz



C



(2) 2 2 2 2 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3

A=-z

z -z

z -y

z +y

z -y

z +

z

z +y

z -z

z +z

z )/(-y

z +

y

z +y

z -y

z +y

z )



(3) 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 2 2 3 2 3 2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3

B=-(y

y -y

y +y

y -z

y +

z

y -y

y +y

z -y

z +y

z -y

z +y

y )/(y

z -y

z +y

z -y

z )



(4) 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 1 2 2 2 1 3 2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3

C=-(y

z

y -y

z

y -z

z

y -y

z

y +y

z

y +z

z

y -y

z

z +

y

z

z +y

y

z -y

y

z +y

z

z -y

z

z )/(y

z -y

z +y

z +

y

z -y

z )



(3)



2 2



1ªSoluç.

y(z)

= (1/2)



-

A



A -4 z -4 C-4 B z



 



2 2



2ªSoluç.

y(z)

= (1/2)



-A- A -4 z -4 C-4 B z



 

(6)

Na aplicação do método da geodésica é necessário seguir as três fases referidas na secção 4.3. O primeira será a traçagem da geodésica no plano vertical da chapa, a segunda consiste em fazer os desenvolvimentos das baínhas e da geodésica na sua verdadeira grandeza, e a terceira a planificação da chapa. Em cada uma das três fases, existem vários passos que irão ser descritos em pormenor.

5.2.1– Traçagem da projecção da geodésica sobre o plano vertical

Considera-se uma geodésica mediana à chapa, sendo o ponto inicial de construção. A traçagem da geodésica (sua projecção) é feita no plano vertical do navio e num desenho auxiliar para uma vista longitudinal.

(34)

1º PASSO – Início da traçagem da projecção da geodésica

CAD – Considerando a figura 5.7, na baliza central 172 é traçada uma recta entre os pontos 1 e 2. No

ponto 3 que equivale ao ponto médio da recta, é traçada uma recta perpendicular entre os pontos 4 e 5, que equivale à projecção da geodésica entre as balizas 172 e 173. A projecção da geodésica é prolongada para o passo seguinte, entre os pontos 5 e 6, sendo a projecção da geodésica entre as balizas 173 e 174 e que necessita de uma correcção. É medido o comprimento da projecção no plano vertical da geodésica entre os pontos 4 e 5 ao qual vamos chamar G.

Figura 5.7 - Plano vertical - Traçagem da geodésica - Início

É necessário construir um desenho auxiliar que represente os passos de baliza para todas as secções no plano longitudinal servindo como auxílio para determinar a projecção da geodésica no plano vertical (figura 5.8).

Figura 5.8 – Construção auxiliar no plano longitudinal

No desenho auxiliar, entre as balizas 172 e 173 é construído um triângulo rectângulo cujo cateto oposto é a medida G e a hipotenusa é a geodésica no plano longitudinal. A hipotenusa é prolongada para o passo seguinte, entre as balizas 173 e 174 sendo necessário uma correcção (figura 5.9).

(35)

Figura 5.9 - Construção auxiliar - Traçagem da geodésica - Inicio

Programa informático – A construção idêntica da figura 5.7 é feita da seguinte maneira:

 A recta entre os pontos 1 e 2 é definida pelos dados de entrada, o seu declive é calculado pela expressão (7) e o seu ponto médio pela expressão (8).

2 1 2 1

z

m

y







(7) 1 2 1 2

(

,

)

2

médio

y

z

P





(8)

Definiram-se os pontos 4, 5 e 6 através do cálculo de intersecções entre circunferências e rectas. A geodésica é definida pela expressão (9) entre os pontos 4 e 6. O comprimento G é calculado pela expressão (10).

1 z

y b

m





 

_

_







(9) 2 2 5 4 5 4

(

)

(

)

G



z



z



y



y

(10)

A construção idêntica da figura 5.9 é feita da seguinte maneira:

 O eixo principal do desenho é construído com os valores da oitava coluna da tabela de entrada, considerando em todos os pontos ordenada nula.

 Definido o cateto oposto pelo comprimento G na baliza 173, a geodésica é definida pelos pontos da baliza 172 e 173 de modo a formar o triângulo rectângulo. A projecção da geodésica é definida pela equação de uma recta onde são usadas as expressões (7) e (11) para calcular o declive e a intersecção na ordenada respectivamente. Desta forma a projecção da geodésica pode ser definida entre as balizas 172 e 174.

(36)

2º PASSO – Correcção na traçagem da geodésica no desenho auxiliar

CAD – Na figura 5.7 é medido o comprimento da projecção da geodésica entre os pontos 5 e 6

(comprimento G2). Na construção auxiliar (figura 5.10), R1 é a hipotenusa já definida pela geodésica traçada anteriormente, R2 é o cateto oposto com tamanho G2 no triângulo rectângulo entre as balizas 173 e 174. R1 e R2 não se unem para formar um triângulo sendo necessária uma correcção na geodésica entre estas balizas.

Figura 5.10 - Construção auxiliar - Traçagem da geodésica – Iteração [1]

Considerando a figura 5.11, com início no extremo superior de R2 é traçada uma recta até intersectar perpendicularmente R1 ao qual vamos chamar R3. Para este caso houve necessidade de prolongar R1 para R3 a intersectar perpendicularmente. Com início no ponto de intersecção entre R1 e R3, é traçada uma recta paralela a R2 até interceptar o cateto adjacente ao qual vamos chamar R4.

(37)

Programa informático – A construção idêntica da figura 5.11 é feita da seguinte maneira:

 O comprimento G2 é calculado pela expressão (10). Na construção auxiliar, R1 é definido pelo declive e ordenada na origem usando respectivamente as expressões (7) e (11), R2 é definido usando o valor de G2. R3 é definido pela expressão (9) tendo declive inverso à recta R1. No algoritmo foi criada uma subrotina que calcula a intersecção de duas rectas, e assim se descobre o ponto de intersecção entre R1 e R3. O cateto adjacente é facilmente definido pois trata-se de uma recta horizontal onde é conhecido o ponto da recta na baliza 173. R4 é definido desde o ponto de intersecção de R1 e R3 até intersectar o cateto adjacente.

3º PASSO – Alteração ao troço da geodésica por rotação no plano vertical à superfície

CAD – A recta R4 traçada na construção auxiliar é transposta para o plano vertical ficando

sobreposta sobre a projecção da geodésica já existente entre as balizas 173 e 174 (recta R5 na figura 5.12). No caso em estudo R4 tem um valor menor que R5.

Figura 5.12 - Plano vertical - Traçagem da geodésica – Iteração [1]

Considerando a figura 5.13, para a linha da baliza 173 no ponto P1, é traçada uma recta perpendicular R6. É necessário fazer uma translação da recta R6 de P1 para P2. Assim, R6 vai

(38)

Programa informático – A construção da projecção da geodésica corrigida no plano vertical é feita

da seguinte maneira:

 No desenho auxiliar R4 é calculado pela expressão (10) a que chamaremos de comprimento G3. No plano vertical, é definido o declive e a ordenada na origem respectivamente pela expressão (7) e (11) para a recta R5. São conhecidas, as coordenadas de P1



y z

₁

,

₁



, a ordenada na origem de R5 e o seu declive, e o valor de G3. O ponto P2



y z

₂

,

₂



é definido pelo sistema de equações (12).

2 2 2 1 2 1

3 (

)

(

)

G



z



z



y



y

2 2

z



my



b

(12)

No ponto P1



y z

₁

,

₁



é calculada a derivada da linha da baliza 173. Como as balizas estão definidas por arcos de circunferência a derivada usa a expressão (13), onde:

y

_cé a abcissa do centro do arco de circunferência para a baliza 173 definida pelo primeiro termo da expressão (14);

z

é a ordenada do centro do arco de circunferência para a baliza 173

(39)

definida pelo segundo termo da expressão (14);

r

é o raio do arco de circunferência definido pela expressão (15); e

z

é definido pela expressão (16).

1 2 2 2

2

2 2 .

c y y _c _c

y

dz

dy

_

_y

_{y y}

_r

_y







 















(13)

/ 2

c

y

 

A

/ 2

c

z

 

B

(14) 2 2

2

2 A

B

r





_



_





_



_



C









(15)





2 2 c c

z



z



r



y



y

(16)

A derivada corresponde ao declive m da recta tangente à baliza 173 no ponto P1, mas o que interessa é a recta perpendicular (R6), sendo definida pela equação (9). A translação para P2 é feita pelo cálculo da nova ordenada na origem de R6 nesse ponto. Para a intersecção de R6 com a baliza 174, é usada novamente a subrotina de cálculo de intersecções de rectas sendo definido o ponto P3. A projecção da geodésica corrigida é definida pela recta que contém os pontos P1 e P3

4º PASSO – Prolongamento da projecção da geodésica para o passo de baliza seguinte

CAD – Considerando a figura 5.14, a nova projecção da geodésica entre as balizas 173 e 174 é

traçada, de seguida é calculado o seu comprimento (G4). A projecção da geodésica é prolongada para o passo seguinte entre as balizas 174 e 175. Na construção auxiliar (figura 5.15), o cateto oposto para o triângulo rectângulo das balizas 173-174 é dado pelo comprimento G4 formando a recta vertical R7. A hipotenusa deste triângulo é a geodésica corrigida no plano longitudinal para as balizas 173-174, sendo prolongada para as balizas 174-175.

(40)

Figura 5.15 - Construção auxiliar - Traçagem da geodésica – Iteração [3]

Programa informático – A construção da nova projecção da geodésica no plano vertical e no

desenho auxiliar é feita da seguinte maneira:

 No plano vertical a projecção da geodésica corrigida é definida pelos pontos P1 e P3 (figura 5.13) sendo prolongada para o passo seguinte, G4 é calculado pela expressão (10). No desenho auxiliar (figura 5.15) R7 é definido da seguinte maneira: o cateto entre as balizas 172-173 já está definido sendo a sua altura acrescentada ao cateto R7 na baliza 174. O ponto de R7 que tiver a maior ordenada mais o ponto do vértice do triângulo na baliza 173 define a geodésica corrigida no plano longitudinal. Para a nova geodésica são calculados o seu declive pela expressão (7) e a sua ordenada na origem pela expressão (11), sendo prolongada para o passo seguinte nas balizas 174-175.

(41)

5º PASSO – Repetir os passos descritos anteriormente

CAD e programa informático – Finalizando este passo construtivo, as restantes balizas a vante de

174 são corrigidas da mesma maneira. Em relação às balizas a ré de 172, por analogia é repetido o processo descrito até aqui, finalizando assim este passo da construção da projecção da geodésica no plano vertical e na construção auxiliar (figuras 5.16 e 5.17).

Figura 5.16 - Plano vertical – Geodésica

Figura 5.17 - Construção auxiliar – Geodésica

5.2.2– Desenvolvimentos das baínhas e geodésica

Nesta segunda fase vão ser calculadas as verdadeiras grandezas da geodésica e das baínhas da chapa. Para isso é necessário fazer uma construção semelhante à apresentada na figura 4.2. Desta maneira tanto para CAD como para o programa informático é construído um desenho igual ao apresentado na figura 5.8.

(42)

1º PASSO – Desenvolvimentos

CAD – Começa-se por construir o primeiro triângulo para as balizas 166-167. É medido o

comprimento da baínha inferior entre as balizas 166-167 no plano vertical. Esta medida corresponde à medida do cateto oposto posicionado na baliza 167 no desenho dos desenvolvimentos. É traçada a hipotenusa entre 166 e 167. Estes procedimentos são repetidos para os restantes intervalos de baliza. Para a geodésica e para a baínha superior o processo é semelhante, estando o resultado obtido de todos os desenvolvimentos disposto na figura 5.18.

Figura 5.18 - Desenvolvimentos das baínhas e da geodésica

Programa informático – Os desenvolvimentos das baínhas e da geodésica são construídos da

seguinte maneira:

 No plano vertical, com os pontos de entrada para as baínhas são calculados os comprimentos dos vários segmentos nos passos de baliza com a equação (10). As intersecções entre a geodésica e as linhas de baliza também são conhecidas (calculadas no primeiro passo do método). Assim, no desenho auxiliar são conhecidos os valores dos catetos opostos dos triângulos rectângulos mais o seu posicionamento, podendo serem desenvolvidas as baínhas e a geodésica.

2º PASSO – Localização dos topos da chapa nos desenvolvimentos construídos

CAD – As balizas 166 e 178 não pertencem ao domínio da chapa sendo necessário saber o início e o

fim dos desenvolvimentos traçados. Explica-se apenas para o desenvolvimento da baínha superior, sendo igual para os desenvolvimentos da geodésica e da bainha inferior: no plano vertical é medido o valor do comprimento da bainha superior entre a baliza 167 e o ponto D assinalado na figura 5.16, chamando a este comprimento G5. No desenho dos desenvolvimentos, para o vértice superior do

(43)

triângulo das balizas 166-167 (P6 na figura 5.19), é medido desde P6 o valor de G5 horizontalmente originando o ponto P4. A partir de P4 é traçada uma recta horizontal até interceptar a hipotenusa das balizas 166-167 originando o ponto limite P5 do desenvolvimento. Para as balizas 177-178 é repetido o processo para definir o segundo limite da baínha superior sendo agora medido a distância da baínha superior entre as balizas 178 e o ponto E assinalado na figura 5.16. Para a chapa em estudo, estes limites estão assinalados na figura 5.18 com as designações BL1 e BL2.

Figura 5.19 - Desenvolvimento da baínha inferior – Limite

Programa informático – Os limites para a baínha superior são definidos da seguinte maneira:

 O comprimento G5 é calculado pela expressão (10). Sendo conhecidas, no desenho dos desenvolvimentos, as coordenadas de P6 e o valor de G5, o ponto P4 é facilmente localizado. É definida a recta horizontal que passa no ponto P4, mais o declive m e a ordenada na origem b da hipotenusa pelas expressões (7) e (11) respectivamente. Invocando novamente a subrotina intersecção de rectas, é calculado o ponto de intersecção P5.

5.2.3– Planificação da chapa

Nesta última fase, é necessário recolher os seguintes comprimentos: os arcos de baliza divididos pela projecção da geodésica no plano vertical e que podem ser obtidos no primeiro passo, os desenvolvimentos obtidos no passo anterior para cada passo de baliza, e por fim a determinação da flecha que a linha da baliza central apresenta na sua planificação. Com estes dados, pode-se construir a planificação, onde consiste em identificar intersecções de circunferências em certos pontos e com raios iguais aos comprimentos recolhidos, onde a geodésica irá ser transformada numa recta servindo de base à planificação do contorno da chapa.

(44)

1º PASSO – Determinação da flecha que a linha da baliza central apresenta na sua planificação

CAD – Antes da planificação, é necessário determinar a flecha planificada na baliza central. Para

isso, é necessário construir um novo triângulo rectângulo na construção auxiliar (figura 5.17). É medida a flecha da baliza central no plano vertical (comprimento entre os pontos 3 e 4 na figura 5.8). Na construção auxiliar (figura 5.20), essa medida será a hipotenusa do novo triângulo na baliza central 173. O cateto adjacente R9 será uma perpendicular à geodésica. A medida que vai ser utilizada na planificação é o comprimento do cateto oposto e que representa a flecha planificada na baliza central.

Figura 5.20 - Flecha que a linha da baliza central apresenta na sua planificação

Programa informático – A flecha planificada na baliza central é traçada da seguinte maneira:

 Considerando a figura 5.7, a flecha da baliza central é definida pelos pontos 3 e 4. O ponto 4 é definido pela intersecção da geodésica com a linha da baliza central, e o ponto 3 é definido pela intersecção da geodésica com a recta que contém os pontos 1 e 2 através da subrotina intersecção de rectas. Entre os dois pontos é medido o seu comprimento pela equação (10). Na construção auxiliar, é construída a hipotenusa verticalmente na baliza 172, e de seguida são definidos m e b para a equação da geodésica pelas expressões (7) e (11). A recta R9 é dada pela expressão (9), sendo perpendicular à equação da geodésica. Fazendo a intersecção de R9 com a geodésica através da subrotina intersecção de rectas é obtido um ponto, que juntamente com o ponto da geodésica na baliza 172, definem o comprimento do cateto oposto pela expressão (10).

2º PASSO – Início da planificação da chapa

CAD – É iniciada a planificação da chapa construindo um novo desenho que represente um plano

arbitrário e com o seguinte referencial: x no eixo das abcissas e y no eixo das ordenadas, como é mostrado na figura 5.21. O comprimento da flecha planificada será designado por G6. No novo desenho é encontrado o ponto P9 estando no eixo x à distância G6 da origem do referencial. Porque a chapa está situada a vante, a cónica onde ela está inserida tem o seu vértice no sentido de vante

(45)

ficando o ponto P9 situado nas abcissas positivas. Caso a chapa estivesse situada a ré P9 ficaria nas abcissas negativas.

Figura 5.21 - Planificação da chapa - Início

Programa informático – Sendo G6 obtido pela expressão (10), podem ser facilmente definidas as

coordenadas de P9 no desenho referente à planificação da chapa.

3º PASSO – Planificação da baliza central da chapa

CAD – No plano vertical são medidos os perímetros dos arcos de circunferência de cada baliza e os

topos divididos pela geodésica. Considerando a figura 5.16 e tomando como exemplo a baliza 166, são medidos os arcos



AB

e

BC



. Para o desenho dos desenvolvimentos da geodésica e baínhas são retirados os seus comprimentos para cada passo de baliza, não esquecendo os limites impostos pelos topos da chapa. Considerando a figura 5.22, com origem em P9 é criada uma circunferência com um raio igual ao perímetro do arco



AB

na baliza central 172, e como este arco está abaixo da geodésica, no novo desenho só vai interessar a intersecção da circunferência com a parte negativa do eixo dos y´s, sendo o ponto P10. Aplica-se o mesmo critério mas agora para o arco BC da baliza 172, sendo criado o ponto P11.

(46)

Programa informático – Os perímetros dos arcos de circunferência no plano vertical, mais os pontos

P10 e P11 são calculados da seguinte maneira:

 Nos desenvolvimentos são conhecidos os vértices do triângulos criados, podendo serem calculados os comprimentos das hipotenusas através de (10).

 Para os arcos definidos pelas balizas, os seus perímetros requerem cálculos mais elaborados. Apresenta-se o cálculo para o arco



AB

da baliza 166 sendo igual o procedimento para as restantes balizas e topos de chapa. Tomando em consideração a figura 5.23, é definida a corda do arco



AB

(L), determina-se o ponto médio da corda pela equação (8), as coordenadas



y z

c

,

c



são obtidas pelo sistema de equações (14), e

r

é obtido pela expressão (15). Entre o ponto



y z

c

,

c



e o ponto médio da corda do arco



AB

é definido um segmento de recta M.



é o ângulo definido pelo raios que passam nos pontos A e B. Pela definição de seno, é calculado o ângulo



pela expressão (17). O arco



AB

é calculado pela expressão (18).

 No desenho da planificação são definidas as circunferências pelo sistema de equações (6) no ponto P9 com os raios definidos pelos arcos inferior e superior na baliza central 172. São obtidos os pontos P10 e P11.