Teoria dos grafos Aula 1 - Introdu¸c˜ao ao curso

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Teoria dos grafos

Aula 1 - Introdu¸c˜ ao ao curso

Guilherme Oliveira Mota

Universidade Federal do ABC - UFABC

Sala 530-2 - 5^o andar - Torre 2 [email protected]

Mota Teoria dos grafos [email protected] 1 / 31

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Grafos

Grafo G: Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos

Grafo G = (V,E): estrutura matemática ondeV é o conjunto de vértices e E ⊆ ^V₂

´

e o conjunto dearestas

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vértices, pesos nas arestas, pesos nos vértices, orienta¸cão nas arestas

x₁

x2 x₇

x₈ x₁

x2 x₇

y₁

y₂

y₃ y₇

y₈

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Grafos

Grafo G: Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos Grafo G = (V,E): estrutura matemática ondeV é o conjunto de vértices e E ⊆ ^V₂

´

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x₆ x₇ x₈ x₁

x2

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Grafos

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e o conjunto dearestas Representando um grafo

: cores nas arestas, cores nos vértices, pesos nas arestas, pesos nos vértices, orienta¸cão nas arestas

x₁

x2 x₇

x₈ x₁

x2 x₇

y₁

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y₃ y₇

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Grafos

´

e o conjunto dearestas Representando um grafo

: cores nas arestas, cores nos vértices, pesos nas arestas, pesos nos vértices, orienta¸cão nas arestas

x₁

x2

x₃

x₄ x₅

x₆ x₇ x₈ x₁

x2

x₃

x₄ x₅

x₆ x₇ y₁

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Grafos

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e o conjunto dearestas Representando um grafo: cores nas arestas

, cores nos vértices, pesos nas arestas, pesos nos vértices, orienta¸cão nas arestas

x₁

x2 x₇

x₈ x₁

x₇ x2

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y₃ y₇

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Grafos

´

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos v´ertices

, pesos nas arestas, pesos nos v´ertices, orienta¸c˜ao nas arestas

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x₄ x₅

x₆ x₇ x₈ x₁

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x₇ y₁

y₂

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Grafos

´

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos v´ertices, pesos nas arestas

, pesos nos v´ertices, orienta¸c˜ao nas arestas

x₁

x2 x₇

x₈ y₁

y₂

y₃ y₇

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Grafos

´

Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos v´ertices, pesos nas arestas, pesos nos v´ertices

, orienta¸c˜ao nas arestas

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Grafos

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y₁

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y₃ y₇

y₈ x₁

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Grafos

V´ertices podem representar pessoas, animais, computadores, f´abricas, antenas ...

Arestas podem representar interferências, rela¸cões sociais, estradas, conexões ...

Grafos são utilizados em áreas como Computa¸cão, Ciências Sociais, Bioinformática, Lingu´ıstica ...

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Grafos

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Grafos

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Grafos

Internet e World Wide Web (WWW) Redes sociais de amizade

Redes sociais profissionais

Redes de relacionamentos entre empresas Redes neurais

Redes celulares e metab´olicas Redes de intera¸c˜ao entre genes Cadeias alimentares

Redes de distribui¸c˜ao (log´ıstica, vasos sangu´ıneos...) Redes de colabora¸c˜ao entre pesquisadores

...

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Grafos

Internet e World Wide Web (WWW) Redes sociais de amizade

Redes sociais profissionais

Redes de relacionamentos entre empresas Redes neurais

Redes celulares e metab´olicas Redes de intera¸c˜ao entre genes Cadeias alimentares

Redes de distribui¸c˜ao (log´ıstica, vasos sangu´ıneos...) Redes de colabora¸c˜ao entre pesquisadores

N´umero de Erd˝os ...

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Grafos

Grafos pequenos podem ser facilmente visualizados

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Grafos

Em grafos grandes a situa¸c˜ao pode ser bem diferente

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Grafos

Em grafos grandes a situa¸c˜ao pode ser bem diferente

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Grafos

Imposs´ıvel analisar visualmente a estrutura do grafo.

O que fazer?

Uso de recursos computacionais

Uso de t´ecnicas sofisticadas envolvendo: combinat´oria, probabilidade,

´

algebra ...

Figura:Pesquisadores de Ciˆencias exatas

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Grafos

O que fazer?

´

algebra ...

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Grafos

O que fazer?

´

algebra ...

Figura:Pesquisadores de Ciˆencias exatas

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Objetivos

Conhecer de forma profunda os principais aspectos da Teoria dos Grafos Para isso, vamos entender:

Conceitos b´asicos

Alguns algoritmos importantes Propriedades estruturais Classes importantes de grafos

Resultados cl´assicos em Teoria dos Grafos Resultados modernos em Teoria dos Grafos

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Outros objetivos

Aplicar diversas técnicas de provas em problemas envolvendo grafos Adquirir a habilidade de provar resultados com diferentes técnicas Acelerar o amadurecimento matemático

Ter contato com diversas vertentes da Teoria dos Grafos Ver demonstra¸c˜oes elegantes e importantes

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Informa¸c˜ oes

http://professor.ufabc.edu.br/~g.mota/courses/grafos-2018-q3/

Verificar o site com frequˆencia!

Listas ficar˜ao dispon´ıveis no site TPI (3-1-4)

D´uvidas: [email protected]

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Informa¸c˜ oes

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Informa¸c˜ oes

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Sobre as aulas

Aulas ser˜ao dadas no quadro

Lembrarei alguns conceitos vistos em aulas passadas sempre que necess´ario

Perguntas s˜ao sempre bem-vindas! N˜ao fique sem entender algo por ter deixado de fazer uma pergunta

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Pr´ e-requisitos

O que ´e necess´ario saber para ir bem no curso?

Matem´atica Discreta

Processamento da Informa¸c˜ao Algoritmos e Estruturas de Dados

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Pr´ e-requisitos

O que ´e necess´ario saber para ir bem no curso?

Implica¸c˜oes l´ogicas

Técnicas de prova (direta, indu¸cão, contrapositiva, contraexemplo minimal, contradi¸cão, construtiva, análise de casos, ...)

Opera¸cões e conceitos sobre conjuntos Combinatória básica

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Aula de hoje

Demonstra¸c˜ao / Prova Teorema

Proposi¸c˜ao Lema Corol´ario

T´ecnicas de provas Exemplos de provas

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Aula de hoje

Demonstra¸cão / Prova: Sequência de afirma¸cões precisas que garantem que um dado resultado é verdadeiro.

Teorema: Uma afirma¸cão em que há uma demonstra¸cão para ela. Proposi¸cão: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultados simples.

Lema: Um resultado que é utilizado para provar resultados maiores. Corolário: Um teorema que é consequência de outro resultado.

A⇔B: Para provar A⇔B, dividimos a demonstra¸c˜ao em duas partes. A primeira prova “a ida” (A⇒B) e a segunda prova “a volta” (B⇒A).

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Aula de hoje

Teorema: Uma afirma¸cão em que há uma demonstra¸cão para ela.

Proposi¸c˜ao: O mesmo que teorema, mas utilizado para resultados simples.

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Aula de hoje

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Aula de hoje

Lema: Um resultado que ´e utilizado para provar resultados maiores.

Corolário: Um teorema que é consequência de outro resultado.

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Aula de hoje

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Aula de hoje

A⇔B: Para provar A⇔B, dividimos a demonstra¸c˜ao em duas partes. A primeira prova “a ida” (A⇒B) e a segunda prova “a

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M´ etodos de provas

Direta: Usamos uma sequência de dedu¸cões até que o resultado seja provado.

Contradi¸cão: Supomos que o que se quer provar é falso e obtemos uma contradi¸cão.

Contrapositiva: Para provar resultados do tipoA⇒B. Supomos que B ´e falso e provamos que nesse caso A´e falso.

Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado é falso e consideramos uma estrutura de menor “tamanho” poss´ıvel em que o resultado é falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existe uma estrutura menor ainda em que o resultado é falso, obtendo uma contradi¸cão.

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M´ etodos de provas

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M´ etodos de provas

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M´ etodos de provas

Contra-exemplo minimal: Supomos que o resultado é falso e consideramos uma estrutura de menor “tamanho” poss´ıvel em que o resultado é falso para essa estrutura. Feito isso, mostramos que existe uma estrutura menor ainda em que o resultado é falso, obtendo uma

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M´ etodos de provas

Indu¸cão: Utilizado para provar que resultados sobre os inteiros positivos são verdadeiras. Prova-se que o resultado é válido para n= 1, e prova-se que se o resultado é válido para 1,2, . . . ,n−1, entãoo resultado é válido paran.

Construtiva: Para provar resultados de existˆencia de uma certa estrutura exibindo a estrutura desejada.

Probabil´ıstica: Para provar resultados de existência de uma certa estrutura através de técnicas probabil´ısticas. Apesar de garantir a existência da estrutura, não mostra como constru´ı-la.

Análise de casos: Uma certa informa¸cão é particionada em todos os casos poss´ıveis, e cada um desses casos é demonstrado

separadamente.

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M´ etodos de provas

separadamente.

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M´ etodos de provas

separadamente.

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M´ etodos de provas

Análise de casos: Uma certa informa¸cão é particionada em todos os

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Exemplo: Prova direta

Por simplicidade vamos considerar somente n´umerosm en n˜ao negativos no teorema a seguir.

Teorema

Se m e n são números pares não negativos, então m+n é par.

Demonstra¸c˜ao.

1 Suponha que me n s˜ao pares.

2 Ent˜ao existem inteirosr e s tais quem= 2r e n= 2s.

3 Podemos escrever, portanto m+n= 2r+ 2s = 2(r+s).

4 Logo, por defini¸c˜ao,m+n´e par.

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Exemplo: Prova direta

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

3 Podemos escrever, portantom+n= 2r+ 2s = 2(r+s).

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Exemplo: Prova direta

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova direta

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova direta

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Vamos provar por contrapositiva que se m+n é ´ımpar, entãom é

´ımpar oun ´e ´ımpar.

2 Suponha que m+n ´e ´ımpar.

3 Ent˜ao existe inteiro k tal que m+n= 2k+ 1.

4 Se n ´e ´ımpar, ent˜ao o resultado vale.

5 Assuma que n ´e par.

6 Ent˜ao existe inteiro r tal que n= 2r.

7 Por (3), temos m= 2k+ 1−n= 2k+ 1−2r = 2(k−r) + 1.

8 Comok−r é inteiro, então conclu´ımos que mé ´ımpar.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contrapositiva

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Por contradi¸cão, suponha que me n são pares e quem+n é ´ımpar.

2 Por defini¸c˜ao, existem inteiros r es tais quem= 2r e n= 2s.

3 Tamb´em por defini¸c˜ao, existe inteirok tal que m+n= 2k+ 1.

4 Logo, 2r+ 2s = 2k+ 1, ou seja, 2(r+s−k) = 1.

5 Mas isso é uma contradi¸cão, poisr+s−k é par e 1 é ´ımpar.

6 Ent˜ao m+n deve ser par.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Por contradi¸cão, suponha que me n são pares e que m+n é ´ımpar.

2 Por defini¸c˜ao, existem inteiros r e s tais quem= 2r e n= 2s.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contradi¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Sejam o menor n´umero par tal quem+n ´e ´ımpar.

2 Note quem≥2 (casom= 0, temos m+n par).

3 Existe inteiro k tal que m+n= 2k+ 1.

4 Fazendo m⁰ =m−2, temos que

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

5 Então m⁰ é um número par menor quem comm⁰+n´ımpar.

6 Comom⁰<m, temos uma contradi¸c˜ao com (1).

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Sejam o menor n´umero par tal que m+n ´e ´ımpar.

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

3 Existe inteiro k tal quem+n= 2k+ 1.

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

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Exemplo: Prova por contra-exemplo minimal

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

m⁰+n=m−2 +n= 2k+ 1−2 = 2(k−1) + 1

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Sejamm e n pares. Existem inteiros r es tais quem= 2r e n = 2s.

2 Vamos provar por indu¸c˜ao em r que m+n ´e par.

3 Base: r = 1. Temosm= 2. Assim, m+n= 2 + 2s = 2(s+ 1) ´e par.

4 Hip´otese: Suponha n+m par, ondem= 2r⁰, para 1≤r⁰ <r.

5 Passo indutivo: seja m= 2r, com r >1.

Note quem= 2r= 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2. Por hipótese de indu¸cão,n+ 2(r−1) é par. Entãon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok.

Portanton+m=n+ 2r =n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

1 Sejamm e n pares. Existem inteiros r es tais quem= 2r e n= 2s.

Note quem= 2r= 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2. Por hipótese de indu¸cão,n+ 2(r−1) é par. Entãon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok. Portanton+m=n+ 2r

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

5 Passo indutivo: seja m= 2r, com r>1.

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

Por hipótese de indu¸cão,n+ 2(r−1) é par. Entãon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok. Portanton+m=n+ 2r

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

Por hipótese de indu¸cão,n+ 2(r−1) é par.

Ent˜aon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok. Portanton+m=n+ 2r

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

Ent˜aon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok.

Portanton+m=n+ 2r

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1). Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1).

Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

Ent˜aon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok. Portanton+m=n+ 2r

=n+ 2(r−1) + 2 = 2k+ 2 = 2(k+ 1).

Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

= 2k+ 2 = 2(k+ 1).

Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

Ent˜aon+ 2(r−1) = 2k para algum inteirok.

Portanton+m=n+ 2r =n+ 2(r −1) + 2 = 2k+ 2

= 2(k+ 1).

Logo,n+m´e par.

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Exemplo: Prova por indu¸c˜ ao

Teorema

Demonstra¸c˜ao.

Note quem= 2r = 2r−2 + 2 = 2(r−1) + 2.

Logo,n+m´e par.