e: A História de um Número

e: A História de um Número

Eli Maor

Diogo

Guilherme

Temas presentes no livro

• Origens do logaritmo

• Matemática financeira (juros)

• Limite (do muito pequeno ao infinitamente grande)

• História do cálculo diferencial e integral

• Séries

• Método das Fluxões de Newton

• O cálculo de Leibniz

• Características das funções exponenciais

• A família Bernoulli

• Matemática na Arte e na Natureza

• A catenária e as funções hiperbólicas

• Números complexos

• Os trabalhos de Euler

• Álgebra

• Filosofia dos números

Sobre o autor

• É um historiador da matemática nascido em 1937 em Israel

• Atualmente leciona na Universidade de Chicago (Loyola University Chicago)

• É autor de vários livros sobre a História da Matemática:

• To Infinity and Beyond:

A Cultural History of the Infinite

• The Pythagorean Theorem:

A 4,000-Year History

• Trigonometric Delights

Motivação do autor

• O autor conhecia vários livros que retratavam a história do número , mas nenhum que fosse dedicado ao

número e.

• É um número que está presente em várias áreas da matemática e importante para os estudos das ciências naturais.

• Crítica à forma com que a Matemática é ensinada nas escolas que desconsideram a história de sua evolução.

Muito importante

• O autor sempre alerta aos leitores que existem

discordâncias entre fontes diferentes e que algumas não são muito precisas

• Sempre quando conta apresenta uma “história

fantástica” sobre as pessoas, o autor cita a fonte e aconselha os leitores a serem críticos

John Napier (1550-1617): o primeiro

“personagem” desta história

• Era escocês e teve uma vida voltada à prática religiosa

• Era protestante, totalmente contra a Igreja Católica, à qual dedicou um livro inteiramente para fazer críticas

• Desenvolveu estudos práticos à agricultura (adubo, sistema hidráulico)

• Participou de projetos militares para defender sua terra natal, mas não se sabe se as máquinas imaginadas

foram de fato construídas

O que acontecia nos séculos XVI e XVII?

• Nesta época ocorreu um enorme avanço científico

• O sistema heliocêntrico tinha uma maior aceitação

• Gerhard Mercator viaja o circunavega o mundo e faz um novo mapa novo do mundo

• Galileu estabelece os alicerces da Mecânica

• Kepler fazia seus estudos dos movimentos celestes

O logaritmo

• Os avanços científicos requeriam uma quantidade enorme de cálculos numéricos

• Não se tem certeza das intenções de Napier ao desenvolver os logaritmos

• A ideia era: dado qualquer número positivo, podemos escrevê-los em potências de um número fixo conhecido (a base) e o produto (ou divisão) dos números seria a soma (ou subtração) de seus expoentes.

O que há de novo?

• Para certos números inteiros, este método não era necessário.

• Napier construiu uma tabela que usava este método para vários números, inteiros e decimais

• O problema foi só a base utilizada para fazer seus cálculos.

• A primeira base usada para as tabelas logarítmicas foi 0,9999999

E depois?

• Após a publicação do trabalho sobre os logaritmos, Briggs vai à Escócia à procura de Napier

• Briggs propõe algumas mudanças na ideia dos logaritmos, como o uso da base 10

• Briggs então se prontifica para fazer as tabelas com a base 10

• Construção de aparelhos para calcular logaritmos

• Difusão do logaritmo no meio científico

A primeira aparição do número e

• O número e manifestou-se pela primeira vez relacionado com uma das maiores

preocupações da humanidade até os dias atuais:

$$ O dinheiro $$

“Se emprestares dinheiro a alguém do meu povo, a um pobre que vive ao teu lado, não agirás como um agiota. Não lhe deves cobrar juros.”

Exôdo 22:25

Mas como assim?

• O número e apareceu primeiramente em problemas que envolviam juros compostos

• Primeiro, o autor apresenta um problema de juros da época dos babilônicos.

• Após explicar a operação de juros compostos, o autor apresenta a expressão que fornece o montante após um período de aplicação

nt

n P r

S 



 

 

 1

• Para uma transação hipotética, onde r = 1, t = 1 ano e P

= R$ 1,00, a expressão fica simplesmente:

n

S n 



 

  

 1

1

• O autor chama a atenção para o caso em que n  

• Em seguida, ele faz uma tabela da expressão acima com o valor de n crescendo

Um pouco sobre a história do Cálculo

• O livro retorna aos tempos de Arquimedes para contar um pouco sobre os métodos desenvolvidos para calcular o valor de e o cálculo de áreas

• Segundo o autor, o desconhecimento da álgebra pode ser um dos motivos que não levaram os gregos a

desenvolver o cálculo.

• Os gregos tinham dificuldades em aceitar que uma soma infinita convergia para um limite finito (o autor discute um dos paradoxos de Zenão)

• Dando um grande salto, em 1593 aparece o primeiro processo infinito escrito explicitamente como uma

fórmula matemática

• Várias destas foram criadas para se calcular o valor de 

• Kepler fez alguns estudos que envolviam o uso de

elementos indivisíveis (sua 2ª Lei e volume de sólidos)

• Segundo o autor, Kepler deu um grande avanço no desenvolvimento do cálculo

A quadratura da hipérbole entra na história

• Dentro deste contexto, o autor discuti vários temas pertencentes à Matemática

• Explicação do processo de quadratura, desde a origem

• Preocupação com a quadratura da hipérbole

• As cônicas e as representações após o desenvolvimento da Geometria Analítica.

• A vida e obra de Descartes

• Fermat foi uma das pessoas que se preocuparam com a quadratura de curvas cuja equação era y = xⁿ, com n

inteiro positivo

• Fermat chegou a um método que resolvia o problema para qualquer função cujo para qualquer valor de n, exceto n = -1

• Em 1647, Grégoire percebeu que a área sob uma hipérbole (y = x^-1) tem uma relação com a função logarítmica (sendo esta, talvez, o seu primeiro uso)

• Só faltava ter certeza que a função logarítmica realmente dava a área sob a hipérbole

O grande confronto

Newton Leibniz

X

Método das fluxões de Newton

• O cálculo de Newton foi caracterizado basicamente por um ponto se deslocando sobre um plano cartesiano, ou seja, duas variáveis se relacionando através de uma equação.

• Após estruturar sua ideia de fluxão, ele pensou sobre o processo inverso: encontrar o fluente. Algo como encontrar “aquilo que fluiu” no tempo.

Notação

2

 

 



 

































x x

y y

y y

y

x x

x

y y

de fluxão

x x

de fluxão

Para um intervalo de tempo , ficamos com:

Para a função , ^{y  x2} obtemos:

Notação

y e x entre fluxão

2

moderno resultado

o obtemos 0

ε para

2

: em chegamos

ε por lados

dois os

dividindo

) (

) (

2

2 )

( )

( 2

2

2 2

2 2





 































x x y

x x

x y

x x

x y

lados dos

y o cancelar podemos

x y

como

x x

x x













Idéia sobre o cálculo de Leibniz

• Idéia mais abstrata que a Newton;

• Pensava no cálculo como o acréscimo de pequenas taxas, os diferenciais.

• Quanto menor forem os diferenciais, mais próxima da curva estará a reta tangente.

Triângulo característico

Notação

2

2 2

2

2

2 2

Δx 2xΔx

Δy

Δx 2xΔx

x x

Δy

: temos ,

x y

como

Δx) (x

Δy y

Δy.

aumentará y

Δx, aumentar

x Se

x y

curva a

Dada























Notação



 



 



 

















 



 











 







 



 







 



 











dx de dy

chamamos isso

x x y

temos x

Para

x x x

y

x x x

x x

x y

x por

lados o

Dividindo

, 2

, 0 2

) (

2

: 2

2

Notação

1

 



 







n n

dx nx dy

x y

Dado

Generalizando:

Disputa pela patente

• Newton não tinha o costume de publicar seus trabalhos, sempre os mantinha restrito ao seu grupo dentro da

universidade

• Leibniz sempre que possível publicava seus trabalhos.

Disputa pela patente

• Segundo o autor, Newton já havia terminado o seu cálculo 10 anos antes de Leibniz publicar.

• Pessoas ligadas a Newton mostraram para Leibniz uma parte de seu trabalho

• Newton sempre acusou Leibniz de plágio e tentou mostrar este ato mesmo após a morte deste.

Consequências

• Grande escassez na matemática e na ciência britânica nos séculos subsequentes, devido ao isolamento

causado pela disputa.

• Enquanto isto, matemáticos na Europa continental aderem à notação de Leibniz que foi mais bem

difundida.

• Mas mesmo assim, alguns matemáticos e cientistas debatiam sobre o autor “original” do cálculo

Casos de família

• Oito integrantes da família se empenharam no estudo da matemática e da física

• Três deles tiveram grande destaque: Jakob I (Jacques ou James), Johann I (Jean ou John) e Daniel I

• Johann I era irmão de Jakob I; Daniel I era filho de Johann I

• Johann I foi o professor de L’Hospital, o mesmo da polêmica regra de mesmo nome

Os integrantes da família Bernoulli

• Ocorreram várias intrigas entre os familiares, principalmente entre Jakob e Johann

• Uma das disputas entre os irmãos envolvia o problema de ciclóides: “encontrar a curva ao longo da qual uma partícula deslizará sob a força gravitacional no menor tempo possível”

(braquistócrona)

• O problema, segundo o autor, teve cinco soluções

diferentes, dados por: Newton, Leibniz, L’Hospital e os dois irmãos Bernoulli.

• Porém, a solução de Johann apresentava um erro, corrigindo-o usando um dos resultados obtidos por Jakob, sem dar mencioná-lo, possivelmente piorando assim, a situação entre os dois

• A braquistócrona é um caso particular das ciclóides

• Os Bernoulli eram defensores dos estudos de Leibniz, com quem se correspondiam

• Não bastasse as brigas com o irmão, Johann teve um péssimo relacionamento com o filho Daniel, por este ter um destaque maior

• É creditado a Daniel a relação entre pressão e velocidade de um fluido em movimento

Spira Mirabilis: A espiral logarítmica

• Dentre os estudos de Jakob, encontramos o fascínio dele pela espiral logarítmica

• O autor apresenta vários detalhes desta curva: suas propriedades, particularidades, matemáticos que a estudaram

• Imagine quatro insetos posicionados nos cantos de um quadrado. Ao tocar um apito, cada inseto começa a se mover em direção ao seu vizinho. Quais são as

trajetórias dos insetos e onde eles irão se encontrar?

• A trajetória das quatro é uma espiral logarítmica.

• Além desta situação, o autor comenta sobre outras aplicações da função

Um encontro fictício

• Dentro do contexto da espiral logarítmica, Eli Maor cria uma pequena história, contando como seria um

encontro entre Johann Bernoulli e Johann Sebastian Bach

• Sabastian havia feito estudos referentes às frequências das notas musicais da escala maior e percebeu que

havia algumas incoerências

• Ele então propõe uma escala temperada composta por 12 notas no lugar da escala de 7 notas.

• Após uma breve conversa entre os dois, eles concluem a escala musical temperada sendo representada por uma espiral logarítmica

Além da espiral: a catenária

• Jakob Bernoulli propõe em 1690, um problema cuja

solução é uma catenária: “encontrar a curva formada por um fio pendente, livremente suspenso a partir de dois

pontos fixos”

• Apareceram três soluções corretas: Huygens, Leibniz e Johann Bernoulli.

• As tensões entre os irmãos pioraram e um tempo depois Jakob apresenta uma solução para espessuras variáveis

• Na época da resolução do problema, o número e ainda não possuía um símbolo

• Apenas em 1757, Riccati apresenta uma notação para a catenária, assim como para uma função semelhante

2

x

x e

Chx e

 

 2

x

x e

Shx e

 



Parecidas mas nem tanto

• Riccati inicia um estudo das funções hiperbólicas e percebe que há muitas semelhanças destas com as funções trigonométricas

2 1 2 0 cos

0 0

1 0 cos

) (

cos )

cos(

1

cos^{2 2}

























 sen sen

senx x

sen

x x

x sen x

Funções trigonométricas Funções hiperbólicas

301 , 2 2

509 , 2 2

cosh

0 0

1 0 cosh

) (

cosh )

cosh(

1

cosh^{2 2}

























 senh senh

senhx x

senh

x x

x senh x

Funções trigonométricas

 

 























 x c

x sen dx

x dx senx

d

senx dx x

d

xseny y

senx y

x sen

senxseny y

x y

x

x x senx

1

1 2

cos cos

cos cos

) (

cos cos

) cos(

tan cos

Funções hiperbólicas

 

 





















 x c x senh

dx

x senhx

dx d

senhx dx x

d

xsenhy y

senhx y

x senh

senhxsenhy y

x y

x

x senhx x

1

1 2

cosh cosh

cosh cosh

) (

cosh cosh

) cosh(

tanh cosh

• As funções hiperbólicas não apresentam periodicidade como as funções trigonométricas

• Os parâmetros x e y não podem ser interpretados como ângulos quando nos referimos às funções hiperbólicas, mas pode representar o dobro da área de um setor

hiperbólico

• O autor apresenta uma notação diferente para representar

Um amigo dos Bernoulli

• A família de Leonhard Euler (nascido em 1707)possuía um laço com os Bernoulli.

• O pai de Euler estudou matemática com Jakob

• Euler teve aulas com Johann e se tornou amigo de seus dois filhos, Daniel e Nicolaus.

Alguns trabalhos de Euler

• Euler desenvolveu estudos sobre a teoria dos números (matemática pura) e sobre a mecânica analítica

(matemática aplicada)

• Fez um trabalho sobre funções, no qual introduziu sua definição e sua notação, usada atualmente

• Possivelmente foi o primeiro a usar a letra “e” para se referir ao número 2,71828...

• Representou a função exponencial como uma série de potências

• Segundo o autor, Euler começou a “brincar” com as relações matemáticas, fazendo alguns

procedimentos não muito corretos

• Primeiramente substitui x na função exponencial por ix, obtendo uma função exponencial imaginária

• Escrevendo-a em séries de potências e rearranjando os termos, chegou à relação:

• A demonstração formal desta relação só ocorreu tempos depois

isenx x

e

 cos 

No campo dos números complexos

• O autor faz um breve histórico referente aos problemas que envolviam raiz quadrada de um número negativo

• A partir de então ele apresenta vários estudos que envolvem o número i:

 representações polares;

 logaritmo de números negativos [ln(-1)] e de números imaginários [ln(i)]

 potências imaginárias de números imaginários [iⁱ]

 funções complexas

Por fim...

O autor faz uma discussão sobre a filosofia e um histórico dos números, discutindo a visão que alguns povos e matemáticos tiveram sobre os números, assim como a “natureza” dos mesmos, focando-se mais no número e, apresentando suas particularidades e importância à ciência e à matemática