Aula 06 Razão e proporção. Prof. Arthur Lima. Matemática e Raciocínio Lógico p/ Todos os cargos de TRTs de 106

Aula 06 – Razão e proporção

Matemática e Raciocínio Lógico p/ Todos os cargos de TRTs – 2019

Prof. Arthur Lima

Sumário

RAZÃO E PROPORÇÃO ... 3

GRANDEZASDIRETAMENTEPROPORCIONAIS 4 GRANDEZASINVERSAMENTEPROPORCIONAIS 6 REGRADETRÊSCOMPOSTA 9 Método tradicional para regras de três compostas 9 Método alternativo para regras de três compostas 14 DIVISÃOEMPARTESPROPORCIONAIS 17 DIFERENÇASDERENDIMENTO 22 QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 27

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 83

GABARITO ... 104

RESUMO DIRECIONADO ... 105

Razão e proporção

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

Para começar esta aula, imagine que estamos dirigindo um carro. Você concorda que, quanto MAIS rápido eu dirigir o carro, MAIOR será a distância que eu vou conseguir percorrer em um determinado período de tempo (por exemplo, 1 hora)? E, quanto MENOR for a minha velocidade, MENOR será a distância por mim percorrida? Perceba que temos duas “entidades” ou “grandezas” envolvidas neste exemplo: a velocidade que eu dirijo o carro e a distância percorrida. Nós podemos falar que a distância é proporcional à velocidade pois, como vimos, essas duas grandezas variam juntas!

Portanto, já guarde isso: duas grandezas são proporcionais quando elas variam juntas – seja as duas aumentando, as duas diminuindo, ou uma aumentando e a outra diminuindo.

Precisamos conhecer dois tipos de proporcionalidade: aquelas com grandezas diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. Vamos lá?

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas variam no mesmo sentido, isto é: quando uma cresce, a outra também cresce. Já, se a primeira diminui, a segunda diminui também.

Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço.

O que significa isso? Ora, significa que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta. Por outro lado, quanto menor for o tempo de serviço do funcionário, menor será o seu salário. Essa variação ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário e o tempo trabalhado.

Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), podemos organizar as informações da seguinte maneira:

Tempo (anos) Salário (reais)

5 1000

T 1500

Veja que, na primeira linha, coloquei as informações relativas a João. Na segunda linha estão as informações relativas a Kléber. A forma de resolver um exercício como este é muito conhecida: estamos diante de uma regra de três simples. Basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000). Costumamos chamar isso de “multiplicação cruzada”. Veja:

5 x 1500 = T x 1000 7500 = T x 1000 𝑇 =7500

1000 𝑇 = 7,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.

Guarde esse procedimento básico para a solução de problemas de proporcionalidade direta:

PROPORÇÃO DIRETA:

1 – Confirme que as grandezas são diretamente proporcionais (aumentam juntas / diminuem juntas);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Veja essa questão:

FCC – TRT/PE – 2018) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a

(A) 64.

(B) 78.

(C) 80 (D) 72.

(E) 70.

RESOLUÇÃO:

Foi afirmado que para cada 5 homens, temos 4 mulheres na repartição. Sendo H e M os totais de homens e mulheres inicialmente, temos:

5 homens --- 4 mulheres H homens --- M mulheres

5 x M = 4 x H H = 5M/4

Após entrarem 5 homens e 12 mulheres, ficamos com H+5 homens e M+12 mulheres, e a razão passou a ser de 9 homens para 8 mulheres. Ou seja:

9 homens --- 8 mulheres H + 5 homens --- M + 12 mulheres

9 x (M + 12) = 8 x (H + 5) 9M + 108 = 8 x (5M/4) + 40

9M + 108 = 10M + 40 10M – 9M = 108 – 40

M = 68

Originalmente havia 68 mulheres. Com as 12 contratações, passamos para 80 mulheres.

Resposta: C

Antes de prosseguir, trabalhe mais esta questão:

CESPE – EMAP – 2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios.

Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.

( ) Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

RESOLUÇÃO:

Observe que, aparentemente, temos TRÊS grandezas envolvidas: o número de operadores, o número de horas de trabalho, e o número de navios carregados. Entretanto, perceba que o número de operadores NÃO MUDA (permanecem 6). Quando uma grandeza não muda, podemos simplesmente ignorá-la e trabalhar somente com as demais. Anotando-as em uma tabela:

Horas por dia --- Navios

8 12

X 18

Perceba que quanto MAIS horas de trabalho por dia nós tivermos, MAIS navios conseguiremos carregar. Ou seja, temos grandezas diretamente proporcionais. Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

8 . 18 = X . 12 2 . 18 = X . 3

2 . 6 = X . 1 12 = X

Portanto, os operadores precisam trabalhar 12 horas. O item é ERRADO, pois afirma que os operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

Resposta: E

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede.

Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto MAIS pedreiros trabalhando em uma obra, MENOS tempo é necessário para finalizá-la, concorda? É muito importante ser capaz de imaginar o “mundo real” para fazer esse julgamento!

A forma de resolução do problema é bem parecida com o caso anterior, há apenas uma pequena (mas importantíssima) diferença. O primeiro passo consiste em anotar as informações do enunciado em uma tabela:

Número de pedreiros Tempo (hr)

2 6

3 T

Aqui vem a diferença: como as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, antes de realizar a multiplicação cruzada nós precisamos INVERTER uma das colunas. Você pode escolher qualquer coluna para inverter, ok? Eu escolhi inverter os termos da coluna dos Pedreiros. Veja como ficou:

Número de pedreiros Tempo (hr)

3 6

2 T

Feito isso, basta efetuar a multiplicação cruzada:

3 x T = 2 x 6 3 x T = 12

𝑇 =12 3 𝑇 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Portanto, o AUMENTO de número de pedreiros (de 2 para 3) REDUZ o tempo necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas. Era exatamente isso que nós esperávamos, concorda?

Vamos então anotar a “receita de bolo” para enfrentar problemas de proporcionalidade inversa:

PROPORÇÃO INVERSA:

1 – Confirme que as grandezas são inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui, e vice-versa);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – INVERTA os valores de uma das colunas (troque-os de linha);

4 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Perceba que a única diferença está no passo 3!

Resolva essa questão introdutória antes de avançarmos:

FCC – TRT/11 – 2017) Um ciclista cumpriu seu trajeto de treinamento com uma velocidade média de 20 km/h e um tempo de 6 horas e 24 minutos. No dia seguinte, ao voltar, o ciclista cumpriu o mesmo trajeto em exatamente 8 horas. Nesse dia sua velocidade média caiu, em relação ao treinamento do dia anterior, um valor igual a

(A) 1,5 km/h.

(B) 3 km/h.

(C) 7 km/h.

(D) 4 km/h.

(E) 6 km/h.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever:

20km/h —————— 6h 24min V km/h ——————– 8h

Uma dica importante: nunca trabalhe com horas e minutos. O ideal é transformar tudo em minutos. Como 1 hora corresponde a 60 minutos, fica fácil dizer que 8 horas são 8 x 60 = 480 minutos. Da mesma forma, 6 horas são 6 x 60 = 360 minutos. Somando ainda os 24 minutos (de 6h24min), temos 384 minutos. Assim, ficamos com:

20km/h —————— 384 min V km/h —————— 480 min

Repare que, quanto MAIOR a velocidade que percorremos um trajeto, MENOR será o tempo gasto no trajeto.

O enunciado não disse, mas nós percebemos claramente que as grandezas são inversamente proporcionais!

Devemos inverter uma das colunas. No caso, vou inverter a coluna das velocidades:

V km/h —————— 384 min 20 km/h ——————– 480 min Agora basta fazer a multiplicação cruzada:

V x 480 = 20 x 384 V x 24 = 384 V = 384 / 24 V = 16 km/h

A queda na velocidade foi de 20 para 16 km/h, ou seja, uma queda de 4km/h.

Resposta: D

Vamos trabalhar mais uma questão?

VUNESP – PM/SP – 2018) Uma máquina trabalhando ininterruptamente 5 horas por dia produz um lote de peças em 3 dias. Para que esse mesmo lote fique pronto em 2 dias, o tempo que essa máquina terá que trabalhar diariamente, de forma ininterrupta, é de

(A) 7 horas e 50 minutos.

(B) 6 horas e 45 minutos.

(C) 6 horas e 35 minutos.

(D) 7 horas e 30 minutos.

(E) 7 horas e 05 minutos.

RESOLUÇÃO:

Vamos anotar os dados do enunciado na tabela abaixo:

Horas por dia Dias

5 3 T 2

Note que quanto MAIS horas trabalhamos por dia, conseguimos produzir um lote em MENOS dias. Isto evidencia que as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Portanto, devemos inverter uma das colunas.

Vou inverter a coluna das horas por dia. Veja:

Horas por dia Dias

T 3 5 2 Agora é só montar a nossa multiplicação cruzada:

T x 2 = 3 x 5 T = 15/2

T = 7,5 T = 7h + 0,5h T = 7 horas + 30 minutos Resposta: D

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas por vez. Nas questões onde aparecem 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos a famosa regra de três composta.

Quero te ensinar a resolver as questões de regra de três composta usando dois métodos, para que você fique à vontade para escolher aquele que se identificar melhor, ok?

Método tradicional para regras de três compostas

Vamos entender como funciona este método através de um exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Perceba que agora nós temos 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e tempo de construção. Veja o esquema abaixo, onde anotei os dados fornecidos:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

A seguir, podemos colocar uma seta na coluna onde está a grandeza que precisamos descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser):

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X (número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto MAIOR o número de paredes, MAIS pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no MESMO SENTIDO (isto é, para baixo) na coluna do Número de pedreiros:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Da mesma forma, vemos que quanto MAIOR o número de paredes, MAIOR será o tempo de construção.

Portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos exercícios tratando sobre isso.

Uma vez alinhadas as setas, podemos montar a nossa proporção. Para isso, montamos a razão (divisão) entre os termos da coluna onde está o X (isto é, fazemos ⁴

𝑋) e a igualamos à multiplicação das razões obtidas nas demais colunas (²

5 e ¹

7), ficando com:

4 2 1 5 7 X = 

Para obter o valor de X, basta terminar os cálculos. É interessante, neste momento, tentar SIMPLIFICAR os números, visando trabalhar com valores menores. Para você não ficar inseguro, vamos lembrar do ÚNICO caso em que você NÃO PODE simplificar: nunca simplifique na DIAGONAL, ou seja, o numerador de um lado com o denominador do outro. Ou seja, não é possível fazer as simplificações nos sentidos vistos na figura abaixo:

Podemos simplificar o 4 (numerador da esquerda) com o 2 (numerador da direita). Basta dividir ambos por 2, ficando com:

2 𝑋=1

5𝑥1 7

2 𝑋= 1

35

2 . 35 = X . 1

70 = X

Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses. Veja no quadro abaixo um resumo do que fizemos neste exemplo.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com elas;

2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X);

3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto;

4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário;

5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões;

6. Obter X.

Uma observação: você verá que muitas vezes eu nem desenho as setas! Elas são um bom recurso em um momento inicial, para que você fixe melhor o procedimento de resolução. Mas, se preferir, nem perca tempo as desenhando!

A propósito, resolva essas questões comigo:

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim:

Funcionários Máquinas Dias

20 150 45

30 275 D

Note que quanto MAIS dias tivermos para fazer o trabalho, MENOS funcionários são necessários, e MAIS máquinas podem ser despachadas. Portanto, devemos inverter a coluna dos funcionários, que é inversamente proporcional. Ficamos com:

Funcionários Máquinas Dias

30 150 45

20 275 D

Montando a proporção:

45 𝐷 =30

20𝑥150 275 Preste atenção nas simplificações:

45 𝐷 =3

2𝑥150 275

15 𝐷 =1

2𝑥150 275

1 𝐷=1

2𝑥 10 275

1 𝐷=1

1𝑥 5 275

1 𝐷= 5

275

Podemos inverter os dois lados, ficando com:

𝐷 =275 5

Multiplicando em cima e embaixo por 2 (é um bom truque para quando o denominador é 5):

𝐷 =550

10 = 55 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Anotando as informações fornecidas:

2 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 3 funcionários --- 24 relatórios --- N dias

Agora devemos comparar a coluna onde está a variável (dias) com as demais. Note que quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MENOS funcionários são necessários para concluir um trabalho. E quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MAIS relatórios podem ser feitos. Fica claro que “funcionários” é INVERSAMENTE proporcional ao número de dias, o que nos leva a inverter essa coluna:

3 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 2 funcionários --- 24 relatórios --- N dias Agora podemos montar a nossa proporção:

3 𝑁=3

2𝑥12 24 3

𝑁=3 2𝑥1

2 1

𝑁=1 2𝑥1

2 1 𝑁=1

4 𝑁 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: D

Método alternativo para regras de três compostas

Pela minha experiência, a maioria dos alunos acaba tendo alguma dificuldade em verificar se duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Existe um segundo método de resolução que dispensa este passo. Para resolvê-lo, entretanto, é preciso ser capaz de separar as grandezas do enunciado em dois

“tipos”:

- aquela grandeza que representa o “resultado”;

- aquelas grandezas que representam os “ingredientes” para aquele resultado.

Como assim? Vamos retomar o nosso exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Repare que temos os PEDREIROS, as PAREDES e o TEMPO (meses). Note que o resultado buscado é a construção de paredes, concorda? E quais são os ingredientes utilizados para construir as paredes? Os pedreiros e o tempo de trabalho! Sabendo disso, podemos anotar as informações em uma tabela como esta abaixo, deixando de um lado dos ingredientes e do outro lado o resultado:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Para chegar em nosso resultado, basta fazermos as multiplicações dos termos marcados pelas linhas abaixo:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Repare que o procedimento é simples: basta multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra linha. Agora, podemos igualar as duas multiplicações:

2 x 1 x P = 5 x 7 x 4

Uma vez montado o problema, basta terminarmos de resolver:

2P = 140 P = 70

Simples e rápido, não? Anote aí a “receita de bolo”:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA (MÉTODO ALTERNATIVO):

1 – identificar qual é o OBJETIVO ou RESULTADO pretendido e quais são os INGREDIENTES necessários;

2 – montar uma tabela separando os ingredientes do resultado;

3 – multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra;

4 – igualar as duas multiplicações, obtendo o valor da variável buscada.

Vamos praticar esse método nos mesmos exercícios que trabalhamos anteriormente?

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Temos as grandezas: máquinas despachadas, funcionários trabalhando, e dias de trabalho. Qual é o RESULTADO que buscamos? Ora, queremos despachar máquinas! E, para fazer isso, quais são os ingredientes utilizados? Nós estamos utilizando funcionários e tempo de trabalho, concorda? Portanto, podemos montar a nossa tabela:

Veja que eu já coloquei as linhas que indicam as multiplicações a serem realizadas: multiplicamos os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra! Ficamos com:

20 x 45 x 275 = 30 x D x 150 Simplificando os cálculos:

2 x 45 x 275 = 3 x D x 150 2 x 15 x 275 = 1 x D x 150 2 x 1 x 275 = 1 x D x 10

550 = D x 10 D = 55 dias Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Veja que o OBJETIVO aqui é produzir relatórios. Para produzi-los, os ingredientes são:

- funcionários trabalhando;

- tempo (dias) de trabalho.

Podemos anotar as informações:

Agora basta seguir as linhas azul e vermelha para resolvermos o exercício:

2 x 3 x 24 = 3 x D x 12 2 x 3 x 2 = 3 x D x 1 2 x 1 x 2 = 1 x D x 1

4 = D Resposta: D

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

Algumas questões nos apresentam situações onde devemos dividir alguma coisa (ex.: lucro da empresa) entre algumas pessoas de maneira PROPORCIONAL a algum critério (ex.: fatia da empresa possuída por cada sócio). A resolução é relativamente tranquila, pois podemos usar até mesmo regras de três simples! Para você compreender melhor, vejamos um exemplo.

Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz?

Veja que temos uma coisa (40.000 reais) a ser dividida entre 3 pessoas seguindo um determinado critério de proporcionalidade (a divisão deve ser diretamente proporcional aos tempos de trabalho de cada um).

Uma primeira forma de resolver consiste em uma regra de três simples com a seguinte “cara”:

Dinheiro TOTAL --- Tempo TOTAL Dinheiro de Fulano --- Tempo de Fulano

Veja que basta montar uma regra de três relacionando os valores totais (dinheiro e tempo) e os valores de um determinado indivíduo (que pode ser André, Bruno ou Carlos). O dinheiro total é 40.000 reais, e o tempo total é dado pela soma 200 + 300 + 500 = 1000 horas de trabalho. Assim, no caso de André, que trabalhou 200 horas, temos a regra de três:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de André --- 200 horas Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 200 = 1000 x Dinheiro de André 40 x 200 = Dinheiro de André 8000 reais = Dinheiro de André

De maneira similar, podemos calcular o dinheiro de Bruno. Como ele trabalhou 300 horas:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de Bruno --- 300 horas

Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 300 = 1000 x Dinheiro de Bruno 40 x 300 = 1 x Dinheiro de Bruno 12000 reais = Dinheiro de Bruno

Você pode calcular a parcela de Carlos da mesma forma, basta usar 500 horas. Outra forma, até mais fácil, é simplesmente pegar o total (40.000 reais) e subtrair os valores dados a André e Bruno, ou seja,

Carlos = 40.000 – 8.000 – 12.000 = 20.000 reais

Perceba que a divisão foi mesmo DIRETAMENTE proporcional! André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MENOS dinheiro. Já Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MAIS dinheiro.

Uma segunda forma de resolver consiste no uso de ‘constantes de proporcionalidade’. Considero IMPORTANTÍSSIMO que você aprenda este segundo método, pois ele é fundamental em questões mais complexas sobre divisão proporcional. A ideia básica é criar uma variável, que chamamos de constante de proporcionalidade. Eu costumo usar a letra K. Assim, como André trabalhou 200 horas, ele tem direito a 200K.

Como Bruno trabalhou 300 horas, ele faz jus a 300K e, como Carlos trabalhou 500 horas, ele deve receber 500K.

A soma dos valores recebidos, que é 200K + 300K + 500 K = 1000K, deve ser igual a 40.000 reais, concorda?

Logo,

1000K =40000 K =40

Sabendo o valor da constante, conseguimos calcular rapidamente o valor recebido por cada rapaz:

André = 200K = 200 . 40 = 8000 reais Bruno = 300K = 300 . 40 = 12000 reais Carlos = 500K = 500 . 40 = 20000 reais Entendeu? Excelente!

E se a questão falasse que o dinheiro deveria ser distribuído de forma INVERSAMENTE proporcional ao tempo de trabalho de cada um??? Neste caso, você poderia usar a mesma constante K. Entretanto, André faria jus a ^𝐾

200 , Bruno a ^𝐾

300, e Carlos a ^𝐾

500. Essa é a única mudança! Ao invés de multiplicar a constante pelos valores de cada pessoa, nós dividimos a constante pelo valor de cada pessoa, uma vez que a divisão é inversamente proporcional a esses valores.

A soma continua sendo de 40000 reais, portanto:

𝐾 200+ 𝐾

300+ 𝐾

500= 40000

Multiplicando todos os termos por 100, ficamos com:

𝐾 2+𝐾

3+𝐾

5 = 4.000.000

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 5 é o 30. Podemos multiplicar todos os termos por 30, ficando com:

15𝐾 + 10𝐾 + 6𝐾 = 120.000.000 31𝐾 = 120.000.000

𝐾 =120.000.000 31 𝐾 = 3.870.967,74

(não se assuste com o tamanho dos números... isso ocorre porque este exercício NÃO foi concebido para trabalharmos com divisão inversamente proporcional, só estamos fazendo para entender o método)

Agora que sabemos o valor da constante, podemos encontrar o valor recebido por cada rapaz:

André = K/200 = 3.870.967,74 / 200 = 19.354,83 reais Bruno = K/300 = 3.870.967,74 / 300 = 12.903,22 reais Carlos = K/500 = 3.870.967,74 / 500 = 7.741,93 reais

Repare que a soma dos valores é mesmo 40.000 reais (ou quase isso, por conta dos arredondamentos). E veja que a divisão foi mesmo INVERSAMENTE proporcional. André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MAIS dinheiro! E Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MENOS dinheiro!

Compreendido? Vamos então empregar os dois métodos nos próximos exercícios!

FCC – SABESP – 2018) Em um centro de telemarketing de uma rede de academias, três operadores dividem entre si um bônus no final do ano de forma proporcional às quantidades de clientes matriculados por cada um ao longo do ano. No ano de 2017, o operador Carlos matriculou 700 clientes; a operadora Silvânia, 850 clientes;

o operador Josias, 800 clientes. Se o bônus recebido por Josias foi de R$ 1.200,00, então o valor total do bônus dividido entre os três operadores em 2017 foi de

(A) R$ 2.515,50.

(B) R$ 9.600,00.

(C) R$ 8.400,00.

(D) R$ 3.525,00.

(E) R$ 10.200,00.

RESOLUÇÃO:

➔ PRIMEIRA SOLUÇÃO (regra de três simples):

Veja que temos mais informações em relação a Josias: ele ganhou 1200 reais de bônus, e matriculou 800 clientes. Podemos montar a seguinte regra de três relacionando os bônus e os números de matriculados:

Bônus total --- Total de matriculados Bônus de Josias --- Matriculados por Josias

O total de matriculados é de 700 + 850 + 800 = 2350. Assim, substituindo os valores conhecidos, temos:

Bônus total --- 2350 1200 --- 800 Resolvendo a regra de três simples:

Bônus total x 800 = 1200 x 2350 Bônus total x 8 = 12 x 2350

Bônus total x 2 = 3 x 2350 Bônus total = 3 x 1175 Bônus total = 3525 reais Podemos marcar a alternativa D, que é o nosso gabarito.

➔ SEGUNDA SOLUÇÃO (constante de proporcionalidade):

Outra forma de resolver consiste em trabalhar com “k”, a nossa constante de proporcionalidade. As partes a serem divididas para os operadores são diretamente proporcionais à quantidade de clientes matriculados por cada um (700, 850 e 800 clientes), ou seja, os valores de cada um são 700k, 850k e 800k. Foi dado que Josias recebeu 1200 reais. O bônus de Josias é 800k, ou seja,

800k = 1200 k = 1200/800

k = 1,5 Assim, o valor total do bônus foi de:

Total = 700k + 850k + 800k Total = 2350k Total = 2350 . 1,5 Total = 3525 reais Resposta: D

Veja ainda uma situação menos comum em prova, mas que você também deve aprender a resolver:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em três partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números.

(A) 120.

(B) 160.

(C) 180.

(D) 200.

(E) 240.

RESOLUÇÃO:

Como temos uma divisão que é diretamente proporcional a alguns números e inversamente proporcional a outros, a solução mais recomendável é o uso da constante de proporcionalidade K.

Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma:

- 7

K2 (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2);

- 4

K3 (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3);

- 8

K5 (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcional a 5);

Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 números é igual a 772, ou seja:

7 4 8

772=  +  + K 2 K 3 K 5

105 40 48

772 30

K+ K+ K

=

23160 193K= 120 K =

Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são:

7

K2 = 120 x (7/2) = 420 4

K3= 120 x (4/3) = 160 8

K5 = 120 x (8/5) = 192 Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160.

Resposta: B

DIFERENÇAS DE RENDIMENTO

Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para completar o serviço?

Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho.

Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre:

a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros);

b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas).

Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho.

Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam necessárias para resolver este exercício:

1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos:

Horas de trabalho Livros guardados

3 600

1 P

3 1 600 200 P

P livros

= 

=

2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos:

P + M = 600

M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros

3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho:

Horas de trabalho Livros guardados

1 400

T 600

1 600 400 600 1,5 400

T

T hora

 =

= =

Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário.

Por exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400).

Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria possível resolver o exercício.

Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50%

de M, ou seja, 0,5M livros no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos (M):

1,5M --- 600 livros M --- X livros

1,5 600

600 400 1,5

M X M

X

 = 

= =

Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos constatado no caso anterior.

Vamos resolver juntos a questão a seguir:

FCC – TRT/24ª – 2011) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho – Matilde e Julião – foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3

5^{de X em 2} horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1

4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

RESOLUÇÃO:

O exercício apresentou dois casos: os 2 funcionários trabalhando juntos e Matilde trabalhando sozinha. E pediu um terceiro caso: Julião trabalhando sozinho. Nessas questões, não podemos assumir que os 2 funcionários tem a mesma eficiência, isto é, são capazes de arquivar o mesmo número de processos por hora. Estamos diante de um exercício onde há diferença de rendimento! Devemos, portanto, começar analisando o caso onde Matilde trabalha sozinha, pois assim saberemos de sua capacidade de trabalho. Feito isso, analisaremos o caso dos dois funcionários trabalhando juntos, para descobrir a capacidade de trabalho de Julião (uma vez que já saberemos a de Matilde). Por fim, podemos trabalhar com o caso de Julião trabalhando sozinho. Acompanhe tudo isso abaixo.

Matilde arquiva 1

4de X em 5 horas. Assim, podemos descobrir quanto Matilde arquiva em 2 horas (que é o tempo em que ela e Julião trabalharam juntos) utilizando uma regra de três simples:

Número de processos arquivados por Matilde Tempo gasto 1

4^{X 5}

P 2

Efetuando a multiplicação cruzada:

1 2 5

4

2 5

4 2 5

2 5 10

X P

X P X P

X X

P

 = 

=

=

= =

 Portanto, em 2 horas Matilde arquiva

10

X processos. O enunciado disse que, trabalhando juntos, Matilde e

Julião arquivam 3

5X em 2 horas. Como a parte de Matilde é de 10

X , restam para Julião:

3

5 10 6

10 10 5

10 2

X X X X X X

− =

− =

=

Portanto, em 2 horas Julião arquiva 2

X processos. Como Julião arquiva metade dos processos em 2 horas, ele arquivará todos os processos no dobro deste tempo (4 horas) trabalhando sozinho. Você também poderia descobrir isso através da seguinte regra de três:

Número de processos arquivados por Julião Tempo gasto

2

X 2

X T

2 2

1 2

2 4 X T X

T T

 = 

 =

= Resposta: A

E aí, compreendeu? Eu sei que esse é o caso mais complicado! Fique à vontade para me procurar no fórum de dúvidas se for necessário.

Podemos sintetizar assim o processo de resolução das questões onde há diferença de rendimento:

MÉTODO DE SOLUÇÃO – DIFERENÇAS DE RENDIMENTO:

1 - Partir da pessoa sobre a qual temos a informação de sua capacidade de trabalho isolada;

2 - Descobrir quanto essa pessoa produz (sozinha) no tempo em que ela trabalhou junto da outra;

3 - Subtrair essa parte do trabalho total realizado pelas duas pessoas juntas, para descobrir quanto a outra pessoa fez sozinha naquele tempo de trabalho conjunto;

4 – Montar uma regra de três para saber em quanto tempo a segunda pessoa é capaz de fazer o trabalho sozinha.

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

O total de calças produzidas por uma confecção passou de 375 no 1º trimestre de 2018 para 435 no trimestre seguinte. De um trimestre para o outro, o quadro de funcionários aumentou de acordo com a mesma porcentagem de aumento da produção de calças. Se, no 2º trimestre de 2018, havia 58 funcionários trabalhando nessa confecção, então no 1º trimestre de 2018, a quantidade de funcionários era igual a:

a) 42 b) 48 c) 50 d) 40 e) 54

RESOLUÇÃO:

Podemos montar uma regra de três:

375 calças --- 435 calças F funcionários --- 58 funcionários

375x58 = Fx435 21.750 = Fx435 F = 21.750 / 435 F = 50 funcionários Resposta: C

2.

Suponha que todos os funcionários de uma repartição pública escalados para realizar uma tarefa apresentam desempenhos iguais e constantes. Em 12 dias, 15 funcionários conseguiram fazer 75% da tarefa. Para terminar o restante da tarefa em 3 dias, o número de funcionários que deverá ser utilizado a partir do 13º dia é de:

a) 21 b) 24 c) 18 d) 20 e) 15

RESOLUÇÃO:

Podemos montar uma tabela assim:

Dias Funcionários Tarefa

12 15 75%

3 F 25%

Veja que usei 25%, que é o percentual da tarefa que ainda precisa ser feito. Perceba que, quanto MAIS funcionários, é possível terminar MAIS tarefa em MENOS dias. Devemos inverter a coluna dos dias, ficando:

Dias Funcionários Tarefa 3 15 75%

12 F 25%

Montando a proporção:

15 𝐹 = 3

12.75%

25%

15 𝐹 =1

4.75 25

15 𝐹 =1

4.3 1

5 𝐹 =1

4.1 1

F = 5x4 F = 20 funcionários Resposta: D

3.

Miguel, Otávio e Pedro foram convocados para realizar um trabalho emergencial. Para recompensá-los posteriormente, decide-se dividir uma quantia em reais entre os 3 em partes diretamente proporcionais ao tempo dedicado de cada um para realizar o trabalho e inversamente proporcionais às respectivas idades. Sabe- se que Miguel dedicou 4 horas para o trabalho e sua idade é igual a 30 anos, Otávio dedicou 8 horas e sua idade é igual a 40 anos e Pedro dedicou 15 horas e sua idade é igual a 60 anos. Se a menor parte correspondente a esta divisão foi de 4.800, então a maior parte foi igual a

a) R$ 7.200,00

b) R$ 9.000,00 c) R$ 6.000,00 d) R$ 12.000,00 e) R$ 8.400,00 RESOLUÇÃO:

Chamando de K a nossa constante de proporcionalidade, as partes de cada pessoa são:

𝑀𝑖𝑔𝑢𝑒𝑙 = 𝐾. 4

30= 𝐾. 2 15= 𝐾

7,5 𝑂𝑡á𝑣𝑖𝑜 = 𝐾. 8

40=𝐾 5 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 = 𝐾.15

60=𝐾 4

A menor parte é a de Miguel (K/7,5), e corresponde a 4800 reais. Ou seja, 4800 = 𝐾

7,5 K = 4800 x 7,5

K = 36.000

A maior parte é a de Pedro (K/4), que corresponde a:

𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 =𝐾

4 =36000

4 = 9000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 Resposta: B

4.

A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a

(A) 64.

(B) 78.

(C) 80 (D) 72.

(E) 70.

RESOLUÇÃO:

Foi afirmado que para cada 5 homens, temos 4 mulheres na repartição. Sendo H e M os totais de homens e mulheres inicialmente, temos:

5 homens --- 4 mulheres H homens --- M mulheres

5 x M = 4 x H H = 5M/4

Após entrarem 5 homens e 12 mulheres, ficamos com H+5 homens e M+12 mulheres, e a razão passou a ser de 9 homens para 8 mulheres. Ou seja:

9 homens --- 8 mulheres H + 5 homens --- M + 12 mulheres

9 x (M + 12) = 8 x (H + 5) 9M + 108 = 8 x (5M/4) + 40

9M + 108 = 10M + 40 10M – 9M = 108 – 40

M = 68

Originalmente havia 68 mulheres. Com as 12 contratações, passamos para 80 mulheres.

Resposta: C

5.

Uma equipe de 25 trabalhadores foi contratada para realizar uma obra em 14 dias. Passados 9 dias, a equipe só havia realizado 3/7 da obra. O coordenador da obra decidiu que irá contratar mais trabalhadores, com o mesmo ritmo de trabalho dos 25 que já estão na obra, para dar conta de terminá-la exatamente no prazo contratado.

Sendo assim, o coordenador deve contratar um número mínimo de trabalhadores igual a (A) 36.

(B) 28.

(C) 32.

(D) 42.

(E) 35

RESOLUÇÃO:

Veja que 25 trabalhadores fizeram 3/7 do trabalho em 9 dias. Queremos saber quantos trabalhadores (T) são necessários para fazer os 4/7 restantes do trabalho no prazo restante de 14 – 9 = 5 dias. Ou seja, temos a proporção:

Trabalhadores Dias Obra 25 9 3/7 T 5 4/7

Quanto MAIS trabalhadores, conseguimos fazer MAIS obras em MENOS dias. Devemos inverter a coluna dos dias, ficando com:

Trabalhadores Dias Obra 25 5 3/7 T 9 4/7 Montando a proporção:

25/T = (5/9) x (3/4) 5/T = (1/9) x (3/4) 5/T = (1/3) x (1/4)

5/T = 1/12 5.12 = T.1 60 trabalhadores = T Como já temos 25 trabalhadores, falta contratar 60 – 25 = 35.

Resposta: E

6.

Em uma empresa, no ano de 2005, o total de funcionários era 100, e a razão entre o número de homens e o número de mulheres era 7/3. De 2005 até 2010 nenhum funcionário se desligou da empresa e foram feitas contratações de modo a duplicar o número total de funcionários. Após essas contratações a razão, que era 7/3 , passou a ser 3/2. Desse modo, é correto concluir que a razão entre o número de homens contratados e o número de mulheres contratadas, nesse período, foi

(A) 3/4 . (B) 5/3 . (C) 2/1 . (D) 1/1 (E) 4/5 . RESOLUÇÃO:

No momento inicial temos 70 homens e 30 mulheres, pois desta forma temos um total de 100 pessoas, e a razão entre homens e mulheres é de 70/30 = 7/3.

Foram contratadas mais 100 pessoas (pois duplicamos o total de funcionários), e a razão entre homens e mulheres passou a ser de 3/2, ou seja, tínhamos 120 homens e 80 mulheres (a razão dá 120/80 = 12/8 = 3/2).

Fica claro que foram contratados 120 – 70 = 50 homens, e 80 – 30 = 50 mulheres. A razão entre as contratações é de 50/50 = 1/1.

Resposta: D

7.

Um posto de saúde dispõe de um lote de 1 980 doses de uma vacina da gripe. Esse posto vacina exatamente 60 pessoas por dia com uma dose dessa vacina, sendo que pelo menos 40 delas são do grupo de risco, constituído por crianças e idosos. Ao término desse lote, o posto registrou a vacinação de 60 pessoas que não eram do grupo de risco. Em tais condições, necessariamente, em algum dia de uso do lote, foram vacinadas, do grupo de risco,

(A) exatamente 48 pessoas.

(B) pelo menos 59 pessoas.

(C) exatamente 60 pessoas.

(D) mais do que 60 pessoas.

(E) menos do que 58 pessoas.

RESOLUÇÃO:

O número de dias que durou a vacinação pode ser calculado por uma regra de três:

60 doses --- 1 dia 1980 doses --- N dias

60 x N = 1980 x 1 N = 33 dias

Existem 1980 – 60 = 1920 pessoas do grupo de risco para serem vacinadas. Em 33 dias, seriam: 1920 ÷ 33 = 58 e resto 6. Portanto, necessariamente vai haver dias em que 59 pessoas do grupo de risco serão vacinadas.

Resposta: B

8.

Em um centro de telemarketing de uma rede de academias, três operadores dividem entre si um bônus no final do ano de forma proporcional às quantidades de clientes matriculados por cada um ao longo do ano. No ano de 2017, o operador Carlos matriculou 700 clientes; a operadora Silvânia, 850 clientes; o operador Josias, 800 clientes. Se o bônus recebido por Josias foi de R$ 1.200,00, então o valor total do bônus dividido entre os três operadores em 2017 foi de

(A) R$ 2.515,50.

(B) R$ 9.600,00.

(C) R$ 8.400,00.

(D) R$ 3.525,00.

(E) R$ 10.200,00.

RESOLUÇÃO:

Seja “k” a constante de proporcionalidade. As partes a serem divididas para os operadores são diretamente proporcionais à quantidade de clientes matriculados por cada um (700, 850 e 800 clientes). Foi dado que Josias recebeu 1200 reais e matriculou 800 clientes. Logo:

k = 1200/800 = 1,5

Portanto, os bônus recebidos por Carlos e Silvana serão, respectivamente, 700k e 850k:

Carlos = 700 x 1,5 = 1050 reais Silvana = 850 x 1,5 = 1275 reais Assim, o valor total do bônus foi de:

1200 + 1050 + 1275 = 3525 reais Resposta: D

9.

Nas obras de pavimentação de uma rodovia, a quantidade de quilômetros de estrada pavimentados em uma semana é proporcional tanto ao número de funcionários trabalhando, quanto à jornada diária de trabalho de cada um deles. Se 20 funcionários, trabalhando 8 horas por dia cada um, pavimentam 15 quilômetros de rodovia em uma semana, para pavimentar exatamente 21 quilômetros de rodovia em uma semana, a jornada diária de trabalho de 32 funcionários deverá ser de

(A) 11 horas.

(B) 4 horas.

(C) 7 horas.

(D) 6 horas.

(E) 5 horas.

RESOLUÇÃO:

Repare que a quantidade de quilômetros (Q) de estrada pavimentados em uma semana é proporcional tanto ao número de funcionários (F) trabalhando, quanto à jornada diária (D) de trabalho de cada um deles. Ou seja:

Sendo k a constante de proporcionalidade, então podemos fazer a seguinte relação matemática:

Q = k x F x D

Veja que se 20 funcionários, trabalhando 8 horas/dia cada um, pavimentam 15 quilômetros de rodovia em uma semana, desse modo, aplicando a relação matemática proporcional, teremos:

Q = k x F x D 15 = k x 20 x 8

15 20 𝑥 8 = k

3 4 𝑥 8 = k

K = ³

32

Assim, para pavimentar exatamente 21 quilômetros de rodovia em uma semana, a jornada diária de trabalho de 32 funcionários deverá ser:

Q = k x F x D 21 = ³

32 x 32 x D 21 = 3 x D

21 3 = D D = 7 horas Resposta: C

10.

O concreto é uma mistura de vários componentes, sendo a proporção entre eles definida pela finalidade de seu uso na construção civil. No quadro a seguir, há indicações dessas proporções para alguns usos:

Para fazer o piso de uma determinada obra, a quantidade total de concreto necessária é de 14 latas como as da tabela. Então, a quantidade de pedra necessária para a produção desse concreto é de

(A) 10 latas e meia.

(B) 9 latas e um quarto.

(C) 6 latas.

(D) 12 latas e meia.

(E) 8 latas.

RESOLUÇÃO:

Aqui, vamos aplicar uma regra de três. Para produzir 8 latas de concreto, conforme a tabela, usamos 6 latas de pedra. Portanto, para 14 latas de concreto, usaremos:

8 latas de concreto --- 6 latas de pedra 14 latas de concreto --- N latas de pedra

8 x N = 6 x 14 N = 84/8 = 10,5 latas Resposta: A

11.

Um auxiliar de escritório recebeu a tarefa de arquivar 1.200 dossiês de um escritório de advocacia. Logo que começou, fez alguns cálculos e estimou que demoraria cerca de 16 horas para arquivar os 1.200 dossiês. Após arquivar metade deles, recebeu a notícia de que outros 250 dossiês adicionais também deveriam ser arquivados. Refazendo as contas, o auxiliar concluiu que, no mesmo ritmo de trabalho, além das 8 horas que já havia gasto no serviço, levaria, para completá-lo, outras

(A) 9 horas e 40 minutos.

(B) 8 horas.

(C) 3 horas e 20 minutos.

(D) 11 horas e 20 minutos.

(E) 16 horas.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente a tarefa era arquivar 1200 dossiês em 16 horas. Porém, após arquivar 600 dossiês, foram acrescentados mais 250 dossiês. Sabemos que os 600 dossiês serão arquivados em 8 horas. Os 250 serão arquivados em:

600 dossiês --- 8 horas 250 dossiês --- T horas

T x 600 = 8 x 250 T x 60 = 200

T = 200/60

T = 3 e resto 20 = 3 horas e 20 minutos Portanto, para completar o trabalho ele gastará 8 + 3h20 = 11 horas e 20 minutos.

Resposta: D

12.

Em uma empresa, trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha 24 horas semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais e, por fim, dois deles trabalham 12 horas semanais. No final do ano, a empresa distribuirá um bônus total de R$ 74.000,00 entre esses oito funcionários, de forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional à sua carga horária semanal. Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o menor bônus individual será, em R$, de

(A) 10.000,00.

(B) 8.000,00.

(C) 20.000,00.

(D) 12.000,00.

(E) 6.000,00.

RESOLUÇÃO:

Somando o total de horas trabalhadas pelos funcionários, temos:

Total de horas = 32 + 24 + 20 + 3x16 + 2x12 Total de horas = 148

O total de horas está para o total de remuneração a ser distribuída (74.000) assim como as horas de cada funcionário estão para o valor que eles receberão. O que receberá mais trabalha 32 horas:

148 horas --- 74.000 reais 32 horas --- R reais

148xR = 32x74.000 R = 16.000 reais O que receberá menos trabalha 12 horas:

148 horas --- 74.000 reais 12 horas --- R reais

148xR = 12x74.000 R = 6.000 reais

A diferença é de 16.000 – 6.000 = 10.000 reais. Você poderia resolver com uma única regra de três, notando que a diferença entre as horas trabalhadas (maior e menor) é de 32 – 12 = 20 horas:

148 horas --- 74.000 reais 20 horas --- R reais

148xR = 20x74.000 R = 10.000 reais Resposta: A

13.

Um funcionário trabalhava sempre na mesma velocidade ao fazer revisão em arquivos digitais. Uma tarefa foi realizada por esse funcionário em quatro etapas. Na primeira etapa, ele revisou 2/7 do total de arquivos. Na segunda etapa, ele revisou 7/5 do total de arquivos que havia revisado na primeira etapa. Na terceira etapa, ele revisou apenas 3/4 do total de arquivos que havia revisa- do na primeira etapa. Ele terminou a tarefa na quarta etapa e gastou, nesta última etapa, o tempo de 35 minutos. Desse modo, é corre- to calcular que metade da tarefa foi realizada em

(A) 3 horas.

(B) 3 horas e 20 minutos.

(C) 2 horas e 15 minutos.

(D) 2 horas e 55 minutos.

(E) 3 horas e 5 minutos.

RESOLUÇÃO:

Seja T o total de tarefas. Na primeira etapa ele revisou 2T/7, sobrando 5T/7. Na segunda ele revisou 7/5 x (2T/7)

= 2T/5, sobrando 5T/7 – 2T/5 = 25T/35 – 14T/35 = 11T/35. Na terceira etapa ele revisou 3/4 x (2T/7) = 3T/14, sobrando 11T/35 – 3T/14, que foram revisados na quarta etapa em 35 minutos.

Este valor da quarta etapa é:

11T/35 – 3T/14 = 22T/70 – 15T/70 = 7T/70 = T/10.

Portanto, se ele revisou T/10 em 35 minutos, o tempo gasto para revisar metade (T/2) é:

T/10 —————– 35 minutos T/2 —————– N minutos

Da primeira para a segunda linha temos uma multiplicação por 5 (afinal, T/2 = 5 x T/10). Assim, N = 5 x 35 = 175 minutos = 120 minutos + 55 minutos = 2 horas + 55 minutos.

Resposta: D

14.

O presidente de uma empresa resolveu premiar os três vendedores mais eficientes do ano com a quantia de R$

13.500,00 que será distribuída de forma diretamente proporcional ao número de pontos obtidos por cada um na avaliação do ano. O vencedor, com 45 pontos, recebeu R$ 6.750,00, e o número de pontos do segundo colocado foi igual a 27. O número de pontos a menos que o terceiro colocado conseguiu em relação ao segundo colocado foi

(A) 12 (B) 8 (C) 11 (D) 10 (E) 9

RESOLUÇÃO:

Seja K a nossa constante de proporcionalidade. Podemos dizer que:

45.K = 6750 K = 6750 / 45 = 150 Com isso, vemos que a pessoa que fez 27 pontos ganhou:

27K = 27×150 = 4050 reais Como o total distribuído foi de 13500, a terceira pessoa ganhou:

13500 – 6750 – 4050 = 2700 reais Sendo “n” a quantidade de pontos desta pessoa, sabemos que:

n.150 = 2700 n = 2700 / 150 = 18 pontos A diferença de pontos entre o terceiro e o segundo é de 27 – 18 = 9 pontos.

Resposta: E

15.

Foram f =780 processos que deram entrada no mês de fevereiro em uma repartição pública. No mês seguinte, março, deram entrada outros m = 624 processos. O número mínimo de processos que deverão entrar nessa repartição, no mês de abril (a), para que a razão entre (a) e (f) supere a razão entre (f) e (m) é igual a

(A) 810 (B) 989 (C) 584

(D) 976 (E) 1012 RESOLUÇÃO:

A razão entre A e F deve ser maior que a razão entre F e M, ou seja, A/F > F/M A/780 > 780/624

A/780 > 1,25 A > 1,25 x 780

A > 975

Como A deve ser maior do que 975, ele deve ser no mínimo igual a 976.

Resposta: D

16.

O diretor de uma empresa designou uma quantia que será distribuída para os três melhores funcionários do ano. O prêmio de cada um será inversamente proporcional ao total de pontos negativos que cada um obteve em suas respectivas avaliações. O funcionário que mais recebeu tinha uma avaliação com apenas 12 pontos negativos, o segundo colocado obteve 15 pontos negativos e o terceiro colocado com 21 pontos negativos.

Sabendo que a quantia total a ser distribuída é R$ 24.900,00, o maior prêmio superará o menor prêmio em exatos

(A) R$ 2.420,00 (B) R$ 3.990,00 (C) R$ 7.530,00 (D) R$ 6.180,00 (E) R$ 4.500,00 RESOLUÇÃO:

Sendo K a nossa constante de proporcionalidade, e sabendo que os prêmios são INVERSAMENTE proporcionais às avaliações negativas, temos que os prêmios serão, respectivamente, K/12, K/15 e K/21. Como a soma deles deve ser de 24900 reais:

K/12 + K/15 + K/21 = 24900 Multiplicando todos os termos por 3:

K/4 + K/5 + K/7 = 3×24900 K/4 + K/5 + K/7 = 74700

Podemos multiplicar todos os termos por 4x5x7 para eliminar os denominadores. Veja como fica:

5x7K + 4x7K + 4x5K = 74700 x 4x5x7 35K + 28K + 20K = 74700 x 4x5x7

83K = 74700 x 4x5x7 K = 900 x 4x5x7

K = 126.00

O maior prêmio é K/12 = 126000 / 12 = 10500 reais, e o menor é K/21 = 126000 / 21 = 6000 reais, de modo que a diferença entre eles é de 4500 reais.

Resposta: E

17.

A razão entre as alturas de dois irmãos era 3/4 e, nessa ocasião, a altura do irmão mais alto era 1,40 m. Hoje, esse irmão mais alto cresceu 10 cm. Para que a razão entre a altura do irmão mais baixo e a altura do mais alto seja hoje, igual a 4/5, é necessário que o irmão mais baixo tenha crescido, nesse tempo, o equivalente a (A) 13,5 cm.

(B) 10,0 cm.

(C) 12,5 cm.

(D) 14,8 cm.

(E) 15,0 cm.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente a razão entre as alturas é 3/4. O mais alto media 1,40m, e o mais novo media X, de forma que:

3/4 = X/1,40 1,40 x 3/4 = X

X = 1,05m

Se o mais alto cresceu 10cm, ele passou a medir 1,50m. Para a razão ser de 4/5, a altura do mais novo deve ser N:

4/5 = N/1,50 1,50 x 4/5 = N

N = 0,30 x 4 N = 1,20m Note que o mais novo deve ter crescido 1,20 – 1,05 = 0,15m = 15cm.

Resposta: E

18.

Um grupo de 8 funcionários analisou 32 propostas de reestruturação de um determinado setor de uma empresa em 16 horas de trabalho. Para analisar 48 dessas propostas, em 12 horas de trabalho, um outro grupo de funcionários, em igualdade de condições do grupo anterior, deverá ser composto por um número de pessoas igual a

(A) 18.

(B) 12.

(C) 16.

(D) 14.

(E) 20.

RESOLUÇÃO:

Podemos organizar a seguinte proporção:

Funcionários Propostas Horas 8 32 16 F 48 12

Quanto MAIS funcionários, MAIS propostas podem ser analisadas em MENOS horas. Devemos inverter a coluna das horas:

Funcionários Propostas Horas 8 32 12 F 48 16 Montando a proporção:

8/F = (32/48) x (12/16) 8/F = (4/6) x (3/4)

8/F = 3/6 8/F = 1/2 F = 8×2 F = 16 funcionários Resposta: C

19.

Com o recapeamento de uma estrada, o limite de velocidade passará de 80 km/h para 120 km/h. Considerando as velocidades máximas permitidas antes e depois do recapeamento, a economia de tempo que um veículo poderá conseguir, ao percorrer um trecho de 10 km dessa estrada, após a obra de recapeamento, será de (A) 3 minutos e 40 segundos.

(B) 4 minutos e 30 segundos.

(C) 2 minutos e 30 segundos.

(D) 4 minutos e 20 segundos.

(E) 2 minutos e 50 segundos.

RESOLUÇÃO:

Com a nova velocidade, de 120km/h, podemos dizer que percorremos 120 km em 60 minutos (1 hora). Ou seja:

120km ————– 60 minutos 10km —————- T minutos Fazendo a regra de três:

120 x T = 10 x 60 T = 600 / 120 T = 5 minutos Com a velocidade antiga:

80km ———— 60 minutos 10km ———– T minutos

80.T = 10.60

T = 600 / 80 = 60 / 8 = 15 / 2 = 7,5 minutos A economia de tempo é de 7,5 – 5 = 2,5 minutos = 2 minutos e 30 segundos.

Resposta: C

20.

Uma avenida que possui 7 km de extensão teve o seu limite máximo de velocidade alterado de 50 km/h para 60 km/h. Levando-se em consideração apenas a extensão da avenida e veículos trafegando nas velocidades máximas permitidas, com a alteração do limite máximo permitido de velocidade, o tempo para percorrer a extensão total da avenida diminuiu em

(A) 1 minuto e 24 segundos.

(B) 2 minutos e 45 segundos.

(C) 1 minuto e 8 segundos.

(D) 1 minuto e 40 segundos.

(E) 2 minutos e 40 segundos.

RESOLUÇÃO:

Com a velocidade de 50km/h, ou seja, 50 quilômetros percorridos em 1 hora, temos:

50 km —————– 1 hora 7 km —————— T horas

50 x T = 7 x 1 T = 7/50 horas Com a velocidade de 60km/h, temos:

60km ————— 1 hora 7 km ————— T horas

60 x T = 7 x 1 T = 7/60 horas A diferença de tempo é:

7/50 – 7/60 = 42/300 – 35/300 =

7/300 horas

Como 1 hora corresponde a 60 minutos, então 7/300 hora correspondem a:

(7/300) x 60 minutos = 7/5 minutos = 5/5 + 2/5 minutos = 1 minuto + 2/5 minuto Como 1 minuto corresponde a 60 segundos, então:

1 minuto + 2/5 x 60 segundos = 1 minuto + 2 x 12 segundos =

1 minuto + 24 segundos Resposta: A

21.

Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Vamos montar uma regra de três composta para essa situação:

2 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 3 funcionários --- 24 relatórios --- N dias

A coluna dos funcionários é diretamente proporcional ao número de relatórios (quanto mais funcionários, mais relatórios produzidos) e inversamente proporcional ao número de dias (quanto mais funcionários, menos dias serão necessários para realizar o serviço). Portanto:

2/3 = 12/24 x N/3 2/3 = ½ x N/3

½ x N = 2 N = 4 dias Resposta: D

22.

Um quadrado feito com uma fina lâmina de madeira de espessura constante e com densidade homogênea tem 4cm de lado e 12g de massa. Outro quadrado feito com o mesmo tipo de lâmina de madeira tem 6cm de lado.

A massa desse outro quadrado é:

(A) 18g;

(B) 20,5g;

(C) 24g;

(D) 27g;

(E) 32g.

RESOLUÇÃO:

A área do primeiro quadrado é 4² = 16, e a do segundo é 6² = 36. Assim, podemos fazer a proporção entre as áreas e as massas:

16 --- 12g 36 --- M g

16.M = 36.12 M = 36.12/16

M = 9.3 M = 27g Resposta: D

23.

Lucas foi de carro para o trabalho em um horário de trânsito intenso e gastou 1h20min. Em um dia sem trânsito intenso, Lucas foi de carro para o trabalho a uma velocidade média 20km/h maior do que no dia de trânsito intenso e gastou 48min.

A distância, em km, da casa de Lucas até o trabalho é:

(A) 36;

(B) 40;

(C) 48;

(D) 50;

(E) 60.

RESOLUÇÃO:

No dia de trânsito intenso, Lucas gastou 80 minutos (1h20min) a uma velocidade V. No dia sem trânsito, ele gastou 48 minutos a uma velocidade de V+20 km/h. Podemos escrever que:

Tempo Velocidade 80 V 48 V + 20

Quanto MAIOR a velocidade, MENOR o tempo. As grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma delas, temos:

Tempo Velocidade 48 V 80 V + 20 Fazendo a multiplicação cruzada:

48.(V+20) = 80.V 48V + 48.20 = 80V

960 = 80V – 48V 960 = 32V V = 960/32 V = 30km/h

Portanto, no dia de trânsito intenso a velocidade foi de 30km/h, ou seja, 30 km percorridos a cada 60 minutos (uma hora). Sendo D a distância da casa até o trabalho, e lembrando que neste dia de trânsito ele gastou 80 minutos, temos:

30km ———— 60 minutos D km ———— 80 minutos Resolvendo a regra de três:

30 x 80 = D x 60 30 x 8 = D x 6

5 x 8 = D D = 40km Resposta: B

24.

A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6.

A menor dessas partes corresponde a:

(A) 210 mil reais;

(B) 240 mil reais;

(C) 270 mil reais;

(D) 300 mil reais;

(E) 360 mil reais.

RESOLUÇÃO:

Como a divisão é proporcional a 4, 5 e 6, podemos usar a constante de proporcionalidade K e chamar cada uma das partes de 4K, 5K e 6K, respectivamente. A soma é igual a 900 mil, ou seja,

4K + 5K + 6K = 900 15K = 900 K = 900 / 15

K = 60 Logo, a menor parte é 4K = 4.60 = 240 mil reais.

Resposta: B

25.

Quando era jovem, Arquimedes corria 15km em 1h45min. Agora que é idoso, ele caminha 8km em 1h20min.

Para percorrer 1km agora que é idoso, comparado com a época em que era jovem, Arquimedes precisa de mais:

(A) 10 minutos;

(B) 7 minutos;

(C) 5 minutos;

(D) 3 minutos;

(E) 2 minutos.

RESOLUÇÃO:

Veja que 1h45min corresponde a 60 + 45 = 105 minutos. Assim, considerando quando Arquimedes era jovem, temos:

15km ———— 105 minutos 1km ———— N minutos

15.N = 1.105 N = 105 / 15 = 7 minutos

Veja também que 1h20min corresponde a 60 + 20 = 80 minutos. Assim, considerando os valores para quando Arquimedes é idoso:

8km ——— 80 minutos 1km ——— N minutos

8.N = 1.80 N = 10 minutos

Portanto, a diferença de tempo para percorrer 1km é de 10 – 7 = 3 minutos.

Resposta: D

26.

Cinco resmas de papel custaram R$90,00. Se o preço não mudar, dezoito resmas custarão:

(A) R$308,00;