ANÁLISE COMPARATIVA DO MODELO DE COBB-DOUGLAS COM ERRO ADITIVO Ε MULTIPLICATIVO *
MANUEL LUIZ FIGUEIROA ** F. PIMENTEL GOMES **
INTRODUÇÃO
Como é do conhecimento dos estudiosos do assunto, a fun-ção de Cobb-Douglas tem sido ajustada a dados de observafun-ção a través de modelo matemático com erro muitiplicativo.
0 procedimento geral tem sido o de adotar o modelo
Υ = αΧ?1 X^2 . . . χ ^η
(1 + ε ) .
com, a > 0, X^> 0, (h = 1, 2 . . . , n ) .
Após aplicação de logarítmo, obtém-se log Y = l o g a + 6 ] log X| + 62 1 o
9 X 2 +
" ' +
^n l o 9 X
n + + log (1 + ε) .
* Entregue para publicação em 2 3 / 1 1 / 1 9 8 1 . ** Departamento de Matemática, E.S.A. 1
onde para
temse
que κ uma equação de regressão linear múltipla de aplicação bem conhecida.
0 que se pretende com este trabalho é, para a forma mais simples da função de Cobb-Doug1 as, adotar a praxe, isto é, usar no modelo matemático o erro como fator mu 11ipiicativo, e
logo em seguida trabalhar o mesmo modelo com erro aditivo. Adotando o critério da menor soma de quadrado de resí-duo, se pretende comparar as regressões obtidas através dos proced i mentos c i tados.
MODELOS ESTATÍSTICOS
Primeiro modelo (erro multiplioativo)
Seja
Y] = A Xj (1 + ε,),
com A > 0, Β > 0 e Xj > 0, (i = 1, 2,...,N). Após aplicação de logarftmo, obtém-se
LY. = LA + BL X. + L(l + ε.).
I I I
Com y. = L Y. , a = LA , x. = L X. , e. = L(J + ε.) temse, y. = a + Rx. + e. ,
que é uma equação de regressão linear simples.
Como é.do conhecimento geral, a solução do sistema
{
Na + Β Σ χ. = Σν.; ' a Σ χ. + Β Σ χτ = Σχ.ν.
ι ι ι 7
ι
fornece as estimativas a e Β, onde A = exp a.
Segundo modelo Cerro aditivo)
Seja
Y. = A X? + e.
I 1 I
com A > 0, Β > 0, X. > 0, (i = 1,2,...,N), onde A e Β são pa-râmetros, e. é o erro aleatório que se supóe com distribui-ção normal de média zero e variãncia σ^, logo:
ζ = Σ e2 = Σ(Υ. - A X ? )2. (1)
ι ι ι
Diferenciando (1) obtémse: dz
= It
d A +H
d B onde,I
U
- Σ ( Υ . - A XB) XB
Ill
= - Α Σ(Υ. - AX?) XB(LX.) (3)
Ζ d D I I I I
Aí indica-se por LX. o logarftmo neperiano de X.. Por-tanto, as equações normais são:
( Σ ( Υ . - ?.) Xb
= 0 (k)
J I I I
U
(Y.
- ?.) X1? (LX.) = 0 . (5)
com ?. = aX..
I I
Note-se que a e b sao as estimativas de A e B, respec-t ivãmenrespec-te.
£ evidente que se esta admitindo a condição suficiente, para £ e b_ serem pontos de mínimo da soma de quadrado dos des vios, isto é, que a diferencial segunda de (1) em relação a <a e b_ seja definida positiva.
Admite -se existentes as condições para o desenvolνimen to de uma função pela fórmula de Taylor, e aplicouse esse pro cedimento ăs equações (4) e (5), temos o sistema
( 2ba Σ XT o Ν (LX.)
' \ O i l
2b * h
ΣΧΤ°° A a + Δ b = Σ(Y. Y.) X?°
I I I I
Σ ( Υ . Y.) Xb
° (LX.)
V ι ι ι \)
( 2h ? Y
a Σ XT o (LX.)*
-( \ O i l
E X *b
° (LX.) Aa + A b = E ( Yi- Y * ) X b
° ( L Xi)
- Σ ( Υ . - Y.) X : O ( L X . )
\ ι ι ι ι )
9 Κ ^ k
Fazendo-se f = Χ. ο g - (γ. γ.) χ ? ο e ο = L X . ,
ι ι 3
1 ι ι ι 1 ι 9
ssse sistema, escrito na forma matricial é:
( \ f \ f \
Efj a Q Efj 1^ Aa Σς ^
2 2 ( α )
Σί. λ, a Ef, li Zg,Jlf Ab Σα.ί,.
I I ο 1 1 1 1 yl 1
^ J \ J \ /
Ocorre, porém, que a primeira matriz acima pode ser de composta da seguinte forma:
"if, a ΣΐΛλ ÍO ΣαΛ,)
1 1 1
Os elementos da segunda matriz ou sao nulos ou sao so mas ponderadas de desvios. Entio, os valores absolutos dos seus elementos devem ser pequenos em comparação com os valo-res absolutos dos elementos da primeira matriz. Assim sendo, temos, aproximadamente:
/ λ f λ f ) Ef, a Ef,Ł, Aa Σα,
I
o i l
9 =
Σί, 5,. a If Λ , Ab Σα,Α,
I I ο 1 1 l Ι 3
1 1
ν y ^ / ν ' Tais sao as equações do método de GaussNewton.
Admitese que a primeira matriz do primeiro membro do sistema (β) seja naosingular, de onde resulta ser ele compa
tível e determinado, isto é, com uma única solução.
Admitindo-se que o processo seja convergente, isto é , que os valores das correções tendam a zero, os cálculos sao
repetidos até que as correções Aa e Ab sejam consideradas des prezTveis. Chega-se, assim, is estimativas a^ e JD de A e B , obtidas pelo método dos quadrados mínimos.
E X E M P L O D E A P L I C A Ç Ã O
Calculando-se a regressão pelo primeiro modelo (erro muitiplicativo) obteve-se a equação estimada
Observa-se na Tabela 2 efeito altamente significativo, tanto para a regressão como para os desvios da regressão.
Ao aplicar a regressão pelo segundo modelo (erro aditi-v o ) , pelo método de GaussNewton, com valores iniciais a Q =
103,5268, b Q = 0 , 3 7 0 5 , obtiveramse, após cinco iterações, a = 1 0 4 , 8 6 2 0 ,
b = 0 , 3 2 4 8 ,
cuja equação correspondente é:
? = 104,8620 x 0 ' 3 2 4 8
A Tabela 3 mostra as correções obtidas c o m a s iterações, quando se aplicou esse método.
A Tabela 4 apresenta a análise da variância da regres-são com a função ajustada pelo método de GaussNewton.
CONCLUSŐES
a) Para o modelo ajustado aos dados do ensaio conclui se que o modelo que adotou erro aleatório aditivo a presentou um melhor ajustamento que o tradicional de erro aleatório muitiplicativo;
MÉTODO
Na execução do exemplo de aplicação utilizouse uma m a -quina HP-25, através dos seguintes programas:
SUMMARY
A COMPARATIVE ANALYSIS OF COBB-DOUGLAS MODEL WITH ADDITIVE AND MULTIPLICATIVE ERROR
This paper dis cusses the fitting of a Cobb-Doug las response
curve IMAGEM AQUI, with additive error, IMAGEM AQUI, instead
of the usual multiplicative error IMAGEM AQUI.
The estimation of the parameters α and B is discussed. An example is given with use of both types of error.
LITERATURA CITADA
CAMARGO, J.R.V de, 1974. Análise da produtividade nas culturas
COSTA LIMA, A . R . , 1 9 8 0 . Superfícies d e resposta em experimentos
fatoriais 33
incompletos de adubação N P K e m mandioca no Es
tado do Ceará, Piracicaba, ESALQ/USP, 100pp. (dissertação
de mestrado).
CRŐCOMO, O.H.G., 1 9 7 4 . Oferta de milho e de soja. Uma análise
a partir de funções d e produção, Piracicaba, ESALQ / U S P ,
94pp. (dissertação de mestrado).
DIXON, J.W.; MASSEY Jr. , F.J., 1 9 5 1. Introduction to Statistical
Analysis, Nova York, McGraw-Hill, 3 7 0 p p .
ENGLER, J . J . de C , 1 9 6 8 . Análise da produtividade de
recur-sos na agricultura, Piracicaba, ESALQ/USP, 1 0 2 p p , (tese de
doutoramento).
ENGLER, J.J. de C , 1 9 7 8 . Análise da produtividade agrícola
entre regiões d o Estado d e São Paulo, Piracicaba, ESALQ /
USP, 1 3 2 p p . (tese de livre docência).
FIGUEIROA, M . L . , 1 9 8 0 . A função d e C o b b - D o u g l a s a partir do mo¬
delo matemático c o m erro aditivo, Piracicaba, ESALQ/USP ,
55p. (dissertação de mestrado).
GIRÃO, J.A., I 9 6 5 . A função d e produção d e Cobb-Douglas e a
análise inter-regional da produção agrícola, Lisboa, Funda
ção Calouste Gulbenkian, Centro de Estudos de Economia A¬ grãria, 1 1 9 p p .
HARTLEY, Η.D., 1 9 8 1 . T h e modified GaussNewton method for the fitting of nonlinear regression, Functions by Least "Squa¬ re. Technometrics 3 : 2 6 9 - 2 8 0 .
HOFFMANN, R.; VIEIRA, S., 1 9 7 7 - Análise de regressão. Uma
In-trodução à Econometria, Sao Paulo, HUCITEC-EDUSP, 3 3 9 p p .
MELO, F.I.O., I976. Aplicação do método modificado de G a u s s -Newton para estimar o s parâmetros da equação de Mitscher¬
lich, Piracicaba, ESALQ/USP, 74pp. (dissertação de
NEVES, E.M., 1972. Uma função de produção de leite no Estado
de São Paulo, Piracicaba, ESALQ/USP, 72pp. (tese de
douto-ramento) .
NOJIMOTO, T., 1976. Problemas encontrados na estimação e
in-terpretação de funções de produção a g r í c o l a , Piracicaba
-ESALQ/USP, 118pp. (dissertação de mestrado).
PERRE DA SILVA, M.A., 1978. Segunda aproximação de Mitscher¬
lich, Y = A [1 - 10-c(x+b) ]10 -k(x+b)2 aplicada à aduba¬
ção m i n e r a l , Piracicaba, ESALQ/USP, 96pp. (dissertação de
mestrado).
PIMENTEL GOMES, F. ; ZAGATTO, A . G . , 1967. Aspectos econômicos da Adubação. In: MALAVOLTA, E. Manual de Química A g r í c o l a
-Adubos e Adubação, São Paulo, Agr. Ceres, 6θ6ρρ.
SIMONSEN, M . H . , 1971. Teoria Microeconômica, 4ª edição, Rio