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ANÁLISE COMPARATIVA DO MODELO DE COBB-DOUGLAS COM ERRO ADITIVO Ε MULTIPLICATIVO *

MANUEL LUIZ FIGUEIROA ** F. PIMENTEL GOMES **

INTRODUÇÃO

Como é do conhecimento dos estudiosos do assunto, a fun-ção de Cobb-Douglas tem sido ajustada a dados de observafun-ção a través de modelo matemático com erro muitiplicativo.

0 procedimento geral tem sido o de adotar o modelo

Υ = αΧ?1 X^2  . . . χ ^η

 (1 +  ε ) . 

com, a > 0, X^> 0, (h = 1, 2  . . . , n ) . 

Após aplicação de logarítmo, obtém-se log Y = l o g a + 6 ] log X| + 62 1 o

9 X 2 +

" ' +

^n l o 9 X

n + + log (1 + ε) . 

* Entregue para publicação em 2 3 / 1 1 / 1 9 8 1 . ** Departamento de Matemática, E.S.A. 1

(2)

onde para 

tem­se 

que κ uma equação de regressão linear múltipla de aplicação bem conhecida.

0 que se pretende com este trabalho é, para a forma mais simples da função de Cobb-Doug1 as, adotar a praxe, isto é, usar no modelo matemático o erro como fator mu 11ipiicativo, e

logo em seguida trabalhar o mesmo modelo com erro aditivo. Adotando o critério da menor soma de quadrado de resí-duo, se pretende comparar as regressões obtidas através dos proced i mentos c i tados.

MODELOS ESTATÍSTICOS

Primeiro modelo (erro multiplioativo)

Seja

Y] = A Xj (1 + ε,), 

com A > 0, Β > 0 e Xj > 0, (i = 1, 2,...,N).  Após aplicação de logarftmo, obtém-se

LY. = LA + BL X. + L(l + ε.). 

I I I 

(3)

Com  y. = L Y. ,  a = LA ,  x. = L X. ,  e. = L(J + ε.)  tem­se,  y. = a + Rx. + e. , 

que é uma equação de regressão linear simples.

Como é.do conhecimento geral, a solução do sistema

{

Na + Β Σ χ. = Σν. 

; '  a Σ χ. + Β Σ χτ = Σχ.ν. 

ι ι ι 7

ι

fornece as estimativas a e Β, onde A = exp a.

Segundo modelo Cerro aditivo)

Seja

Y. = A X? + e.

I 1 I

com A > 0, Β > 0, X. > 0, (i = 1,2,...,N), onde A e Β são pa-râmetros, e. é o erro aleatório que se supóe com distribui-ção normal de média zero e variãncia σ^, logo:

ζ = Σ e2 = Σ(Υ. - A X ? )2. (1)

ι ι ι

Diferenciando (1) obtém­se:  dz

= It

d A +

H

d B onde, 

I

 U

- Σ ( Υ . - A XB

) XB

(4)

Ill

= - Α Σ(Υ. - AX?) XB

(LX.) (3)

Ζ d D I I I I

Aí indica-se por LX. o logarftmo neperiano de X.. Por-tanto, as equações normais são:

( Σ ( Υ . - ?.) Xb

= 0 (k)

J I I I

U

(Y.

- ?.) X1

? (LX.) = 0 . (5)

com ?. = aX..

I I

Note-se que a e b sao as estimativas de A e B, respec-t ivãmenrespec-te.

£ evidente que se esta admitindo a condição suficiente, para £ e b_ serem pontos de mínimo da soma de quadrado dos des vios, isto é, que a diferencial segunda de (1) em relação a <a e b_ seja definida positiva.

Admite -se existentes as condições para o desenvolνimen  to de uma função pela fórmula de Taylor, e aplicou­se esse pro  cedimento ăs equações (4) e (5), temos o sistema

( 2ba Σ XT o Ν  (LX.) ­

' \ O i l

2b * h

ΣΧΤ°°  A a + Δ b = Σ(Y. ­ Y.) X?° 

I I I I

­  Σ ( Υ . ­ Y.)  Xb

° (LX.) 

V ι ι ι \)

( 2h ? Y

a Σ XT o (LX.)*

-( \ O i l

E X *b

° (LX.) Aa + A b = E ( Yi- Y * ) X b

° ( L Xi)

- Σ ( Υ . - Y.) X : O ( L X . )

\ ι ι ι ι )

(5)

9 Κ ^ k

Fazendo-se f = Χ. ο g - (γ. ­ γ.) χ ? ο e ο  = L X . , 

ι ι  3

1 ι  ι ι 1 ι 9 

ssse sistema, escrito na forma matricial é: 

( \ f \ f \

Efj  a Q Efj 1^ ­ Aa Σς ^ 

2 2  ( α ) 

Σί. λ, a Ef, li ­ Zg,Jlf Ab Σα.ί,. 

I I ο  1 1  1 1  yl 1 

^ J \ J \ /

Ocorre, porém, que a primeira matriz acima pode ser de­ composta da seguinte forma: 

"if, a ΣΐΛλ ÍO ΣαΛ,) 

1 1 1 

Os elementos da segunda matriz ou sao nulos ou sao so­ mas ponderadas de desvios. Entio, os valores absolutos dos  seus elementos devem ser pequenos em comparação com os valo-res absolutos dos elementos da primeira matriz. Assim sendo, temos, aproximadamente:

/ λ f λ f ) Ef, a Ef,Ł, Aa Σα, 

I

  o i l 

9 =

Σί, 5,. a If  Λ , Ab Σα,Α, 

I I ο  1 1 l Ι  3

1 1 

ν y ^ / ν ' Tais sao as equações do método de Gauss­Newton. 

Admite­se que a primeira matriz do primeiro membro do  sistema (β) seja nao­singular, de onde resulta ser ele compa­

tível e determinado, isto é, com uma única solução.

(6)

Admitindo-se que o processo seja convergente, isto é ,  que os valores das correções tendam a zero, os cálculos sao

repetidos até que as correções Aa e Ab sejam consideradas des prezTveis. Chega-se, assim, is estimativas a^ e JD de A e B , obtidas pelo método dos quadrados mínimos.

E X E M P L O D E A P L I C A Ç Ã O

Calculando-se a regressão pelo primeiro modelo (erro muitiplicativo) obteve-se a equação estimada

(7)

Observa-se na Tabela 2 efeito altamente significativo, tanto para a regressão como para os desvios da regressão.

Ao aplicar a regressão pelo segundo modelo (erro aditi-v o ) , pelo método de Gauss­Newton, com valores iniciais  a Q = 

103,5268,  b Q = 0 , 3 7 0 5 , obtiveram­se, após cinco iterações, a = 1 0 4 , 8 6 2 0 ,

b = 0 , 3 2 4 8 ,

cuja equação correspondente é: 

? = 104,8620 x 0 ' 3 2 4 8

A Tabela 3 mostra as correções obtidas c o m a s iterações, quando se aplicou esse método. 

A Tabela 4 apresenta a análise da variância da regres-são com a função ajustada pelo método de Gauss­Newton. 

(8)

CONCLUSŐES 

a) Para o modelo ajustado aos dados do ensaio conclui­ se que o modelo que adotou erro aleatório aditivo a­ presentou um melhor ajustamento que o tradicional de  erro aleatório muitiplicativo; 

(9)
(10)

MÉTODO

Na execução do exemplo de aplicação utilizouse uma m a -quina HP-25, através dos seguintes programas: 

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SUMMARY

A COMPARATIVE ANALYSIS OF COBB-DOUGLAS MODEL WITH ADDITIVE AND MULTIPLICATIVE ERROR

This paper dis cusses the fitting of a Cobb-Doug las response

curve IMAGEM AQUI, with additive error, IMAGEM AQUI, instead

of the usual multiplicative error IMAGEM AQUI.

The estimation of the parameters α and B is discussed.  An example is given with use of both types of error. 

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