Open Desigualdade de Hölder generalizada com normas mistas e aplicacões

(1)

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆ

encias Exatas e da Natureza

Programa de P´

os–Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Desigualdade de H¨

older

generalizada com normas mistas e

aplica¸

c˜

oes

Daniel Tomaz de Ara´

ujo

Jo˜

ao Pessoa – PB

(2)

Programa de P´

os–Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Desigualdade de H¨

older

generalizada com normas mistas e

aplica¸

c˜

oes

por

Daniel Tomaz de Ara´

ujo

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino

e sob a co-orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Nacib Andr´

e Gurgel e Albuquerque

Disserta¸cão apresentada ao Corpo Do-cente do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Para´ıba como requisito parcial para ob-ten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Jo˜

ao Pessoa – PB

(3)

A663d Araújo, Daniel Tomaz de.

Desigualdade de Hölder generalizada com normas mistas e aplicações / Daniel Tomaz de Araújo.- João Pessoa, 2016. 87f.

Orientador: Daniel Marinho Pellegrino Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Desigualdade de Hölder. 3. Desigualdade de Bohnenblust-Hille. 4. Desigualdade de Hardy-Littlewood. 5. Operadores multilineares múltiplo somantes.

(4)

(5)

Agradecimentos

Primeiramente a Deus pelo dom da vida. Aos meus pais, Hélio Tomaz de Araújo e Maria Daguia Costa de Araújo pelo amor incondicional, responsáveis por tudo o que hoje sou. Aos meus irmãos, Diego, Douglas (in memorian), Ana Beatriz e a pequena Alice. O amor de vocês é o que me faz não desistir nunca.

Ao meu orientador Professor Daniel Pellegrino, pela oportunidade de poder con-cretizar este trabalho, sempre com muita paciência e dedica¸cão, a quem tenho muito respeito e extrema admira¸cão, não só como profissional, mas também como pessoa de caráter único.

Ao meu coorientador e porque não orientador também, o professor Nacib Albu-querque, um dos grandes responsáveis pela constru¸cão do trabalho, presente do in´ıcio ao fim, sempre acess´ıvel, dedicado e conciso nas corre¸cões, buscando o melhor para o trabalho. Foi uma honra para mim estar ao lado de vocês dois.

Ao meu amor Jéssica Patr´ıcia, pela paciência imensurável e pela compreensão du-rante todo este per´ıodo. Seu carinho foi crucial para superar todas as dificuldades.

Aos meus eternos amigos da residência universitária da UFRN, Leandro Lima, Ema-nuel Carlos, Sérgio Balbino e Adailton. A amizade de vocês não tem pre¸co. Ninguém consegue nada na vida sem amigos de verdade. Aos meus colegas de mestrado, Tony Lopes, Zé Gon¸calves ( Zezinho), Pedro Pantoja, pelos momentos de estudo que pode-mos compartilhar nessa longa caminhada. E aos demais colegas da pós-gradua¸cão de Matemática.

Aos professores do Departamento pelo conhecimento repassado, Elisandra, An-drade, Miriam, Everaldo, Adriano, Uberlândio. Aos professores da banca, pela dispo-nibilidade e pelas sugestões valiosas. Ao professor Ronaldo Freire de Lima da UFRN, não só pelo papel de professor, mas pelo incentivo em nos fazer acreditar que sem-pre fomos capazes de alcan¸car este patamar. Aos meus eternos professores da Escola Cipriano Lopes Galvão, pelo apoio e incentivo de sempre.

Ao meus tios maternos e paternos, Chagas, Maria, Rosin´erio, e em especial ao meu tio Paulo, que sempre foi mais que um pai para mim. Obrigado por tudo.

Aos funcionários do Departamento, pelo empenho em nos fornecer as melhores condi¸cões de produzir ciência.

Por fim, aos meus familiares e amigos do meu velho s´ıtio Totor´o, lugar onde nasci e constru´ı os verdadeiros valores da vida.

(6)

No presente trabalho, apresentamos uma vers˜ao pouco conhecida da famosa De-sigualdade de H¨older, considerando o contexto dos espa¸cos Lp e ℓp com normas

mis-tas. Mostramos como o uso adequado desta desigualdade vem influenciando positi-vamente outras desigualdades cl´assicas, a destacar, as desigualdades multilineares de Bohnenblust-Hille e Hardy-Littlewood.

(7)

Abstract

In this work, we present a version little know of the famous H¨older’s Inequality, considering the context ofLp and ℓp spaces for mixed norms. We show how a suitable

use this inequality has influencied positively others classical inequalities, to highlight, the multilinear inequalities of Bohnenblust-Hille and Hardy-Littlewood.

(8)

Introdu¸c˜ao ix

1 Desigualdade de H¨older com normas mistas 1

1.1 Espa¸cos Lp com norma mista . . . 1

1.2 Espa¸cos de sequˆencias com norma mista . . . 5

1.3 Desigualdade de H¨older com norma mista . . . 8

2 Operadores multilineares m´ultiplo somantes 18 2.1 Operadores absolutamente somantes . . . 18

2.2 Operadores absolutamente p-somantes . . . 24

2.3 Operadores absolutamente (q;p)-somantes . . . 26

2.4 Operadores multilineares m´ultiplo somantes . . . 30

3 Aplica¸c˜oes da Desigualdade de H¨older com normas mistas 44 3.1 Desigualdade multilinear de Bohnenblust-Hille . . . 44

3.2 Aplica¸c˜oes da Desigualdade de H¨older com a Bonhenblust-Hille . . . . 50

3.3 Aplica¸c˜oes da Desigualdade de H¨older interpolativa . . . 63

Apˆendice 73

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho apresentamos uma versão pouco conhecida da desigualdade clássica de Hölder em espa¸cos caracterizados por normas mistas, exibindo algumas aplica¸cões recentes no ambiente multilinear, com o aux´ılio de outras desigualdades clássicas como, por exemplo, a desigualdade de Bonhenblust-Hille. Historicamente, a desigualdade de Hölder foi descoberta de modo independente por Leonard James Rogers (1862-1933) em 1888 e Otto Hölder (1859-1937) em 1889. Um caso particular bastante conhecido dos cursos de Análise Real e Álgebra Linear ocorre quando consideramos p = q = 2. Ela é a famosa desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz.

Em Análise Funcional, a desigualdade clássica de Hölder é crucial para provar a desigualdade de Minkowski, comumente conhecida como desigualdade triangular nos espa¸cosLp. Outra situa¸cão concreta, por exemplo, é mostrar que o dual do espa¸co Lp

´e o espa¸co Lq para p∈[1,∞) com 1_p + 1_q = 1.

A motiva¸cão para o presente trabalho foi o estudo de uma versão da desigualdade de Hölder que apareceu em espa¸cos Lp com normas mistas, fruto de trabalhos de

Luxemburg [27] em 1955 e de A. Benedeck e R. Panzone [9] em 1961. A teoria de espa¸cos

Lp com normas mistas tem sido explorada em trabalhos de Equa¸c˜oes Diferenciais,

mas apenas recentemente come¸cou a ser explorada na Análise Funcional ajudando na solu¸cão do célebre problema do raio de Bohr que aparece na teoria de Séries de Dirichlet e com aplica¸cões em resultados de Teoria da Informa¸cão Quântica.

No presente trabalho ilustramos aplica¸cões recentes da desigualdade de Hölder para normas mistas, como em resultados relacionados às desigualdades de Bohnenblust-Hille e Hardy-Littlewood, avaliando a dependência que surge emn quando o expoente ótimo das desigualdades é perturbado. Estudamos também a rela¸cão com a teoria de operadores múltiplos somantes.

(10)

O primeiro cap´ıtulo foi dedicado à Desigualdade de Hölder para normas mistas. Nele, exibimos algumas de suas versões clássicas até chegar ao resultado principal, a Desigualdade de Hölder com normas mistas, apresentando uma demonstra¸cão formal. Discorremos também sobre algumas propriedades básicas dos espa¸cos Lp e ℓp com

normas mistas. Finalizamos o cap´ıtulo com um corolário dessa nova Desigualdade de Hölder, tão eficaz quanto a própria desigualdade em algumas aplica¸cões.

No Cap´ıtulo 2 realizamos um apanhado de alguns resultados relacionados a soma-bilidade de aplica¸cões multilineares. Come¸camos com resultados básicos da teoria dos espa¸cos de Banach e teoremas clássicos como o de Grothendieck e Dvoretzky-Rogers. Enfatizamos o papel dos operadores absolutamente somantes e suas ramifica¸cões, como os operadoresp₋somantes, (q;p)₋somantes e múltiplos somantes, destacando algumas propriedades básicas. Para encerrar o cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados recen-tes relacionados a essa teoria.

O Cap´ıtulo 3 foi destinado a aplica¸cões da desigualdade vista no Cap´ıtulo 1, com base na referência [2]. Inicialmente, exibimos a Desigualdade de Bohnenblust-Hille, resultado de fundamental importância nas estimativas propostas. Nesta etapa, recor-remos a Desigualdade de Kahane-Salem-Zygmund para obten¸cão da otimalidade dos expoentes na maior parte dos teoremas. Finalizamos o cap´ıtulo com algumas aplica¸cões como , por exemplo, a Desigualdade 4₃ de Littlewood, enfatizando que o expoente ótimo

4

3 pode ser obtido por meio de interpola¸c˜ao de outros expoentes adequados.

Por fim, o apêndice foi dedicado à demonstra¸cão de resultados que foram cruci-ais durante seu desenvolvimento. Elaboramos também uma outra demonstra¸cão da Desigualdade de Hölder com normas mistas, considerando o espa¸coLp.

Nota¸

c˜

ao e Terminologia

• Em todo este texto,K _{sempre denotar´a o corpo dos n´}_{umeros reais} R _{ou o corpo}

dos n´umeros complexos C_.

• O termo “operador ”ser´a usado no mesmo sentido de “fun¸c˜ao”.

•Na maior parte do texto, usaremos X, Y, E, F, G, H, Ei, Fi, . . . para nos referimos

a espa¸cos de Banach. A norma de um espa¸co de Banach E ser´a usualmente denotada por _||._||. Por BE representamos a bola unit´aria fechada do espa¸co de Banach E, isto

´e, _{x_∈E;_||x_{|| ≤}1_} e SE ={x∈E;||x||= 1} a esfera unit´aria do mesmo espa¸co E.

• O dual topol´ogico de um espa¸co de Banach E ser´a denotado por E′_.

• Denotaremos por p∗ _{o expoente conjugado de} _p _∈ ₍₁_,_∞_{), isto ´e,} 1

p +

1

(11)

Convencionaremos 1∗ ₌_∞_.

• L(E1, . . . , Em;F) representar´a o espa¸co de Banach formado por todas as aplica¸c˜oes

m₋lineares cont´ınuas T :E1× · · · ×Em −→ F munido com a norma do supremo,

||T_||= sup

x∈BE₁×···×Em

||T x_||.

Quando E1 =· · ·=Em escreveremos simplesmente L(mEi;F).

• KN

denotará o conjunto formado pelas sequências cujas entradas são elementos deK_.

• Alguns espa¸cos importantes ser˜ao frequentes no texto:

ℓp =(xn)_n_∈N∈K N

;P_n_|xn|p <∞ ;

ℓ_∞ =(xn)_n_∈N∈K N

; sup_n_|xn|<∞ ;

ℓn p =

(xn)_n_∈N∈ℓp; xi = 0, ∀i≥n+ 1 def

= Kn _{com a norma} _ℓ_p_;

c0 =

(xn)n∈N∈K N

; xn −→0 .

• Dado um inteiro positivo m e um subconjunto n˜ao-vazio D _⊂ N_{, denotamos o}

conjunto de multi-´ındicesi= (i1, . . . , im), comik ∈D por

M(m, D) =_{i= (i1, . . . , im)∈Nm;ik ∈D, k= 1, . . . , m}=Dm.

• Denotaremos tamb´em

(12)

Desigualdade de H¨

older com

normas mistas

1.1 Espa¸

cos

L

p

com norma mista

O propósito desta se¸cão é apresentar alguns conceitos importantes relacionados aos espa¸cos Lp com normas mistas, enfatizando nota¸cões e propriedades intr´ınsecas que

serão cruciais para a compreensão da Desigualdade de Hölder neste contexto. Os pri-meiros ind´ıcios de estudos sobre espa¸cos com essa natureza são creditados a Luxemburg [27] em 1955 e posteriormente com A. Benedeck e R. Panzone [9] em 1961. Em [9], os autores apresentam um arsenal de resultados envolvendo estes espa¸cos, conectando-os com resultados clássicos de teoria da medida, dentre outros o Teorema da Convergência Monótona e o Teorema da Convergência dominada de Lebesgue.

Consideremos (Xi,P_i, µi), com i= 1, . . . , m, espa¸cos de medida σ-finita.

Denota-remos por

(X,P, µ) =

m

Y

i=1

Xi, m

Y

i=1

P

i, m

Y

i=1

µi

!

o espa¸co produto munido com a medida produto.

Para p= (p1, . . . , pm) ∈ [1,∞]m , chamado algumas vezes de expoente m´ultiplo,

denotaremos por Lp(X) o espa¸co formado por todas as classes de equivalˆencia das

fun¸c˜oes mensur´aveisf :X _−→K ₍K₌R _ouC_{) que satisfazem a seguinte propriedade:}

Para qualquer (x1, . . . , xm−1) ∈ X1 × · · · ×Xm−1 , a fun¸c˜ao avaliada neste ponto

f(x1, . . . , xm−1,·)∈Lpm(Xm). Isto significa mais precisamente que

(13)

1. Desigualdade de H¨older com normas mistas

e_||f_||_p_m :X1×· · ·×Xm−1−→Ké uma fun¸cão mensurável em

m_Y−1

i=1

Xi, m_Y−1

i=1

P

i, m_Y−1

i=1

µi

!

.

Sucessivamente, se tomarmos 1 < k < m, para qualquer (x1, . . . , xm−k) ∈ X1× · · · ×

Xm−k, a fun¸c˜ao

||f(x1, . . . , xm−k,·)||₍_p_m₋_k₊₁_,...,p_m₎ :Xm−k+1× · · · ×Xm −→K

é uma fun¸cão mensurável em L(pm−k+1,...,pm)(Xm−k+1× · · · ×Xm). Ou seja,

||f(x1, . . . , xm−k,·, . . . ,·)||₍_p_m₋_k₊₁_,...,p_m₎

=

||f(x1, . . . , xm−k,·, . . . ,·)||pm· · ·

pm−k+2

pm−k+1

<_∞. Logo,

||f_||_p =_||f_||₍_p₁_,...,p_m₎ def= _||f_||₍_p₂_,...,p_m₎

p1

.

Por simplicidade de nota¸c˜ao, consideremos o caso em que pi < ∞, para todo i =

1, . . . , m. Neste caso, dizemos que uma fun¸cão mensurávelf :X_−→K_{é um elemento}

do espa¸co Lp(X) se, e somente se,

||f_||_p def=



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|f_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

<_∞.

Dadas f, g : X _−→ K _em _L_p₍_X_{) , definimos a fun¸c˜ao produto} _f.g_{, como o produto}

pontual entref eg , isto ´e,

f.g(x1, . . . , xm)def= f(x1, . . . , xm).g(x1, . . . , xm) .

Sucessivas aplica¸c˜oes da desigualdade de Minkowski nos permitem constatar que

||._||_p define uma norma em Lp(X). De fato, ´e imediato que se ||f||p = 0 ⇔ f ≡ 0 µ

a.e. Agora, considereλ_∈K _e _f _∈_L_p₍_X_{), com} _p_{= (}_p₁_{, . . . , p}_m₎_∈_[1_,_∞₎m_{. Ent˜ao,}

||λf_||_p def=



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|λf_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

=



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|λ_|pm_|_f_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

(14)

Pelas propriedades de integra¸c˜ao, segue que



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|λ_|pm

|f_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

=_|λ_|pm.pm_pm−1

· · ·

p₁ p₂

1

p₁ _.



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|f_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

=_|λ_|._||f_||_p.

Resta-nos portanto, mostrar a desigualdade triangular. Para uma melhor compreens˜ao, iremos proceder usando indu¸c˜ao sobre m, juntamente com o aux´ılio da Desigualdade de Minkowski.

Considere m = 2 . Sejam p= (p1, p2) ∈ [1,∞)2 e f, g : X −→ K ∈ Lp(X), com

X=X1×X2. Por defini¸c˜ao,

||f_||₍_p₁_,p₂₎ =

Z

X1 Z

X2

|f_|p2_dµ

2

p₁

p₂

dµ1

!1

p₁ e

||g_||₍_p₁_,p₂₎ =

Z

X1 Z

X2

|g_|p2_dµ

2

p₁

p₂

dµ1

!1

p₁

Fixado x1 ∈ X1, pela maneira como definimos o espa¸co Lp(X), f(x1,·) ∈ Lp2(X2) e

g(x1,·)∈Lp2(X2). Pela desigualdade de Minkowski,f +g ∈Lp2(X2) e, al´em disso,

||f +g_||_p₂ _{≤ ||}f_||_p₂ +_||g_||_p₂, ou seja,

Z

X2

|f +g_|p2_dµ

2

1

p₂

≤

Z

X2

|f_|p2_dµ

2

1

p₂ +

Z

X2

|g_|p2_dµ

2

1

p₂ .

Note que,

||f_||_p₂ :X1 −→K∈ Lp1(X1)

||g_||_p₂ :X1 −→K∈ Lp1(X1) .

Logo,

(15)

Aplicando novamente a Desigualdade de Minkowski segue que

||f +g_||_p₂

p1 ≤

||f_||_p₂ +_||g_||_p₂

p1

≤

||f_||_p₂

p1

+_||g_||_p₂

p1

.

Ou seja,

||f +g_||₍_p₁_,p₂₎ def= _||f +g_||_p₂

p1

=

Z

X1 Z

X2

|f +g_|p2_dµ

2

p₁

p₂

dµ1

!1

p₁

≤

Z

X1 "Z

X2

|f_|p2

dµ2

1

p₂ +

Z

X2

|g_|p2

dµ2

1

p₂#

p1

dµ1

!1

p₁

≤

Z

X1 Z

X2

|f_|p2

dµ2

p₁

p₂

dµ1

! 1

p₁ +

Z

X1 Z

X2

|g_|p2

dµ2

p₁

p₂

dµ1

!1

p₁

def

= _||f_||₍_p₁_,p₂₎+_||g_||₍_p₁_,p₂₎. Consequentemente,

||f+g_||_p _{≤ ||}f_||_p+_||g_||_p.

Suponhamos que o resultado seja válido para m₋1. Vamos mostrar que o mesmo é válido para m. De fato, sejam p = (p1, . . . , pm) ∈[1,∞)m e f, g : X −→ K∈ Lp(X),

com X=X1 ×X2 × · · · × Xm. Com isso, fixado x1 ∈ X1, segue que f(x1,·. . . ,·)

∈L(p2,...,pm)(X2× · · · ×Xm) eg(x1,·. . . ,·)∈L(p2,...,pm)(X2× · · · ×Xm). Pela hip´otese de indu¸c˜ao,

f+g _∈L(p2,...,pm)(X2× · · · ×Xm) , e, al´em disso, pela Desigualdade de Minkowski,

||f +g_||₍_p₂_,...,p_m₎_{≤ ||}f_||₍_p₂_,...,p_m₎+_||g_||₍_p₂_,...,p_m₎. Por outro lado, observe que

||f_||₍_p₂_,...,p_m₎ :X1 −→K∈ Lp1(X1)

||g_||₍_p₂_,...,p_m₎ :X1 −→K∈ Lp1(X1) .

Logo,

(16)

Aplicando novamente a Desigualdade de Minkowski, tem-se que

||f +g_||₍_p₂_,...,p_m₎

p1 ≤

||f_||₍_p₂_,...,p_m₎+_||g_||₍_p₂_,...,p_m₎

p1

=_||f_||₍_p₂_,...,p_m₎

p1

+_||g_||₍_p₂_,...,p_m₎

p1

.

Isto significa mais precisamente que



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|f +g_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

≤



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|f_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

+



Z

X1

· · ·

Z

Xm

|g_|pm

dµm

pm−1

pm

· · ·

!p₁ p₂

dµ1

  1

p₁

.

Pela defini¸c˜ao de norma mista,

||f+g_||_p def= _||f+g_||

(p₁,...,pm) ≤ ||f||(p1,...,pm)+||g||(p1,...,pm) =||f||p+||g||p. Portanto, _||._||_p define uma norma em Lp(X). Al´em disso, o espa¸co Lp(X) com sua

norma mista ´e um espa¸co de Banach. Para mais detalhes recomendamos [9, Theorem 1.b].

1.2 Espa¸

cos de sequˆ

encias com norma mista

Os espa¸cos de sequências são casos particulares dos espa¸cos Lp, e serão estes os

mais utilizados no nosso trabalho.

Consideraremos em nosso estudo o espa¸co de medida (N_,_P₍N₎_{, µ}_c_{), formado pela}

σ₋´algebra do conjunto das partes _P(N_{), em conjunto com a medida de contagem} _µ_c_.

Dadop_∈[1,_∞], definimos

ℓp :=Lp(N) =

n

(αn)n ∈K

N

;_||(αn)n||p <∞

o

.

Agora, dadosp= (p1, . . . , pm)∈[1,∞]me uma matriz escalara= (ai)i_∈Nmde m´ultiplos ´ındices, denotamos por

ℓp =Lp(Nm)

def

= na= (ai)i∈Nm;||a||_p <∞

o

(17)

onde

i = (i1, . . . , im)∈Nm.

Em particular, para p= (p1, . . . , pm) ∈ [1,∞)m, dizemos que a= (ai)i_∈Nm ∈ ℓp se, e

somente se,

||a_||_p def=

  

∞

X

i1=1  _{· · ·}

∞

X

im=1

|ai|

pm

!pm−1

pm

· · ·

 

p₁ p₂

  1

p₁

<_∞.

A demonstra¸cão de que_||._||_p define uma norma segue o mesmo racioc´ınio apresentado na se¸cão anterior, utilizando várias vezes a Desigualdade de Minkowski.

Com isso, dado E espa¸co de Banach, definimos o espa¸co de sequˆencias com norma mista por

ℓp(E)

def

= ℓp1(ℓp2(. . .(ℓpm(E)). . .)) . Em particular, quando tivermosE =K_{, denotaremos,}

ℓp(K) = Lp(Nm) = ℓp.

Uma informa¸cão de extrema relevância é que a ordem na qual somamos ou integra-mos em espa¸cos com norma mista é de fundamental importância, assim como a ordem dos expoentes, conforme ilustram os exemplos a seguir.

Exemplo 1.1. Consideremos a matriz de m´ultiplos ´ındicesa=₂1i_j

∞

i,j=1.Por um lado

X

i



 X

j

1 2i_j

1!11×2

 1 2

=X

i

1 2i

X

j

1

j

2!12

= X

j

1

j

2!12 _X

i

1 2i <∞,

e, por outro lado,

X

j



 X

i

1 2i_j

1!11×2

 1 2

=X

j

1

j

X

i

1 2i

2!12

(18)

Exemplo 1.2. Considerando a mesma matriz do exemplo anterior,

||a_||₍

1,2)

def

= X

i

X

j

1 2i_j

2!12

= X

i

1 2i

!

. X

j

1

j2

!1

2

<_∞. Entretanto,a_∈/ ℓ(2,1), visto que

||a_||₍

2,1)

def

= X

i



 X

j

1 2i_j

!2

 1 2

=_∞.

Exemplo 1.3. Considere a fun¸c˜ao F :R2 _−→R _{definida por}

F (x, y) =

(

x−12, se 0≤y≤x≤1

0, caso contr´ario .

Embora F _∈ L(1,2)(R

2₎_∩_L (2,1)(R

2_{), veremos que} _||_F_||

(1,2) 6= ||F||(2,1). De fato, note

que,

||F_||₍₁_,₂₎ def=

Z

R

Z

R|

F (x, y)_|2dy

1

2

dx

!1

1

=

Z 1

0

Z x

0

x−12

2

dy

1

2

dx.

Calculando a integral, _Z

x

0

x−12

2

dy

=x−1.x

x

0 = 1.

E da´ı,

Z 1

0

1dx

1

2

= 1.

Portanto,

||F_||₍₁_,₂₎ = 1 Por outro lado,

||F_||₍₂_,₁₎def=

Z

R

Z

R|

F (x, y)_|1dy

2

1

dx

!1

2

=

Z 1

0

Z x

0

x−12

dy

2

dx

!1

2

.

Calculando a integral, obtemos

Z x

0

x−12

dy

2

=x−12.x

2

(19)

E da´ı,

Z 1

0

xdx

1

2

= x

2

1 0 =

1 2

1

2

= _√1 2. Logo,

||F_||₍₂_,₁₎ = √1

2.

1.3 Desigualdade de H¨

older com norma mista

Durante o nosso texto, dado p_∈[1,_∞]m, denotaremos por ℓp=Lp(Nm), o espa¸co

formado por todas as matrizes de m´ultiplos ´ındices a= (ai)i∈Nm, cuja norma−p ´e

fi-nita. Dadas duas matrizes a= (ai)i_∈Nm e b= (bi)i_∈Nm definimos o produto entre elas pontualmente, isto ´e,

ab= (aibi)_i_∈Nm.

Dizemos que uma matriza= (ai)i_∈Nm ∈ℓp se, e somente se,

||a_||_pdef=

    

∞

X

i1=1    

∞

X

i2=1   · · ·



 X∞

im−1=1

∞

X

im=1

|ai|

pm

!pm−1

pm 



pm−2

pm−1

· · ·

  

p₂ p₃

  

p₁ p₂

    1

p₁

<_∞.

Teorema 1.1. (Desigualdade cl´assica de H¨older em espa¸cos ℓp)

Sejam r _∈ (0,_∞], p1, . . . , pN ∈ (0,∞] tal que 1_r = _p1₁ +· · ·+ _p1_N. Se cada ak =

(aki)i∈N ∈ℓpk, com k = 1, . . . , N, ent˜ao a1· · ·aN ∈ℓr e, al´em disso,

||a1· · ·aN||_r ≤ ||a1||_p₁· · · ||aN||_p_N.

Demonstra¸cão. Procederemos por indu¸cão sobre N. Primeiramente vejamos o caso em que N = 2 e r = 1. Note que esta situa¸cão é exatamente a Desigualdade clássica de Hölder. De fato, consideremos a1 = _|||_aa₁1_||pi|

1

e a2 = _||_a|a₂2_||pi|

2

. Se a1 = 0 ou a2 = 0 a

desigualdade ´e imediata. Com o aux´ılio da Desigualdade de Young, [22, Prop.4.1.3], garantimos que

a1.a2 ≤

1

p1

ap1

1 +

1

p2

ap2

2 , com

1

p1

+ 1

p2

= 1.

Por conseguinte,

|a1i|

||a1||p1

. |a2i|

||a2||p2

≤ 1

p1

|a1i|p1

||a1||pp11

+ 1

p2

|a2i|p2

||a2||pp22

.

Assim,

X

i

|a1i|

||a1||p1

. |a2i|

||a2||p2

≤ 1

p1

X

i

|a1i|p1

||a1||pp11

+ 1

p2

X

i

|a2i|p2

||a2||pp22

(20)

Reorganizando, obtemos

X

i

|a1i|

||a1||_p₁

. |a2i|

||a2||_p₂ ≤

1

p1||a1||p_p1₁

X

i

|a1i|p1 +

1

p2||a2||p_p2₂

X

i

|a2i|p2.

Por outro lado, observe que

||a1||p_p1₁ =

X

i

|a1i|p1 e ||a2||p_p2₂ =

X

i

|a2i|p2.

Com isso,

X

i

|a1i|

||a1||p1

. |a2i|

||a2||p2

≤ 1

p1

+ 1

p2

= 1.

Ou seja,

X

i

|a1i|

||a1||_p₁

. |a2i|

||a2||_p₂ ≤

1.

Consequentemente,

X

i

|a1i.a2i| ≤ ||a1||_p₁.||a2||_p₂.

Logo,

||a1.a2||_r ≤ ||a1||_p₁.||a2||_p₂.

Agora, suponha quep1 =∞. Note que,

∞

X

i=1

|a1ia2i|

≤supm

m

X

i=1

|a1ia2i| ≤sup

i |a1i|supm m

X

i=1

|a2i|

≤sup

i |

a1i|.sup m

m

X

i=1

|a2i|p2

!1

p₂

= sup

i |

a1i|.

∞

X

i=1

|a2i|p2

!1

p₂

=_||a1||_∞.||a2||p2.

Agora suponhamosN = 2 e r >1. Lembrando que 1 = _pr

1 +

r

p2 temos

∞

X

i=1

|a1ia2i|r

!

=_|||a1a2|r||1 ≤ |||a1|r||p₁

r .|||a2|

r

||p₂ r .

Ou seja,

∞

X

i=1

|a1ia2i|r

!

≤

∞

X

i=1

(_|a1i|r)

p₁ r

!r

p₁

.

∞

X

i=1

(_|a2i|r)

p₂ r

!r

(21)

∞

X

i=1

|a1ia2i|r

!

≤



 X∞

i=1

|a1i|p1

!1

p₁



r

.



 X∞

i=1

|a2i|p2

!1

p₂



r

=_||a1||rp1.||a2||

r p2.

E da´ı, obtemos

||a1a2||_r ≤ ||a1||_p₁.||a2||_p₂.

Suponhamos então que o resultado seja válido paraN₋1. Vamos mostrar que é válido para N. De fato, note que se pN =∞, sabemos que

|aN| ≤sup N |

aN|=||aN||_∞.

E da´ı, pela hip´otese de indu¸c˜ao, temos

||a1· · ·aN||_r =||(a1· · ·aN−1).aN||_r ≤ ||a1· · ·aN−1||_r.||aN||_∞

HI

≤ ||a1||_p₁· · · ||aN−1||_p_N₋₁.||aN||_p_N .

Por outro lado, se pN < ∞, note que p = ₍_p_N−pN_r₎ e q = p_rN s˜ao expoentes conjugados

de Hölder no intervalo (0,_∞). Então, aplicando a Desigualdade de Hölder com os expoentes 1_r = _rp1 + _rq1 e usando a hipótese de indu¸cão com

1

rp =

1

p1

+_{· · ·}+ 1

pN−1

,

obtemos

||a1· · ·aN||_r =||(a1· · ·aN−1).aN||_r ≤ ||a1· · ·aN−1||_rp.||aN||_rq

≤ ||a1||_p₁· · · ||aN−1||_p_N₋₁.||aN||_p_N.

Note que rq=pN. Portanto,

||a1· · ·aN||r ≤ ||a1||p1· · · ||aN||pN.

(22)

algumas pequenas adapta¸c˜oes.

Teorema 1.2. (Desigualdade de H¨older com normas mistas em espa¸cos ℓp)

Sejamm, n, N inteiros positivos,r= (r1, . . . , rm)∈(0,∞]m, p(1) = (p1(1), . . . , pm(1)),

· · ·,p(N) = (p1(N), . . . , pm(N))∈(0,∞]m tais que

1

rj

= 1

pj(1)

+_{· · ·}+ 1

pj(N)

, para j = 1, . . . , m. (1.1)

Considere tamb´ema(k) = (a(k)_i)_i_∈Nm ∈ℓp(k), k= 1, . . . , N matrizes escalares. Ent˜ao,

a(1)_{· · ·}a(N)_∈ℓr, e al´em disso,

||a(1)_{· · ·}a(N)_||_r _{≤ ||}a(1)_||_p₍₁₎_{· · · ||}a(N)_||_p₍_N₎. Em particular, se cada p(k)_∈(0,_∞), temos

  

∞

X

i1=1  _{· · ·}

∞

X

im=1

a(1)

i· · ·a(N)i

rm

!rm−1

rm

· · ·

 

r₁ r₂

  1

r₁

≤

N

Y

k=1

    

   

∞

X

i1=1   · · ·

∞

X

im=1

|a(k)_i_|pm(k)

!pm−1(k)

pm(k)

· · ·

  

p₁₍k)

p₂₍k)   

1

p₁₍k)   

.

Demonstra¸cão. Procederemos usando indu¸cão sobre m. Por simplicidade de nota¸cão, consideraremos apenas o caso em que p(k) _∈ (0,_∞)m_{, para} _k _{= 1}_{, . . . , N}_{. Note que}

para m = 1, temos a versão clássica de Hölder generalizada. Analisemos então o caso

m = 2. Sejam a(k) = a(k)_i₁_,i₂

i1,i2∈N ∈

ℓp1(k),p2(k) matrizes escalares de m´ultiplos

´ındices, comr = (r1, r2),p(k) = (p1(k), p2(k))∈(0,∞)2,k = 1, . . . , N e

1

r1

= 1

p1(1)

+_{· · ·}+ 1

p1(N)

(1.2)

1

r2

= 1

p2(1)

+_{· · ·}+ 1

p2(N)

(1.3)

Fixado i1, por hip´otese,

a(1)_i₁_,i₂∞

i2=1 ∈

ℓp2(1),· · ·,

a(N)_i₁_,i₂∞

i2=1 ∈

ℓp2(N). Por 1.3

e pela Desigualdade cl´assica de H¨older segue que a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂∞

i2=1 ∈

ℓr2 e,

al´em disso,

a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂

r2 ≤

a(1)_i₁_,i₂

p2(1)· · ·

a(N)_i₁_,i₂

p2(N)

(23)

Ou seja,

∞

X

i2=1

a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂r2

!1

r₂

≤

∞

X

i2=1

a(1)_i₁_,i₂p2(1)

! 1

p₂₍₁₎

· · ·

∞

X

i2=1

a(N)_i₁_,i₂p2(N)

! 1

p₂₍N)

.

Com isso, definamos αi1(k) =

∞

X

i2=1

a(k)_i₁_,i₂p2(k)

! 1

p₂₍k)

def

= a(k)_i₁_,i₂

p2(k)

para todo

k = 1, . . . , N. Por hip´otese, a(k) _∈ ℓ(p1(k),p2(k)). Consequentemente, (αi1(k))

∞

i1=1 ∈

ℓp1(k), k = 1, . . . , N. Elevando ambos os membros da desigualdade a r1, somando em

i1 e em seguida elevando ambos os membros a _r1₁ obtemos,



X∞

i1=1

∞

X

i2=1

a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂r2

!r₁ r₂

 1

r₁

≤



X∞

i1=1 

 X∞

i2=1

a(1)_i₁_,i₂p2(1)

! r₁

p₂₍₁₎

· · ·

∞

X

i2=1

a(N)_i₁_,i₂p2(N)

! r₁

p₂₍N)    1 r₁ . Ou seja,

||a(1)_{· · ·}a(N)_||₍_r₁_,r₂₎ def=



X∞

i1=1

∞

X

i2=1

a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂r2

!r₁ r₂

 1 r₁ ≤   ∞ X

i1=1

N Y k=1   ∞ X

i2=1

a(k)_i₁_,i₂p2(k)

! 1

p₂₍k) 

r1

 1 r₁ = " _∞ X

i1=1 " _N

Y

k=1

αi1(k) #r1#r1₁

=

" _∞ X

i1=1

[αi1(1)· · ·αi1(N)]

r1

#1

r₁ .

Uma vez que cada sequˆencia (αi1(k))

∞

i1=1 pertence a ℓp1(k), para todo k = 1, . . . , N,

usando 1.2 temos,

" _∞ X

i1=1

[αi1(1)· · ·αi1(N)]

r1 #1 r₁ ≤ ∞ X

i1=1

|αi1(1)|

p1(1)

! 1

p₁₍₁₎

· · ·

∞

X

i1=1

|αi1(N)|

p1(N)

! 1

p₁₍N)

(24)

Logo,

 

∞

X

i1=1

∞

X

i2=1

a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂r2

!r₁ r₂

 1

r₁

≤

" _∞ X

i1=1

[αi1(1)· · ·αi1(N)]

r1

#1

r₁

Por conseguinte,

 

∞

X

i1=1

∞

X

i2=1

a(1)_i₁_,i₂_{· · ·}a(N)_i₁_,i₂r2

!r₁ r₂

 1

r₁

≤

N

Y

k=1

 

∞

X

i1=1

∞

X

i2=1

a(k)_i₁_,i₂p2(k)

!p₁₍k)

p₂₍k) 

1

p₁₍k)

.

Pela defini¸c˜ao de norma mista, conclu´ımos que

||a(1)_{· · ·}a(N)_||₍_r₁_,r₂₎_{≤ ||}a(1)_||₍_p₁₍₁₎_,p₂₍₁₎₎_{· · · ||}a(N)_||₍_p₁₍_N₎_,p₂₍_N₎₎. Consequentemente,

||a(1)_{· · ·}a(N)_||_r _{≤ ||}a(1)_||_p₍₁₎_{· · · ||}a(N)_||_p₍_N₎

como desej´avamos. Dadasa(1) _∈ ℓP(1),· · · ,a(N) ∈ℓp(N), suponhamos, por hip´otese,

que o resultado seja válido para m₋1. Mostremos que o mesmo é válido para m. Fixadoi1, pela defini¸cão de norma mista em espa¸cos ℓp garantimos que,

(ai1,i2,...,im(k)) ∞

i2,...,im=1 ∈ℓ(p2(k),...,pm(k)),∀ k = 1, . . . , N.

Aplicando a Desigualdade de Hölder com (1.1), pela hipótese de indu¸cão nos é assegu-rado que

(a(1)_i_{· · ·}a(N)_i)∞_i₂_,...,i_m₌₁ _∈ℓ(r2,...,rm). Al´em disso,

||a(1)_{· · ·}a(N)_||₍_r₂_,...,r_m₎ _≤

N

Y

k=1

(25)

1. Desigualdade de H¨older com normas mistas Ou seja,    ∞ X

i2=1 

_{· · ·} X∞

im=1

|a(1)_i_{· · ·}a(N)_i_|rm

!rm−1

rm

· · ·

 

r₂ r₃

  1 r₂ ≤ N Y k=1     ∞ X

i2=1   · · ·

∞

X

im=1

|a(k)_i_|pm(k)

!pm−1(k)

pm(k)

· · ·

  

p₂₍k)

p₃₍k)   

1

p₂₍k)

.

Com isso, para cada i1 fixo, considere, para todo k= 1, . . . , N

βi1(k) =     ∞ X

i2=1   · · ·

∞

X

im=1

|a(k)_i_|pm(k)

!pm−1(k)

pm(k)

· · ·

  

p₂₍k)

p₃₍k)   

1

p₂₍k)

def

= _||a(k)_i_||₍_p

2(k),...,pm(k)).

Como consequˆencia, obtemos

  

∞

X

i2=1  _{· · ·}

∞

X

im=1

|a(1)_i_{· · ·}a(N)_i_|rm

!rm−1

rm

· · ·

 

r₂ r₃

  1

r₂

≤βi1(1)· · ·βi1(N) .

Elevando ambos os membros da desigualdade a r1, somando em i1, e em seguida

ele-vando a _r1

1 temos,     ∞ X

i1=1   

∞

X

i2=1 

_{· · ·} X∞

im=1

|a(1)_i_{· · ·}a(N)_i_|rm

!rm−1

rm

· · ·

 

r₂ r₃

 

r₁ r₂

   1 r₁ ≤       ∞ X

i1=1

N Y k=1          ∞ X

i2=1   · · ·

∞

X

im=1

|a(k)_i_|pm(k)

!pm−1(k)

pm(k)

· · ·

  

p₂₍k)

p₃₍k)   

1

p₂₍k)    

r1

     1 r₁ = " _∞ X

i1=1 " _N

Y

k=1

βi1(k) #r1#r1₁

def

= ∞

X

i1=1

|βi1(1)· · ·βi1(N)|

r1

!1

r₁ .

Por hip´otese, cada sequˆencia (βi1(k))

∞

(26)

Ent˜ao, aplicando a Desigualdade de H¨older no segundo membro usando 1.2 obtemos:

" _∞ X

i1=1 " _N

Y

k=1

βi1(k) #r1#r1₁

≤

∞

X

i1=1

|βi1(1)|

p1(1)

! 1

p₁₍₁₎

· · ·

∞

X

i1=1

|βi1(N)|

p1(N)

! 1

p₁₍N)

.

    ∞ X

i1=1   

∞

X

i2=1  _{· · ·}

∞

X

im=1

|a(1)_i_{· · ·}a(N)_i_|rm

!rm−1

rm

· · ·

 

r₂ r₃

 

r₁ r₂

   1 r₁ ≤ N Y k=1       ∞ X

i1=1     ∞ X

i2=1   · · ·

∞

X

im=1

|a(k)_i_|pm(k)

!pm−1(k)

pm(k)

· · ·

  

p₂₍k)

p₃₍k)   

p₁₍k)

p₂₍k)       1

p₁₍k)

.

Pela defini¸c˜ao de norma mista segue que

||a(1)_{· · ·}a(N)_||_r =_||a(1)_{· · ·}a(N)_||₍_r₁_,...,r_m₎

≤ ||a(1)_||₍_p₁₍₁₎_,...,p_m₍₁₎₎_{· · · ||}a(N)_||₍_p₁₍_N₎_,...,p_m₍_N₎₎

def

= _||a(1)_||

p(1)· · · ||a(N)||p(N).

Utilizando a desigualdade acima, podemos obter uma varia¸cão dela, denominada de Desigualdade de Hölder interpolativa com expoentes múltiplos. Relembrando a defini¸cão de matrizes de múltiplos ´ındices, dadoθ > 0, definimosaθ = aθ

i

i_∈Nm. Dado

q= (q1, . . . , qm)∈(0,∞]m ´e f´acil ver que

aθq

θ

=_||a_||θ_q. De fato,

aθq

θ def =    ∞ X

i1=1 

_{· · ·} X∞

im=1

aθ

i

qmθ

!qm−1

θ . θ qm · · ·   q₁ θ . θ q₂

  θ q₁ =        ∞ X

i1=1 

_{· · ·} X∞

im=1

|ai|qm

!qm−1

qm

· · ·

 

q₁ q₂

  1

q₁

  

θ

def

(27)

onde q_θ = q1

θ, . . . , qm

θ

.

Defini¸c˜ao 1.3.1. SejaEespa¸co vetorial eXsubconjunto deE. Dadosx1, . . . , xn ∈X,

o conjunto C(X) formado por todas as combina¸c˜oes convexas t1x1 +· · ·+tnxn, com

ti ≥0 e n

X

i=1

ti = 1 chama-se envolt´oria convexa de X.

´

E fácil ver queC(X) é um subconjunto convexo deE. Além disso,C(X) é o menor subconjunto convexo deE que contém X.

Corolário 1.3. (Desigualdade de Hölder interpolativa com expoentes múltiplos). Se-jam m, n, N inteiros positivos e q,q(1), . . . ,q(N) _∈ (0,_∞]m _{tais que} 1

q1, . . . ,

1

qm

pertencem a envolt´oria convexa de _q₁1₍_k₎, . . . ,_q 1

m(k)

, com k = 1, . . . , N. Ent˜ao para qualquer matriza= (ai)i_∈Nm,

||a_||_q _≤ N

Y

k=1

||a_||θk

q(k),

onde osθk s˜ao as coordenadas de

1

q1(k), . . . ,

1

qm(k)

na envolt´oria convexa. Ou seja,    ∞ X

i1=1 

_{· · ·} X∞

im=1

|ai|qm

!qm−1

qm

· · ·

 

q₁ q₂

  1 q₁ ≤ N Y k=1          ∞ X

i1=1   · · ·

∞

X

im=1

|ai|qm(k)

!qm−1(k)

qm(k)

· · ·

  

q₁₍k)

q₂₍k)   

1

q₁₍k)     θk ,

Demonstra¸c˜ao. Paraj = 1, . . . , m temos, 1

qj

= θ1

qj(1)

+_{· · ·}+ θN

qj(N)

= _q1 j(1)

θ1

+_{· · ·}+ _q 1 j(N)

θN .

Uma vez que aθk q(k)

θk = ||

a_||θk

q(k), aplicando a Desigualdade de H¨older com normas

mistas em espa¸cosℓp, obtemos

||a_||_q=aθ1+···+θN

q = N Y k=1

aθk

q ≤ N Y k=1 aθk

q(k)

θk =

N

Y

k=1

||a_||θk

(28)

(29)

Cap´ıtulo 2

Operadores multilineares m´

ultiplo

somantes

2.1 Operadores absolutamente somantes

O objetivo deste cap´ıtulo é discorrer sobre os principais resultados concernentes a teoria multilinear dos operadores absolutamente somantes. Essa teoria teve in´ıcio com Grothendieck, na década de 50 ([23], 1953), mas foi verdadeiramente compreendida apenas na década de 60 com contribui¸cões de Lindestrauss, Pelczynski, Pietsch, dentre outros.

Come¸caremos com alguns resultados clássicos sobre somabilidade e alguns espa¸cos de sequências, ferramentas cruciais para se estudar os referidos operadores. Menci-onaremos também os teoremas de Grothendieck e Dvoretzky-Rogers. Em sequência, exibiremos as ramifica¸cões dos operadores absolutamente somantes, como os operadores

p₋somantes, (q, p)₋somantes e m´ultiplos somantes.

Defini¸c˜ao 2.1.1. SejamEum espa¸co de Banach e 1 _≤p_{≤ ∞}. Uma sequˆencia (xn)n∈N

em E é dita ser fortemente p-somável quando a respectiva sequência de escalares (_||xn||)_n estiver em ℓp. Denotamos por ℓp(E) o conjunto formado pelas sequências

fortementep-som´aveis, isto ´e,

ℓp(E) = {(xn)∈E

N

; (xn) ´e fortemente p-som´avel}.

Um fato conhecido ´e que este conjunto munido com as opera¸c˜oes usuais torna-se um espa¸co vetorial, equipado com a norma definida por

||(xn)||_p

def

= ∞

X

n=1

||xn||p

!1

p

para 1_≤p < _∞ e _||(xn)||_∞

def

= sup

n∈N||

(30)

Dos cursos de An´alise Funcional, aprendemos que o espa¸co das sequˆencias ℓp munido

com a sua norma usual ´e um espa¸co de Banach. De modo natural, isso nos levaria a pensar se essa propriedade de completude poderia ser herdada por esses novos espa¸cos.

Proposi¸c˜ao 2.1. ℓp(E) ;||.||_p

´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Trabalharemos com o caso 1_≤ p <_∞ , pois, por meio de adapta¸cões é poss´ıvel lograr êxito com o caso p = _∞. Considere então (xn₎

n uma sequˆencia de

Cauchy em ℓp(E), onde xn = (xnk)k∈N ∈ ℓp(E). Dado ε > 0, por defini¸c˜ao, existe

k0 ∈N tal que pra k, l suficientemente grandes, obtemos

ε >xk₋xl_p = ∞

X

n=1

xk_n₋xl_np

!1

p

≥xk_n₋xl_np. E da´ı, para cada natural n fixo, segue que xk

n

k∈N ´e de Cauchy em E. Como E ´e

Banach, existe xn ∈E tal que xkn →xn, quando k → ∞. Como l na express˜ao acima

´e arbitr´ario, podemos fazer l_{→ ∞}. Por conseguinte, obtemos

ε >xk₋x_p = ∞

X

n=1

xk_n₋xn

p

!1

p

≥xk_n₋xn

p

,

com x= (xn)n . Isto significa mais precisamente quex−xk ∈ℓp(E) e limxk k→∞= x .

Sendoℓp(E) um espa¸co vetorial, segue que x=xk+ x−xk

∈ℓp(E).

Consequente-mente, obtemos a completude almejada.

Outro conceito importante na teoria é o de sequências fracamente somáveis.

Defini¸cão 2.1.2. Sejam E um espa¸co de Banach e 1 _≤ p _{≤ ∞}. Dizemos que uma sequência (xn) ∈ E é fracamente p-somável se (ϕ(xn))_n ∈ ℓp, para todo

funcio-nal linear cont´ınuo ϕ _∈ E′_{. Denominamos} _ℓw

p (E) o conjunto formado por todas as

sequˆencias fracamente p-som´aveis emE. Ou seja,

ℓw_p (E) =_{(xn)∈EN; (xn) ´e fracamente p-som´avel}.

Além disso, este conjunto munido com as opera¸cões usuais também torna-se um espa¸co vetorial, e sua norma é definida por

||(xn)||_p,w = sup ϕ∈B_E′

∞

X

n=1

|ϕ(xn)|p

!1

p

para 1_≤p <_∞

e

(31)

2. Operadores multilineares m´ultiplo somantes

Antes de verificarmos que tal aplica¸c˜ao define uma norma em ℓw

p (E), o primeiro

passo a ser dado é verificar se o supremo acima é de fato finito. Com isso, necessitamos do aux´ılio do Teorema do Gráfico Fechado. Com efeito, dado x = (xn) ∈ ℓwp (E),

considere o operador Ψx :E′ −→ℓp definido por Ψx(ϕ) = (ϕ(xn))n. Note que Ψx est´a

bem definida e ´e claramente linear. Seja ent˜ao (ϕn,Ψx(ϕn))−→(ϕ, y), ondeϕn−→ϕ

e Ψx(ϕn) −→ y = (yn)_n_∈N. Pela continuidade de ϕ, para cada n ∈ N, ϕk(xn) −→

ϕ(xn) eϕk(xn)−→yn. Pela unicidade do limite, asseguramos que Ψx(ϕ) = (ϕ(xn)) =

(yn)_n_∈N =y, ou seja, Ψx possui gr´afico fechado. Como E′ e ℓp s˜ao espa¸cos de Banach,

pelo Teorema do Gr´afico Fechado segue que Ψx ´e cont´ınuo. Consequentemente,

||x_||_p,w = sup

ϕ∈BE′ ∞

X

n=1

|ϕ(xn)|p

!1

p

def

= sup

ϕ∈BE′

||(ϕ(xn))_n||_p = sup ϕ∈BE′

||Ψx(ϕ)||

def

= _||Ψx||<∞.

Conclu´ımos ent˜ao que o supremo ´e finito.

Com a finitude obtida, nos resta apenas verificar que _||._||_p,w define uma norma em

ℓp(E). De fato, considerex= (xn)∈ℓwp (E). Note que,||(xn)||_p,w

def

= sup_ϕ_∈_B

E′ ||(ϕ(xn))n||p. Se _||(xn)||_p,w = 0 =⇒ supϕ∈BE′ ||(ϕ(xn))n||p = 0. Consequentemente, (ϕ(xn)) = 0 ,

∀n_∈N_e_ϕ _∈_E′_{. E da´ı, pelo Teorema de Hahn-Banach}_x_n _{= 0 ,}_∀_n_∈N_{. Logo,}_x_{= 0.}

Al´em disso, dadas (xn), (yn)∈ℓwp (E) e ϕ∈BE′, garantimos que ||ϕ(x_n+y_n)||_p =

||ϕ(xn) +ϕ(yn)||p. Utilizando a desigualdade triangular,

||ϕ(xn+yn)||_p ≤ ||ϕ(xn)||_p+||ϕ(yn)||_p ≤ sup ϕ∈BE′

||ϕ(xn)||_p+ sup ϕ∈BE′

||ϕ(yn)||_p.

Logo,

sup

ϕ∈B_E′

||ϕ(xn+yn)||_p ≤ sup ϕ∈B_E′

||ϕ(xn)||_p+ sup ϕ∈B_E′

||ϕ(yn)||_p.

Por defini¸c˜ao, _||(xn+yn)||p,w ≤ ||(xn)||p,w+||(yn)||p,w. Por fim, consideremos λ ∈K e

x= (xn)∈ℓwp (E). Assim,

||(λxn)||p,w = sup ϕ∈BE′

||ϕ(λxn)||p = sup ϕ∈BE′

||λϕ(xn)||p

= sup

ϕ∈BE′

|λ_|._||ϕ(xn)||_p =|λ|. sup ϕ∈BE′

||ϕ(xn)||_p

=_|λ_|._||(xn)||p,w.

Portanto, _||._||_p,w define uma norma emℓw p (E). Proposi¸c˜ao 2.2. ℓw

p (E) , ||.||p,w

´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente seja 1 _≤ p < _∞. Considere (xn₎

n uma sequˆencia de

Cauchy em ℓw

(32)

grandes comk, l_≥k0 temos:

ε >xk₋xl_p,w = sup

ϕ∈BE′

ϕ xkn−xln_p ≥ sup

ϕ∈BE′

ϕ xkn−xln

H.Banach

= xkn−xln

.

Em outras palavras, para cada n _∈ N _fixo, _xk

n

k ´e de Cauchy em E. Como este ´e

Banach, existe xn ∈ E tal que xkn → xn, quando k → ∞. Seja x = (xn). Vamos

mostrar que x _∈ℓw

p (E). De fato, dado 1≤ p < ∞, para cada ϕ ∈ BE′ e k, l grandes

temos:

εp >xk₋xlp_p,w = sup

ϕ∈BE′

ϕ xk_n₋xl_n_n_p

!p

≥

N

X

n=1

ϕ xk_n₋xl_np.

Fazendo k _{→ ∞},

N

X

n=1

ϕ xn−xln

p

≤ εp_, _∀_ϕ _∈ _B

E′, isto ´e, xk−x

p,w ≤ ε. Em

decorrˆencia disso,xk ||._→||p,w _x_e_x_∈_ℓw

p (E), uma vez que x=xk+ x−xk

, onde ambas parcelas est˜ao emℓw

p (E).

O casop=_∞nos revela uma peculiaridade. Neste caso, com o aux´ılio do Teorema de Hahn Banach (forma anal´ıtica), ´e poss´ıvel mostrar que ℓ_∞(E) =ℓw

∞(E), E espa¸co de Banach. Com efeito, seja (xn)_n sequˆencia limitada em E. Note que,

||(xn)n||_∞

def

= sup

n∈N||

xn||

H-Banach

= sup

n∈N

sup

ϕ∈BE′

|ϕ(xn)|

!

= sup

ϕ∈BE′ sup

n∈N|

ϕ(xn)|

def

= _||(xn)n||_∞,w.

Com isso, conclu´ımos que ℓ_∞(E) _⊆ ℓw

∞(E). Reciprocamente, obtemos o resultado. Observe que a troca do supremo ´e permitida em virtude do Teorema de Hahn-Banach (veja [14, Corollary 1.3]). Para cadaxn ∈ E, o resultado nos assegura a existˆencia de

um funcionalϕxn ∈BE′ tal que ϕxn(xn) =||xn||. Com isso,

||xn||=ϕxn(xn)≤sup

n∈N|

ϕxn(xn)| ≤ sup

ϕ∈BE′

sup

n∈N|

ϕ(xn)|

.

Logo,

sup

n ||

xn||= sup n

sup

ϕ∈B_E′

|ϕ(xn)|

!

≤ sup

ϕ∈B_E′

sup

n∈N|

ϕ(xn)|

.

Analogamente,

ϕxn(xn) = ||xn|| ≤sup

n∈N||

xn|| ≤sup n∈N

sup

ϕ∈BE′

|ϕ(xn)|

!

(33)

Ent˜ao,

sup

ϕ∈BE′

|ϕxn(xn)|= sup

ϕ∈BE′

sup

n∈N|

ϕ(xn)|

≤sup

n∈N

sup

ϕ∈BE′

|ϕ(xn)|

!

,

e da´ı temos a igualdade.

Com os espa¸cos conhecidos e bem definidos, uma rela¸cão interessante entre eles é queℓp(E) é um subespa¸co vetorial do ℓwp (E), pois, dadox = (xn)n ∈ℓp(E) e ϕ ∈E′

obtemos:

∞

X

n=1

|ϕ(xn)|p ≤

∞

X

n=1

(_||ϕ_||._||xn||)p ≤ ||ϕ||p.

∞

X

n=1

||xn||p <∞.

Consequentemente, (ϕ(xn))n ∈ ℓp, ∀ϕ ∈ E′ =⇒ x = (xn)n ∈ ℓwp (E). Logo, ℓp(E) ⊆

ℓw p (E).

Neste mesmo contexto, destacamos tamb´em os seguintes espa¸cos:

cw0 (E) = {(xn)∈E; lim

n→∞ ϕ(xn) = 0, ∀ϕ ∈E ′_}

c0(E) = {(xn)∈E; lim

n→∞ ||xn||= 0}. Denominamos cw

0 (E) e c0(E) o espa¸co formado pelas sequˆencias fracamente nulas e

o espa¸co formado pelas sequˆencias fortemente nulas respectivamente, do espa¸co de BanachE. Veremos mais tarde o teorema fraco de Dvoretzky-Rogers, o qual assegura que quando 1 _≤ p < _∞, n´os temos ℓw

p (E) = ℓp(E) se, e somente se, dimE < ∞.

Outro espa¸co igualmente importante ´e denotado por

ℓu p(E)

def

= n(xn)n∈ℓwp (E) ; lim k→∞

(xn)n>k

= 0o, para p_∈[1,_∞).

Ratificando o que mencionamos no in´ıcio deste cap´ıtulo, um dos grandes res-ponsáveis pelo sucesso da teoria dos espa¸cos de Banach foi Alexander Grothendieck com a publica¸cão do [23] em 1953. Trabalho de dif´ıcil compreensão e leitura, com con-ceitos técnicos e abstratos sobre normas tensoriais, ideais de operadores, operadores absolutamente somantes, que aos poucos foram sendo lapidados por J. Lindestrauss e A. Pelczynski em 1968, tornando-os mais acess´ıveis e palpáveis para a comunidade cient´ıfica. O principal resultado do Résumé ([23]) dito pelo próprio Grothendieck, é chamado na obra de Teorema Fundamental da teoria métrica de produtos tensoriais, hoje conhecida como Desigualdade de Grothendieck , marcada pelo misticismo da cons-tanteKG (homenagem a Grothendieck), a qual não se sabe até hoje seu valor ótimo,

(34)

ab-solutamente somantes, talvez n˜ao como conhecemos hoje, mas suas ideias foram com certeza imprescind´ıveis.

Recordemos que seE eF s˜ao espa¸cos de Banach, denotamos por_L(E, F) o espa¸co vetorial formado por todas aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas T : E _−→ F munido com a norma do supremo,

||T_||= sup

x∈BE

||T x_||.

Defini¸cão 2.1.3. Sejam E e F espa¸cos de Banach. Um operador T _{∈ L}(E, F) é absolutamente somante seT transforma sequências fracamente somáveis em sequências absolutamente somáveis, ou seja,

(T (xn))∞_n₌₁ ∈ℓ1(F) sempre que (xn)∞_n₌₁ ∈ℓw1 (E) .

Decorre da defini¸cão, que o operador absolutamente somante em certo sentido melhora a convergência das séries.

Exemplo 2.1. Operadores de posto finito s˜ao absolutamente somantes. Para detalhes veja [18, prop.2.3]

Exemplo 2.2. Considere a sequˆencia (ej)∞_j₌₁ ∈ ℓ∞. Note que (ej)∞_j₌₁ ´e fracamente

somável emℓ_∞. Entretanto, como _||ej||= 1, para todo j, é imediato que (ej)∞_j₌₁ não é

absolutamente som´avel em ℓ_∞. Por conseguinte, o operador identidade i: ℓ_∞ _−→ ℓ_∞

é linear e cont´ınuo, mas não é absolutamente somante.

Teorema 2.3. (Desigualdade de Grothendieck) Existe uma constante positiva KG tal

que, para todo espa¸co de Hilbert H, todo m _∈ N_{, toda matriz quadrada de escalares}

(aij)_m_×_m e quaisquer vetores x1, . . . , xm, y1, . . . , ym ∈BH, ´e verdade que

m

X

i,j=1

aijhxi, yji

≤KGsup

(

m

X

i,j=1

aijsitj

:|si| ,|tj| ≤1 )

.

Para detalhes da demonstra¸c˜ao, recomendamos [13, Teor.10.2.2].

Teorema 2.4. (Teorema de Grothendieck) Todo operador linear cont´ınuoT :ℓ1 −→ℓ2

´e absolutamente somante.

Novamente, recomendamos [13, Teor.10.2.6].

(35)

Rogers responderam a questão, que já havia tido um avan¸co importante uns três anos antes com um artigo de MacPhail [28].

Teorema 2.5. (Dvoretzky-Rogers) Seja E espa¸co de Banach de dimensão infinita. Dada qualquer sequência(an)∞n=1 ∈ℓ2existe uma série incondicionalmente convergente

∞

X

n=1

xn em E tal que ||xn|| = |an| para todo n ∈ N. Em particular, se (an)∞n=1 ∈

ℓ2 − ℓ1, ent˜ao a s´erie associada

∞

X

n=1

xn ´e incondicionalmente convergente mas

n˜ao-absolutamente convergente.

No âmbito da teoria de operadores absolutamente somantes, é conveniente utilizar a seguinte versão do Teorema de Dvoretzky-Rogers:

Teorema 2.6. (Teorema fraco de Dvoretzky-Rogers) Seja 1_≤p <_∞. Todo espa¸co de Banach E de dimensão infinta possui uma sequência fracamente p-somável que não é fortemente p-somável.

2.2 Operadores absolutamente

p

-somantes

Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja 1 _≤ p < _∞ e T : E _−→ F um operador linear cont´ınuo entre espa¸cos de Banach. Dizemos queT ´e absolutamentep-somante se existe uma constante

c_≥0 tal que para todo m_∈N _e _x₁_{, . . . , x}_m _∈_E

m

X

i=1

||T xi||p

!1

p

≤c.sup

  

m

X

i=1

|ϕ(xi)|p

!1

p

:ϕ _∈BE′

 

.

A menor das constantes c que satisfaz a desigualdade acima denotamos por πp(T).

Escrevemos Q_p(E, F) o conjunto formado por todos os operadores p-somantes de E

em F. ´

E f´acil verificar que Q_p(E;F) ´e um subspa¸co vetorial de _L(E, F) e que πp define

uma norma emQ_p(E, F). A proposi¸c˜ao a seguir nos permite caracterizar os operadores

p-somantes. Para tanto, consideremos o operador Tb : ℓw

p (E) −→ ℓp(F) dado por

b

T(xn) = (T (xn))n

Proposi¸c˜ao 2.7. T ´e p-somante se e somente se T ℓb w p (E)

est´a contido em ℓp(F).

Neste caso,_bT :ℓw

p (E)−→ℓp(F)

=πp(u).

O importante a destacar nessa proposi¸cão é o fato de que se T : E _−→ F é um operador p-somante, então ele induz um operador Tb : ℓw