Hélio Magalhães de Oliveira,

Entrando na Onda...

Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br

Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária Recife - PE

Wavelets:

Uma Evolução na Representação de

Sinais

• A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas mais poderosas.

• Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A Transformada de Wavelet

• Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas.

• Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em PDS.

ORIGEM- Escola Francesa

(Morlet, Grossmann,Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)

Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada.

As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são continuamente diferenciáveis.

Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets

Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997.

Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais.

Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis.

Jean Morlet. (ecce homo!)

Gama de aplicações:

geologia sísmica

visão computacional e humana radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos turbulência

distinção celular (normais vs patológicas)

modelos para trato auditivo compressão de imagens

análise de tons musicais neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais médicos

espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica

modelagem geométrica

caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos

transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica

Telecomunicações

previsão em mercados financeiros Estatística

"La Théorie Analytique de la Chaleur":

Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas  verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo.

Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência.

A decomposição evoluiu para a representação via transformada de Fourier.

Definição (ANÁLISE DE FOURIER):

A transformada de Fourier de um sinal f(t),

-∞< t < +∞ é

∫

+∞ ∞ − − = f t e dt w F( ) : ( ) jwt _{, denotada}

Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao domínio temporal (SÍNTESE DE FOURIER):

∫

−+∞∞ = F w e dw t f ( ) jwt 2 1 ) (

π

. o par transformada: f(t) ↔ F(w). TEOREMA DE PARSEVAL.

Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia do sinal pode ser calculada

em qualquer dos domínios, i.e,

∫

∫

−+∞∞ +∞ ∞ −

f

t

dt

=

F

f

df

2 2

|

)

(

|

)

(

_{. o}

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários

Os sinais devem ser tratados não no

domínio t ou domínio f, mas em ambos

(espaço conjunto tempo-freqüência)!

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local.

Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração.

(a)

(b) Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal

(possivelmente) estacionário,

(b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário.

O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou menos" semelhante em qualquer trecho analisado...

Abordagem (pouco formal, mas suficiente).

Figura. Sinal com linha de base.

Evolução na TF clássica:

(STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela (transformada de Fourier de tempo curto).

Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local.

Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local.

seqüência de "fotos" do espectro:

... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2) .... evoluindo

temporalmente.

Sinais práticos " bem comportado" com relação à estacionaridade: sinais periódicos.

FOTOS:

• Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos, 15, 20, 25 e 30 anos).

• Uma única foto representativa do indivíduo, uma "foto média". Essa foto média representa o espectro de Fourier.

• Um caráter local (no tempo) => trabalhar com mais fotos, => maior complexidade, capacidade de armazenamento/ processamento

A classe de sinais, cujo espectro permanece relativamente independente no tempo, são referidos como sinais estacionários.

É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3×4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa).

Diferentes níveis de "estacionaridade":

seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos;

seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem);

seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes;

seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu);

Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido?. A resposta não é fechada.

Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar".

A Transformada de Gabor

Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem.

A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas freqüencial.

A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário.

A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do cálculo do espectro.

Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo.

Janela: a mais comum é janela Gaussiana.

f t f 1 f 2 f f 1 f 2 t 1

Figura. Análise espectral com Transformada de Fourier clássica e em tempo curto.

As próximas perguntas:

 Por que a STFT não é suficiente?

 O que seria mais apropriado, além de um

A necessidade da segunda operação básica das wavelets, o escalonamento, também pode ser entendida neste contexto.

A Guisa de uma Análise de Wavelets

Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência :

A análise visualizada como um banco de filtros.

resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante).

FOTOS NOVAMENTE:

Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com uma meia dúzia de fotos

(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos). (1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).

O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".

Figura. Exemplo de uma ondinha: ondelette de Morlet (Matlab).

domínios tempo e freqüência (f × t)

domínios escala e deslocamento (a × b).

Interpretação: "mapas".

Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global.

1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo 1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do Brasil como um todo.

Na Transformada Contínua de Wavelet CWT_{, todas as respostas ao impulso no banco de}

filtros são versões (expandidas ou comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica.

Assim,

t

a

t

t

f

a

a

,

)

:

1

(

)

(

)d

CWT(

∫

+∞ * ∞ −

−

=

ψ

τ

τ

. o

no rol das Transformadas Lineares...

A função ψψψψ(t) é conhecida como wavelet mãe.

A partir dela geram-se versões modificas no decorrer da transformada.

f f 2f 3f 4f ... 0 0 0 0 f f 2f 4f 8f .... 0 0 0 0 Banda passante constante (STFT)

Banda passante relativa (Q) constante (WT)

Figura. Análise Espectral com banco de Filtros: (a) STFT e (b) WT.

Wavelets Contínuas

Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A

Transformada

de

Wavelet

foi

desenvolvida como uma alternativa à STFT

para solucionar o problema da resolução.

Fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constante em todo o plano t-f.

CWT:

 Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas

Freqüência Freqüência

Tempo Tempo

(a) (b)

A Transformada de Wavelet Contínua CWT

ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) ∈ L2(ℜ).

∫

₋+∞_∞ψ 2(t)dt < +∞ Operações: a) escalonamento = _ _a_ t a t a ψ ψ | | 1 ) ( _{, a≠0.} b) deslocamento

ψ

b(t) =

ψ

(t − b). c) deslocamento com escalonamento

=

−

=

(

)

)

(

,b

t

a

t

b

a

ψ

ψ

      − a b t a |ψ | 1 . o

)}

(

{

)}

(

{

ψ

t

→

ψ

_a,b

t

_{(∀a, a≠0) (∀b∈ℜ).} versão:

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes tem a mesma energia!

2 , 2

||

)

(

||

||

)

(

||

ψ

t

=

ψ

_{a b}

t

_.

Portanto, a escolha das wavelets como sendo

versões       − a b t a|ψ | 1

garante a mesma energia para

qualquer wavelet! Define-se CWT(a,b):=

∫

+∞ ∞ − f (t) a,b(t)dt * ψ _{=< f(t),ψψψψa,b>. o}

Analogia com Fourier:

Fourier F(w), em cada w:

Projeção de f(t) na direção das ondas

{ }

w∈ℜ jwt

e

que constituem uma "base" do espaço de sinais.

Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento não-local no tempo, mas de -∞ a +∞.

Wavelets:

decomposição de f(t) em sinais

{

ψa,b(t)

}

a∈ℜ*₊b∈ℜ que constitui um novo conjunto de análise do espaço de sinais.

Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab aeterno.

Um critério para definir wavelets:

• Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no domínio temporal é nulo.

∫

−+∞∞

ψ

( dt

t

)

= 0

• Condição de admissibilidade,

Dado o par transformada de Fourier:

Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros, note os seguintes fatos:

0 ) 0 ( = Ψ _{(pela admissibilidade)} 0 ) (±∞ =

Ψ _{(pois ψ é de energia finita).}

Dado ε >0 arbitrário, ∃ α, β ∈ ℜ, 0 < α < β < +∞ tal que

|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β. o

Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser essencialmente não nulo.

O escalonamento é o processo de

compressão e dilatação do sinal. O

parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos.

O termo |a|-1/2 _{é um fator de normalização da}

energia do sinal e , 0 1 ) ( ,  ≠      − = a a b t a t b a ψ ψ _{é uma} transformada afim.

Uma wavelet

ψ

a,b

(

t

)

é definida por um

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações.

Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via 2 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( a dadb a b t a b a CWT C t f

∫ ∫

+∞ ∞ − ∞ + ∞ − _     − = ψ ψ .

Uma das primeiras transformadas WT corresponde a Wavelet de Morlet, cuja Wavelet mãe é ψ(t)=exp(-t2/2).exp(jw0t). Note que ela

A Transformada Inversa (CWT-1) e a Condição de Admissibilidade

Sejam f(t)∈ L2(ℜ) e ψ_a,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ).

Sob que condições é possível "pegar uma onda"?

(catch the wave...)

Escolher uma wavelet protótipo tal que

ψ(t) ↔ Ψ(w) e

<

+∞

Ψ

=

∫

+∞ ∞ −

ζ

ζ

ζ

ψ

d

|

|

|

)

(

|

C

2 .

Formula de inversão sob condições menos restritivas

Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) ∈ L2(ℜ), ψ_(t) ↔Ψ(w), é dita ser uma wavelet diádica

se e somente se satisfaz a condição de estabilidade, i.e., ∃ A,B ∈ℜ  0<A≤B<+∞

tais que

∑

∈ − _≤ Ψ ≤ Z m m B w A | (2 ) | _{. o}

Estas wavelets não obedecem a condição de admissibilidade (porém obedecem a condição de estabilidade, menos restringente) e não são wavelets ortogonais.

Exemplos: Um mar de Wavelets

Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como wavelets mãe.

Nome da família de Wavelets

'haar' Haar wavelet.

'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets.

'coif' Coiflets.

'bior' Biorthogonal wavelets.

'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet.

'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets.

'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet.

'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets.

'deO' de Oliveira wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'mth' Mathieu wavelets.

Wavelet de Haar

Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.

contrário caso 1 t 0 0 t 1 0 2 1 2 1 : ) ( ) ( < ≤ ≤ <        − = t H ψ .

Estas são versões do tipo "wavelet digital".

Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes.

Wavelet Sombrero

Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que

)

(

''

)

(

t

ρ

t

ψ

=

−

_{é a wavelet sombrero (chapéu}

mexicano), por razões óbvias.

3 ) 1 ( 2 ) ( 4 / 1 2 / 2 ) ( 2 π ψ Mhat t e t t − − = .

Wavelet densidade Gaussiana

Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana (gaus1) é dada por:

4 1 2 2

2

1

_/ / t ) fdG (

te

:

gaus

)

t

(

π

ψ

=

=

− . 10 5 0 5 10 1 0.5 0 0.5 1 0.644 0.644 − ψ x( ) 8 8 − x

Wavelet complexa de Morlet

Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais.

Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa: t jw t Mor

e

e

t

2 / 2 0 4 / 1 ) (

1

)

(

=

− −

π

ψ

.

Wavelet de Shannon

A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon.

Espectro da Wavelet real:

∏

∏

      + +       − = Ψ π π π π /2 3 /2 3 ) (w w w _.

Tomando a transformada inversa:

No caso da wavelet complexa, pode-se usar t j CSha e t Sinc t π

ψ

( ) 2 ) ( ) ( = − _. (a) (b)

Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon (Matlab).

Wavelet de Meyer

A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como:          ≤ ≤             ₋ ≤ ≤             ₋ = Ψ contrário. caso 0 /3 8 | w | /3 4 1 4 | | 3 2 cos 2 1 /3 4 | w | /3 2 1 2 | | 3 2 sen 2 1 ) ( /2 2 / π π π υ π π π π π υ π π jw jw e w e w w .

Figura. Wavelet de Meyer:

Wavelets de Daubechies

Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são ortogonais.

As 1as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto.

Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis.

Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto.

Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):

Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets

Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ(t) quanto na wavelet-mãe ψ(t)_.

Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em 1989. São também wavelets de suporte compacto.

Wavelet de "de Oliveira"

Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a Q-constante.

Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por

( )

.

)

(

/ 2 ( ) ) (

w

S

e

w

jw deO deO

=

−

Ψ

_,

onde

|

Ψ

(deO)

(

w

)

|

=

S

(deO)

( )

w

.

Figura. Wavelet ψ(deO)(t): Parte real

Figura. Wavelet ( )( ) t

deO

Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal

unidimensional (no tempo) em uma

representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante.

As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos.

Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua.

        − = ⇒       = _m m o m b a a a nb t a t a b a t 0 0 0 n m, , 1 ) ( -t 1 ) ( ψ ψ ψ ψ

onde m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de

dilatação fixo, b0 é o fator de translação fixo e b

A Transformada Discreta de Wavelets:

As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)

Formas discretas são atraentes do ponto de vista:

i) implementação e ii) computacional.

A discretização da WT

1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação),

2) não na variável independente do sinal a ser analisado (tempo ou espaço).

Retículado 2D no plano escala-translação:

A grade é indexada por dois inteiros m e n:

m => passos na escala discreta

Escala discreta (logarítmica): a=a0m m=1,2,3,...

Translações discretas: b=nb0a0m n=1,2,3,... dado m.

Assim

∫

−+∞∞ _     − = = dt a a nb t t f a n m CTWS b a WT _m m m 0 0 0 0 ) ( 1 : ) , ( ) , ( ψ . o Note que:

f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,

coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos.

Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo

CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ) f(t) |→ CTWS(m,n)

Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet.

Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT: • Série

∑

+∞ −∞ = n t jnw n

e

F

0 representação de tempo contínuo, com coeficientes discretos

Reticulado: A escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação.

A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a discretização da escala e translado.

O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por:

{

}

_{m n Z} b a

=

ma

nb

∈

∆

_,

(

₀

,

₀

)

_, 0 0 .

Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento é o reticulado hiperbólico

m (escala)

n (deslocamento)

Figura. Resolução de transformadas wavelets: plano translação-escala.

Além da discretização do plano escala-translação, a variável independente do sinal pode também ser discretizada.

Neste caso, define-se:

∑

+∞ −∞ =      − = = k m m m _a a nb k k f a n m DTWS b a WT 0 0 0 0 ) ( 1 : ) , ( ) , ( ψ . o

Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo

DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ) f(k) |→ DTWS(m,n).

Interessante observar que a DTWS é mais análoga à uma representação do tipo DFT que em série de Fourier.

O menor passo inteiro para a escala é a0=2. Usa-se

Um Estudo de Caso:

Decomposição via Daubechies db2 para ECG

Decomposição wavelet (AMR) usando db2 para um sinal ECG, com seis níveis de decomposição.

A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2.

Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não perpétuas).

Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira

ou passa-baixa), a qual devem ser adicionados os detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para compor a aproximação.

Aplicações de Wavelets

Provocações... (!)

Wavelets em Descontaminação de Sinais

Infelizmente, descontaminação é um problema difícil  não há fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído.

Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes "incoerentes" com o sinal de informação.

• sinal original fk

• ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano.

• observações yk = fk +

σ

nk , k=0,1,2,...,K-1, Matricialmente, y=f+σn .

Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se

)

(

)

(

)

(

y

DWT

f

DWT

n

DWT

=

+

σ

_.

Os coeficientes wavelet do ruído superpõem-se aos coeficientes wavelets do sinal.

SNR alta:

Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets onde a contribuição do sinal é "importante".

É comum o uso de um limiar abrupto (hard

threshold), _{casocontrário}

Algoritmo Waveshrink

P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações via ~ =yk yk / Km .

P2. Calcule a DWT da observações normalizadas.

P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos.

O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por: contrário caso T | x | se T | x | ). x ( Sgn ) x ( C m > m    − = 0 , em que Tm é um limiar.

Figura. Waveshrink:

descontaminação de sinais usando wavelets.

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão:

Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.
padrão do FBI (Federal Bureau of

Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem comprimida por JPEG (28 KB);

Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de Transmissão

Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção

(e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo).

A implementação de algoritmos de identificação ou localização de faltas em linhas de transmissão está baseada na configuração do sistema de monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na linha de transmissão, através do uso de registradores digitais de perturbação.

• PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE

Novas wavelets

Potenciais aplicações

Wavelets em GF(p) Multiplex, Acesso múltiplo,

seqüências de DNA

Wavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSL

Wavelets de Chebyshev Análise em biomédica

(eletrogastrografia, ECG...)

Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN,

Imagens médicas

Wavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo

(antenas...)

• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS