MEC2345 Mecânica dos Fluidos II Departamento de Engenharia Mecânica

MEC2345

Mecânica dos Fluidos II 2017-2

Departamento de Engenharia Mecânica

Angela Ourivio Nieckele

sala 163- L – ramal 1182 – e-mail: nieckele@puc-rio.br

O que é um Fluido?

cisalhantes), por menor que seja a carga.

2

g = deformação ^g = taxa de deformação

Tensão cisalhante: t = F/ A = G g

G = módulo de elasticidade ^g

Fluidos Newtonianos:

Lei de Newton: t ^{= m = m d u / dy}

m = viscosidade (propriedade do fluido)

Sólidos  oferecem resistência a deformação. Apresentam deformação finita quando submetidos a esforços cisalhantes

Sólido: equilíbrio estático Líquido: equilíbrio dinâmico

3



Previsões metereológicas:

Furacão Tornado



Estruturas e prédios

Aplicações



Geração de eletricidade

(barragens)

4

Carros

Aviões Barcos

Aplicações

5



Esportes:



bioengenharia :

6



Resfriamento de componentes

eletrônicos:



Poluição

(atmosférica/hídrica)

Quais são os Fenômenos de Transporte?

 Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de movimento

Transferência de calor: transporte de energia

Transferência de massa: transporte de massa de espécies químicas

Observação:

1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente

2. As equações básicas são muito semelhantes e as

ferramentas matemáticas para resolver problemas são similares, porque os mecanismos moleculares são

diretamente relacionados.

7

Equações de Conservação da Mecânica

 Conservação de massa

Conservação de quantidade movimento linear

(2ª. Lei de Newton)

Conservação de quantidade de movimento angular

Conservação de energia (1ª. Lei da termodinâmica)

8

Mecânica dos Fluidos

normalmente implica na determinação de campos de

velocidade. Daí obtém-se campos de pressão, forças, etc.

Experimentos são normalmente caros e demorados. Por esta razão devem ser minimizados usando-se, sempre que possível, soluções analíticas ou computacionais.

Soluções analíticas nem sempre são possíveis. Daí a necessidade de simplificações. É necessário ter um “bom senso educado” para cortar termos, fazer hipótese, etc.

9

10

Propriedades dos Fluidos

 Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As propriedades de matérias estão relacionadas com o

comportamento molecular

 Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as paredes do recipiente

 Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da matéria

 Volume específico (n): relaciona-se com a ocupação da matéria

 Densidade relativa (d): razão entre a densidade da substância e a densidade da água

(adimensional)



 



 

 Pa

m N área

Força

P 2



 





 

r m3

kg m













 r

 

n kg

m 1

m

3

O 2 H

d r

 r

11

 Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das moléculas. Medida relativa T (^oC, ^oF) ou absoluta T (K, R)

 Igualdade de temperatura  equilíbrio térmico

 Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t) e a taxa de deformação ( )

 Viscosidade cinemática (u)

g

 t m 

g

r

 m u Fluidos

 Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.

Possui superfície livre

 Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.

Ocupa todo recipiente.

12

 Para entender o comportamento da matéria seria necessário considerar cada molécula, conhecendo a

história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico, devido ao elevado número de moléculas.

m/

d* d

Molecular Continuo

 Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar uma quantidade de volume de fluido contendo um grande

número de moléculas  hipótese do contínuo: admite-se que os fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura molecular.

 Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a propriedade densidade:

 ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/

dd*

13

 A hipótese do contínuo falha quando as dimensões

envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre colisões moleculares:

 Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:

 1, 6 x 10^-5 cm

 ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.

z y

x y e z e

e x

r   







 r

z

r z e

e r

r  





 ( )

r 

) , ( r r r e_r  





 Não importa qual a partícula que está no ponto em um determinado instante de tempo, mas sim em que condições a partícula que passar pelo ponto naquele instante possui.

 Conceito do contínuo está associado com o conceito de campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.

 O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de coordenadas:

 Cartesiano:

 Cilíndrico:

 Esférico:

14



Sistema

massa constante

Sistema versus Volume de Controle



Volume de controle

região fixa do espaço

Fronteira do sistema

Fronteira do volume de controle

15



Formulação Integral:

 menor esforço; resultados globais.

 ótima ferramenta quando se deseja valores médios e globais.

 Não fornece detalhes do escoamento.

 exemplo: força de arraste agindo sobre um objeto



Formulação Diferencial:

 maior esforço; resultados pontuais.

 soluções detalhadas, porém complicadas

 exemplo: distribuição de pressão ao longo da superfície de um objeto

Técnicas Básicas de Análise

16

Método Lagrangeano versus Euleriano

 Método Lagrangiano: As equações de conservação são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito.

 A variável física é descrita para um determinada partícula

 A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por exemplo, a coordenada da partícula em um determinado

instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0

 Esta função descreve como a função  da partícula P varia com o tempo

 Ex: policial seguindo carro

rP

) , (r_P t



 

17

Método Lagrangeano versus Euleriano

 Método Euleriano: As equações de conservação são aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito

 A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço

 Para cada instante t, a partícula em é uma partícula diferente

 é a posição da partícula P em t

 Esta função descreve a função  na posição da partícula P em função do tempo

 Ex: controlador de tráfego

r

r

) , (r t



 

Vamos utilizar a formulação Euleriana, juntamente com o conceito de campo, i.e., todas as propriedades são definidas em função de sua localização no espaço e no tempo

 Derivada total de uma grandeza  (pressão, temperatura,

velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento (= como  varia com o tempo para uma determinada partícula

) , , ,

(x y z t





Descrição Euleriana

  

w v

u

particula d t

z d t z

d dy t y

d dx t x

d dt t t

d d

 

 

 





 _{   }





 





 









) (

. )

(

convectiva variação

partícula

da mov ao

devido tempo

o com variação

de taxa fixa

posição tempo

o com variação

de taxa

z w y v

x u t

t D D

 

 

 

 



 _{   }

18

i i

e x e x

e x e x



 



 



 



 



     

 ^{   }

3 3 2 2

1 1

grad

19

 Vetor Velocidade:

 Produto escalar entre vetores:

 Operador gradiente:

i i i i i

z y

x v e w e u e u e u e u e u e

e u

V        

 













 _{1 1 2 2 3 3}

i i ij

j i

j i

j i

j j i

i e B e A B e e A B A B

A B

A^  ^  ^  ^  ^  ^   

 Operador Divergente:

i ij i

i j j

i i j j

i j

i x

A x

A e

x e A A

x e e

A

A 

 



 

 

 

 

 





 ^{    } 

 div

20







 



 

 V

t t

D

D 

Derivada Material

21

 Tipos de Campos:

 Campo escalar:

 massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

 Campo vetorial:

 velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

 Campo Tensorial:

 tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade:  V(r ,t);

taxa de deformação D(r ,t)

Fluidos em Movimento

 O escoamento dos fluidos é determinado a partir do conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo das diversas grandezas relevantes.

22

 Regime permanente:

 V = V(r ); isto é  ( ) /  t = 0

 Regime transiente:

 V=V(r ,t) Caso geral:  ( ) /  t ≠ 0

Tipos de Escoamento

 Escoamento uniforme: a velocidade é a mesma em qualquer ponto do escoamento

 Escoamento não uniforme: a velocidade varia de ponto para ponto do escoamento

Dimensão

 Uni-dimensional: v depende somente de uma coordenada espacial

 Bi-dimensional: v depende somente de duas coordenadas espaciais

 Tri-dimensional: v depende das três coordenadas espaciais, caso geral.

24

 Fluido perfeito, sem viscosidade:

t ≈ 0 ( )

 Fluido viscoso : t≠ 0

 0 g

Caracterização dos Fluidos quanto ao seu

comportamento sob esforços normais compressivos:

 Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes devido à compressão. Gases em geral se comportam

assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de Mach; c = velocidade do som

 Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena para grandes compressões. A maioria dos líquidos se

comporta desta forma. r≈ constante

25

Regime de Escoamento:

 Escoamento laminar: movimento regular

 Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no escoamento, causando um movimento de mistura.

O turbilhamento provoca um regime não

permanente. Porém o tempo característico de

flutuação turbulenta < < escala de tempo que define o regime permanente ou transiente

•Se o escoamento é laminar, eventuais perturbações serão amortecidas e desaparecerão (Fig. a). Durante a transição, picos esporádicos de turbulência surgirão (Fig. b). Durante o

regime turbulento, o escoamento flutuará continuamente (Fig. c).

26



Experiência de Reynolds

Laminar:

filamento de corante não se mistura Turbulento: o corante mistura rapidamente

O escoamento turbulento

ocorre a altas velocidades. A transição é caracterizada pelo no. de Reynolds

m r V D

 Re

 Reynolds altos  esc. turbulento

 Reynolds baixo  esc. laminar

27

Vetor tensão

 A dependência de t_n em n pode ser obtida através de um balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.

 Da 3ª. Lei de Newton

 então

0

0        

 F   t_n dA t_x dA(n e_x) t_y dA(n e_y ) t_z dA(n e_z )

 O vetor tensão t_n é a força de contato por unidade de área que um material dentro de (t) faz no material fora de (t).

 Hipótese de Cauchy: t_n = t_n (n)

tn

 z

z y

y x

x t ; t t ; t t

t_   _   _  





n )

e (n t

) e (n t

) e (n t

t_n  _x  _x  _y  _y  _z  _z   _{x x} _{y y}  _{z z}  

e_x

e_y e_z

28

Tensor tensão

 Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares as direções x, y e z, tem-se

 sé o tensor tensão:

 Note que:

z z y

y x

xe t e t e

σ  t  

] t [e

e ] t [e

e ] t [e

e t

] t [e

e ] t [e

e ] t [e

e t

] t [e

e ] t [e

e ] t [e

e t

z z

z z

y y z

x x z

y z

z y

y y y

x x y

x z

z x

y y x

x x x





































] t [e

e e ] t [e

e e ] t [e

e e

] t [e

e e ] t [e

e e ] t [e

e e

] t [e

e e ] t [e

e e ] t [e

e σ e

z z

z z z

y y z z

x x z

y z

z y y

y y y y

x x y

x z

z x x

y y x x

x x x











































































z z

z y

z x

y z

y y

y x

x z

x y

x x

t e

t e

t e

t e

t e

t e

t e

t e

t e

σ

t_z t_-x

t_-z

t_y

t_x

t_-y e_y

e_z

e_x e_z t_z

e_y e_x

 A matriz s

29

Tensor tensão

 Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as direções x, y e z, tem-se

 Definindo

 o tensor tensão sé :



















zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

s s

s

s s

s

s s

s σ

etc

; t e

; t e

; t

e_{x x xy y x xz z x}

xx   s   s  

s

 1º subscrito indica a superfície do cubo na qual a tensão atua, enquanto que o 2º índice

indica a direção da tensão

s xx

syx

syy

y

x

z

syz

szz

s xz

sxy

s zx

szy

30

Fluido em repouso:

 I é a matriz identidade, que também pode ser representada pelo

operador

delta de kronecker

Compressão isotrópica:

σ P P I

P P

P

















































1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0

xx  P

s

xx  P

s

zz  P

s

yy  P

s

yy  P

s

zz  P

s

y

x

z

j i

se

j i

ij se







 0

 1

31

Fluido em movimento:

Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra- tensão (tensão de tensões viscosas)

xx

xx P t

s    yx

yx t s 

yy

yy P t

s   y

x

z

yz yz t s 

zz

zz P t

s   

xz xz t s 

xy xy t s 

zx zx t s 

zy zy t s 

 







 









zz zy

zx

zy yy

yx

xz xy

xx

t t

t

t t

t

t t

t

τ

32

Gradiente de Velocidade:  v

Em coordenadas cartesianas:

dr = e_x dx + e_y dy + e_z dz e v = e_x u + e_y v + e_z w

I 3 V

V 2

V  ^T 

  [grad  (grad ) ]  div g

 









































































































z w z

v z

u

y w y

v y

u

x w x

v x

u

w v

u

z y x V

V   grad































































z w y

w x

w

z v y

v x

v

z u y

u x

u

V)^T (grad 

;





















1 0

0

0 1

0

0 0

1 I _ij

d v = d r •  v

   





 





 









 





 







V V

V    

 2

1 2

1

33

Taxa de Deformação: D

Taxa de deformação





 





 











 





 









e vorticidad deformação

de taxa

2 1 2

1 

  

 

 

  



V V ( V)^T V ( V)^T



  

 V ( V )^T

D  

2 1



























 



 







 



 



 







 







 







 







 



 







 







 







 



 



 







 











z w y

w z

v x

w z

u

z v y

w y

v x

v y

u

z u x

w y

u x

v x

u

2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

D

Diagonal: taxa de deformação linear do elemento de fluido

Fora da diagonal: taxa de deformação angular do elemento de fluido

34

Taxa de deformação angular:

yx yx

yx t yx

y D u x

v t

y t du x

t dv

2

0

 

 



 















 

g g 







 





 g



lim

tan tan



Taxa de deformação linear:

xx xx xx t

xx

x D u t

x t du

 

 





 

g g 

 g 



 0

 lim

=dv t

=(v/x)xt

=du t

=(u/y)yt

v (x) u (y)

u (x) u (y)

=dv t =(v/y)yt

=du t

=(u/x)xt v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

z V w y

v x

u

zz yy

xx

 



    



 







 



 



 







 g g g

35

Vorticidade: W

Vorticidade





 





 











 





 









e vorticidad deformação

de taxa

2 1 2

1 

  

 

 

  



V V ( V)^T V ( V)^T



  

 V ( V )^T

W  

2 1



















































 







 



 



 







 







 







 



 



 







 







 







 



 



 







 







0 0

0

2 0 1 2

1

2 0 1

2 1

2 1 2

0 1

x y

x z

y z

y w z

v x

w z

u

z v y

w x

v y

u

z u x

w y

u x

v











 W

_x, _y e _z são taxas de rotação médias (velocidades angulares)

 = e_x _x+ e_y _y+ e_z_z vetor vorticidade

36

Taxa de rotação:

   

z yx

yx yx t

yx

x W v y

u t

y t du x

t dv

 



 







 











    



 







 



 

















 2

1 2 1 2

1

0

lim

tan tan



=du t=(u/y)yt

v (x) u (y)

=-dv t

=-(v/x)xt