MEC2345 Mecânica dos Fluidos II Departamento de Engenharia Mecânica

Texto

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MEC2345

Mecânica dos Fluidos II 2017-2

Departamento de Engenharia Mecânica

Angela Ourivio Nieckele

sala 163- L – ramal 1182 – e-mail: nieckele@puc-rio.br

(2)

O que é um Fluido?

É um material em um estado tal que se deforma continuamente quando sujeito a ação de cargas anisotrópicas (tensões

cisalhantes), por menor que seja a carga.

2

g = deformação g = taxa de deformação

Tensão cisalhante: t = F/ A = G g

G = módulo de elasticidade g

Fluidos Newtonianos:

Lei de Newton: t = m = m d u / dy

m = viscosidade (propriedade do fluido)

Sólidos  oferecem resistência a deformação. Apresentam deformação finita quando submetidos a esforços cisalhantes

Sólido: equilíbrio estático Líquido: equilíbrio dinâmico

(3)

3

Previsões metereológicas:

Furacão Tornado

Estruturas e prédios

Aplicações

Geração de eletricidade

(barragens)

(4)

4

Carros

Aviões Barcos

Aplicações

(5)

5

Esportes:

bioengenharia :

(6)

6

Resfriamento de componentes

eletrônicos:

Poluição

(atmosférica/hídrica)

(7)

Quais são os Fenômenos de Transporte?

Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de movimento

Transferência de calor: transporte de energia

Transferência de massa: transporte de massa de espécies químicas

Observação:

1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente

2. As equações básicas são muito semelhantes e as

ferramentas matemáticas para resolver problemas são similares, porque os mecanismos moleculares são

diretamente relacionados.

7

(8)

Equações de Conservação da Mecânica

 Conservação de massa

Conservação de quantidade movimento linear

(2ª. Lei de Newton)

Conservação de quantidade de movimento angular

Conservação de energia (1ª. Lei da termodinâmica)

8

(9)

Mecânica dos Fluidos

utiliza experiências juntamente com técnicas analíticas e computacionais na resolução dos problemas. Resolver um problema

normalmente implica na determinação de campos de

velocidade. Daí obtém-se campos de pressão, forças, etc.

Experimentos são normalmente caros e demorados. Por esta razão devem ser minimizados usando-se, sempre que possível, soluções analíticas ou computacionais.

Soluções analíticas nem sempre são possíveis. Daí a necessidade de simplificações. É necessário ter um “bom senso educado” para cortar termos, fazer hipótese, etc.

9

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10

Propriedades dos Fluidos

Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As propriedades de matérias estão relacionadas com o

comportamento molecular

Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as paredes do recipiente

Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da matéria

Volume específico (n): relaciona-se com a ocupação da matéria

Densidade relativa (d): razão entre a densidade da substância e a densidade da água

(adimensional)





Pa

m N área

Força

P 2





r m3

kg m

r

n kg

m 1

m

3

O 2 H

d r

r

(11)

11

Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das moléculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R)

Igualdade de temperatura  equilíbrio térmico

Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t) e a taxa de deformação ( )

Viscosidade cinemática (u)

g

t m

g

r

m u Fluidos

Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.

Possui superfície livre

Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.

Ocupa todo recipiente.

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12

Para entender o comportamento da matéria seria necessário considerar cada molécula, conhecendo a

história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico, devido ao elevado número de moléculas.

m/

d* d

Molecular Continuo

Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar uma quantidade de volume de fluido contendo um grande

número de moléculas  hipótese do contínuo: admite-se que os fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura molecular.

Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a propriedade densidade:

ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/

dd*

(13)

13

A hipótese do contínuo falha quando as dimensões

envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre colisões moleculares:

Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:

1, 6 x 10-5 cm

ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.

z y

x y e z e

e x

r

r

z

r z e

e r

r

( )

r

) , ( r r r er

Não importa qual a partícula que está no ponto em um determinado instante de tempo, mas sim em que condições a partícula que passar pelo ponto naquele instante possui.

Conceito do contínuo está associado com o conceito de campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.

O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de coordenadas:

Cartesiano:

Cilíndrico:

Esférico:

(14)

14

Sistema

massa constante

Sistema versus Volume de Controle

Volume de controle

região fixa do espaço

Fronteira do sistema

Fronteira do volume de controle

(15)

15

Formulação Integral:

equações de conservação são aplicadas a um volume de controle finito

menor esforço; resultados globais.

ótima ferramenta quando se deseja valores médios e globais.

Não fornece detalhes do escoamento.

exemplo: força de arraste agindo sobre um objeto

Formulação Diferencial:

equações de conservação são aplicadas a um volume de controle infinitesimal

maior esforço; resultados pontuais.

soluções detalhadas, porém complicadas

exemplo: distribuição de pressão ao longo da superfície de um objeto

Técnicas Básicas de Análise

(16)

16

Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Lagrangiano: As equações de conservação são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito.

A variável física é descrita para um determinada partícula

A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por exemplo, a coordenada da partícula em um determinado

instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0

Esta função descreve como a função da partícula P varia com o tempo

Ex: policial seguindo carro

rP

) , (rP t

(17)

17

Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Euleriano: As equações de conservação são aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual pode ser infinitesimal ou finito

A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço

Para cada instante t, a partícula em é uma partícula diferente

é a posição da partícula P em t

Esta função descreve a função na posição da partícula P em função do tempo

Ex: controlador de tráfego

r

r

) , (r t

Vamos utilizar a formulação Euleriana, juntamente com o conceito de campo, i.e., todas as propriedades são definidas em função de sua localização no espaço e no tempo

(18)

Derivada total de uma grandeza (pressão, temperatura,

velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento (= como varia com o tempo para uma determinada partícula

) , , ,

(x y z t

Descrição Euleriana

w v

u

particula d t

z d t z

d dy t y

d dx t x

d dt t t

d d



) (

. )

(

convectiva variação

partícula

da mov ao

devido tempo

o com variação

de taxa fixa

posição tempo

o com variação

de taxa

z w y v

x u t

t D D

 

 

 

 

18

(19)

i i

e x e x

e x e x

    

3 3 2 2

1 1

grad

19

Vetor Velocidade:

Produto escalar entre vetores:

Operador gradiente:

i i i i i

z y

x v e w e u e u e u e u e u e

e u

V

1 1 2 2 3 3

i i ij

j i

j i

j i

j j i

i e B e A B e e A B A B

A B

A

Operador Divergente:

i ij i

i j j

i i j j

i j

i x

A x

A e

x e A A

x e e

A

A

div

(20)

20

 

 

V

t t

D

D

Derivada Material

(21)

21

Tipos de Campos:

Campo escalar:

massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

Campo vetorial:

velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

Campo Tensorial:

tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade:  V(r ,t);

taxa de deformação D(r ,t)

Fluidos em Movimento

O escoamento dos fluidos é determinado a partir do conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo das diversas grandezas relevantes.

(22)

22

Regime permanente:

V = V(r ); isto é ( ) / t = 0

Regime transiente:

V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t ≠ 0

Tipos de Escoamento

Escoamento uniforme: a velocidade é a mesma em qualquer ponto do escoamento

Escoamento não uniforme: a velocidade varia de ponto para ponto do escoamento

(23)

Dimensão

Uni-dimensional: v depende somente de uma coordenada espacial

Bi-dimensional: v depende somente de duas coordenadas espaciais

Tri-dimensional: v depende das três coordenadas espaciais, caso geral.

(24)

24

Fluido perfeito, sem viscosidade:

t ≈ 0 ( )

Fluido viscoso : t≠ 0

0 g

Caracterização dos Fluidos quanto ao seu

comportamento sob esforços normais compressivos:

Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes devido à compressão. Gases em geral se comportam

assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de Mach; c = velocidade do som

Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena para grandes compressões. A maioria dos líquidos se

comporta desta forma. r≈ constante

(25)

25

Regime de Escoamento:

Escoamento laminar: movimento regular

Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no escoamento, causando um movimento de mistura.

O turbilhamento provoca um regime não

permanente. Porém o tempo característico de

flutuação turbulenta < < escala de tempo que define o regime permanente ou transiente

•Se o escoamento é laminar, eventuais perturbações serão amortecidas e desaparecerão (Fig. a). Durante a transição, picos esporádicos de turbulência surgirão (Fig. b). Durante o

regime turbulento, o escoamento flutuará continuamente (Fig. c).

(26)

26

Experiência de Reynolds

Laminar:

filamento de corante não se mistura Turbulento: o corante mistura rapidamente

O escoamento turbulento

ocorre a altas velocidades. A transição é caracterizada pelo no. de Reynolds

m r V D

Re

Reynolds altos  esc. turbulento

Reynolds baixo  esc. laminar

(27)

27

Vetor tensão

A dependência de tn em n pode ser obtida através de um balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.

Da 3ª. Lei de Newton

então

0

0

F tn dA tx dA(n ex) ty dA(n ey ) tz dA(n ez )

O vetor tensão tn é a força de contato por unidade de área que um material dentro de (t) faz no material fora de (t).

Hipótese de Cauchy: tn = tn (n)

tn

z

z y

y x

x t ; t t ; t t

t

t e t e t e

n σ

n )

e (n t

) e (n t

) e (n t

tn x x y y z z x x y y z z

ex

ey ez

(28)

28

Tensor tensão

Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares as direções x, y e z, tem-se

sé o tensor tensão:

Note que:

z z y

y x

xe t e t e

σ t

] t [e

e ] t [e

e ] t [e

e t

] t [e

e ] t [e

e ] t [e

e t

] t [e

e ] t [e

e ] t [e

e t

z z

z z

y y z

x x z

y z

z y

y y y

x x y

x z

z x

y y x

x x x

] t [e

e e ] t [e

e e ] t [e

e e

] t [e

e e ] t [e

e e ] t [e

e e

] t [e

e e ] t [e

e e ] t [e

e σ e

z z

z z z

y y z z

x x z

y z

z y y

y y y y

x x y

x z

z x x

y y x x

x x x

z z

z y

z x

y z

y y

y x

x z

x y

x x

t e

t e

t e

t e

t e

t e

t e

t e

t e

σ

tz t-x

t-z

ty

tx

t-y ey

ez

ex ez tz

ey ex

A matriz s

(29)

29

Tensor tensão

Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as direções x, y e z, tem-se

Definindo

o tensor tensão sé :

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

s s

s

s s

s

s s

s σ

etc

; t e

; t e

; t

ex x xy y x xz z x

xx s s

s

1º subscrito indica a superfície do cubo na qual a tensão atua, enquanto que o 2º índice

indica a direção da tensão

s xx

syx

syy

y

x

z

syz

szz

s xz

sxy

s zx

szy

(30)

30

Fluido em repouso:

I é a matriz identidade, que também pode ser representada pelo

operador

delta de kronecker

Compressão isotrópica:

σ P P I

P P

P

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0

xx P

s

xx P

s

zz P

s

yy P

s

yy P

s

zz P

s

y

x

z

j i

se

j i

ij se

0

1

(31)

31

Fluido em movimento:

Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra- tensão (tensão de tensões viscosas)

xx

xx P t

s yx

yx t s

yy

yy P t

s y

x

z

yz yz t s

zz

zz P t

s

xz xz t s

xy xy t s

zx zx t s

zy zy t s

 

 

zz zy

zx

zy yy

yx

xz xy

xx

t t

t

t t

t

t t

t

τ

(32)

32

Gradiente de Velocidade: v

Em coordenadas cartesianas:

dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w

I 3 V

V 2

V T

[grad (grad ) ] div g









z w z

v z

u

y w y

v y

u

x w x

v x

u

w v

u

z y x V

V grad





z w y

w x

w

z v y

v x

v

z u y

u x

u

V)T (grad

;

1 0

0

0 1

0

0 0

1 I ij

d v = d r • v

(33)

   

 

 

 

 

V V

V    

 2

1 2

1

33

Taxa de Deformação: D

Taxa de deformação

e vorticidad deformação

de taxa

2 1 2

1 







V V ( V)T V ( V)T





V ( V )T

D

2 1

















z w y

w z

v x

w z

u

z v y

w y

v x

v y

u

z u x

w y

u x

v x

u

2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

D

Diagonal: taxa de deformação linear do elemento de fluido

Fora da diagonal: taxa de deformação angular do elemento de fluido

(34)

34

Taxa de deformação angular:

yx yx

yx t yx

y D u x

v t

y t du x

t dv

2

0

g g

g

lim

tan tan

Taxa de deformação linear:

xx xx xx t

xx

x D u t

x t du

g g

g

0

lim

=dv t

=(v/x)xt

=du t

=(u/y)yt

v (x) u (y)

u (x) u (y)

=dv t =(v/y)yt

=du t

=(u/x)xt v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

z V w y

v x

u

zz yy

xx





g g g

(35)

35

Vorticidade: W

Vorticidade

e vorticidad deformação

de taxa

2 1 2

1 







V V ( V)T V ( V)T





V ( V )T

W

2 1

















0 0

0

2 0 1 2

1

2 0 1

2 1

2 1 2

0 1

x y

x z

y z

y w z

v x

w z

u

z v y

w x

v y

u

z u x

w y

u x

v

W

x, y e z são taxas de rotação médias (velocidades angulares)

= ex x+ ey y+ ezz vetor vorticidade

(36)

36

Taxa de rotação:

   

z yx

yx yx t

yx

x W v y

u t

y t du x

t dv





2

1 2 1 2

1

0

lim

tan tan

=du t=(u/y)yt

v (x) u (y)

=-dv t

=-(v/x)xt

Imagem

Referências

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