CONTAGEM E CODIFICAÇÃO DE ÁRVORES

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PAULO JORGE M. TEXEIRA

1. Motivac¸˜ao

São inúmeros os problemas que podem ser modelados através de árvores. As árvores são estruturas de dados extremamente úteis em muitas aplica¸cões e admitem tratamento computacional eficiente quando comparadas às estruturas mais genéricas como os grafos (os quais, por sua vez são mais flex´ıveis e com-plexos). As diferentes aplica¸cões de árvores necessitam de estruturas bem mais complexas, como veremos no decorrer deste trabalho.

2. Conceitos Iniciais da Teoria de Grafos

Um grafo não orientado, ou simplesmente grafo G é um par (V, E), onde V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas. Indicaremos por |V | = n e |E| = m a quantidade de elementos de cada conjunto.

Cada aresta ´e um subconjunto de V com 1 ou 2 v´ertices.

Dada uma aresta {v, w} ∈ E, os vértices v e w são denominados extremidades da aresta, ou então, que a aresta incide sobre os vértices v e w. Uma aresta unitária, da forma {v} é dito um la¸co. No caso de um la¸co, a aresta unitária é ”contada” duas vezes quando da determina¸cão do grau do vértice e, portanto, contribui com 2(duas) unidades para o seu grau. Neste trabalho, os grafos considerados são finitos (possuem um número finito de vértices) e não possuem la¸cos.

Um subgrafo H de G ´e dito um subgrafo gerador ou de espalhamento de G se V (H) = V (G).

Dois vértices são adjacentes ou vizinhos quando são extremidades de uma aresta. O conjunto de vizinhos de um vértice v é o conjunto N (v) = {w ∈ V /{v, w} ∈ E}. A cardinalidade |N (v)| ou então, o número de arestas incidentes em v, é dita o grau de v, e indicado por d(v).

A excentricidade de um vértice v de um grafo G, denotada por e(v), é a maior das distâncias do vértice v aos demais vértices do grafo G, isto é: e(v) = máx{d(v, w)/w ∈ V (G), w 6= v}.

O diâmetro de um grafo G, denotado por diâmetro (G), é o maior valor dentre todas as excentricidades dos vértices de G, isto é: diâmetro (G) = máx {e(v)/v ∈ V (G)}.

O raio de um grafo G, denotado por raio(G), é o menor valor dentre todas as excentricidades dos vértices de G, isto é: raio(G) = m´ın{e(v)/ v ∈ V (G)}. O centro de um grafo G, denotado por C(G), é o conjunto de vértices do grafo G que têm a menor excentricidade, isto é: C(G) = {v ∈ V (G)/e(v) é m´ınimo }. Portanto, em vista da defini¸cão, tem-se que o centro de um grafo não é formado, necessariamente, por um ´

unico v´ertice.

Dado um grafo G = (V, E), um passeio em G é uma seqüência de vértices de G : v1, v2, ..., vk tais que

toda aresta (vi, vi+1) ∈ E, i, 1 6 i 6 k − 1. O comprimento do passeio ´e dado pelo n´umero de arestas

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do passeio e o vértice vk seu término (ou fim). Um passeio em que não há repeti¸cão de arestas, isto é:

todas as arestas do passeio são distintas, é dito uma trilha ou trajeto. Em particular, se não há repeti¸cão de vértices, o passeio é dito um caminho. Um passeio v1, v2, · · · , vké dito fechado quando o vértice de seu

in´ıcio coincide com o vértice de seu término, isto é: v1 = vk. Analogamente, uma trilha ou um caminho

são ditos fechados quando o vértice de in´ıcio coincide com o vértice final. Um caminho é dito hamiltoniano se é composto por uma seqüência de arestas que percorre os vértices do grafo uma e somente uma única vez.

Uma trilha é dita hamiltoniana se é um caminho hamiltoniano que, partindo de um qualquer vértice de um grafo G conexo, retorna ao vértice inicial de tal modo que, exceto para o vértice inicial, foi percorrido um caminho hamiltoniano. Assim, fica formado um circuito com todos os vértices do grafo G e, portanto, todos os vértices desse circuito têm grau igual a 2(dois). Um ciclo é um passeio fechado v1, v2, · · · , vk−1, vk,

v1 tal que v1, v2, · · · , vk ´e um caminho. Ou seja, um ciclo ´e um caminho de comprimento maior do que ou

igual a 3, em que o primeiro e o último vértices coincidem. Um ciclo simples é um caminho de comprimento maior do que ou igual a 3 em que somente o primeiro e o último vértices coincidem. O tamanho de um passeio fechado é dado pelo número de arestas que o compõem. Em particular, o comprimento de um ciclo é dado pelo seu número de vértices distintos ou, equivalentemente, de seu número de arestas. Um ciclo com um número par de arestas é dito um ciclo par, e com um número ´ımpar de arestas é dito um ciclo ´ımpar. Um grafo que não possui ciclos é dito ac´ıclico. Um grafo é conexo quando existir pelo menos um caminho entre cada par de vértices. Caso contrário é dito desconexo. Uma componente conexa é um subgrafo conexo do grafo considerado. Indicamos o número de componentes conexas de um grafo G por w(G).

Uma árvore é um grafo conexo e ac´ıclico. Uma corda em um ciclo é uma aresta que é adjacente a dois vértices não consecutivos desse ciclo. Uma corda em um caminho é uma aresta que é adjacente a dois vértices não consecutivos de um caminho.

3. Introduc¸˜ao

Quando dois ou mais grafos têm particularidades próprias entre si dizemos que eles pertencem à mesma fam´ılia de grafos. Assim, podemos definir uma fam´ılia de grafos como o conjunto (finito ou não) de todos os grafos que satisfazem a uma ou mais propriedades (as quais caracterizam essa fam´ılia) que precisam ser claramente atendidas por todos os seus elementos.

Normalmente, a defini¸c˜ao de uma fam´ılia consiste em mencionar a propriedade satisfeita pelos grafos que a constituem.

Como o conjunto de todos os grafos é infinito, o máximo que podemos afirmar é que um grafo pode pertencer a mais de uma fam´ılia, de acordo com a caracteriza¸cão a ela dada. O universo dos grafos tem sido então, largamente estudado, através de diferentes fam´ılias com suas espec´ıficas caracter´ısticas.

O grande desafio da comunidade de Teoria dos Grafos ´e:

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* encontrar condi¸c˜oes que permitam determinar o total de elementos de cada fam´ılia; e

* definir a maneira de ser poss´ıvel construir grafos que atendam `as propriedades estabelecidas para cada uma das fam´ılias. Entre essas fam´ılias podemos destacar:

* a fam´ılia dos grafos eulerianos (aqueles grafos em que ´e poss´ıvel verificar a existˆencia de um circuito(ou ciclo) que inclua exatamente uma vez cada aresta);

O problema foi estudado pela primeira vez por Euler (1707-1783) e, por essa razão um circuito que percorre cada aresta de um grafo exatamente uma vez é dito um circuito euleriano e, um grafo que possui tal circuito é então chamado de grafo euleriano.

* a fam´ılia dos grafos hamiltonianos (aqueles grafos em que é poss´ıvel verificar a existência de um circuito(ou ciclo) que inclua exatamente uma vez cada vértice);

Um circuito passando exatamente uma vez por cada vértice de um grafo é chamado de circuito hamil-toniano, em homenagem ao matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865), que estudou este problema no grafo determinado pelas arestas de um dodecaedro regular. Um grafo que possui um circuito hamiltoniano é então chamado de grafo hamiltoniano.

Há grafos que podem pertencer a mais de uma fam´ılia. Por exemplo, os grafos da fam´ılia de ciclos são eulerianos e hamiltonianos. Há outros grafos que são eulerianos e não são hamiltonianos. Há outros que são hamiltonianos mas não são eulerianos, e há outros que não são eulerianos e também não são hamiltonianos.

* a fam´ılia dos grafos planares (aqueles em que sua representa¸cão no plano seja poss´ıvel desde que atenda ao fato de que quaisquer duas arestas nunca se cruzem, podendo as arestas até ter um vértice em comum).

* a fam´ılia das árvores(aqueles grafos que são conexos e ac´ıclicos e com o menor número de arestas); * a fam´ılia dos grafos isomorfos (aqueles grafos em que há uma bije¸cão entre os conjuntos de vértices de cada um deles e de tal modo que as adjacências entre arestas fiquem preservadas, conforme a defini¸cão a seguir);

3.1. O Problema do Isomorfismo entre Grafos.

Dois grafos G1 = (V1, E1) e G2 = (V2, E2) s˜ao ditos isomorfos quando existir uma bije¸c˜ao f : V1 −→ V2

tal que, para todo v, w ∈ V1, {v, w} ∈ E1 ⇐⇒ {f (v), f (w)} ∈ E2. Ou seja: v´ertices vizinhos de G1 devem

ser mapeados (têm sua imagem) pela fun¸cão f em vértices vizinhos de G2 e vice-versa.

Exemplo 3.1.1. A fun¸c˜ao f : {1, 2, 3, 4, 5} −→ {m, n, o, p, q} tal que: f (1) = n, f (2) = q, f (3) = o, f (4) = p e f (5) = m define um isomorfismo entre os grafos G1 e G2 representados na figura a seguir.

Decidir, por exemplo, quando dois grafos finitos G1 e G2 são isomorfos é um problema de dif´ıcil solu¸cão.

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1 2 3 4 5 m n o p q

Figura 1. Dois grafos Isomorfos

biun´ıvoco os vértices dos dois grafos, preservando a no¸cão de adjacência. Inicialmente, como condi¸cão necessária para que isto ocorra é preciso que ambos os conjuntos de vértices tenham a mesma quantidade de elementos, ou seja: |V1| = |V2| = n. Caso contrário não podem existir bije¸cões de V1 em V2.

A solu¸cão da verifica¸cão da existência ou não de um isomorfismo entre dois grafos por ”for¸ca bruta” é aquela em que devemos experimentar todas as fun¸cões bijetoras existentes de V 1 para V 2 (ou parte delas) , verificando, para cada uma, se a rela¸cão de adjacência expressa pelo conjunto de arestas de G1 é

preservada no conjunto de arestas de G2. Ora, quando |V1| = |V2| = n, existem n! bije¸c˜oes distintas de V1

em V2. Assim, ser´a preciso exibir pelo menos uma, dentre as n! poss´ıveis bije¸c˜oes de G1 para G2 , o que

evidencia a ineficiˆencia deste algoritmo.

Não é conhecido até o momento, na literatura, um algoritmo eficiente

(de complexidade polinomial) que permita verificar se dois grafos quaisquer (que não pertencem a uma fam´ılia conhecida, ou essa fam´ılia não foi caracterizada no momento da verifica¸cão, ou os grafos não satisfazem à nenhuma propriedade em especial) são ou não grafos isomorfos, ou seja, um algoritmo que resolva o problema da verifica¸cão do isomorfismo. E, também, ainda

n˜ao foi provado que tal algoritmo n˜ao existe

. Para a fam´ılia das árvores o problema tem solu¸cão de forma eficiente, isto é, pode ser verificado o isomorfismo entre duas árvores, em tempo linear, no número de vértices.

3.2. Representa¸c˜ao de Grafos.

Um esquema de representa¸cão é uma maneira alternativa de exibir os grafos de uma determinada fam´ılia. O resultado obtido pela aplica¸cão de um esquema a um grafo G = (V, E), onde |V | = n e |E| = m, E = {{u, v}/u ∈ V, v ∈ V } é chamado representa¸cão para o grafo. É preciso explicitar n vértices e m pares de vértices. A partir dela, os conjuntos de vértices e arestas do grafo representado devem poder ser deduzidos sem ambigüidades.

A seguir apresentamos alguns esquemas de representa¸c˜ao:

3.2.1. O esquema de representa¸cão mais usual para grafos arbitrários é o gráfico, onde:

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* essa representa¸cão gráfica não é única.

3.2.2. - Outro esquema consiste em mencionar, para todo vértice v ∈ V , seu conjunto de vizinhos N (v), construindo um conjunto de pares da forma {(v, {N (v)})/v ∈ V }. Numa representa¸cão obtida por esse esquema são mencionadosX

v∈V

(1 + |N (v)|) = n + 2m termos.

Exemplo 3.2.2.1. Subfam´ılia dos grafos conexos cujos vértices possuem grau 2. Uma caracteriza¸cão equivalente seria dizer que os grafos integrantes desta fam´ılia são ciclos simples sem arestas interiores (cordas). Logo, grafos com n vértices desta fam´ılia possuem exatamente n arestas. O esquema de rep-resenta¸cão por vizinhos exige a nomea¸cão de n + 2n = 3n elementos. Por exemplo, considere o ciclo representado abaixo:

5

1

2

4

3

6

Figura 2

Representa¸cão por vizinhos: {(1, {2, 6}), (2, {1, 3}), (3, {2, 4}), (4, {3, 5}), (5, {4, 6}), (6, {5, 1})}. Figura 2: Um ciclo simples com 6 vértices e seu esquema de representa¸cão por vizinhos.

3.3. Um esquema alternativo mais compacto para representar os grafos de um ciclo é utilizar uma seqüência de n vértices, dispostos na mesma ordem em que figuram no ciclo: ¿ 1, 2, 3, 4, 5, 6 À. Esta repre-senta¸cão não é única pois o mesmo grafo poderia ser representado por ¿ 1, 6, 5, 4, 3, 2 À ou ¿ 2, 3, 4, 5, 6, 1 À, por exemplo.

Ao utilizarmos um esquema de representa¸cão, se cada grafo da fam´ılia possui uma única representa¸cão esta é denominada um Código. Neste caso, a correspondência entre grafos e códigos deve ser biun´ıvoca. O processo para a obten¸cão do código para um determinado grafo de uma dada fam´ılia chama-se Codifica¸cão.

A valida¸cão de um código consiste em determinar se a ele corresponde um grafo da fam´ılia, sem explicitamente exibir tal grafo. A constru¸cão expl´ıcita do grafo a partir de seu código chama-se Decodifica¸cão.

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A seguir, apresentamos algumas propriedades básicas de árvores, introduzimos alguma terminologia conveniente para trabalhar com árvores e provamos algumas fórmulas úteis de contagem sobre árvores.

4. Definições Básicas em Árvores e Árvores Enraizadas

Um dos tipos especiais de grafos mais amplamente utilizados em diferentes aplica¸cões é uma árvore. Há uma importante utiliza¸cão como modelos combinatórios em qu´ımica, ciência da computa¸cão, pesquisa operacional, ciências sociais, e muitas outras áreas da matemática aplicada. Devido à sua relativa simpli-cidade estrutural, as árvores são uma das classes de grafos mais intensamente estudadas. Portanto, gerar árvores é um importante problema computacional.

Defini¸cão 4.1. Uma árvore enraizada T é um grafo com um determinado vértice r, chamado de raiz, e pode-se provar (mais adiante será feito) que há um único caminho da raiz até qualquer dos outros vértices.

Após a defini¸cão do vértice raiz, os vértices restantes constituem um único conjunto vazio ou são divididos em k (k > 1) conjuntos disjuntos, distintos e não vazios, que são as subárvores de r, onde cada subárvore é, por sua vez, uma árvore.

Observa¸cão 4.2. Uma árvore enraizada T tem uma única raiz.

De fato.

Suponha, por absurdo, que seus vértices a e b sejam, ambos, ra´ızes de T . Então, haveria caminhos do vértice a para o vértice b e do vértice b para o vértice a, formando um ciclo, o que é uma contradi¸cão. Assim, uma vez enraizada, uma árvore tem uma única raiz.

Intuitivamente, uma árvore em Teoria dos Grafos parece-se com uma árvore real no sentido de que toda árvore pode ser desenhada com a ”aparência” de uma árvore real.

Nota¸cão: A nota¸cão Tr indica a subárvore de T com raiz em r se r é um vértice de T .

Como os conjuntos das subárvores têm de ser disjuntos observe que a estrutura indicada na Figura 3, abaixo, não é uma árvore. Podemos também observar que há dois caminhos distintos entre os vértices A e H: um caminho passando pelo vértice C e outro caminho passando pelo vértice B.

Além do mais, se uma árvore é um grafo não direcionado (sem arestas direcionadas), então, qualquer vértice pode ser a raiz da árvore. Por exemplo, considere os exemplos de árvores na Figura 4, abaixo.

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H B C E F G D A I Figura 3 a b c e f g d h i j k l

h

d

i

b

j

e

a

k

l

f

m

c

g

i

h

j

d

e

b

a

l

k

c f

m

g

Figura 4

dire¸cões das arestas são ignoradas) e um segundo caminho de a para h via g ; o acréscimo de uma aresta (−→d, a) cria um ciclo o que faz com que se tenha um segundo caminho de a para a, uma vez que já temos o caminho nulo de a para a.

4.1. Propriedades das ´arvores enraizadas.

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não direcionada que não tem raiz (no sentido de que não tem uma raiz em especial)). Uma árvore não direcionada pode ser transformada em uma árvore enraizada escolhendo-se um vértice como raiz e, então, direcionando todas as arestas saindo da raiz. Em uma árvore T = (V, E), qualquer vértice pode ser eleito como raiz, tornando-a enraizada.

Uma árvore cuja raiz não é determinada a priori é simplesmente chamada uma árvore livre. Essas defini¸cões são usadas para árvores enraizadas e não enraizadas.

Por exemplo, para enraizar a árvore não direcionada que está no meio na Figura 4, no vértice a, simplesmente podemos direcionar todas as arestas da esquerda para a direita.

O modo padrão de desenhar uma árvore enraizada T é colocar a raiz a no topo da figura. Então os vértices adjacentes de a são colocados num n´ıvel abaixo do n´ıvel de a, e assim por diante, como na primeira árvore da Figura 4. Dizemos que a raiz está no n´ıvel 0, os vértices b e c naquela árvore estão no n´ıvel 1, os vértices d, e, f , e g naquela árvore estão no n´ıvel 2 e assim por diante. Para qualquer vértice x em T , exceto a raiz, o pai de x é o único vértice y com uma aresta para x (o mais próximo do último vértice no caminho único de a para x). Reciprocamente, o vértice x é um filho do vértice y. Se dois vértices têm o mesmo pai, eles são irmãos. Na primeira árvore da Figura 4, o vértice e tem o vértice b como seu pai, os vértices h e i como seus filhos, os vértices d e f como seus irmãos, o vértice a como seu outro ancestral, e o vértice l como seu outro descendente. Os ancestrais de um vértice v em uma árvore enraizada são todos os vértices no (único) caminho simples entre a raiz e v (incluindo o próprio vértice v). A raiz é, portanto, um ancestral comum a todos os vértices. Um vértice w é descendente de v se, e somente se, v for ancestral de w. A rela¸cão pai-filho se estende aos ancestrais e descendentes de um vértice.

Seja n o vértice raiz da subárvore Tn de T . Os vértices ra´ızes n1, n2, · · · , nk das subárvores de Tn são

chamados de filhos de n e n é o pai destes vértices, que são vértices irmãos entre si. Se z é filho de n1

então n2 é tio de z e n é avô de z. O grau de uma árvore é o máximo entre os graus de seus vértices.

Denomina-se caminho numa árvore a uma seqüência de vértices distintos v1, v2, · · · , vk−1, vk, de modo que

exista sempre a rela¸cão ”vi é pai de vi+1” ou ”vi é filho de vi+1” entre vértices consecutivos, isto é, entre

v1 e v2, entre v2 e v3, · · · , entre vk−1 e vk. Diz-se que v1 alcan¸ca vk e que vk ´e alcan¸cado por v1, quando

há um único caminho entre os vértices v1 e vk. Um caminho de k vértices é obtido pela sequência de k − 1

pares de v´ertices. Nesse caso o caminho ´e dito de comprimento k − 1.

Definimos o número do n´ıvel ou profundidade de um vértice x em M como o comprimento do único caminho do vértice a para o vértice x, ou seja, é o número de vértices do caminho entre a raiz e o vértice. O n´ıvel de um vértice é o número de ancestrais que ele possui. O n´ıvel da raiz (ou profundidade de uma árvore) é, portanto, igual a 1. Na Figura 4, o comprimento do caminho entre o vértice a e o vértice h é 3. Cada vértice x em T é a raiz da subárvore de x e seus descendentes. O número de filhos de um vértice x é chamado grau de sa´ıda desse vértice, e indicado por d+

(x). Se um vértice u pertence à subárvore Tv

(v é a raiz de Tv ), então u é descendente de v e v é dito ancestral ou antecessor de u. Se, neste caso, u

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possui descendentes próprios (vértices sem filhos) é chamado de vértice folha. Ou seja, um vértice folha é aquele com grau de sa´ıda nulo. Assim, um vértice v tal que d(v) = 1 é chamado folha.

Um vértice que não é folha é chamado vértice interior ou vértice interno. Se cada vértice interno de uma árvore enraizada tem m filhos, a árvore T é chamada de árvore m-ária. Se m = 2, a árvore T é dita uma árvore binária e se m = 3, T é uma árvore ternária.

A altura de um vértice v é o número de vértices no maior caminho de v até um de seus descendentes. Assim, as folhas, por defini¸cão, têm altura igual a 1. A altura de uma árvore T é igual ao máximo n´ıvel de seus vértices. Representa-se a altura de T por h(T ) e a altura da subárvore de raiz v por h(v).

Uma árvore ordenada é aquela na qual os filhos de cada vértice estão ordenados. Assume-se a ordena¸cão da esquerda para a direita. Desse modo, a árvore da Figura 3 é ordenada. Entretanto, o mesmo não ocorre com a árvore da Figura 5.

Figura 5. ´Arvore n˜ao ordenada

5. Diferentes Caracterizaç ões das árvores

As árvores têm muitas caracteriza¸cões equivalentes. Apresentaremos aqui 3(três) delas.

5.1. Primeira caracteriza¸c˜ao de ´arvores.

Defini¸cão 5.1.1. Um grafo conexo e sem ciclos (ac´ıclico) é dito uma árvore e será indicado por T = (V, E) (quando for preciso fazer referência aos respectivos conjuntos de vértices e arestas) ou simplesmente por T , uma referência do inglês ”tree”

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Defini¸cão 5.1.2. Um grafo sem ciclos é dito uma floresta. Assim, uma árvore é uma floresta com um ´

unico grafo conexo: ela mesma. E cada componente conexa de uma floresta ´e uma ´arvore.

A seguir, apresentamos alguns resultados derivados dessa primeira caracteriza¸c˜ao das ´arvores.

Teorema 5.1.3. Um grafo T é uma árvore se e somente se todo par de vértices de T é unido por um ´

unico caminho.

Prova:

Seja T uma ´arvore.

Suponha, por contradi¸c˜ao, que existem dois caminhos distintos P1 e P2 entre os v´ertices v e w de T .

Como os caminhos são distintos, existem vértices t1 e t2 tais que as se¸cões de P1 e P2 entre t1 e t2 são

totalmente disjuntas. Logo, considerando a uni˜ao dessas se¸c˜oes (P1(t1− t2) ∪ P2(t1− t2)), temos um ciclo.

Isso é uma contradi¸cão! Logo, se T é uma árvore, para todo par de vértices de T existe um único caminho entre eles.

P

1

v

w

P

2

P

1

v

w

t

1

t

2

P

2 Figura 6

Suponha agora que para todo par de vértices de T existe um único caminho entre eles. Logo, T é conexo. Falta então, agora, mostrar que T é grafo ac´ıclico. Suponha que T é c´ıclico, ou seja, que T contém algum ciclo bC.

u

v

C

Figura 7

Seja e = (u, v) uma aresta no ciclo bC. Então, bC − (u, v) é um caminho em T entre u e v, contradizendo a hipótese de que o caminho era único. Portanto, T é conexo e ac´ıclico e então, por defini¸cão, T é uma árvore.

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Prova:

Seja T = (V, E) tal que |V | = n, |E| = m. Vamos fazer a prova por indu¸cão no número de vértices de T . Para n = 1, temos que: m = 0 = n−1 = 1−1. Verdadeira para n = 1. Suponha como hipótese de indu¸cão que o resultado é válido para toda árvore com menos do que n vértices, e para n > 1. Então, T possui pelo menos uma aresta e = {v, w}. Se removermos a aresta e de T teremos duas componentes conexas T1 e T2,

sendo ambas ´arvores e o grafo T com menos de n v´ertices. Seja |V (t1)| = n1 ; |E(t1)| = m1 ; |V (t2)| = n2

; |E(t2)| = m2 Logo, a hip´otese de indu¸c˜ao vale para T1 e para T2, ou seja: m1 = n1 − 1 e m2 = n2− 1.

Mas, |V (t)| = n = (|V (t1)| = n1) + (|V (t2)| = n2) = n1 + n2|E(t)| = m = |E(t1)| + |E(t2)| + 1 =

n1 − 1 + n2− 1 + 1 = n1+ n2− 1 = n − 1. Ent˜ao, o resultado vale para toda ´arvore com n elementos,

n > 1.

Lema 5.1.5. Seja T = (V, E) uma árvore. As afirma¸cões seguintes são equivalentes: 1. T é uma árvore.

2. T é conexo e |E| é m´ınima. 3. T é ac´ıclico e |E| = |V | − 1. 4. T é conexo e |E| = |V | − 1.

5. T ´e ac´ıclico e para todo v, w ∈ V , a adi¸c˜ao de uma aresta v,w produz um grafo contendo exatamente um ciclo.

6. T ´e conexo e para toda aresta e = {u, w} em E, o grafo G1 = G − {{u, w}} ´e desconexo.

7. Para quaisquer vértices u e w em V , o caminho de u a w é único.

Prova:

1 =⇒ 2: Se T é árvore, T é conexo e ac´ıclico, e o número m´ınimo de arestas é n − 1, pois, caso contrário, T seria desconexo (um caminho é o grafo conexo com o menor número de arestas e, sendo o número de vértices igual a n, há n − 1 arestas nesse caminho);

2 =⇒ 3: Como T é conexo e |E| é m´ınima, T é ac´ıclico, pois a existência de qualquer ciclo implica que |E| não seja m´ınima. A retirada de uma aresta e = u, w de T implica que T1 = T − {{u, w}}

é grafo desconexo com duas componentes conexas, pois, caso contrário, a inclusão da aresta em T formaria um ciclo. Procedendo à retirada das arestas de T , uma a uma, ter´ıamos, ao final, a forma¸cão de n componentes conexas (o máximo poss´ıvel) com a retirada de n − 1 arestas. Assim: m = |E| = |V | − 1;

3 =⇒ 4: Suponha que T é ac´ıclico e m = |E| = n − 1. Suponha, por absurdo, que T é desconexo. Logo, T no m´ınimo tem duas componentes conexas C1 e C2. Sejam os vértices u e w,

respectivamente, de C1 e C2. A inclusão da aresta e = u, w à T não cria um ciclo e torna T conexo.

Se T tem k componentes conexas, inclui-se k − 1 arestas como visto antes, e, da´ı, T é conexo. Nesse caso, o total de arestas será m = n − 1 + (k − 1) o que é absurdo, pois por hipótese, m = n − 1. Logo, T é conexo e m = n − 1;

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(a) Suponha que T ´e conexo e m = |E| = n − 1. Suponha, por absurdo, que C1 e C2 s˜ao ciclos

em T . Ao retirar duas arestas, uma de cada ciclo, T continuará conexo e m = n − 1 − 2 6 n − 1. Contradi¸cão, pois m é m´ınima. Logo, T é ac´ıclico;

(b) Seja e = u, w uma aresta a ser adicionada a T . Como T é conexo, havia um caminho entre os vértices u e w e a inclusão da aresta e = u, w cria um ciclo em T . Como T é ac´ıclico (parte (a)), esse ciclo criado é único;

5 =⇒ 6: (a) A primeira parte vem de 3 4. Logo, para todo apr de v´ertices u e w de V , h´a um ´

unico caminho entre u e w. A retirada de qualquer aresta {v, t} no caminho entre dois quaisquer v´ertices u e w, desconecta o grafo T , ou seja, T − {{v, t}} ´e desconexo;

6 =⇒ 7: Suponha que dois quaisquer vértices u e w de T estejam unidos por mais de um caminho em T . Assim, a retirada de qualquer aresta de um dos caminhos entre u e w não torna o grafo desconexo, o que contraria a hipótese. Logo, o caminho entre dois vértices quaisquer em T é único; 7 =⇒1: Suponha que para todo par de vértices u e w em V , o caminho entre u e v é único. Logo, por defini¸cão, T é conexo. Como o caminho entre u e v é único, não há um ciclo contendo u e w em T . Logo, T é ac´ıclico. Da´ı T é árvore, por defini¸cão.

Teorema 5.1.6. (do aperto de m˜aos) Seja G = (V, E) grafo tal que |V | = n e |E| = m. Ent˜ao X

v∈V

d(v) = 2m.

Prova: cada aresta (v, w) contribui com 2(duas) unidades para a soma dos graus dos vértices (uma unidade para d(v) e uma unidade para d(w)). Logo, a soma total é duas vezes o número de arestas.

Observa¸cão: Esse teorema é também válido para multigrafos.

Corolário 5.1.7. Em qualquer grafo G, a soma dos graus de seus vértices é par.

Prova: ´E imediato, pois X

v∈V

d(v) = 2m, e 2m ´e par.

Corolário 5.1.8. Em qualquer grafo G = (V, E), o número de vértices de grau ´ımpar é par.

Prova: Sejam VP = {v ∈ V / d(v) é par} e VI = {v ∈ V / d(v) é ´ımpar}. É claro que V = VP ∪ VI e

VP ∩ VI = φ. Al´em disso: X v∈VP∪VI d(v) =X v∈V d(v) = X v∈Vp d(v) +X v∈VI

d(v) = 2m Logo, o n´umero de parcelas

de grau ´ımpar (ou o número de vértices de grau ´ımpar) é par.

Lema 5.1.9. Em uma ´arvore T = (V, E), X

v∈V

d(v) = 2m = 2n − 1 , onde n = |V |.

Prova: Imediato, pois qualquer aresta u, w de um grafo tem o grau de seus v´ertices extremidades u e w contados duas vezes: uma com os vizinhos de u e outra com os vizinhos de w, e pelo Lema 5.1.5, m = n − 1.

(13)

Teorema 5.1.11. Toda ´arvore n˜ao trivial, ou seja, |V (T )| > 2 tem pelo menos duas folhas.

Prova: Todo grafo conexo com pelo menos dois vértices tem uma aresta. Considere um caminho maximal em uma árvore. Os vértices extremos desse caminho são necessariamente de grau 1 (pois se não fossem de grau 1, o caminho poderia ser prolongado e então não mais seria um caminho maximal). Logo, os vértices extremos desse caminho são duas folhas de T .

Lema 5.1.12. Seja T = (V, E) uma árvore com n vértices e v uma folha de T . Então, T − v é uma árvore com exatamente n − 1 vértices.

Prova: Seja v uma folha de T e T1 = T − v. Sejam u e w ∈ V (T ), u 6= v, w 6= v e P um caminho

entre u e w. É claro que v não está em P . Logo, P é também um caminho em T1. Logo T1 é conexo. A

remo¸cão do vértice v não cria ciclos em T1. Logo, T1 é uma árvore com n − 1 vértices.

Defini¸cão 5.1.13. O centro de uma árvore é definido como C(T ) = {v ∈ V (T )/ e(v) é m´ınima}. Essa é uma particular defini¸cão do centro de um grafo, como anteriormente já visto.

Teorema 5.1.14 (Jordan 1869). O centro de uma árvore T tem exatamente um vértice ou exatamente dois vértices adjacentes entre si.

Prova: Vamos fazer a prova por indu¸cão no número de vértices de T . Se |V (T )| = 1, então C(T ) = v e, assim: |C(T )| = 1. Se |V (T )| = 2, então V (T ) = u, v e, assim: |C(T )| = 2.

Logo, a proposi¸c˜ao ´e verdadeira para n = 1 e para n = 2.

Suponha, então, o resultado verdadeiro para toda árvore com menos do que n vértices, sendo n > 2. Seja T qualquer árvore com n vértices. Seja F = {vV (T )/d(v) = 1}, ou seja: F é o conjunto das folhas de T . Seja T1 = T − F .

Pelo Lema 5.1.9, T1 é uma árvore com menos do que n vértices (logo, a hipótese de indu¸cão se aplica a

T1).

Observe que para todo vértice u ∈ V (T ), o vértice que está a uma distância máxima de u é necessari-amente uma folha, pois T é grafo conexo. Logo, os vértices de excentricidade máxima são as folhas e, então,C(T ) ∩ F = φ.

Como todas as folhas foram removidas de T e nenhum caminho entre dois vértices interiores de T passam por folhas, temos que eT1(u) = eT (u) − 1. Ou seja, os vértices de excentricida de m´ınima em T1 são iguais

aos v´ertices de excentricidade m´ınima de T . Temos, ent˜ao, que: C(T ) = C(T1) e, logo, vale o resultado

para T , n > 1.

Defini¸cão 5.1.15. Dada uma árvore T = (V, E), uma raiz de T é qualquer vértice v de T escolhido e chamado, a partir da escolha, de raiz. A árvore T passa a ser dita, então, uma árvore enraizada.

(14)

r Figura 8 Exemplo 5.1.16.1.

e

removendo

a aresta

e

G

w

(G) = 2

w

(G - e) = 3

u

v

Figura 9

Teorema 5.1.17. Uma aresta e ´e uma ponte de G se e somente se n˜ao existir ciclo contendo a aresta e.

Prova: Seja e = {v, w} ∈ E(G) uma ponte de G. Logo, ω(G − e) > ω(G) e, além disso, v e w , os vértices extremos da aresta e estão em componentes conexas distintos. Suponha, por contradi¸cão, que existe um ciclo ω contendo a aresta e. Logo, ω − e é um caminho entre v e w em G − e, contradizendo o fato de que estavam em componentes conexas distintas.

v

e

w

C - e

Figura 10

Suponha, agora, que n˜ao existe um ciclo contendo a aresta e

(15)

v

e

w

P

Figura 11

Corolário 5.1.18. Seja G = (V, E) um grafo conexo. T é uma árvore se e somente se cada aresta de T for uma ponte.

Prova: Suponha que T é uma árvore. Logo, por defini¸cão, T é grafo conexo e ac´ıclico e, portanto, pelo Teorema 5.1.17, toda aresta de T é uma ponte. Por outro lado, suponha que toda aresta de T é uma ponte. Da´ı, pelo mesmo Teorema, não existe ciclo em T que contenha qualquer aresta de T e então T é ac´ıclico e conexo. Portanto,T é uma árvore.

5.2. Segunda caracteriza¸cão de árvores. Essa caracteriza¸cão envolve a no¸cão de folhas. Como visto anteriormente, uma folha de um grafo G é um vértice de grau 1. É claro que toda árvore com mais de um vértice tem pelo menos dois vértices folhas.

Uma caracteriza¸cão recursiva de árvores é: Um grafo G (tendo um vértice folha v), com tamanho n > 1, é uma árvore se e somente se removendo-se a folha v e a única aresta incidente na folha v, o grafo remanescente é uma árvore de tamanho n − 1.

Os vértices sem filhos de uma árvore T são chamados folhas de T . Todos os outros vértices (com filhos) são chamados vértices internos de T . Se cada vértice interno de uma árvore enraizada tem m filhos, a árvore T é chamada de árvore m-ária.

Uma árvore enraizada é uma árvore com um vértice, a raiz, que será distinta dos outros vértices. Duas árvores enraizadas são consideradas isomorfas se e somente se existe uma bije¸cão entre elas que preserva adjacências correspondentes entre as arestas e, a raiz de uma é levada na raiz da outra.

Existem exatamente nn−2 _{árvores rotuladas com n vértices. Esse resultado, devido à Cayley, é um dos}

mais célebres resultados em Teoria dos Grafos. Existem muitas provas para ele, uma delas devido à Prüfer, que usa um particular código para representar árvores rotuladas, conhecido como Código de Prüfer. Mais adiante veremos em detalhes como obter esse código e provar esse resultado. Usando a caracteriza¸cão recursiva de árvores mencionada acima, é fácil mostrar que é poss´ıvel determinar a árvore rotulada cujo código é a seqüência de rótulos fornecida.

5.3. Terceira caracteriza¸c˜ao de ´arvores.

Teorema 5.3.1. - Uma ´arvore com n v´ertices tem n-1 arestas.

(16)

Teorema 5.3.2. Uma árvore m-ária T com k vértices internos tem n = mk + 1 vértices no total.

Prova: Cada vértice interno tem m filhos. Assim há mk filhos mais o vértice não-filho, a raiz. Logo, há mk + 1 vértices no total.

Corolário 5.3.3. Seja T uma árvore m-ária. Então temos: (a) Se T tem k vértices internos, ela tem j = (m − 1)k + 1 folhas. (b) Se T tem j folhas, ele tem k = j − 1

m − 1 v´ertices internos e

mj − 1

m − 1 v´ertices no total. (c) Se T tem n v´ertices no total, ela tem n − 1

m v´ertices internos e

(m − 1)n + 1

m folhas.

Prova:

(a) Sabemos que o total de vértices (n) é igual à soma dos vértices internos (k) com as folhas (j). Logo: j = n − k. Mas n = mk + 1 do Teorema. Da´ı: j = n − k = mk + 1 − k = (m − 1)k + 1.

(b) De (a), tem-se: j = (m − 1)k + 1. Logo, j − 1 = (m − 1)k. Da´ı: k = j − 1

m − 1 e como n = j + k , ent˜ao n = j + j − 1 m − 1 = mj − 1 m − 1 . (c) De n = j + k, vem: k = n − j = n − {(m − 1)k + 1} = n − (m − 1)k − 1. Logo: k + (m − 1)k = n − 1. Da´ı: k(1 + m − 1) = n − 1. Ou seja: k = n − 1 m .

6. Problemas simples envolvendo o estudo das ´arvores

6.1. Introdu¸cão. Nesta se¸cão utilizamos as fórmulas de contagem demonstradas na se¸cão anterior e aplicamos essas fórmulas em alguns problemas de decomposi¸cão. A seguir, mostramos como as árvores podem ser usadas para decompor e sistematizar a análise de vários problemas de busca. Essas fórmulas de contagem serão bastante úteis nas se¸cões seguintes, quando da discussão de particularidades sobre as árvores binárias.

6.2. Problemas simples.

6.2.1. O problema de uma cadeia de telefones.

Suponha que uma cadeia de telefones seja instalada por uma empresa que tenha 100 funcionários. Ela é ativada por um l´ıder que liga para um escolhido grupo de três pessoas. Cada uma dessas três pessoas liga para grupos escolhidos de três outras pessoas, e assim por diante. Quantas liga¸cões serão feitas ao todo? Quantas pessoas não terão que fazer nenhuma liga¸cão?

Solu¸cão: Tal cadeia telefônica é uma árvore enraizada com 100 vértices. Uma aresta corresponde a uma liga¸cão. Então, pelo Teorema 5.3.1, haverá 100 − 1 = 99 liga¸cões.

Uma vez que a árvore é ternária (3-ária), do Corolário 5.3.3 parte (c), tem-se que há k = (3 − 1)100 − 1

3 =

67 folhas. Isto é, 67 pessoas não farão nenhuma liga¸cão.

6.2.2. O problema do torneio de tˆenis_.

(17)

CAMPEÃO

Figura 12. ´Arvore de um torneio de tˆenis.

Solu¸cão: torneio se desenrola de um modo binário contrário (semelhante a uma árvore) mas a constru¸cão da árvore se faz no sentido contrário: das folhas para a raiz da árvore, como pode ser visto na Figura 7.

Todos os participantes são folhas e as partidas são os vértices internos. Pelo Corolário parte (b), se há j = 56 folhas e a árvore é binária, então há k = 56 − 1

2 − 1 = 55 partidas a serem disputadas.

Como visto anteriormente, a altura de uma árvore enraizada é o comprimento do caminho mais longo, ou, equivalentemente, o maior número de n´ıvel indicado para qualquer vértice. Uma árvore enraizada de altura h é chamada equilibrada se todas as folhas estão nos n´ıveis h e h − 1. Árvores equilibradas são ”boas” árvores. A árvore da cadeia de telefones do problema 6.2.1 deveria ser equilibrada de modo a fazer chegar a mensagem a todos os funcionários o mais rápido poss´ıvel. Uma árvore de torneio de tênis, como do problema 6.2.2, deveria ser equilibrada para ser justa; de outra forma, alguns jogadores poderiam chegar às finais jogando menos partidas que outros jogadores. Na prática, em Torneios do Grand Slam, os melhores jogadores, segundo um ranking anual, só come¸cam a jogar a partir da segunda rodada, ou seja, são vértices internos sem terem sido folhas. Tornando-se uma árvore m-ária equilibrada, minimiza-se sua altura, como veremos a seguir.

Teorema 6.2.3Considere T uma árvore m-ária de altura h. Então: (a) T tem no máximo mh _{folhas; (b)}

se T tem j folhas, então tem altura h > [log jm]; (c) se T é uma árvore equilibrada, então h = [log jm] .

Prova: É claro que uma árvore m-ária de altura igual a l tem m folhas (os filhos da raiz). Agora vamos usar indu¸cão para mostrar que uma árvore m-ária de altura h, tem no máximo, mh _{folhas. As}

(18)

da raiz. Estas m sub-árvores têm altura de no máximo h − 1. Por indu¸cão, elas têm no máximo mh−1

folhas cada uma ou no m´aximo m.mh−1 _{= m}h _{folhas no total. A segunda parte do Teorema, agora segue}

imediatamente (basta lembrar que h = [log jm] implica em que mh−1 < j 6 mh).

Exerc´ıcio 6.2.4 Mostre que a soma dos números de n´ıvel de todas as j-folhas, numa árvore binária, é pelo menos j(log2j) e, portanto, o n´ıvel médio de folhas é pelo menos log2j.

Um dos usos mais comuns da aplica¸cão de árvores é em procedimentos de testagens seqüenciais. Os dois procedimentos de testagem seqüenciais mostrados a seguir (um deles um problema básico de ciência da computa¸cão e o outro um quebra-cabe¸ca de lógica), ilustram a variedade de tais aplica¸cões de árvores.

6.2.5 - O problema da busca de dicion´ario

Examinemos o problema do compilador ”busca no dicionário”. Queremos identificar uma palavra des-conhecida (número) X testando-a em um ramo de 3 caminhos indicados por: menor que, igual a e maior que, contra ”palavras” num conjunto (dicionário) ao qual X pertence. O procedimento de teste pode ser representado por uma árvore binária, ou quase binária. Por exemplo, se X fosse uma das 14 primeiras letras do alfabeto, então a Figura 8 seria a tal árvore binária de busca. Cada vértice é rotulado com a letra testada naquele estágio do procedimento. O procedimento come¸ca por testar X contra H. A aresta à esquerda de um vértice é colocada quando X é menor que a letra e a aresta da direita quando X é maior. Tal árvore pode ter um vértice interno com apenas um filho se o número de vértices for par. Para minimizar o número de testes necessários de modo a reconhecer qualquer X, ou seja, minimizar a altura da árvore de busca, devemos tornar a árvore equilibrada. Suponha que X pertence a um conjunto de n ”palavras”. Qual o número máximo de testes que seriam necessários para reconhecer X?

H

D

L

B

F

J

N

A

C

E

G

L

K

M

Figura 13. ´Arvore de teste da busca do dicion´ario.

(19)

Pelo Corolário 5.3.3, uma árvore binária de busca com n vértices tem (2 − 1)n + 1

2 = 2

n + 1

2 folhas. Então, o número máximo de testes necessários para reconhecer X é a altura de uma árvore de busca equilibrada de n + 1

2 folhas, ou seja: h = log2 n + 1

2 = log2[(n + 1)] − 1.

6.2.6 - O Problema do quebra-cabe¸ca

Um quebra-cabe¸ca de lógica, muito conhecido, tem n moedas, sendo uma delas falsa (muito leve ou muito pesada em rela¸cão às outras n − 1 moedas) e uma balan¸ca para comparar o peso de quaisquer dois conjuntos de moedas (a balan¸ca pode inclinar-se para a direita, para a esquerda ou ficar equilibrada).

O problema a ser resolvido ´e: para um dado valor de n, determinar um procedimento para encontrar a moeda falsa realizando-se um n´umero m´ınimo de pesagens.

Em algumas varia¸cões deste problema, o enunciado informa que a moeda falsa é muito pesada ou leve demais. Se, a priori, sabemos que a moeda falsa é muito leve, quantas pesagens serão necessárias, no m´ınimo, para um conjunto com n moedas?

Solu¸c˜ao:

Nosso procedimento para testagem vai formar uma árvore na qual o primeiro teste é a raiz da árvore. Os demais outros testes são os outros vértices internos, e as solu¸cões, isto é, qual moeda é falsa, são as folhas.

Consideremos para a ilustra¸cão que será feita (veja a Figura 9), a testagem para oito moedas (numeradas de 1 a 8), onde a forma¸cão da árvore obedecerá:

1 seguir pela aresta da esquerda quando o conjunto de moedas da esquerda, numa testagem, ´e mais leve; 2. seguir a aresta do meio quando os dois conjuntos de moedas tˆem o mesmo peso;

3. seguir pela aresta da direita quando o conjunto de moedas da direita ´e mais leve.

1 2 3

6 7 8

1

3

4

5

6

8

1

2 3 4

5 6 7

8

9 1 2 3

6 7 8

1

3

4

5

6

8

1

2 3 4

5 6 7

8

9

Figura 14. ´Arvore de teste com 8 moedas.

(20)

haverá n folhas, isto é, n diferentes possibilidades de qual moeda é a falsa. O Teorema 6.2.3 garante que a árvore de teste deve ter altura maior do log2n que para conter n folhas. Não é automático que exista um

procedimento de teste que possa alcan¸car o limite de altura . Para o problema da moeda falsa sendo mais pesada ou mais leve, este limite pode ser alcan¸cado dividindo-se sucessivamente o subconjunto corrente, onde se sabe estar a moeda falsa, em trˆes pilhas quase iguais e comparando-se duas das pilhas de mesmo tamanho.

Se a moeda falsa não pode ser identificada, a priori, como mais leve ou mais pesada, então o problema seria muito mais dif´ıcil. Uma determinada moeda irá, geralmente (mas não sempre), aparecer em duas folhas da árvore de teste: uma vez quando a moeda for mais leve e outra vez quando for mais pesada. A Figura 9 ilustra o problema comentado.

6.2.6 - O Problema do compilador

Esse problema é um exemplo de constru¸cão de árvore de baixo para cima, come¸cando por um conjunto de folhas.

Ao construir uma tabela de s´ımbolos, um compilador inicialmente lista um grande número de diferentes nomes de variáveis usados pelo programa (e outros nomes extras gerados pelo compilador). Mais tarde, o compilador combina repetidamente dois nomes ou dois subconjuntos de nomes que deverão ser atribu´ıdos a um mesmo lugar na memória (em várias sub-se¸cões do programa, nomes diferentes são usados para a mesma variável). Considerando que um certo nome de variável possa ser submetido em diversas rodadas, sendo renomeado e combinado com outros nomes, não é eficaz mudar um nome a cada vez que ele é combinado. Ao invés disso, pode-se construir árvores como é mostrado nas Figuras 10. Se os nomes A e B são equivalentes e ambos deveriam ser uma variável chamada A, combinamos as folhas A e B em uma árvore, como mostrado na Figura 10, tomando A como raiz. Se A e B são combinados com o novo nome A0

e depois A0

´e combinado com C, e agora tanto A0

quanto C são equivalentes e agora chamados C, constru´ımos a árvore mostrada na Figura 10. Seguindo para cima até o topo da árvore, pode-se determinar o nome atual de qualquer nome original. Seja COMB(W ; X; Y ) a opera¸cão de combinar os conjuntos de variáveis atualmente chamadas X e Y em uma variável chamada W. Suponha que iniciamos com nomes de variáveis A, B, C, D, E, F, G e sucessivamente serão feitas as seguintes opera¸cões: COMB(E; E, G), COMB(B0 ; B, C), COMB(D0 ; D, F ), COMB(B0 ; B0 , E), COMB(A0 ; A0 , B0

). Então ter´ıamos a fam´ılia de árvores mostrada na Figura 10. Por exemplo, a variável originalmente chamada G é agora chamada A0

(como s˜ao A, B, C, e E).

7. Resultados teóricos envolvendo o estudo sobre Árvores 7.1. Árvores Geradoras.

(21)

(a) A _B B A (b) B C A _B A´ A _B C A´ C B A ( c ) A´ A B´ B C E G A A _A

Figura 15. Procedimentos de um compilador

gerador minimal conexo de um grafo G conexo onde qualquer aresta que seja recolocada na ´arvore, forma um ciclo em G.

G T

Figura 16

Corol´ario 7.1.2. Todo grafo conexo G possui uma ´arvore geradora.

Prova: Seja T um subgrafo gerador minimal conexo de G em rela¸cão à propriedade de ser conexo e em rela¸cão à quantidade de arestas. Assim, T é conexo por constru¸cão. Vamos mostrar que T é ac´ıclico.

Suponha que T não seja ac´ıclico e seja bC um ciclo de T , e seja e uma aresta de bC. Logo, pelo Teorema 5.1.14, a aresta e não é uma ponte de T .

(22)

Corolário 7.1.3. Se G é grafo conexo então m > n − 1, onde |E(G)| = m e |V (G)| = n.

Prova: Seja G um grafo conexo. Então, pelo Corolário 7.1.2, G tem uma árvore geradora T e, portanto, tem-se que: m = |E(G)| ≥ |E(T )| = |V (T )| − 1 = ∗n − 1. Da´ı m > n − 1. A igualdade ∗ vem da Defini¸cão 7.1.1

Teorema 7.1.4. Seja T uma árvore geradora de G e uma aresta c ∈ E(G) − E(T ). Então, T + e contém exatamente um ciclo.

Prova: Seja T uma árvore geradora de G.Sabemos que é um subgrafo gerador minimal conexo de G e, portanto, a inclusão de uma aresta c ∈ E(G) − E(T ) gera um ciclo em T e esse ciclo, necessariamente, contém a aresta e.

v

e

w

C - e

Figura 17

Seja bC um ciclo de T + e contendo a aresta e. Temos que bC − e é um caminho em T entre os extremos da aresta e. Logo, esse caminho é único.

Portanto, o ciclo que contém a aresta e, é único, ou seja, T + e contém exatamente um ciclo.

Defini¸cão 7.1.5. Se T é uma árvore geradora de G então T (G) = (V, E(G) − E(T )) é chamado de co-árvore de G.

Exemplo

G

T

_T

(G) é co-árvore de G

Figura 18

Teorema 7.1.6. Seja G um grafo conexo, T uma árvore geradora de G e uma aresta e de G. Então: (i) T (G) não contém cortes de arestas de G;

(23)

Prova:

(i) Uma co-árvore T (G) não pode conter um corte de arestas de G, porque mesmo retirando todas as arestas de , o grafo G permanece conexo, pois restarão as arestas de T , que é uma árvore geradora de G. (ii) Seja e uma aresta de T tal que T − e é desconexo. Logo, a aresta e é ponte de T . Sejam S e S os conjuntos de vértices dos componentes conexos de T − e respectivamente. Assim, como [S, S] é um corte de arestas de G, por defini¸cão, e é minimal. De fato: [S, S] − e não é um corte por (i). Ou seja, B = [S, S] − e ⊂ T (G) + e. Tome qualquer aresta e0

∈ B. T − e + e0

é ainda uma árvore geradora m´ınima de G, Logo, todo corte minimal de G contido em T (G) + e deve incluir essa aresta e. Logo, B é o único corte minimal de G.

S

e

G

T

T- e

(G)+ e

(G)- e

e

T

S

Figura 19 [S, S] = T (G) + e.

Observa¸cão 7.1.7. Observe que existe uma analogia entre ciclos x árvores e corte minimais x co-árvores, a saber:

ciclos x árvores cortes minimais x co-árvores T não contém ciclos. T (G) não contém cortes minimais

T + e contém um único ciclo. T (G) + e contém um único corte minimal de G.

Teorema 7.1.8. Em uma árvore T , não trivial, um vértice v ∈ V (T ) é articula¸cão se e somente se v não é uma folha de T .

Prova: Seja T uma árvore não trivial. Seja v ∈ V (T ) uma articula¸cão. Então existem dois vértices u e w de T , tal que todo caminho entre os vértices u e w contém o vértice v. Logo, d(v) > 1. Então, v não é uma folha de T .

(24)

Corolário 7.1.9. Todo grafo conexo G, não trivial, possui pelo menos dois vértices que não são artic-ula¸cões.

Prova: Seja G um grafo conexo. Pelo Corolário 7.1.2, G possui uma árvore geradora T . E sabemos que T tem pelo menos duas folhas. Sejam v1 e v2 essas folhas. Pelo Teorema 7.1.8, v1 não é uma articula¸cão.

Logo, ω(T − v1) = ω(T ) = 1. Mas T − v1 ´e uma ´arvore geradora de G − v1 e ω(G − v1) 6 ω(T − v1) = 1.

Logo, ω(G − v1) = ω(G) = 1, ou seja, v1 não é articula¸cão de G. De maneira análoga, v2 não é articula¸cão

de G. Logo, vale o Corol´ario.

8. Codificação e Decodificação de Árvores

8.1. Introdu¸cão. Neste parágrafo apresentamos conceitos teóricos sobre codifica¸cão e decodifica¸cão de árvores. Apresentamos o Código de Prüffer e mostramos sua utiliza¸cão na codifica¸cão e decodifica¸cão em árvores, as formas de armazenamento de árvores na memória do computador e a seguir mostramos como as árvores podem ser usadas para decompor e sistematizar a análise de vários problemas de busca. 8.2. Os problemas de Gera¸cão e Contagem de Grafos.

Como dissemos no Parágrafo 2, o estudo de propriedades dos grafos de forma segmentada por diferentes fam´ılias ganha importância na Teoria dos Grafos e têm proporcionado avan¸cos significativos na solu¸cão de diferentes problemas reais que tomam elementos particulares dessas fam´ılias como modelos de estudo.

Diferentes problemas de natureza combinat´oria s˜ao levantados sobre uma particular fam´ılia de grafos. Dentre esses, aqueles que tratam:

I) da contagem do número de elementos da fam´ılia, ou seja: o de determinar qual o número total de grafos distintos de uma fam´ılia claramente definida que podem ser constru´ıdos com um número finito n de vértices.

De grande importância também para estudos de caráter combinatório é o de verificar dentre todos os grafos contados numa fam´ılia com número finito de elementos quantos são e quantos não são isomorfos entre si, procurando subdividi-los em subclasses não isomorfas. É claro que, também para fam´ılias de quantidades infinitas de grafos, essa subdivisão em subclasses respeitando-se o isomorfismo é de grande importância para caracterizar propriedades.

II) o problema de criar condi¸cões que permitam (conhecido o número finito de vértices), a gera¸cão de grafos de uma dada fam´ılia atendendo às seguintes situa¸cões:

a) a gera¸cão aleatória uniforme de qualquer grafo da fam´ılia com a propriedade de que qualquer grafo da fam´ılia possui igual probabilidade de ser gerado. Desse modo, a gera¸cão dos grafos cria uma distribui¸cão uniforme de elementos;

b) a gera¸cão de todos os grafos da fam´ılia, um a seguir do outro, de modo único e de forma sistemática através de uma lei de forma¸cão que pode ser única ou não, para todos os elementos, ou seja, enumerando seus elementos.

(25)

com um número finito de vértices é bastante simplificada. Igualmente interessantes seriam os problemas que levantassem a possibilidade de inferir se, na gera¸cão (aleatória ou por enumera¸cão) os grafos gerados estariam ou não livres de serem isomorfos, ou seja, só gerar um novo grafo da fam´ılia que não tenha um grafo isomorfo a ele em alguma sub-fam´ılia, caso contrário seria descartado por já conter um representante com caracter´ısticas idênticas (a menos da rotula¸cão de vértices). Portanto, só seriam considerados os grafos a menos de isomorfismo.

Exemplos:

1. Seja V = {1, 2, 3, 4} um conjunto de 4 v´ertices. Vamos avaliar o problema da contagem de ´arvores em V .

• Se o isomorfismo n˜ao ´e levado em conta, temos 44−2

= 16 ´arvores distintas;

• Do contrário, há apenas duas árvores distintas não isomorfas com quatro vértices, conforme indicadas na figura abaixo.

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

1

2

4

3

Figura 20. Enumera¸cão das árvores com 4 vértices

2. Consideremos a seguinte questão: quantas árvores há com V = {v1, v2, v3, v4, v5} como conjunto de seus

v´ertices, e quais s˜ao elas?

Se o isomorfismo entre essas árvores é irrelevante, há 55−2

= 53 = 125 ´arvores distintas que se pode construir com os v´ertices conhecidos.

Vamos considerar as seguintes sub-classes de ´arvores com 5 v´ertices:

• C1 = {árvores que têm um vértice de grau 4 e os demais grau 1}. Há um total de 5 árvores, conforme a

escolha do v´ertice raiz seja v1 ou v2 ou v3 ou v4 ou v5.

• C2 = {árvores que têm um vértice de grau 3, um vértice de grau 2 e três vértices de grau 1}. Há um

(26)

Figura 21

há C4,3 modos de escolher os três vértices adjacentes ao vértice de grau 3 e, finalmente, há 3 modos de

escolher um desses vértices que terá grau 2. Assim, o total de árvores é: 5.C4,3.3 = 5.4.3 = 60 árvores,

todas isomorfas entre si.

Figura 22

• C3 = {árvores que têm três vértices de grau 2 e dois vértices de grau 1}. Há um total de 60 árvores,

pois: há 5 modos de escolher um vértice de grau 1 e 4 modos de escolher o outro vértice de grau 1. Como estes podem trocar de posi¸cão entre si, devemos dividir o resultado por 2. Os outros 3 vértices podem permutar entre si, totalizando P3 modos poss´ıveis. Assim, o total de árvores é: 5 · 4 · P3/2 = 5 · 4 · 6/2 = 60

´arvores, todas isomorfas entre si.

Figura 23

8.3. Algoritmo de Huffman.

Para analisarmos mais uma aplica¸cão de árvores binárias vamos considerar o problema de codificar uma mensagem composta de uma seqüência de s´ımbolos de um alfabeto de n s´ımbolos. Esta mensagem será transformada em uma seqüência de bits, depois que, a cada s´ımbolo, for atribu´ıdo um código binário e os códigos dos s´ımbolos da mensagem forem concatenados.

(27)

S´ımbolo C´odigo

A 00

B 01

C 10

D 11

A mensagem ABCADCA seria codificada da seguinte maneira: 00011000111000, tendo comprimento de 14 bits. O objetivo do algoritmo é criar um código que minimize o comprimento da mensagem. Para criar este código vamos levar em conta a freqüência de cada s´ımbolo na mensagem.

A Tabela a seguir mostra a freq¨uˆencia de cada s´ımbolo na mensagem:

S´ımbolo Freq¨uˆencia

A 3

B 1

C 2

D 1

Desta tabela podemos verificar que se atribuirmos ao s´ımbolo A um código binário mais curto que os atribu´ıdos aos s´ımbolos B e D ter´ıamos uma mensagem menor. Isto provém do fato que o s´ımbolo A aparece mais vezes do que os s´ımbolos B e D. Suponha que os seguintes códigos sejam atribu´ıdos aos s´ımbolos: S´ımbolo Código A 0 B 110 C 10 D 111

Usando este código, a mensagem ABCADCA ficaria 0110100111100 que requer 13 bits. Em mensagens longas com mais s´ımbolos não freqüentes, o ganho pode ser ainda maior. Um dos requerimentos deste código é que nenhum código seja prefixo de outro, caso a decodifica¸cão seja feita da esquerda para direita. Para decodificar a mensagem vamos come¸car da esquerda para a direita, caso o primeiro bit seja 0 o código corresponde ao s´ımbolo A. No caso contrário devemos continuar a examinar os bits restantes. Se o segundo bit for 0 o s´ımbolo é um C, caso contrário examinamos o terceiro bit. Se o terceiro bit for um 0 indica um B e se for 1 indica o D.

Resumindo, para encontrar o algoritmo ´otimo, a partir do c´odigo acima, deve-se seguir os seguintes passos:

1o

) Encontre os dois s´ımbolos que aparecem com menor freq¨uˆencia, no nosso caso B e D. 2o

(28)

3o

) Combine estes dois s´ımbolos em um único s´ımbolo BD. Este novo s´ımbolo terá freqüência igual à soma das freqüências de B e D, no caso 2. Temos agora os seguintes s´ımbolos: A (3), C (2) e BD (2) (os números entre parênteses são as freqüências).

4o

) Novamente, escolha os s´ımbolos de menor freqüência, que são C e BD. 5o

) Atribua o c´odigo 0 ao s´ımbolo C e 1 ao BD. Isto significa adicionar 1 aos c´odigos de B e D, que passam a valer 10 e 11, respectivamente.

6o

) Combine os dois s´ımbolos no s´ımbolo único CBD, de freqüência 4. Temos agora dois s´ımbolos: A(3) e CBD (4).

7o

) Atribua 0 ao s´ımbolo A e 1 ao s´ımbolo CBD. O s´ımbolo ACBD é o único s´ımbolo restante e recebe o código N U LL de comprimento 0. A Figura 24 mostra a árvore binária que pode ser constru´ıda a partir deste exemplo. Cada vértice está representado pelo s´ımbolo e sua respectiva freqüência.

A,3 ACBD,7 CBD,4 C,2 _BD,2 B,1 _D,1 Figura 24

8.4. Enumera¸c˜ao e busca com ´Arvores.

8.4.1. Introdu¸c˜ao_.

Um primeiro trabalho que se utilizou implicitamente de árvores foi feito por Kirchoff em 1847 em problemas de circuitos elétricos. Cayley foi o primeiro a se utilizar do termo árvore, em 1857, num trabalho sobre cortes ordenados em árvores, usando fun¸cões geradoras.

Os métodos de busca come¸caram a ser vistos por volta desse ano, mas seu desenvolvimento de modo sistemático só foi poss´ıvel ocorrer a alguns anos atrás através do amplo desenvolvimento da Ciência da Computa¸cão. Há muitos bons livros que tratam de busca.

(29)

operacional, uma vez que a maioria dos problemas de enumera¸cão nesta área envolvem árvores muito grandes e utilizam algoritmos especiais de ”poda”, fugindo dos objetivos deste trabalho.

8.4.2. Enumera¸c˜ao com ´Arvores_.

As árvores fornecem uma estrutura natural para encontrar solu¸cões para problemas que envolvem uma seqüência (finita) de escolhas. Para encontrar a sa´ıda de um labirinto, ótimas estratégias em um jogo ou o menor percurso em um problema de rotas são tais exemplos de usos das árvores. A maioria dos problemas de isomorfismo, circuitos hamiltonianos, de colora¸cão m´ınima e outros, requerem busca baseada em árvores para solu¸cões através de programas computacionais.

Se queremos encontrar: uma solu¸cão, todas as solu¸cões ou uma solu¸cão ótima para um problema, o primeiro e mais importante desafio é ter certeza de que são checadas todas as maneiras poss´ıveis de gerar uma solu¸cão, isto é: a enumera¸cão tem que ser completa. Considerando as escolhas seqüenciais como sendo os vértices internos em uma árvore enraizada e as solu¸cões e os becos sem sa´ıda como sendo as folhas (como no problema da pesagem das moedas, visto anteriormente), podemos organizar a enumera¸cão de poss´ıveis solu¸cões. As árvores também tornam mais fácil discernir e implementar atalhos, tais como ”podar” subárvores que demonstram não levar a uma solu¸cão (ou não levar a uma solu¸cão ótima).

8.4.3. Enumera¸cão por backtracking ou por largura_. Há duas abordagens básicas para a enumera¸cão de árvores:

• Primeiramente o método chamado backtracking (também conhecido como de busca em profundidade), que constrói um caminho da raiz até o mais longe poss´ıvel na árvore, isto é, até alguma folha. Se a folha não for uma solu¸cão ou se precisamos prosseguir para encontrar todas as outras solu¸cões, seguimos a trilha de volta um n´ıvel até o pai da folha ( a escolha anterior) e depois ramificamos ao longo de uma aresta diferente construindo um caminho para uma nova folha. No backtracking se todas as arestas do vértice anterior (escolha) já tiverem sido tentadas, então seguimos a trilha de volta a um n´ıvel acima até um n´ıvel mais alto, e assim por diante. No final, este método vai gerar caminhos para todas as folhas, isto é, enumerar uma árvore inteira de poss´ıveis seqüências de escolhas. Se precisamos de apenas uma solu¸cão, o método do backtracking vai terminar assim que for encontrada uma folha que seja a solu¸cão. Existe uma dificuldade maior contra a qual precisamos nos resguardar: andar em c´ırculos. Em jogos e em problemas de rotas do mundo real, geralmente é inevitável que haja dois ou mais caminhos diferentes (seqüências de escolhas) que levem a uma mesma ”posi¸cão”, por exemplo, o mesmo canto num labirinto. Tal redundância é aceitável. Entretanto, é geralmente ruim visitar duas vezes a mesma posi¸cão num mesmo caminho. Isso poderia levar a um caminho sem fim, que andasse em c´ırculos, dando voltas e voltas através dessa posi¸cão, para sempre. Desta forma, dever´ıamos sempre checar se cada posi¸cão sucessiva alcan¸cada num caminho não tenha aparecido, antes, no caminho. Se ela o fez, então trate a posi¸cão como uma folha (ou beco sem sa´ıda) e refa¸ca o caminho para trás.

(30)

uniformemente a partir da raiz. De novo, não haverá um só caminho que repita uma determinada posi¸cão (o retorno ao mesmo vértice). Numa busca em largura, às vezes é poss´ıvel que caminhos diferentes não usem um vértice comum. Se a árvore de caminhos poss´ıveis é grande, então o método de busca em largura rapidamente se torna dif´ıcil de controlar por causa de seu tamanho, peso ou forma. O método do backtracking, que tra¸ca somente um caminho de cada vez, é muito mais fácil de usar à mão ou de programar. Ainda mais nos casos em que precisamos encontrar apenas uma dentre as poss´ıveis solu¸cões do problema, vale mais a pena ir seguindo todo o caminho buscando uma solu¸cão do que gastar um tempo longo construindo um grande número de caminhos parciais, em que apenas um deles realmente será usado no final. Por outro lado, quando queremos uma solu¸cão envolvendo um caminho mais curto ou quando podem haver caminhos com becos sem sa´ıda muito longos, (enquanto os caminhos de solu¸cão tendem a ser relativamente curtos), o método em largura é, então, melhor de ser utilizado.

Exemplo 8.4.3.1 - Suponha que temos três latas de água, de capacidades 10 litros, 7 litros e 4 litros. Inicialmente a lata de 10 litros está cheia e as outras duas vazias. Podemos colocar água de uma lata para outra, derramando até a lata que recebe estar cheia (sem entornar) e a lata que transborda estar vazia. Existe uma maneira de derramar a água entre latas para obter exatamente 2 litros nas latas de 7 ou 4 litros? Se há, encontre uma seqüência m´ınima de derramamentos para obter dois litros.

As posi¸cões, ou vértices, neste problema de enumera¸cão são ternos ordenados (a, b, c), ou seja: as quantidades de água nas três latas em ordem decrescente de suas capacidades. Na verdade, é suficiente gravar apenas as quantidades dos pares ordenados (b, c), ou seja, as quantidades das latas de 7 e de 4 litros, uma vez que temos sempre a igualdade a = 10 − b − c. Uma aresta direcionada corresponde ao derramamento de água de uma lata para uma outra. Vamos desenhar a árvore de dois modos: numa rede de coordenadas b no sentido horizontal e c no sentido vertical e do modo usual com sua raiz sendo indicada como mostrado na Figura 12. A rede é limitada por b = 7, c = 4 e b + c = 10. O derramamento entre as latas de 10 e de 7 litros será uma aresta horizontal, entre 10 e 4 litros será uma aresta vertical, e entre 7 e 4 litros uma aresta diagonal com inclina¸cão de −45 e +135 graus.

(31)

[0,4] [2,4] [3,4] [4,4] [6,4] 4 3 [7,3] [0,3] 2 1 [7,1] 0 [3,0] [4,0] [6,0] [7,0] 0 1 2 3 4 5 6 7 Figura 25

[0,0]

[7,0]

[0,4]

[7,3]

[3,4]

[6,4]

[4,0]

[0,3]

[3,0]

[6,0]

[4,4]

[2,4]

[7,1]

Figura 26. ´Arvore para o exemplo 2.6.2.2.1

Exemplo 8.4.3.2 - Três esposas ciumentas e seus respectivos maridos chegam a um rio. O grupo tem que atravessar o rio (da margem próxima à margem distante) num barco que pode levar no máximo duas pessoas. Encontre uma seqüência de viagens de barco que levarão as seis pessoas ao outro lado do rio, sem jamais deixar qualquer marido sozinho (sem sua respectiva esposa) na presen¸ca de outra esposa. Sejam as esposas representadas pelas letras A, B e C, e seus respectivos maridos por a, b e c. Vamos assinalar uma posi¸cão com os nomes das pessoas na margem próxima acompanhado de um asterisco (*), se o barco estiver na margem próxima. Uma aresta é rotulada com a dire¸cão do barco e as pessoas no barco. A cada posi¸cão, precisamos checar se as pessoas no barco não violarão a condi¸cão ”ciumenta”, removendo uma esposa sem seu marido (deixando-o com outra esposa) ou colocando um marido desacompanhado, em contato com outra esposa ou vice-versa. A Figura 13 mostra a árvore de posi¸cões viáveis (repare que não há becos sem sa´ıda).

(32)

*ABCabc Aa ab BCbc ABCc A b bc *ABCbc ABC a ABCa BC Aa Bb Abab AB ab c *abc bc a b A ab* *Aa ab Aa Figura 27

Exemplo 8.4.3.3 - Encontre todas as maneiras de colocar oito rainhas em posi¸cões de tal modo que uma não ”capture” a outra, num tabuleiro de xadrez 8x8. (É bom lembrar que uma rainha pode capturar outra rainha se ambas estiverem na mesma fileira (linha horizontal) ou na mesma coluna ou numa diagonal comum).

Vamos apresentar um algoritmo usando enumera¸cão de árvores de backtracking para listar todas as solu¸cões de posicionamento das oito rainhas em posi¸cões que uma não ”capture” a outra. Tentaremos todas as maneiras de posicionar as rainhas sucessivamente na coluna 1, coluna 2, e assim por diante, até a coluna 8. Seja ak a fileira da rainha na coluna k.

Para cada i, 1 6 i < k, é necessário que ak6= ai e |ak− ai| 6= k − i. Quando essas condi¸cões se mantêm

para ak, dizemos que” ak ´e compat´ıvel com a1, a2, · · · , ak−1”. Quando um ak compat´ıvel ´e encontrado,

descemos na árvore até o próximo n´ıvel (próxima coluna). Quando nenhum ak compat´ıvel é encontrado,

fazemos backtrack e tentamos o pr´oximo maior valor (fila) para ak− 1. O algoritmo pode ent˜ao ser

escrito como a seguir:

k ←− 1; a1 ←− 1;

DESCER: k ←− k + 1; ak ←− 1;

(33)

fa¸ca ak ←− ak+ 1;

se ak = 9 ent˜ao

se k > 1 então fa¸ca backtrack ou vá para o FIM; se k < 8 então vá para DESCER;

imprima solu¸c˜ao a1, a2, · · · , a8;

BACKTRACK: k ←− k − 1; ak←− ak+ 1; v´a para ADICIONAR RAINHA;

FIM: PARE;

Se ak = 9, ent˜ao n˜ao houve nenhum novo akcompat´ıvel com a1, a2, · · · , ak−1encontrado no procedimento

enquanto e precisamos realizar backtrack (ou se m, a busca est´a terminada).

Muito embora não seja objeto deste trabalho, enfatizamos que todos os algoritmos de otimiza¸cão de rede usam buscas em largura. Há 3(três) algoritmos de otimiza¸cão que implicitamente utilizam árvores para a busca através de grafos.

8.5. O C ´ODIGO DE PR ¨UFER.

8.5.1. Introdu¸cão_. A idéia de associar um código a grafos rotulados pertencentes a uma espec´ıfica fam´ılia já vem de 1918, com Prüfer. Ele provou a correspondência biun´ıvoca entre o conjunto de (n − 2) uplas de inteiros {1, 2, ..., n} e o conjunto de todas as árvores rotuladas com n vértices. Um código deve representar de maneira un´ıvoca um determinado grafo da fam´ılia considerada e, reciprocamente, a cada grafo da fam´ılia deve ser atribu´ıdo um único código.

Uma vantagem que se apresenta com a codifica¸cão de um grafo é a possibilidade de uma representa¸cão em memória mais compacta. Outra, é a solu¸cão mais eficiente de problemas algor´ıtmicos.

Além disso, problemas clássicos combinatórios tais como: contagem de elementos, enumera¸cão e gera¸cão aleatória, são mais facilmente solucionados com o aux´ılio de um esquema de codifica¸cão. Seja T = (V, E) uma árvore com |V | = n vértices, n > 2, em que seus vértices são rotulados de 1 a n.

O C´

odigo de Pr¨

ufer

O Código de Prüfer de T é uma seqüência com n-2

rótulos, construída com a sucessiva remoção da

folha de menor rótulo da árvore e a imediata

inclusão do rótulo de seu vértice adjacente ao

código. Esse processo de remoção de folhas é

interrompido quando restam duas folhas na árvore

e o código é, então, concluído.

(34)

Passo 1: código: <> Passo 2: código: <4> Passo 3: código: <4,7>

Folhas: {2,5,6} Folhas: {4,5,6} Folhas: {5,6,7}

Passo 4: código: <4,7,1> Passo 5: código: <4,7,1,1> Passo 6: código: <4,7,1,1,3>

Folhas: {6,7} Folhas: {1,7} Folhas: {3,7}

3 7 4 2 1 5 6 3 7 4 1 5 6 3 7 1 5 6 3 7 1 6 3 7 1 3 7

Figura 28. Um exemplo de codifica¸c˜ao de Pr¨ufer .

A figura acima mostra um exemplo de como é obtido o código h4, 7, 1, 1, 3i para a primeira árvore. Inicia-se com a árvore a ser codificada e com a (n − 2)-upla vazia. Como a árvore possui 7 vértices, o código terá 5 posi¸cões ocupadas. Remove-se a folha de menor rótulo (vértice de rótulo 2) e adiciona-se o rótulo de seu vizinho ao código, que é o 4, obtendo o código de Prüfer inicial e parcial h4i e exibi-se a árvore a seguir, tendo retirado o vértice de rótulo 2 e sua aresta. Agora remove-se o vértice de rótulo 4 que é a folha de menor rótulo e adiciona-se ao código o rótulo 7, que é o rótulo de seu vizinho. Obtém-se o código de Prüfer parcial h4, 7i e a terceira árvore. A seguir, são removidos os vértices de rótulos 5 e 6, obtendo o código de Prüfer parcial h4, 7, 1, 1i e a quarta árvore. O vértice de rótulo 1 só passa a ser folha após a remo¸cão do vértice de rótulo 6. Finalmente, remove-se o vértice de rótulo 1, obtendo-se o código de Prüfer h4, 7, 1, 1, 3i.

Observa¸cão 8.5.1. Para que a codifica¸cão de Prüfer se aplique em árvores enraizadas, basta estabelecer que o vértice raiz não seja removido mesmo que em algum passo ele se torne folha.

Exemplo 8.5.2. Constru¸cão do código de Prüfer em uma árvore enraizada