Matemática. Revisão: geometria plana 2. Exercícios

Revisão: geometria plana 2

Objetivos

Revisar polígonos regulares inscritos ou não.

Exercícios

1.

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 6 cm e AFE é um triângulo retângulo de hipotenusa AE.

Considere que AD = AF e DE = 4 cm.

Sabendo que os pontos A, D e E estão alinhados, o valor da área destacada, em cm², é a) 24.

b) 18.

c) 22.

d) 20.

e) 16.

2.

Considere na imagem abaixo:

• os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, respectivamente, S1 e S2;

• o triângulo retângulo ABC;

• o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa BC, que contém o ponto X.

Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é igual a:

a) ^S1+S₂ ² b) ^S1+S₃ ² c) √S1S₂

d) √(S1)²+ (S₂)² e) ^3(S1+S2)

4

3.

Em um hexágono regular foram traçadas duas diagonais e um segmento de reta, cujas extremidades são um ponto sobre um dos lados e um ponto sobre uma das diagonais traçadas, conforme mostra a figura.

O valor de α + β é igual a a) 230°

b) 220°

c) 235°

d) 225°

e) 215°

4.

Um quadrado cuja medida do lado é 3 cm está inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é R cm e circunscrito a uma circunferência cuja medida do raio é r cm. Nestas condições, a relação r/R é igual a

a) ^√2₂ b) ^√3

2

c) ^√2₃ d) ^√3

3

5.

Observando o desenho a seguir, no qual o círculo tem raio r, e calculando-se o apótema a4, obtemos

a) 2r√2 b) 3r√2 c) ^3r₂√2 d) ^r₂√2 e) r√2

6.

A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2√3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) √3 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4

7.

Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

a) R ≥ L/√2 b) R ≥ 2L/π c) R ≥ L/√π d) R ≥ L/2 e) R ≥ L/2√2

8.

Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir.

Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar o polígono regular ABCDEFGH...A, que possui dois eixos de simetria indicados pelas retas r e s. Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB e FG, o número de lados do polígono ABCDEFGH...A é igual a:

a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 68

9.

No triângulo equilátero ABC, H corresponde ao ponto médio do lado AC. Desse modo, a área do triângulo ABH é igual à metade da área de ABC.

Sendo W o perímetro do triângulo ABH e Y o perímetro do triângulo ABC, uma relação correta entre W e Y é:

a) 0 < W <^Y

2

b) W =^Y

2

c) ^Y

2< W < Y d) W = Y e) W > Y

10.

Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C). O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue:

(I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3 , respectivamente.

Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

a) I b) II c) III d) IV e) V

Gabarito

1. B

No triângulo AFE, temos:

EF²+ 6²= 10²→ EF = 8 cm

∆EDG~∆EFA →DG 6 =4

8→ DG = 3 cm

∆GFA ≅ ∆GDA (caso HC), portanto possuem a mesma área A:

A =6 ∙ 3

2 = 9 cm²

Portanto a área S pedida será dada por:

S = 6²− 2 ∙ 9 = 18 cm² 2. A

Tem-se que (ACFG) = AC² = S1 e (ABHI) = AB² = S2. Logo, do triângulo ABC, pelo teorema de Pitágoras, vem:

BC²= AC²+ AB²↔ BC²= S₁+ S₂

Portanto segue que a área do trapézio BCDE é dada por:

(BCDE) =1

2∙ (CD + BE) ∙ BC =1

2(CX + BX) ∙ BC =1

2BC ∙ BC =1

2∙ BC²=S₁+ S₂ 2 3. B

Como o hexágono é regular, sabemos também os ângulos da figura abaixo:

Utilizando a propriedade dos ângulos externos, obtemos:

β = 30° + 110° = 140°

140° = α + 60e → α = 80°

Portanto:

4. A

Desde que 2R = 3√2 e 2r = 3, temos:

2r 2R= 3

3√2↔r R=√2

2

5. D

Considerando que a diagonal do quadrado mede 2r e que o lado desse quadrado mede 2a4, podemos escrever que:

2a₄∙ √2 = 2r → a₄= r

√2→ a₄=r√2 2

6. B

Ao traçarmos essa distância entre os dois lados paralelos do hexágono, podemos perceber que é igual a duas vezes a altura dos dois triângulos equiláteros que formam esse hexágono e que estão opostos.

Logo:

htriangulo=2√3 2 = √3

Porém sabemos que htriangulo=^l√3

2 , então:

l√3

2 = √3 → l = 2

Logo, o lado desse hexágono mede 2.

7. A

Observe a figura:

Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever:

R²+ R²= L²→ R²=L²

2 → R = L

√2 Portanto:

R ≥ L

√2

8. B

A questão nos diz que o polígono regular 𝐀𝐁𝐂𝐃𝐄𝐅𝐆𝐇. . . 𝐀 possui dois eixos de simetria. A saber, as retas 𝐫 e 𝐬. Por isso podemos afirmar que o quadrante mostrado no desenho representa ^𝟏_𝟒 do polígono.

Contando os lados, vemos que, neste quadrante, temos 5 lados. Multiplicando por 4, por serem 4 quadrantes, temos como resultado 20. Ou seja, o polígono possui 20 lados.

9. C

Sendo o lado do triângulo igual a “a”, pode-se escrever:

a²=a²

4 + BH²→ BH =a√3 Y = a + a + a = 3a 2

W = a +a 2+a√3

2 = a + 0,5a +1,73a

2 = 2,366a Visto isso, podemos notar que

Y

2< W < Y

10. B

Usando as aproximações fornecidas, concluímos que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a 𝐓 medem, respectivamente, 𝟒 𝐜𝐦 e 𝟖 𝐜𝐦. Em consequência, os exemplares 𝐈 e 𝐕 não satisfazem as condições, pois 𝐓 cabe em 𝐕 e 𝐈 cabe em 𝐓. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras, concluímos que a diagonal de 𝐑 mede 𝟓 𝐜𝐦, em que os diâmetros dos círculos inscrito e circunscrito a 𝐑 medem, respectivamnete, 𝟑 𝐜𝐦 e 𝟓 𝐜𝐦. Portanto os exemplares 𝐈𝐈𝐈 e 𝐈𝐕 também não satisfazem as condições, restando apenas o exemplar 𝐈𝐈.