ALINHAMENTO DE PROCRUSTES

ALINHAMENTO DE PROCRUSTES

Paulo Victor Rodrigues Ferreira, Ranieri Guimarães França, Edna Lúcia Flôres, Gilberto Arantes Carrijo

Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Engenharia Elétrica (FEELT)– Uberlândia – Minas Gerais [email protected] , [email protected] , [email protected] , [email protected]

Resumo – O objetivo deste trabalho é apresentar uma forma de alinhamento de imagens utilizando a técnica de alinhamento de Procrustes; que consiste em aplicar métodos de rotação, translação e escala nas respectivas imagens. Este alinhamento pode ser aplicado nas áreas da medicina e computação gráfica. Uma área de aplicação imediata é o mapeamento de radiografias de mão humana.

Palavras-Chave – alinhamento de Procrustes, correspondência de pontos, detecção de bordas, método Delaunay, processamento digital de imagens, registro de imagens.

PROCRUSTES ALIGNMENT

Abstract –The objective of this paper is to show a way of image alignment by using Procrustes alignment technique; that bases on applying methods of rotation, translation and scale of the images. This alignment can be applied on the fields of medicine and graphic computation. One field of immediately application is the human hand radiograph mapping. 1

Keywords – boundary detection, Delaunay method, digital image processing, image registering, point correspondence, Procrustes alignment.

I. INTRODUÇÃO

Determinadas aplicações requerem medições exatas dos tamanhos de certos objetos contidos em uma determinada imagem. Para realizar essas medições é necessário ter as dimensões e formas desses objetos, realçando-os ou mapeando-os por pontos ou bordas detectadas, que serão realçados na imagem para que as medições possam ser realizadas computacionalmente, automatizando qualquer processo em que medições entre pontos numa imagem sejam necessárias, como por exemplo, na automatização do processo de Tanner-Whitehouse [1];

este processo é simplesmente um método de medição do tamanho de ossos numa imagem.

Um método de mapear uma imagem consiste basicamente em encontrar pontos ou regiões característicos nessa imagem. Assim com a imagem mapeada, pode-se realizar medições entre a imagem de interesse e a imagem de referência no processo de comparação.

Para realizar a comparação entre as imagens, primeiramente elas devem possuir um mesmo ângulo de inclinação, uma mesma posição espacial em um eixo e possuir o mesmo tamanho. Quando isso não ocorre, deve-se alinhar uma imagem à outra que se deseja comparar, denominada imagem referência, fazendo-se o processo de transformação que consiste em aplicar rotação, translação ou escala na imagem. O método proposto neste artigo para realizar a transformação da imagem é o alinhamento de Procrustes [2, 3, 4,5].

Este artigo apresenta o método de alinhamento de Procrustes, a triangulação de Delaunay, alguns resultados obtidos nos testes realizados. E finalmente, são realizadas conclusões sobre esses resultados.

II. ALINHAMENTO DE PROCRUSTES

O objetivo do alinhamento de Procrustes é remapear as posições dos pixels da imagem aplicando as transformações de rotação, translação e mudança de escala nas imagens. Nessas transformações o parâmetro a altera a escala da imagem; o parâmetro Ө realiza uma rotação nessa imagem; e os parâmetros Δx e Δy realizam a translação horizontal e vertical, respectivamente, dessa imagem.

Quando a <1, a imagem é reduzida proporcionalmente; quando a>1, a imagem é dilatada proporcionalmente; e se a=1, não existe variação [4, 5].

Como existe mais de um parâmetro a ser alterado,

inicialmente verifica-se na imagem a necessidade da

alteração, e caso isso ocorra, quais são os parâmetros que

devem ser alterados. Para tal constatação deve-se fazer a

correspondência entre as duas imagens, ou seja, encontrar

pontos em comum, chamados de pontos de controle, entre as

imagens de interesse e a de referência. A partir desses

pontos, são determinados quais os parâmetros que sofrerão

alteração para que a transformação possa ser realizada.

A. CORRESPONDÊNCIA DE IMAGENS

A correspondência entre duas imagens é realizada a partir da localização de pontos ou regiões determinísticos como áreas fechadas, arestas, cantos, intersecção de linhas, entre outros que apresentam características marcantes em relação às formas ao seu redor e que determinarão os pontos de controle [5]. Esses pontos encontrados são comparados a pontos anteriormente determinados e localizados na imagem referência a partir de parâmetros de interesse que dependem da aplicação, do grau de sensibilidade e natureza das imagens processadas.

Uma das maneiras de se realizar a correspondência ou comparação entre estes pontos das duas imagens é através da Correlação Cruzada Normalizada. Esta correlação entre a imagem I (amostra) e uma imagem referência w, é obtida pela Equação (1).

2 / 1 2

2 [ ( ', ') ]

] ) , ( [

] ) ' , ' ( ][

) , ( [ )

' , ' (







    























w y y x x w I

y x I

w y y x x w I y x I y

x CC

y x y

x

y x

(1)

Onde, na Equação (1), I representa a matriz da imagem amostra e w representa a imagem referência e consequentemente, I (x, y) é um valor nesta matriz, enquanto que I é o centro com valor normalizado da imagem, assim como w é o centro com valor normalizado da imagem referência.

Os respectivos centros são dados pelas seguintes equações:







ⁿ

j

x

j

x n

1

1 (2)







ⁿ

j

y

j

y n

1

1 (3)

Em que n é o número de pontos de controle.

Esta correlação é feita sob o aspecto de que se deseja localizar os pontos de controle da imagem referência na imagem amostra. Esses pontos encontrados, x’, y’, são determinados para resultar na maximização da correlação cruzada normalizada. Assim, x’, y’ pertencem à imagem amostra, a que estamos processando, e, portanto são classificados como pontos de controle correspondentes aos pontos de controle da imagem referência quando a correlação é máxima. Para executar o processo de busca destes pontos, um método iterativo é aplicado sendo necessário o cálculo com cada ponto da imagem, tornando o processo computacional um pouco lento.

Uma alternativa de se encontrar estes pontos de controle da imagem referência é definir inicialmente uma área vizinha ao ponto de controle – uma subimagem, ou janela - na imagem referência e procurar essa mesma área na imagem amostra através da correlação cruzada normalizada, de modo que quando a área for encontrada o valor da correlação será máximo [6]. E para definir essa área como um ponto de controle encontrado na imagem amostra, um

limiar de detecção é imposto para que somente o ponto de maior correlação seja definido como um alvo ou ponto de controle encontrado.

Assim, a partir da correlação, os novos pontos encontrados serão utilizados junto aos pontos originais para a determinação de uma função que mapeie as posições dos pontos da imagem amostra para as posições destes pontos da imagem referência. Essa ‘função’ é uma matriz composta por parâmetros que serão capazes de modificar o valor atual de cada posição original da imagem para que a mesma se apresente alinhada à imagem referência com um valor de correlação maximizado para cada posição.

B. TRANSFORMAÇÃO PROCRUSTES

A transformação de Procrustes [5] pode ser definida como uma função que mapeia as posições dos pixels de uma imagem para as novas posições [5] de acordo com a Equação (4).

 

 



 

 

 





1 1

'

_i

p

_i

p T

(4)

Onde:

p representa as coordenadas (x, y) da imagem amostra.

p’ representa as coordenadas (x’, y’), também chamadas de ponto equivalente ao descritor (x, y)– é a coordenada do ponto de controle da imagem referência.

i representa o ponto que está sendo processado.

 

 



 

i i

i

y

p x (5) e

 

 



 

i i

i

y

p x '

' ' (6)

T é a matriz dos parâmetros que determinarão as transformações necessárias nas dimensões corretas obtida pela localização dos novos pontos que foi dada pela máxima correlação, como mostrado na Equação (7) [5].

 









 0

) (

) cos(



 asen a

T

0 ) cos(

) (



 a asen

 









 1

y x

(7)

Quando se deseja encontrar melhores parâmetros de

T, quando conhecidos os pontos iniciais na imagem amostra

e que serão mapeados pela matriz T e os pontos finais que

são os pontos da imagem referência, a matriz equivalente dos

pontos correspondentes de toda a imagem, é mostrada na

Equação (8) [5].

 







 







 p

n

p P

' . ' '

1

 (8)

Escrevendo a matriz T em um vetor Z, temos a Equação (9) [5].

 

 





 

 













 y x a

sen a

Z 

 cos

(9)

Então P’ pode ser reescrita de acordo com a Equação (10) [5].

JZ

P '  (10) Onde: J é a matriz Jacobiana dada pela Equação (11) e utilizada para descrever P’ em função de Z, e consequentemente em função de T [5].

 

 







 

 













1 0 0 1

1 0

0 1

1 1

1 1

n n n n

y x x y

y x

x y

J     (11)

O objetivo é estimar melhores valores de T que minimizem a soma dos erros quadráticos entre as posições mapeadas pelos parâmetros de T as posições dos pontos equivalentes ao descritor. Como definido anteriormente,

'

X representa a posição (x’, y’) do ponto de controle na imagem referência; e com a matriz T definida, os pontos de

X são mapeados para X ˆ representando as posições ( x ˆ , y ˆ ) como mostrado pela Equação (12).

TX

X ˆ  (12) Onde: X ˆ representa a matriz dos pontos mapeados após a transformação e X a matriz dos pontos originais a serem transformados. E X é se apresenta como na Equação (13),

'

X se apresenta como na Equação (14) e X ˆ se apresenta como na equação (15).

y

T

x

X  ( 1 ) (13)

y

T

x

X '  ( ' ' 1 ) (14)

y

T

x

X ˆ  ( ˆ ˆ 1 ) (15)

O erro característico para cada ponto é obtido pela Equação (16).

2

2

( ˆ ' )

) ˆ '

(

_{i i i i}

i

x x y y

e     (16) A soma dos erros para cada ponto é obtida pela equação (17).



 e

_i

E (17) Assim, a solução para a minimização dos erros quadráticos que resulta na matriz Z, é mostrada pela Equação (18).

T

T

J J

J P

Z  '  ( )

^1

(18) Assim, com os parâmetros de Z, a matriz T é definida e são feitas as transformações nas dimensões e orientações necessárias, como translação, rotação e mudança de escala na imagem amostra, alinhando-a à imagem referência com os menores erros quadráticos possíveis.

C. MÉTODO DELAUNAY

Quando os pontos característicos da imagem a ser transformada são determinados a partir da correspondência com a Equação (1), são inseridos erros de posição. Esses erros podem ser eliminados com uma etapa após a transformação de Procrustes, com a finalidade de refinar o resultado, já que apenas a realização da transformação inicial já é suficiente para se obter um resultado satisfatório, mas com o refinamento os erros de correspondência tendem a zero.

A etapa de refinamento é definida como sendo uma etapa de edição gráfica. Esta edição consiste em impor contrastes estruturais em características de cantos detectados na imagem pelo método de triangularização de Delaunay [2, 7], resultando em novos pontos de controle. Os pontos que são inconsistentes com a sua vizinhança, devido algum parâmetro de decisão, são eliminados do conjunto e a triangularização é realizada novamente.

Finalmente os pontos são re-alinhados utilizando o processo de alinhamento de Procrustes novamente, resultando nas menores distâncias correspondentes. Alguns testes podem ser verificados no trabalho de Luo e Hancock [8].

Além do refinamento para a finalização da transformação de Procrustes, o método de Delaunay também é utilizado frequentemente em determinações de bordas em uma certa imagem contida em uma fronteira a partir de uma nuvem de pontos gerados na imagem, o que torna a aplicação de mapear um ponto muito mais fácil de se implementar do que a técnica que usa Correlação Cruzada Normalizada.

Assim é possível aplicar o alinhamento de Procrustes em

uma imagem que teve suas bordas detectadas pelo simples

alinhamento das landmarks determinadas no contorno do

desenho. Ainda não foram encontrados métodos ou técnicas formais de determinação de landmarks para posições ótimas.

O método de Delaunay consiste basicamente em traçar retas conectando três pontos aleatórios gerados pelo método de geração de malhas [9], originando triângulos eqüiláteros. Essas malhas são pontos contidos e dispersos na imagem que são gerados a partir de determinado algoritmo.

Nota-se que a triangularização ocorre onde existe uma densidade relativamente significante de pontos da malha, sendo de importância notável para a aplicação de detecção de bordas em uma imagem qualquer, alterações sob medida no algoritmo gerador da malha para que não gere pontos dentro dos limites da imagem que se quer demarcar.

Isto pode ser conseguido por um algoritmo de refinamento [7].

Por exemplo, na determinação das bordas de uma mão humana em uma imagem de radiografia, o software deve distribuir pontos somente nas áreas escuras e nunca nas áreas com tons mais claros ou em branco.

Então a técnica de Delaunay traça um círculo contendo em suas bordas três pontos que serão conectados momentaneamente formando um triângulo. Em seguida é realizada uma análise que fará uma verificação dentro do círculo para constatar a existência de algum ponto extra em algum lugar dentro desse círculo ou na linha que delimita o círculo, causando nesses casos a degeneração dessa malha em específico.

Caso não ocorra nenhum desses fatos o círculo é desfeito e a malha local analisada (triângulo, no caso bidimensional) é mantida e mais outros três pontos são analisados.

Porém caso alguma das infrações citadas ocorra, no caso do ponto dentro do círculo a malha é desconsiderada e a iteração seguinte é realizada. Se o ponto se encontrar na linha de delimitação do círculo, a decisão de eliminação se torna crítica sendo necessário definir uma faixa em torno do raio a que resultará na impossibilidade de decisão com o conseqüente deslocamento do ponto apenas para que seja possível uma decisão segura [7].

Então após algumas iterações as bordas da imagem são detectadas, devido a um limite externo de fronteira e nenhum ponto dentro da imagem que se quer destacar, os landmarks são determinados e o alinhamento de Procrustes é então aplicado com todas as considerações já citadas neste trabalho, de sua aplicação, válidas incluindo o refinamento para a minimização das distâncias, sendo assim, é possível fazer o alinhamento de várias imagens (seus landmarks) entre si ou de várias imagens com uma imagem padrão.

III. TESTES E RESULTADOS

De acordo com os estudos feitos sobre o assunto de Alinhamento de Procrustes, alguns testes foram desenvolvidos para mostrar a idéia inicial do objetivo deste artigo, que se baseia em transformar parâmetros de uma imagem aplicando rotação, translação ou escala na imagem de acordo com algumas especificações previamente definidas que se resumem em como a figura deve se encontrar quando o processamento estiver finalizado. Para colocar em prática

as técnicas pesquisadas foram desenvolvidos testes relativamente simples usando imagens com pouquíssimos pixels para inicialmente constatar a idéia da proposta desse artigo.

Os testes foram implementados no programa MATLAB, em que temos uma imagem de entrada, Figura (1), da qual alguns landmarks foram extraídos, Figura (2).

Em seguida com os landmarks das imagens referência, Figuras (3), (5) e (7) é possível demonstrar as rotações, translações e mudanças de escala feitas na imagem de entrada, o que resultou nas Figuras (4), (6) e (8), respectivamente.

Figura 1 Figura 2

As Figuras (4), (6) e (8) mostram as transformações de escala e rotação realizadas na imagem de entrada dadas as

especificações da imagem referência através de seus landmarks, Figura (3), (5) e (7), respectivamente.

Figura 3 Figura 4

Figura 5 Figura 6

Figura 7 Figura 8

Outro exemplo, em que imagens de quadrados foram utilizadas, pode ser facilmente observado a seguir. A Figura (9) representa a imagem de entrada, e a Figura (10) seus landmarks. As Figuras (11), (13) e (15) são os landmarks das imagens referência e as Figuras (12), (14) e (16) representam as transformações realizadas respectivamente.

Figura 9 Figura 10

As Figuras (12) e (14) mostram as transformações de rotação

e escala, realizadas na imagem de entrada dadas as

especificações da imagem de referência através de seus

landmarks, Figura (11) e (13), respectivamente.

Figura 11 Figura 12

Figura 13 Figura 14

Já a Figura (16) representa as transformações em escala e translação realizadas na imagem de entrada de acordo com as especificações da imagem de referência dadas através de seus landmarks, Figura (16).

Figura 15 Figura 16

IV. CONCLUSÕES

O estudo do comportamento, desenvolvimento e aplicação dos métodos que constituem a teoria Procrustes, alinhamento e análise, encontram-se no processo de testes das implementações das técnicas do método de Delaunay, e na implementação da Correlação Cruzada Normalizada. A proposta final dessa pesquisa constitui o mapeamento de radiografias de mãos humanas e a determinação da maturidade óssea utilizando a técnica de Tanner-Whitehouse.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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^nd

ed. London, Academic Press, 1983.

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Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1997.

[5] Belo, F. A. W. Desenvolvimento de algoritmos de exportação e mapeamento visual para robôs móveis

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[8] Luo, B.; Hancock, E.R. Feature Matching With Procrustes Alignment and Graph Editing. IEE Conference Publication Proceedings of the 1999 7th International Conference on Image Processing and its Applications, Manchester, England, p.72-76, July 13- July 15 ,1999, Nº465 © IEE 1999.

[9] Sakamoto, M. M. Algoritmo de refinamento de

Delaunay a malhas seqüenciais, adaptativas e com

processamento paralelo. 2007. 150f. Dissertação

(Doutorado). Escola Politécnica de São Paulo, São

Paulo, 2007.