Ciclo de Oficinas: Geometria analítica. Sistema de coordenadas: Distância entre dois pontos: O que é um sistema de coordenadas no espaço R 3

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Ciclo de Oficinas:

Geometria analítica

Sistema de coordenadas:

O que é um sistema de coordenadas no espaço𝑅³?

➢ Seja P um ponto qualquer no espaço, tomamos três retas perpendiculares entre si (x,y,z);

➢ Os eixos x, y, z definem três planos cada um em um sistema de coordenadas traçando o ponto P em x, y, z serão as coordenadas de Px, Py, Pz;

➢ Que pode ser definida pela seguinte notação P(x,y,z).

Distância entre dois pontos:

Sejam P(X1, Y1, Z1) e Q(X2, Y2, Z2) dois pontos do plano a distância de P e Q é dada por:

Exemplo:

A distância entre os pontos P(2, -1, 0) e Q(-3, 4, 2).

R:

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Produto Vetorial:

Propriedades:

Sejam U, V e W vetores de 𝑅³e K ϵ R então:

(i)UxV ≠ VxU (não comutativo) (ii) UxV =﹣VxU (sentido contrário)

(iii)(U + V) x W = UxW + VxW (distributiva) (iv)U x (VxW) = (W.U)V﹣(U.V)W

(v) (UxV) x W = (W.U)V﹣(W.V)U (não associativo)

No produto vetorial teremos 2 vetores u = (a, b, c) e v = (a1, b1, c1), será gerado um vetor w

= (x, y, z) que é simultaneamente perpendicular a esses dois vetores.

Como calcular o produto vetorial:

Teremos: Vetores unitários i, j e k e os vetores u e v, será feita a matriz análoga ao determinante, feita por Sarrus.

i = (1, 0, 0) u = (a, b, c) j = (0, 1, 0) v = (a1, b1, c1) k = (0, 0, 1)

(bc1 - cb1)i + (a1c - ac1)j + (ab1 - a1b)k (bc1 - cb1, a1c - ac1, ab1 - a1b) = u x v Exemplo:

Sejam os vetores u = (1, -1, -4) e v = (3, 2, -2) determine um vetor que seja perpendicular a estes.

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u x v = (10i) - (10j) + (5k) u x v = (10, -10, 5)

Produto misto:

(u x v) . wonde u, v e w ϵ𝑅³

Como calcular:

u = (a1, b1, c1) v = (a2, b2, c2) w = (a3, b3, c3)

As propriedades do produto misto podem ser deduzidas das dos determinantes por isso as propriedades que servem para um também servem para o outro.

(u x v) . w = (v x w) . u ou (u x v) . w = u . (v x w) Além disso o volume é dado por:

V = |(UxV)| . W

Exemplo:

Encontre o volume do paralelepípedo definido por u = (3, 5, 7), V = (2, 0, -1) e w = (0, 1, 3).

V = |(u x v)| . w R:

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V = |(u x v)| . w = | - 13| =13

Equações do plano - Cartesiana:

Seja A = (x0, y0, z0) um ponto no espaço e V = (a, b, c) um vetor não nulo

Qualquer que seja o ponto P(x,y,z) ϵ α, o vetor AP é perpendicular a V se somente se AP . V = 0

(x - x0, y - y0, z - z0) . (a, b, c) = 0 a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Exercício:

Determine a equação cartesiana do plano que tem ponto A(3, 0, -4) e é ⊥ ao vetor v=(3, 6, 2).

AP . V = 0 P(x, y, z)

(x - x0, y - y0, z - z0) . (a, b, c) = 0

R:

(x - 3, y - 0, z - (- 4)) . (5, 6, 2) = 0

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5x - 15 + 6y + 2z + 8 = 0 5x + 6y + 2z - 7 = 0

Equações do plano - Paramétricas:

➢ Um plano α é paralelo a um vetor “u” só se em α existir uma reta com a direção de u=(a1, b1, c1) e v=(a2, b2, c2) vetores com direções diferentes.

➢ Um ponto P(x, y, z) pertence ao plano que contém A(x0, y0, z0) e é paralelo aos vetores u e v somente se existirem s e t.

AP = su + tv

(x - x0, y - y0, z - z0) = s(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2) x = x0 + a1 s + a2 t

y = y0 + b1 s + b2 t z = z0 + c1 s + c2 t

Exemplo:Encontre a equação paramétrica do plano A(2, 3, - 1) paralelo aos vetores u = (3, 4, 2) e v = (2, - 2, 6).

AP = su + tv

x = x0 + a1 s + a2 t x = 2 + 3 s + 2 t

y = y0 + b1 s + b2 t y = 3 + 4 s + (- 2) t

z = z0 + c1 s + c2 t z = -1 + 2 s + 6 t

(x - x0, y - y0, z - z0) = s(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2) (x - 2, y - 3, z + 1) = s (3, 4, 2) + t (2, - 2, 6)

Equação paramétrica da reta no espaço:

A equação paramétrica da reta é análoga a do plano, um ponto P(x, y, z) pertence a uma reta r se

AP = tv

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Sendo A(x0, y0, z0), P(x, y, z) e v = (a, b, c), então:

(x - x0, y - y0, z - z0) = t (a, b, c) x = x0 + at

y = y0 + bt z = z0 + ct

Interseções de planos:

Planos concorrentes segundo uma reta:

➢ Resolver o sistema achando x e y e colocando z como t.

Exercício:

2x + 3y + z = 1 e x - 2y + 3z = 0 R:

2x + 3y + z = 1 (I)

x - 2y + 3z = 0 (II) *Montar um sistema

x = 2y - 3z (III) *Isolar uma das equações (nesse caso foi a (II)) 2(2y - 3x) + 3y + z = 1

4y - 6z + 3y + z = 1 7y - 5z = 1

y = 1/7 + 5/7 z (IV) *Substituir a equação isolada na outra (III) na (I) x = 2(1/7 + 5/7 z) - 3z

2/7 + 10/7 z - 3z

x = 2/7 - 11/7 z *Substituir a equação (IV) na (III) x = 2/7 - 11/7 t

y = 1/7 + 5/7 t

z = t *Tomar z = t

Em termos de z o ponto de interseção é dado por:

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Interseções de retas e planos:

➢ Substituir os pontos das retas no plano.

➢ Obter t e substituí-lo na reta, obtendo x, y, z.

Exercício:

Determine a interseção da reta x = 3 - 2t no plano x - 4y + z = - 2 . y = 1 + t

z = 2 + 3t 3 - 2t - 4(1 + t) + 2 +3t

- 3t = -3 t = 1

x = 3 - 2 . 1 x = 1 y = 1 + 1 y = 2 z = 2 + 3 . 1 z = 5

:. Vão se interceptar no pontoI(1, 2, 5)

Interseções de retas:

➢ As retas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas.

➢ As paralelas estão no mesmo plano reversas não.

Se os vetores direcionais forem múltiplos eles serão paralelos (r//s).

Exemplo:

x = 1 + 2t x = 4s r: y = - 1 + t s: y = 2 + 2s

z = 5 - 3 t z = 8 - 6s

v = (2, 1, -3) u = (4, 2, -6) => u = 2(2, 1, -3) u = 2v

u//v então r//s São paralelas

:. Logo a interseção é igual aI(2, 1, -3)

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Distância de um ponto a um plano:

Dado o plano∝e o ponto A∉∝para determinar a distância D(A,∝) do A ao ∝…

Onde A(x0, y0, z0) e

∝: ax + by + cz + d = 0 Exercício:

Determine a distância do ponto A(2, 4, 1) ao plano ∝:x + 5y + 3z - 13 = 0.

A(x0, y0, z0) e

∝: ax + by + cz + d = 0

Distância de um ponto a uma reta:

Dada a reta r e o ponto A a distância de A a r é feita por:

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Passos:

(i) Determinar a equação do plano que passa por A e é perpendicular a r;

(ii) Determinar o ponto I da interseção desse plano com r.

D(A, r) = D(A, I)

Exemplo:

x = 1 + 2t Determine a distância entre o ponto A(1, 2, - 1) a reta y = 5 - t

R: z = - 2 + 3t AP . v = 0

A(1, 2, -1) P(x, y, z) v(2, -1, 3)

(x - 1, y - 2, z + 1) . (2, -1, 3) = 0 2x - y + 3z + 3 = 0 (i)

∝∩r = {I}

2(1 + 2t) - (5 - t) + 3( - 2 + 3t) + 3 = 0 t = 3/7

(ii)

x = 1 + 2.3/7 = 13/7

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I: y = 5 - 3/7 = 32/7 z = - 2 + 3.3/7 = - 5/7

D(A, r) = D(A, I)

Distância entre retas reversas:

Dadas duas retas reversas r e s queremos saber como calcular a distância entre elas D(r, s).

Passos:

(i) Determinar a equação do∝que contém s ou r e que seja paralelo a r ou s;

D(r, s) = D(A,∝) (ii) Escolher um ponto;

(iii) Considerar um vetor direcional v da reta r ou u da reta s;

(iv) O plano determinado pelos vetores u e v passando por a.

Exemplo:

Determine a distância entre

x = 2 + t x = - 5 + 4t r: y = 1 - 3t s: y = 6 - 5t

z = 1 + 2t z = 4 + 3t R:

v = (1, -3, 2) u = (4, -5, 3)

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u x v = (1, 5, 7)

AP . (u x v) = 0

(x + 5, y - 6, z - 4) . (1, 5, 7) = 0 α: x + 5y + 7z = 53

D(r, s) = D(A, α)

Superfícies de revolução:

Exemplo:Elipsóide de Revolução 1) Deduzir a equação da superfície;

Suponha que a equação da elipse, no plano yz, seja:

2) Definir os pontos P, Q e R na superfície, tal que:

Analogamente, temos que

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3) Substituir o valor encontrado na equação da elipse, resultando em: Sendo a superfície desta equação

Fonte: GeoGebra

Generalizando:

1) Determinar P(x,y,z)

2) Encontrar R(0,0,z), o eixo de rotação 3) Determinar Q e verificar que Q∈C 4) Encontrar d(P,R) = d(R,Q)

5) Substituir o valor encontrado no tópico acima na equação dada pelo exercício.

Formas canônicas:

● Grupo (E): Elipsóide

Fonte: Adenilson Giovanni

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● Grupo (H1): Hiperbolóide de uma folha

Fonte: DocPlayer.com

● Grupo (H2): Hiperbolóide de duas folhas

● Grupo (PE): Parabolóide elíptico

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● Grupo (PH): Parabolóide hiperbólico

Fonte: GeoGebra

● Grupo (C): Cone quádrico

Fonte: GeoGebra

Curvas dadas por interseção de superfícies:

Uma curva no espaço não é determinada por somente uma intersecção. Determina-se, então, uma curva no espaço pela interseção de superfícies. O sistema constituído pelas equações das superfícies dá as equações cartesianas da curva.

Dessa maneira, generalizando:

1) Escreve-se a equação na forma canônica 2) Interseção da superfície com o plano yz: x=0 3) Interseção da superfície com o plano xz: y=0 4) Interseção da superfície com o plano xy: z=0

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5) Esboçar o gráfico

Exemplo:Encontre a curva resultante das interseções das superfícies para o seguinte modelo:

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3)

4)

5) O esboço do gráfico demonstra que as

interseções resultam em umhiperbolóide de uma folha.

Fonte: GeoGebra

Referências Bibliográficas:

REIS/SILVA.Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Ltc, 1996.