Comparação de Métodos de Segunda Ordem Para Determinação da Posição Geográfica

Texto

(1)

Comparação de Métodos de Segunda Ordem Para Determinação da Posição Geográfica

D is s e rta ç ã o a p re s e n ta d a ao C u rso d e Pós- G rad u a çã o em C iê n c ia s G e o d é s ic a s para a o b te n ç ã o do G rau de M e s tr e e m C iê n ­ cias p ela U n iv e rs id a d e F e d e ra l do Paraná.

U N IV E R S ID A D E FED ER AL D O P A R A N Á

1985

(2)

COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE SEGUNDA ORDEM PARA DETERMINAÇÃO DA POSIÇÃO GEOGRÁFICA

DISSERTAÇÃO

Apresentada ao Curso de Põs-Graduação em Ciên cias Geodésicas para obtenção do Grau de Mes­

tre em Ciências pela Universidade Federal do Paraná

por

ZIOCÊLITO JOSÉ BARDINI EngÇ Agrimensor

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÃ

1985

(3)

à minha mãe Nemézis, minha esposa Lourdes e meu filho Kamil

i

(4)

AGRADECIMENTOS

O autor deixa aqui registrado os mais sinceros agrade­

cimentos âs pessoas e instituições abaixo relacionadas:

José- Bittencourt de Andrade;

Camil Gemael;

Wanda Cristina Menezes;

Ao sogro Manoel Silveira de Souza;

Ao amigo Vanildo Rodrigues;

UFPR;

CAPES;

CNPq;

ACAFE ;

e a todos aqueles que indiretamente contribuiram na realização deste trabalho.

ii

(5)

S I N O P S E

Este trabalho consiste na determinação astronômica de segunda ordem da latitude, com o método de Sterneck, da longi tude, pelo método de Zinger, e comparação destes dois métodos com o método da determinação simultânea da latitude e da lon­

gitude por observação de estrelas em alturas iguais; utilizan do-se para esse fim um teodolito astronômico de segunda ordem Wild T2.

iii

(6)

A B S T R A C T

The purpose of this thesis is to compare second order astronomical methods for latitude and longitude determinations using a theodolite Wild T 2 , The methods to be compared are:

Sterneck for latitude; Zinger for longitude versus the method os simultaneous determination of latitude and longitude by observations of equal zenital distances.

iv

(7)

C O N T E Ú D O

pg

INTRODUÇÃO... 01

CAPITULO I REQUISITOS PRELIMINARES 1.1 LOCALIZAÇÃO DA ESTAÇÃO DE OBSERVAÇÃO... 03

1.2 MIRAS DE REFERÊNCIA... 03

1.3 INSTRUMENTOS E EQUIPAMENTOS... 04

1.4 CONTROLE E REGISTRO DO TEMPO... 05

1.4.1 CORREÇÃO PARA O ATRASO DE PROPAGAÇÃO DOS SI NAIS DE ALTA FREQÜÊNCIA... 07

1.4.2 TRANSFORMAÇÃO DO UTC EM U T l ... 08

1.5 POSIÇÃO DAS ESTRELAS... 09

1.5.1 REFRAÇÃO ASTRONÔMICA... 09

1.5.2 ABERRAÇÃO DIÃRIA... 10

1.6 CLASSIFICAÇÃO DAS DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS... 11

CAPÍTULO II DETERMINAÇÃO DA LATITUDE 2.1 DEFINIÇÃO... 13

2.2 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS... 13

v

(8)

2.3 MÉTODO DE STERNECK... 15

2.3.1 PRINClPICSDO MÉTODO... 15

2.3.2' CONDIÇÕES DO MÉTODO... 16

2.4 SELEÇÃO DAS ESTRELAS... 17

2.4.1 ELABORAÇÃO DO PROGRAMA DE OBSERVAÇÃO... 18

2.4.1.1 ESTABELECIMENTO DA PRIMEIRA CONDI - ÇÃO... 18

2.4.1.2 ESTABELECIMENTO DA SEGUNDA E TERCEI RA CONDIÇÕES... 19

2.5 RESULTADOS... 20

2.5.1 ANÃLISE DOS RESULTADOS... 21

CAPÍTULO I I I

DETERMINAÇÃO DA LONGITUDE

3.1 DEFINIÇÃO... 23

3.2 CONSIDERAÇÕES TEÕRICAS... 23

3.2.1 ESCOLHA DO MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DO ES­ TADO ABSOLUTO 2 4 3.3 MÉTODO DE ZINGER... 25

3.3.1 PRINCÍPIOS DO MÉTODO... 25

3.3.2 CORREÇÃO A SER INTRODUZIDA NO INSTANTE CRONO MÉTRICO DA ESTRELA DE OESTE... 27

3.4 SELEÇÃO DAS ESTRELAS... 28

3.4.1 ELABORAÇÃO DO PROGRAMA DE OBSERVAÇÃO... 29

3.5 DETERMINAÇÃO DO ESTADO RELATIVO... 31

(9)

3.6 CÃLCULO DA LONGITUDE... 32

3.7 RESULTADOS... 33

3.7.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS... 34

CAPÍTULO IV

DETERMINAÇÃO S IMUL T ÂNE A DA L A T I T U D E E DA LONGITUDE

4.1 INTRODUÇÃO... 35

4.2 ESTRELAS OBSERVADAS EM ALTURAS DIFERENTES:MODELO MA TEMÃTICO... 36

4.2.2 FORMA DAS MATRIZES A, B E CÃLCULO DA MATRIZ ILfa E DO VETOR W ... 40

4.3 ESTRELAS OBSERVADAS EM ALTURAS IGUAIS... 42

4.3.1 EQUAÇÃO DE OBSERVAÇÃO... 45

4.3.2 FORMA DA MATRIZ A E CÃLCULO DA MATRIZ ZL. ... 45

b 4.4 CONDIÇÕES DO MÉTODO... 46

4.5 SELEÇÃO DAS ESTRELAS... 47

4.6 ELABORAÇÃO DO PROGRAMA DE OBSERVAÇÃO... 49

4.7 RESULTADOS... 49

4.7.1 ANÃLISE DOS RESULTADOS... 51

CAPÍTULO V

CONCLUSÃO E COMENTÁRIOS

5.1 CONCLUSÃO... 53

5.2 COMENTÁRIOS... 56

NOTAS DE REFERÊNCIAS...

A P Ê N D I C E . . « ... 59

vil

(10)

INTRODUÇÃO

Embora a Astronomia de Posição venha através dos tem­

pos perdendo a sua importância prática, devido ao aparecimen to de novas técnicas, tal como rastreio doppler, ela possui a técnica mais barata para a determinação das coordenadas geo­

gráficas de um lugar.

Existem inúmeros métodos de determinação astronômica de segunda ordem, sendo o método de STERNECK, para a determina­

ção da latitude, e o método de SINGER, para a longitude, os mais empregados no Brasil.

Um outro método antes utilizado no Brasil é o da deter minação simultânea destas duas coordenadas por observação de estrelas no mesmo almicantarado. Neste método as observações são efetuadas com instrumentos especiais, denominados astrolá bios, que fixam o almicantarado, geralmente de 30° e 45° de distância zenital, através do uso de pêndulos ou de uma super flcie de mercúrio.

Com o aparecimento de astrolábios de alta precisão o

método da determinação simultânea passou a ser empregado ape

(11)

nas pelos observatórios astronômicos, caindo no esquecimento, a nível de segunda ordem, provavelmente devido ao volume de cálculos envolvidos e a falta de recursos computacionais da época.

O objetivo deste trabalho i analisar estes três méto­

dos de determinação astronômica utilizando-se, não um astrolá bio para o método da simultânea, mas sim o mesmo instrumento empregado no método de STERNECK e ZINGER, isto é, um teodoli­

to astronômico de segunda ordem.

(12)

CAPÍTULO I

RE QU IS ITOS P R E L I M I N A R E S

1 . 1 LOC AL IZAÇÃO DA ESTAÇÃO DE OBSERVAÇÃO

Como ponto de observação foi escolhida a estação cons­

truída pelo curso de PÕs-Graduação em Ciências Geodésicas, lo calizada no Campus Flãvio Suplicy de Lacerda do Centro Poli­

técnico da Universidade Federal do Paraná.

As coordenadas aproximadas desta estação determinadas por CAMPOS |0lj são:

< j > = 25°26 '53 ,67" S L = 03h 16min 55,34s W.

1 . 2 MIRAS DE R E F E R Ê N C I A

Como miras de referência de meridiano adotou-se as mi­

ras 1 e 2 de CAMPOS |0 3 | sendo que a mira 1, por encontrar-se

muito próxima da estação, foi utilizada apenas como orienta-

(13)

ção para encontrar a mira 2 , de difícil vizualização a olho nú.

MIRA 1

-Localização: Para-raio instalado no Bloco VI, sobre o curso de Põs-Graduação em Ciências Geodésicas.

-Nível: Ponta do para-raio à 00°17,56", abaixo do hori zonte do teodolito.

-Azimute: 21°16'28,61” + 0,78".

MIRA 2

-Localização: Topo do edifício situado na Rua Baltazar Carrasco dos Reis, 2650. Agua Verde.

-Nível: Filamento luminoso a 00°24'10", abaixo do hori zonte do teodolito.

-Azimute: 86°06'16,32" + 0,79.

1 . 3 INSTRUMENTOS E EQUIPAMENTOS

Como neste trabalho foi realizada a determinação da la titude e da longitude os instrumentos e equipamentos utiliza­

dos foram:

(14)

-CronSgírafo Omega Time Recorder 2 ; -Filtro Favag;

-Rádio modelo Transglobo da Philco;

-Teodolito Wild T2 n9 101327, com nível de Horrebow e sistema de iluminação completo;

-Termômetro de mercúrio;

-Barômetro aneróide;

-Bateria de automóvel de 12V.CC.

1 . 4 CONTROLE E REGISTRO DO TEMPO

Para controle e registro do tempo foram instalados o cronõgrafo OMEGA 104 | , o filtro Favag e o rádio conforme mos­

tra o esquema na Figura (1.3-1).

As estações emissoras de sinais horários escolhidas fo ram a WWV, MUELLER 10 5 1 , de coordenadas < ) > = 40°41' N e L = 105o02' W, com freqüência de transmissão de 15 MHz e emissão de sinais horários do tipo contínuo modulados na freqüência de 1000 Hz; e a WWVH, de coordenadas < f > = 20°46' N e L = 15 0°

28' W , com freqüência de transmissão de 15 MHz e sinais horá­

rios do tipo contínuo modulados na freqüência de 1200 Hz.

(15)

FILTR O

Fig, 1,3-1

(16)

1 . 4 . 1 CORREÇÃO PARA O ATRASO DE PROPAGAÇÃO DOS S I N A I S DE A L T A FREQÜÊNCIA

As ondas de alta freqüência se propagam de maneira mui to complexa entre a ionosfera e a superfície terrestre. Expe riências mostram que o valor médio da velocidade de propaga-

dio, varia entre 280 e 290 km/ms. Segundo MUELLER ]06| o BIH usa a fórmula empírica

para calcular esta velocidade quando a distância for maior que 1000 e menor que 4000 km.

Na expressão (1.4.1-1) , a = 139,41, b = 2,9 e d= D/1000 são constantes empíricas. Uma vez calculado VHF o tempo de pro pagação do sinal de rãdio será dado pela expressão

onde D é a distância em quilômetros que separa o transmissor do receptor.

O valor AT

h f

é a correção a ser subtraida do instante cronométrico no momento da recepção do sinal horário.

ção, entre a estação emissora e a receptora do sinal de rã-

VHF = (29° " d+b} km/mS (1.4.1-1)

(1.4.1-2)

Ainda segundo o mesmo autor, ATHF pode ser calculado

com suficiente precisão considerando = 285 km/ms. Este se

(17)

rã o valor adotado neste trabalho, tendo em vista que a dis­

tância da estação de observação ati a rádio WWV e WWVH, ê de aproximadamente 9.300 e 12.600 km, respectivamente.

Para a estação de observação a correção A

t h f

será de 0,033s e 0,044s, quando sintonizada, respectivamente, a rádio WWV e WWVH.

1 . 4 . 2 TRANSFORMAÇÃO DO UTC EM UT1

O tempo universal, UTl, é o que interessa â Astronomia, pois i o que representa o verdadeiro movimento de rotação da Terra.

Enquanto os astrônomos estão interessados em instantes precisos, os físicos necessitam de intervalos precisos. Procu rou-se assim obter uma escala de tempo que satisfizesse a am bos; criou-se então o tempo universal coordenado UTC, que é uma escala de tempo atômico internacional TAI, e que se apro­

xima do tempo universal UTl.

Os observatórios transmitem o UTC e como se está inte­

ressado no UTl, deve se fazer a seguinte correção:

UTl = UTC + DUT1 . (1.4.2-1)

O valor provisório de DUT1 é divulgado diariamente pe­

las estações que transmitem sinais horários. Os valores defi

nitivos podem ser encontrados na Circular D do BIH |0V j .

(18)

1 , 5 POSIÇÃO DAS ESTRELAS

As coordenadas uranogrãficas das estrelas observadas foram retiradas de EFEMÉRIDES ASTRONÔMICAS 1984 |0 8 | e ANUÁ­

RIO ASTRONÔMICO 1984 10 9 | , efetuando-se as interpolações de acordo com suas recomendações. Por serem determinações de se­

gunda ordem, os termos de curto-período em nutação foram ne gligenciados sendo levados em consideração apenas as correções físicas a seguir descritas.

1 , 5 , 1 REFRAÇÃO ASTRONÔMICA

Quando um raio luminoso passa através da atmosfera ter restre, a variação da densidade do ar causa uma mudança contí nua na sua direção de propagação, fazendo com que um objeto celeste seja visto mais elevado do que realmente está. Isto é, a refração astronômica diminui a distância zenital observa da. Portanto a correção a ser aplicada deve ser aditiva.

Não existem fórmulas exatas para o cálculo da refração astronômica; existem, isto sim, fórmulas aproximadas. Dentre as várias existentes optou-se por, ANDRADE |1 0 |;

R = arctg[arcsen(0,998745l86senZ1)]In [l+105,247.10 ^

(P/T)-16,4.10~6 (e/T)J, (1.5.1-1)

onde

(19)

R - Refração astronômica, em radianos;

P - Pressão atmosférica em mmHg;

T - Temperatura em graus Kelvin;

e - Pressão do vapor d'água em mmHg; e Z'- Distância zenital observada.

1 . 5 . 2 ABERRAÇÃO D I Á R I A

Aberração diária é o deslocamento aparente da posição das estrelas causado pelo movimento diário do observador em torno do eixo de rotação da Terra e a velocidade finita da luz.

Este deslocamento causa variações nas coordenadas das estrelas dadas por, HATSCHBACH |1 1 j:

daS = 0,0213S cos 4>cosHsecó ; (1.5.2-1)

dó " = 0,32" cos (JisenHsenõ ; (1.5.2-2)

onde

<j>

- Latitude astronômica do observador;

H - Ângulo horário do astro no momento da observação;

6 - Declinação do astro.

da e dó são as correções, respectivamente, para a as-

cenção reta e declinação.

(20)

1 . 6 C L A S S I F I C A Ç Ã O DAS DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS

As determinações astronômicas são classificadas em IBGE 112 1 :

-Determinações de alta precisão ou de primeira ordem;

-Determinações de precisão ou de segunda ordem;

-Determinações locais ou de terceira ordem.

CLASSE ERRO PADRÃO DA LATITUDE E LONGITUDE

ERRO PADRÃO DO AZIMUTE

Alta precisão Precisão

Local

DESEJÁVEL MÁXIMO DESEJÁVEL MÁXIMO 0,1" 0,3"

0,4" 1 ,0 "

1,5" 2,0"

0,2" 0,4"

0,5" 1,5"

3,0" 3,0"

As posições estelares deverão, obrigatoriamente,ser re feridas ao sistema do Fourth Fundamental Catalogue (FK4).

A posição final e o azimute deverão ser reduzidos ao polo médio 1900,0 - 1905,0, como definido pelo International Polar Motion Service (IPMS) e Bureau International 1'Heure

(BIH) .

Estas reduções são feitas pelas fórmulas, MUELLER | 131 :

-AZIMUTE

AA = A - A = - (xsenL + ycosL) seciji *; (1.6-1)

p p v

* Longitude contada negativamente por oeste.

(21)

-LATITUDE

(ysenL - xcosL)

(1 .6 - 2 )

-LONGITUDE

AL = L - L = - (xsenL+ ycosL) tgé.

p p v

J

3 (1.6-3)

Nas fórmulas (1.6-1), (1.6-2) e (1.6-3), x e y são as coordenadas do polo verdadeiro, A o azimute e os subscritos, p e v, indicam, respectivamente, elementos referidos ao polo médio 1900,0 - 1905,0 e valores referidos ao polo verdadeiro ou instantâneo.

Os valores de x e y são publicados mensalmente na Cir­

cular D, do BIH e nos Boletins do IPMS.

(22)

CAPÍTULO I I

DETERMINAÇÃO DA L A T I T U D E

2 . 1 D E F I N I Ç Ã O

Latitude astronômica de um lugar é o ângulo entre a ver tical do lugar e o plano do equador medido no plano do meri - diano local. Pode também ser considerado como a altura do po lo elevado.

2 . 2 CONSIDERAÇÕES TEÓRIC AS

No triângulo de posição (Fig. 2.2-l),é conhecida a co­

ordenada uranográfica < 5 da estrela E e pretende-se determi­

nar a latitude $. Para que isso seja possível ê necessário ob ter dois dos outros cinco elementos deste triângulo; usualmen te é medido diretamente a distância zenital Z e, indiretamen­

te, o ângulo horário H.

(23)

z

Fig. 2.2-1

A fórmula dos quatro elementos relativa ã lados, apli­

cada ao triângulo de posição fornece

cosZ = seni}>senô + cosi)>cos<5 cosH. (2.2-1)

0 efeito em $ devido à pequenos erros nas medidas de Z e H é dado pela diferencial de (2 .27I), cuja expressão, CAM­

POS | 14 | ,

d(j) = -secAdZ - cos<J>tgAdH, (2.2-2)

mostra que se o astro E for observado em sua passagem meridia na, o erro dH não terã efeito em | e um pequeno erro dZ, em Z, terá um efeito mínimo, resultando,porem, em um erro d<t> da mes ma grandeza que poderá ser eliminado observando as estrelas em pares, uma ao sul e outra ao norte do zinite.

Por esta razão, e também pela simplicidade dos cãlcu

los e das observações, foi escolhido o método de HORREBOW-TAL

COTT simplificado, também conhecido como método de STERNECK.

(24)

2 , 3 MÉTODO DE STERNECK

2 , 3 , 1 P R I N C Í P I O S DO MÉTODO

Este método de determinação da latitude consiste em observar duas estrelas em suas passagens meridianas, uma ao sul e outra ao norte do zénite, e nessas passagens medir suas distâncias zenitais.

z

Hs

N

Fig. 2 . 3.1-1

A figura (2.3.1-1) permite que se escreva

6

n

e

< 5 + Z s s

Somando estas duas expressões e considerando que

* Os subscritos n e s indicam elementos, respectivamente, das

estrelas que culminam ao norte e sul do zénite.

(25)

Z = D + Z + R

S O S

Z =

n Dn + Zo + Rn '

onde ZQ é a correção devido ao erro do zénite instrumental, D e R são, respectivamente, a distância zenital lida e a refra­

ção astronômica, resulta

6 + ó D - D R - R

* = — ---- + — ----

+

— ---- . (2 .3.1-1)

Esta é a expressão que fornece a latitude astronômica pelo método de STERNECK.

2 . 3 . 2 CONDIÇÕES DO MÉTODO

A análise da expressão (2.3.1-1) mostra que a maior fonte de erro sistemático reside no cálculo da refração astro nômica. Para que este erro seja minimizado a escolha dos pa­

res de estrelas deve satisfazer as seguintes condições, MAT­

TOS 115 | :

1 - As distâncias zenitais não devem exceder 45°;

2 - A diferença entre as distâncias zenitais das estrê las de cada par não deve exceder 5o ;

3 - 0 intervalo de tempo decorrido entre a observação

da 1? e 2^ estréia do par nao deve exceder 20 minu

tos.

(26)

Obedecendo estas condições MENEZES |l6|, organizou um catálogo com 3825 pares de estrelas. Para o uso deste basta o conhecimento aproximado da latitude e da hora sideral do iní­

cio das observações. Caso não se disponha deste catálogo pro cede-se da forma a seguir descrita.

2 . 4 SELEÇÃO DAS ESTRELAS

Para selecionar as estrelas, atendendo as condições do método, é necessário conhecer, além do fuso horário F, um va­

lor aproximado das coordenadas da estação de observação.

A latitude servirá para estabelecer os limites de de­

clinação, bem como para o cálculo da distância zenital aproxi mada que servirá como elemento de calagem do teodolito,enquan to que o fuso e a longitude L serão utilizados para o cálculo da hora legal aproximada da observação.

A ascenção reta o de um astro representa a hora side­

ral S no momento de sua culminação, enquanto que sua distân­

cia zenital é dada por

z = + U - ô ) . ( 2 . 4 - 1 )

Se ( — 6) for menor que zero, o astro culmina ao norte;

caso contrário, sua culminação se dará ao sul do zénite. Dito

isto, conclui-se que culminam ao sul do zénite todas as estre

las que tenham 6 menor que 4>; as demais culminam ao norte.

(27)

2 , 4 . 1 ELABORAÇÃO DO PROGRAMA DE OBSERVAÇÃO

Para a elaboração do programa de observação serã feito uso das coordenadas aproximadas já citadas no capítulo prece­

dente .

Uma vez decidida a hora legal do início do trabalho, o cálculo da correspondente hora sideral

ê

efetuado com a fõr mula, HATSCHBACH ]17|,

S = SO + L + (H

l

-F) (1 + X) (2.4.1-1)

sendo SO a hora sideral à zero hora TU e X = 0,002737909265,

2 . 4 . 1 . 1 E ST AB EL E CI ME NT O DA P R I M E I R A CONDIÇÃO

De acordo com a primeira condição estabelecida (item 2.3.2) as estrelas que culminam ao sul do zénite têm como de­

clinação máxima

6S = 4 > - 45° ,

e as estrelas que culminam ao norte

ôn =

-<p

+ 45° .

Portanto, para esta estação, toda estrela que tiver a

declinação menor que -25° 27* culminará ao sul; porém sõ aten

(28)

derã a primeira condição se

6

for maior que -70° 27'. As es­

trelas de declinação maior que -25° 27', culminam ao norte ; contudo, somente as de declinação menor que 19° 33' atenderão a primeira condição.

2 . 4 , 1 . 2 E S T A B EL E CI M EN TO DA SEGUNDA E T E R C E I R A CONDI - ÇÕES

A segunda condição diz que uma vez selecionado um com­

ponente de um par, o outro deverá ser escolhido de forma que

4 - + Zn - 5o < 6n < Zs + 5o + *,

tendo também em mente, da terceira condição, que sua ascenção reta esteja no intervalo

a

- 20 min <

a

<

a

+ 2 0 min

s n s

e é óbvio que

a

e

a

não devem ser inferiores a S.

^ s n

A hora legal das observações será dada por

HL = (S-SO+ÀL) /(1+À)+F-L, (2.4.1.2-1)

OBSERVAÇÕES:

1. Segundo MUELLER |18|, dependendo da precisão deseja da, o meridiano deve ser conhecido com erro de 1 a 5 minutos

de arco.

(29)

2. No momento das observações ocorrem casos em que apa rece mais de uma estrela no campo da luneta, ficando em dúvi­

da sobre qual ê a constituinte do par. Esta incerteza pode ser removida fazendo constar da caderneta de observação, além dos elementos de calagem, o brilho da estrela a ser observada.

2 , 5 RESULTADOS

Com o objetivo de analisar os resultados obtidos com este método de determinação da latitude foram trabalhadas três noites, adotando-se a média de todas as determinações como va lor definitivo.

O valor adotado para a latitude, em cada noite de tra­

balho, foi a média aritmética das determinações feitas nesta noite e o erro médio quadrático foi calculado com a fórmula

m = + i/ .Lvv. L , (2.5-1)

n(n-1)

onde |w| é o somatório do quadrado dos resíduos e n o número de pares observados.

Na primeira noite, dia 25 de junho de 1984 foram obser vados 23 pares, sendo que dois foram rejeitados. Os 21 restan tes forneceram o seguinte valor para a latitude da estação

( f . = -25° 26' 56,54" + 0,302".

(30)

Na segunda, dia 29 de junho de 1984, foram observados 13 pares e, após a rejeição de 2 deles, foi obtido

< j > = -25° 26' 56,37" + 0,503" .

E na terceira noite, dia 10 de julho de 1984, a obser­

vação de 12 pares resultou em

< J > = -25° 26' 55,85" + 0,374" ,

após a rejeição de um dos pares.

Comovalor definitivo, para a latitude da estação, foi adotado

< t > = -25° 26' 56,42" + 0,200"

que i a média aritmética de todas as determinações efetuadas, e aceitas, nas três noites de trabalho.

2 . 5 . 1 A N Á L I S E DOS RESULTADOS

Uma rápida análise dos resultados, obtidos em cada noi te de trabalho, mostra que o elevado número de pares não au­

menta significativamente a precisão do resultado final.

Foram realizados alguns testes, como por exemplo, cál­

culo da média e do erro médio quadrático de apenas 7 pares, e

(31)

concluído que estes valores não diferem significativamente dos obtidos com todos os pares obeservados em uma noite.

0 tempo gasto para a observação de 12 pares de estrelas foi de aproximadamente 3 horas, sendo que este tempo pode ser reduzido se um Apparent Places of Fundamental Star for dispo­

nível .

Todos os cálculos relativos a este capítulo foram rea­

lizados pelos programas PROSTp.FOR e STERNE.FOR, ambos em lin guagem Fortran IV, cujas listagens estão no Apêndice. 0 pri­

meiro tem por objetivo organizar o programa de observação, en

quanto o segundo executa o cálculo da latitude.

(32)

CAPÍTULO I I I

DETERMINAÇÃO DA LONGITUDE

3 , 1 D E F IN IÇ Ã O

Longitude astronômica de um lugar ê o ângulo entre o plano do meridiano astronômico deste lugar e o plano do meri diano astronômico médio de Greenwich, medido sobre o plano do equador. Sua determinação está baseada na equação

L = H 1 - Hq (3.1-1)

onde a hora astronômica local, H^, ê determinada por observa­

ções astronômicas e a hora astronômica de Greenwich, Hç, ê transmitida pelos principais observatórios do mundo, através do rádio, em forma de sinais horários.

3 , 2 CONSIDERAÇÕES TEÓ R IC AS

Não se costuma acertar o cronômetro com a hora astronô

(33)

mica, mas sim determinar o seu estado E, isto é, a diferença entre a hora astronômica e a hora cronométrica T, correspon­

dente ao mesmo instante físico.

Surge assim a definição de estado absoluto como sendo a diferença entre a hora astronômica local e a hora cronomê trica T, ou seja

E = H 1 - T , (3.2-1)

e estado relativo como sendo a diferença entre a hora astronô mica em Greenwich e a hora cronométrica T, isto é,

E' = H

q

- T. (3.2-2)

Isolando e Hç, respectivamente em (3.2-1) e (3.2-2) e substituindo-se em (3.1-1), obtem-se

L = E - E ' , (3.2-3)

que é a equação, prática, utilizada para a determinação da lon gitude.

3 . 2 . 1 ESCOLHA DO MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DO ESTADO ABSOLUTO

A análise da equação fundamental da astronomia

S = H + a (3.2.1-1)

(34)

mostra que a precisão da hora sideral S, está diretamente re­

lacionada com a precisão com que o ângulo horário, H, é deter minado.

No triângulo de posição (Fig. 2.3-1) se conhece a lati^

tude e as coordenadas uranogrãficas do astro e pretende-se ob ter o ângulo horário. Para que isto seja possível á necessã - rio medir pelo menos um dos outros três elementos;normalmente é medida a distância zenital.

O erro em H, devido a pequenos erros na latitude e na medida de Z, é dado por

dH = -sec<J>cotgAd<J> - sec<j>cossecAdZ. (3.2.1-2)

0 efeito devido a d<J> pode ser eliminado observando o as tro no primeiro vertical; enquanto que o erro devido a dZ se- rã nulo observando pares de estrelas na mesma altura, uma a leste e outra a oeste, em posições simétricas em relação ao meridiano.

Por esta razão e também pela simplicidade das observa­

ções foi escolhido o método de ZINGER para a determinação do estado absoluto do cronômetro.

3 , 3 MÉTODO DE ZING ER

3 , 3 , 1 P R I N C Í P I O S DO MÉTODO

(35)

Este método de determinação da hora, ou do estado abso luto do cronômetro, consiste em se cronometrar as passagens de duas estrelas, uma a leste e outra a oeste do meridiano, o mais próximo possível do primeiro vertical, quando atingem o mesmo almicantarado.

As fórmulas que permitem o cálculo do estado absoluto, por este método, são, GEMAEL |1 9 |:

E o a + c - (Te+Tw )/2 - m(Tw -Te )/2 ; (3.3.1-1)

(3.3.1-2)

3 = U e - 6w )/2 ; (3.3.1-3)

a = (a +

a ) /

2

;

e w (3.3.1-4)

b = (6 + 6 )/2 ;

e w

'

' (3.3.1-5)

y = (Te-Tw>/2 - « - m(Tw -Te)/2 ; (3.3.1-6)

t g M

= tgbtg3coty ;

e

(3.3.1-7)

sen(M+C) = tg<j>tg3cosMcosecy. (3.3.1-8)

Sendo

a , ô , a , , ô.

as coordenadas uranogrãficas das

e e w w 3

estrelas observadas, respectivamente, a leste e oeste do meri

diano; Tg o instante cronomêtrico da passagem da estrela de

(36)

leste pelo almicantarado selecionado; m a marcha horária do cronômetro e, finalmente, Tw é o instante cronométrico refe - rente a estrela de oeste, corrigido do erro de inclinação do eixo secundário do teodolito.

0 valor de c também pode ser calculado com a formula aproximada

° S = T ? 15 seny tgy ' ( 3 . 3 . 1 - 9 )

sempre que o módulo de 3 for menor que 0,75 graus.

3 . 3 . 2 CORREÇÃO A SER INTRODUZIDA NO INSTANTE CRONOMÊ- T R IC O DA E S T R E L A DE OESTE

Para se obter bons resultados neste método é imprescin dível o uso de um teodolito dotado de nível fixo de precisão ou então de nível de Horrebow, pois, devido ao nivelamento de feituoso ou a qualquer imperfeição das retificações do teodo­

lito, as duas estrelas não são observadas na mesma altura.

Para que o instante cronométrico da estrela de oeste esteja referido ao mesmo almicantarado em que foi observada a estrela de leste, é necessário fazer a correção, MATTOS j 2 0 1:

Tw = T ' w ± <dw " de } k / ( d Z / d H ) , ( 3 . 3 . 2 - 1 )

onde k é a constante do nível; d e d são as leituras do ní-

w e

(37)

vel no momento da observação da estrela de oeste e leste ; T 1 é o instante cronomitrico da estrela de oeste; e,finalmen te

^ = 15cos$cosbseny/senZ dZ (3.3.2-2)

é a velocidade zenital comum às duas estrelas.

Na fórmula (3.3.2-1) é usado o sinal positivo no caso do zero da graduação do nlvel estar no lado da ocular e o ne gativo em caso contrário.

Ê evidente que esta correção pode ser eliminada fazen­

do com que as leituras do nível sejam iguais para as duas es trelas, o que é conseguido agindo no parafuso do movimento ze nital da luneta.

3 . 4 SELEÇÃO DAS ESTRELAS

Para a seleção das estrelas este método requer o conhe cimento do fuso, da latitude, com erro inferior a l',e da lon gitude com erro não superior a 2 min.

A latitude servirá para, além dos cálculos dos elemen­

tos de calagem do teodolito, o cálculo final do estado absolu to, enquanto o fuso e a longitude serão utilizados para o cãl_

culo da hora legal aproximada da observação.

(38)

3 . 4 , 1 ELABORAÇÃO DO PROGRAMA DE OBSERVAÇÃO

Como a maior dificuldade deste método i a elaboração do programa de observação, MATTOS |2 1 | elaborou um catálogo com 166 pares de estrelas que, devido a pequena diferença das de­

clinações das estrelas de cada par, permitem o emprego da fõr mula aproximada (3.3.1-9).

Neste catálogo entra-se com a latitude e a hora side­

ral do início dos trabalhos e retira-se todos os elementos de calagem necessários às observações.

Caso não se disponha deste catálogo procede-se da ma­

neira descrita a seguir.

Uma vez calculada a hora sideral do início dos traba­

lhos procura-se duas estrelas que tenham declinações próximas*

e que suas ascenções retas não defiram por mais de 8 horas**, e cuja média seja superior a hora sideral do início, pois es­

ta média representa a hora sideral aproximada em que estas es trelas atingem o mesmo almicantarado.

Com as fórmulas

He = S - ae - 3min (3.4.1-1)

* Para que se possa empregar a fórmula aproximada(3.3.1-9) e seus azimutes serem aproximadamente simétricos.

** 0 valor 8 horas ê empírico, apenas para que as estrelas não

sejam observadas muito baixas.

(39)

e

H w S - a + 3min

w

t

(3. 4.1-2)

onde S representa a média das ascenções retas, são calculados os ângulos horários provisórios das duas estrelas.Devido a im possibilidade de se observar as duas estrelas no mesmo instan te, é costume observar a de leste 3 minutos antes e a de oes­

te 3 minutos depois, o que explica a inserção deste valor nas fórmulas acima.

O cálculo da distância zenital comum as duas estrelas é feito com a fórmula

onde 6 = (6 + 6 ) /2 e H = |h | = |h I .

e w ' e w

A seguir com a expressão (3.4.1-3) são calculados Hq e H^, fazendo, respectivamente, 6 = e 6 = 6^. Fazendo, ago ra, H = -H e H = Hw , na expressão (3.2.1-1) são calculados Sg e Sw , que substituidos na expressão (2 .4 .1 .2-1),fornecerão as horas legais das observações.

cosZ = cos<{>cos<5 + sen<f>senôcosH , (3.4.1-3)

Finalmente a expressão

cosA = (senô - sen<j>cosZ) /cos <j>senZ , (3.4.1-4)

permite que se calcule os azimutes A e A , considerando res- e w

pectivãmente, 6 = ôQ e 6 = 6 .

(40)

3 , 5 DETERMINAÇÃO DO ESTADO R E L A T IV O

A recepção dos sinais horários é feita conectando o cronõgrafo, o filtro e o rádio conforme mostra o esquema da figura (1.3-1); a seguir é sintonizada, por exemplo, a rádio WWV e ajustado o seletor do filtro para 1000 Hz. O sinal horã rio passando pelo filtro é amplificado sensibilizando o rele, intrínseco ao filtro, que por sua vez aciona o cronõgrafo re­

gistrando o instante cronométrico em fita de papel. Se a re cepção for boa o cronõgrafo será acionado a todo pulso de se­

gundo emitido pelo rádio.

Quinze segundos antes de se completar o minuto, a hora UTC, é anunciada sendo ouvido um sinal de 0,8s de duração,que também acionará o cronõgrafo, registrando o instante cronomé­

trico, T', referente ao UTC antes anunciado.

Acontece, porém, que o acionamento do cronõgrafo ocor­

re somente após o término do sinal, por isso ê preciso fazer uma correção de -0,8s no instante T 1. Logo o instante cronomê trico, T, corrigido é dado por

T = T' - 0,8s - AT

h f

, (3.5-1)

sendo AT

h f

calculado com a expressão (1.4.1-2).

A seguir ê feita a transformação do UTC para UTl e fi­

nalmente é calculado o estado relativo com a fórmula

E'm = UTl - T, (3.5-2)

(41)

se o cronõgrafo, ou cronômetro, for médio, e

E 1 = UTl . 1,002737909265 + SO - T

s (3.5-3)

se for sideral.

3 , 6 CÁLCULO DA LONGITUDE

Uma vez calculado o estado relativo E 1 ou E 1 o cálcu

m s —

lo da longitude é feito com a fórmula (3.2-3) sendo que, se o cronõgrafo for sideral, o estado absoluto atualizado, E, é da do por

sendo T = (T + T )/2.

o e w

Se o cronõgrafo for médio o estado absoluto atualizado é dado por

Naturalmente que o valor de E' utilizado na expressão (3.2-3) será E' ou E's , conforme se trabalhe com cronõgrafo médio ou sideral.

E = E + m(T - T )

o o (3.6-1)

E = E

q

+ m(T - T q )+ 0,002737909265 (T - T ) . (3.6-2)

(42)

3 , 7 RESULTADOS

Pelas mesmas razões citadas no Capítulo II foram traba lhadas três noites sendo adotado como valor definitivo para a longitude, a média de todas as determinações.

Na primeira noite, dia 30 de julho de 1984,foram obser vados 9 pares, sendo que dois foram rejeitados. Os 7 restan­

tes forneceram o seguinte valor para a longitude da estação

L = -3h 16min 55f204s + 0,062s .

Na segunda, dia 31 de julho de 1984, foram observados 18 pares e, após a rejeição de um deles, resultou

L = -3h 16min 55,1483 + 0,046s.

Finalmente, na noite de 26 de agosto de 1984, foram ob servados 19 pares sendo obtido

L = -3h 16min 55,218s + 0,021s,

sendo que nenhum deles foi rejeitado.

Como valor definitivo para a longitude foi adotado

L = -3h 16min 55,189s + 0,023s ,

que representa a média de todas as determinações efetuadas, e

aceitas, nas três noites.

(43)

3 . 7 , 1 A N Á L IS E DOS RESULTADOS

A análise dos resultados obtidos nas três noites de tra balho, mostrou que apenas 7 pares, embora forneçam uma média compatível com a média obtida com 18 e 19 pares, não apresen­

tam erro médio quadrático muito bom.

Alguns testes realizados com os valores obtidos no dia 31 de julho e 26 de agosto, mostraram serem necessários,em mé dia, 8 a 12 pares para resultar em erro médio quadrático com­

patível com as determinações de segunda ordem.

A experiência adquirida no decorrer das observações mos trou que é preferível ler o nível de Horrebow, nos momentos das cronometragens das passagens das estrelas de leste e oes­

te, e fazer a correção citada no item 3.3.2, do que simples - mente fazer a coincidência destas leituras agindo no parafuso do movimento zenital da luneta, pois, além de mais cômodo for nece melhores resultados.

Todos os cálculos relativos à este capítulo foram exe­

cutados pelos programas PROZIN.FOR e ZINGER.FOR, ambos em lin guagem Fortran IV, cujas listagens estão no Apêndice. 0 pri­

meiro tem por objetivo preparar a caderneta de observações,en

quanto que o segundo executa os cálculos da longitude.

(44)

CAPÍTULO IV

DETERMINAÇÃO S IM U LTÂ N EA DA L A T IT U D E E DA LONGITUDE

4 . 1 INTRODUÇÃO

Nos Capítulos II e III foram vistos métodos específi­

cos para a determinação isolada da latitude (STERNECK) e da longitude (ZINGER). Este capítulo tratará das maneiras de de­

terminar simultaneamente estas duas coordenadas por meio das mesmas observações e não por observações específicas ã deter­

minação, quer da latitude, ou quer da longitude.

Este método de determinação está fundamentado na ex­

pressão

cosZ = sen<f>senô + cos<}>cosô cosH, (4.1-1)

onde

H = T + L + E ' - a .

Ê devido a GAUSS a solução deste problema, pois são de

le as formulas que permitem obter, pelo processo direto, pri-

(45)

meiramente L e depois <j>, desde que se observe os instantes cro nomêtricos das passagens de três estrelas pelo mesmo círculo de alturas, sendo completamente dispensável o conhecimento des ta altura. Para que a solução por este processo direto forne­

ça bons resultados os azimutes das estrelas que formam o ter no de GAUSS devem diferir, um dos outros, de mais ou menos 120

graus.

A análise da expressão (4.1-1) mostra que é possível fa­

zer uma pequena modificação em sua forma e, partindo de valo res aproximados das coordenadas, determinar correções à estas coordenadas pelo método dos mínimos quadrados ou mesmo grafi­

camente. A solução gráfica, muito utilizada no passado, tor­

nou-se , com o advento das calculadoras e dos computadores, ob soleta, por isso não será objeto de estudos neste trabalho.

Na solução apresentada por GAUSS são cronometradas as passagens de três estrelas pelo mesmo almicantarado; já na so lução pelos mínimos quadrados são necessárias observações su­

perabundantes, sendo necessário cronometrar pelo menos quatro estrelas na mesma altura, não sendo necessário o seu conheci­

mento, ou então em alturas diferentes, sendo que neste caso es tas devem ser conhecidas com bastante rigor.

4 , 2 ESTRELAS OBSERVADAS EM ALTURAS D IF E R E N T E S ? MODELO MATEMÁTICO

Quando as estrelas são observadas em alturas diferen-

(46)

tes as observações são as leituras do círculo vertical, DV, e os instantes cronométricos T, portanto não é possível expres­

sar as observações como função explícita das incógnitas. A so lução pelo método dos mínimos quadrados exige, então, que se escreva a equação (4.1-1) na forma (método combinado)

F(La / xa} = 0 ' (4.2-1)

onde L é o vetor (n x 1) das observações ajustadas e X„ o ve-

a. ct

tor (u x 1) das incógnitas ajustadas e F simboliza as r equa­

ções .

0 desenvolvimento de Taylor conduz a (4.2-1) ao modelo linearizado, CAMIL |2 2 |:

rA u uX l + rBn nV l + rW l = 0 (4.2-2)

onde

A = 3 F

3X X ,L, o b

B = 3F

3L X ,L, o' b

W = F (x0 ,Lb )

X =

3. O

v =

L - L, a b

(4.2-3)

(4.2-4)

(4.2-5)

(4.2-6)

(4.2-7)

(47)

sendo

XQ : vetor dos parâmetros aproximados;

X a : vetor dos parâmetros ajustados;

: vetor das observações;

: vetor das observações ajustadas;

n ; número de observações;

u : número de parâmetros;

r : número de equações.

A solução do sistema de equações (4.2-2) é dado por:

M = BP-1BT ; (4.2-8)

X = - (ATM _1A)“1ATM -1W; (4.2-9)

K = -M 1 (AX+W); (4.2-10)

V = P 1BTK; (4.2-11)

onde a matriz dos pesos P é

P = a 2 ZT , (4.2-12)

0 b

2 ^ ^

sendo aQ a variancia da observaçao de peso unitário à priõri e a matriz variância-covariância das observações.

Uma vez calculado o vetor das correções X e o vetor

dos resíduos V, os parâmetros e as observações ajustadas são

(48)

dados por

Xa = Xo + X ; (4.2-13)

L a = Lb + V ' (4.2-14)

enquanto a matriz variância-covariância dos parâmetros na i- ésima iteração

ê

dada por, DALMOLIN |2 3 |

Zxa« = 50 <AI M IX A i r l ' (4.2-15)

e a matriz variância-covariância dos valores observados ajus­

tados é calculada com a fórmula

Jai

ô 2

P +P BTM. A. (ATM. A. )

- 1 —1 T — 1 T - 1 - 1

l i i l l 1

T -1 -1 -1 T -1 -1 ATM. B.P -P BTM. B.P

i l l 1 1 1 (4.2-16)

sendo

V P V

az = ----

0 n- u (4.2-17)

a variância da observação de peso unitário à posteriori.

A expressão (4.1-1) escrita na forma da (4.2-1) é

arccos[sen<)>sen6^ + cos<j>cos<$i cos(T.j+E'+L-a^)] -

(49)

onde i = l',2,...r, sendo r o número de estrelas observadas, R é a refração astronômica calculada com a (1.5.1-1) e ZQ será considerado incógnita para absorver erros constantes na dis­

tância zenital, como por exemplo, o erro do zénite instrumen­

tal, erro de colimação, etc.

4 . 2 , 2 FORMA DAS M ATRIZES A , B E CÁLCULO DA M ATRIZ

^

E DO VETOR W

A matriz A, formada pelas derivadas parciais da equa­

ção (4.2-18) em relação'as incógnitas <J>, L e ZQ tem a forma

cosA^ cos^senA^ -1 C0SA2 cos<í>senA2 -1

cosAr cosiJ>senAr -1

A matriz B, formada pelas derivadas parciais em rela ção as observações DV^, ,...., DVr , Tr , assume a forma

1 cos<)>senA^ 0 0 0 0 0 0

0 0 - 1 cos<í >senA2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -1 cos<J>senAr Bo =

r 2r

r 3

(50)

Nestas duas matrizes os azimutes A^ devem ser calcula­

dos com a fórmula

A. = arcsen|cosô.sen(T.+L+E'-a.)/sen(DV.+Z +R.) I.

1 1 1 . 3> 1 1 O «L

A matriz variância-covariância das observações, Ej^/ é montada em função da precisão dos instrumentos utilizados, su pondo as observações independentes entre si. A forma desta ma

triz é

El, = DIAG(o2DV, a 2T. o2DV~

o

2

T ~

a2DV a2T ) ,

b 1 1 2 2 r r

sendo a2DV^ e a2l\ dados por, ROELOFS ]24]:

a2D V . = m 2 + i m 2 ; e (4.2.2-1) i va N vp

a2T ± = | m 2 , (4.2.2-2)

onde N é o número de retículos em que a estrela foi observada, mva ' e mt são valores que dependem do tipo de teodolito e

cronômetro utilizados, estes valores são:

mva = 0,4" e m = 1 ,8" para teodolitos geodésicos com fator de ampliação de 40 vezes;

mva = 1 , 8 " e m = 2,5" para teodolitos com fator de ampliação de 28 vezes;

m. = 1 ,0 " quando a cronometragem é executada com cronõ

(51)

grafo, e

mt = 1,5" quando for utilizado cronômetro.

0 vetor erro de fechamento W ê dado pela valorização da equação (4.2-18) com os parâmetros aproximados 4>q, Lq , Zq , e o vetor das observações L^, sendo que o valor inicial do parâme tro ZQ pode ser considerado nulo.

4 . 3 ESTRELAS OBSERVADAS EH ALTURAS IG U AIS

Quando se fixa um determinado almicantarado são obser­

vados apenas os instantes que as estrelas o atingem, com isso a equação (4.1-1) pode ser escrita na forma

= F ( X J , (4.3-1)

cl d

que é a característica do método paramétrico ou das equações de observações.

0 desenvolvimento de Taylor conduz a (4.3-1) ao modelo linearizado, CAMIL |2 5 |

A X, , L. = V. , (4.3-2)

n u u l + n l n l

onde

A = 3F 9Xa

(4.3-3)

Xo

(52)

L = Lo - Lb ; (4.3-4)

Lo = F(X0) ; (4.3-5)

X = X - X„ ; (4.3-6)

ci O

V = L a - Lb ; (4.3-7)

sendo

XQ : vetor dos parâmetros aproximados;

X& : vetor dos parâmetros ajustados;

Lb £ vetor das observações;

L& : vetor das observações ajustadas;

n : número de equações que é igual ao número de obser vações;

u : número de parâmetros.

A solução do sistema de equações (4.3-2) é dado por:

X = -N 1U ; (4.3-8)

U = AT P L ; (4.3-9)

N = AT P A ; (4.3-10)

onde a matriz dos pesos P i -1

? = o ZLb (4.3-11)

(53)

sendo

a2 : a variância da observação de peso unitário àpriõ ri; e

£1.^: a matriz variância-covariância das observações.

Uma vez calculado o vetor dos resíduos e o vetor das correções os parâmetros e as observações ajustadas são dadas por

dos dos valores ajustados é necessário resolver o sistema de equações (4.3-2) uma ou mais vezes, tomando como vetor dos va lores aproximados, os valores ajustados antes calculados.

A matriz variância-covariância dos parâmetros ajusta - dos, na i-ésima iteração, é dada por

X = X + X ,

a o ' e (4.3-12)

(4.3-13)

Dependendo de quão afastados estão os valores aproxima

EX = ô2 N -1

a o

/ (4.3-14)

onde

V P V T

(4.3-15) a o n - u

é a

variância da observação de peso unitário à posteriori.

(54)

4 . 3 , 1 EQUAÇÃO DE OBSERVAÇÃO

A equação (4.1-1) escrita na forma da (4.3-1) é

= a r c c o s (

cosZ - sen4>sen<5.

i ) - L - E/ teu (4.3.1-1)

onde i = 1 ,2 ,...n, sendo n o número de estrelas observadas, e Z por ser constante para todas as estrelas observadas serã tra tado como incógnita.

4 , 3 , 2 FORMA DA M ATRIZ A E CÃLCULO DA MATRIZ E L a

A matriz A formada pelas derivadas parciais da equação (4.3.1-1) em relação aos parâmetros <J>, L e Z, tem a forma

-cotgA^sec<|> -1 sec<|>cossecA^

-cotgA2seci}> -1 sec<|>cossecA2

r h =

-cotgAnsec<f> -1 sec<f>cossecAn

onde os azimutes A^ são calculados com a fórmula

se n A .

i senH.cos 6.cossecZ (4.3.2-1)

(55)

onde

cosH. = (cosZ - sen<í>senô . )/(cos<í>cosô . ) . (4.3.2-2) 1

A matriz variância-covariância das observações, supon­

do que as covariâncias sejam nulas, resulta diagonal e tem a forma

EL, = DIAG (a2T.. a2T 0 ü 2T _ ... a2T ) ,

b 1 2 3 n

sendo 0

2

dado por

=

n

m t + mh ---- ' (4.3.2-3)

sen2A^

onde m^ = 1,5" e m^ = 0,9", para teodolitos que possuam o ní_

vel do prato com precisão de 20"/2mm e 7"/2mm, respectivamen­

te, finalmente m^ = 1,0" se for utilizado o nível de Horrebow para assegurar que as estrelas sejam observadas no mesmo almi

cantarado.

4 , 4 CONDIÇÕES DO MÉTODO

Segundo ENNE |26[ para que este método de determinação

forneça bons resultados, tanto para a latitude quanto para a

longitude, ê recomendado observar um mesmo número de estrelas

em cada um dos quatro quadrantes, tendo o cuidado de que seus

azimutes não se afastem muito da região central destes. Desta

forma seus azimutes devem estar entre 30° a 60° no primeiro

(56)

quadrante, 120° a 150° no segundo, 210° a 240° no terceiro, e finalmente 300° a 330° no quarto quadrante.

Quando se observa as estrelas num mesmo almicantarado e o tempo decorrido entre a primeira e a última estrela for su perior a duas horas, é aconselhado tratar estas observações em

dois ou mais grupos, determinando para cada grupo coordenadas ajustadas da estação, assumindo como valor final, para as co­

ordenadas, a média aritmética dos grupos. Este cuidado evita­

rá que possíveis variações das condições atmosféricas venham afetar os resultados.

Quando as estrelas são observadas em alturas diferen­

tes não há necessidade de se dividir estas em grupos, contudo, devido aos erros inerentes ao cálculo da refração astronômica, as distâncias zenitais não devem exceder 60° e nem diferir,en tre si, por mais de 5o .

4 . 5 SELEÇÃO DAS ESTRELAS

Como neste trabalho foram realizadas experiências apenas no método das alturas iguais será apresentada apenas a manei­

ra de selecionar as estrelas que cortam o almicantarado de 30°

de distância zenital, pois foi neste almicantarado que as ex­

periências foram realizadas.

Para as latitudes do Brasil, as estrelas têm um ângulo

(57)

horário que normalmente não vai além de 2 horas, quando atin­

gem o dito almicantarado; i este valor que permite estabele­

cer os limites das ascenções reta das estrelas a serem obser­

vadas .

_ \

Supondo que se queira iniciar as observações as S ho­

ras siderais os limites das ascenções retas serão, COELHO 1271

a = S + 2 horas,

e '

para as estrelas observáveis â leste, e

a = S - 2 horas, w

para as de oeste.

já os limites para as declinações serão, para as estre las que cruzam o citado almicantarado

ao sul * 6 = < t > - 29°

ao norte 5 = < | > + 2 9°

a leste e oeste 6 = c j > ; a nordeste e noroeste 6 = ( ) > + 15°

a sudeste e sudoeste < 5 = < f > - 15°.

Evidentemente as estrelas que têm declinação compreen­

didas entre < j > + 15° e $ - 15° são as que melhor satisfazem as condições de azimutes citadas no item 4.4.

Estes valores são aproximados

(58)

4 , 6 ELABORAÇÃO DO PROGRAMA DE OBSERVAÇÃO

Uma vez definida a hora sideral do início dos trabalhos e feita a seleção das estrelas, respeitando os limites para as ascenções reta e declinação, os respectivos azimutes e ho­

ras siderais das observações são calculados com as fórmulas

cosA =-(senô-sen<}>cosZ) sec<j>coscZ (4.6-1)

e

S = H + ct , (4.6-2)

onde

senH = senZsecôsenA (4.6-3)

sendo que S pode ser convertido para hora legal com a (2.4.1.

2- 1 ) .

4 . 7 RESULTADOS

Com o intuito de fazer a comparação dos valores forne­

cidos por este método de determinação astronômica com aqueles obtidos com o emprego do método de Zinger e Sterneck, foram efetuadas observações em quatro noites diferentes resultando os valores relacionados a seguir.

Na primeira noite, dia 26 de agosto de 1984, foram ob­

servadas 19 estrelas, sendo 6 no primeiro quadrante; 4 no se

(59)

gundo; 6 no terceiro e 3 no quarto. O resultado foi o seguin­

te

< j > = -25° 26' 56 ,564 + 0 ,561" e L = -3h 16 min 54,997s + 0,038s.

Na segunda noite, dia 9 de setembro de 1984, foram ob servadas 6 estrelas no primeiro quadrante; 7 no segundo; 6 no terceiro e 5 no quarto, perfazendo um total de 24 estrelas,re sultando

4» = -25° 26' 56,523" + 0,517" e

L = -3h 16min 55,106s + 0,036s.

Na terceira noite, 12 de setembro de 1984, foram obser vadas 21 estrelas com o seguinte resultado

< J >

=

-25° 26' 56,249 + 0,553" e

L = -3h 16min 55,261s + 0,038s,

estando as estrelas assim distribuídas: 6 no primeiro quadran te; 4 no segundo; 5 no terceiro e 6 no quarto.

Finalmente, na noite do dia 26 de setembro de 1984, fo ram observadas 32 estrelas, resultando

4 = -25° 26' 56,957" + 0,429" e

(60)

L = -3h 16min 55,149s + 0j030s ,

sendo 8 estrelas no primeiro quadrante; 8 no segundo;7 no ter ceiro e 9 no quarto.

4 . 7 . 1 A N Á L IS E DOS RESULTADOS

A comparação dos valores encontrados para a latitude , nas quatro noites de observação, mostra, dentro dos limites estabelecidos para determinações de segunda ordem, que estes se repetem com extrema facilidade.

0 mesmo não acontece, porém, para a longitude, princi­

palmente quando nesta comparação é envolvido o valor obtido na primeira noite, todavia desconsiderando esta noite, os re­

sultados, à nível de segunda ordem, também se repetem, contu­

do, não com a mesma facilidade da latitude.

A discrepância da longitude obtida na primeira noite de observação é resultante, não somente do baixo número de es trelas observadas, mas principalmente da mã distribuição nos quatro quadrantes astronômicos.

Todos os cálculos relativos a este capítulo foram efe­

tuados pelos programas PROSIM.FOR e SIMULT.FOR, ambos em lin guagem Fortran IV, cujas listagens estão no Apêndice. 0 pri­

meiro tem por objetivo preparar a caderneta de observações,en

quanto o segundo executa todos os cálculos concernentes â de-

(61)

terminação simultânea da latitude e da longitude por observa­

ção de estrelas em alturas iguais.

(62)

CAPÍTULO V

CONCLUSÃO E COMENTÁRIOS

5 , 1 CONCLUSÃO

Os valores obtidos para a latitude com o método da de - terminação simultânea da latitude e da longitude, por observa­

ção de estrelas em alturas iguais, quando comparados com aque les fornecidos pelo método de STERNECK não deixa dúvida quanto a equivalência destes dois métodos, com relação a latitude,prin cipalmente no que diz respeito a repetibilidade dos resultados e dos baixos erros médios quadráticos. (Ver quadro 5.1-1).

A longitude, por ser fundamentada na diferença de horas entre dois lugares, envolvendo com isso a observação de instan tes cronométricos, não mostra a mesma repetibilidade de valo - res que apresenta a determinação da latitude.

A tomada do instante cronométrico da passagem de uma es

trela por um determinado retículo do teodolito é tão mais pre

cisa quanto maior for a velocidade zenital do astro, o que

explica os melhores resultados obtidos com o método de ZINGER,

(63)

QUADRO 5.1.-1

Resultados obtidos para latitude e longitude

MÉTODOS LATITUDE LONGITUDE

S t e r n e c k

-25°25'56,54"

-

0,302"

-25°26'56,37"

-

0 ,503"

-25°26'55,85"

-

0,374"

Z i n g e r

-3hl6min55,204s

-

0,062s

-3hl6min55,148s - 0,046s

-3hl6min55,2l8s - 0,021s

Det erminação s i m u l t â n e a d a l a t i t u d e e d a l o n g i t u d e

-25°26’56,56" - 0,561"

-25°26'56,52"

-

0,517"

-25°26' 56,25"

-

0,553"

-25°26'56 ,96"

-

0,429”

-3hl6min54,997s

-

0,038s -3hl6min55,106s - 0,036s -3hl6min55,261s - 0,038s -3hl6min55,149s - 0,030s

pois uma de suas condições é que os astros sejam observados o mais próximo possível do primeiro vertical, quando, então,suas velocidades zenitais são máximas.

0 método da determinação simultânea da latitude e da longitude baseado em observações de estrelas nas regiões cen­

trais dos quatro quadrantes, quando então a velocidade zeni -

tal do astro não ê máxima, perde um pouco do rigor,no que tan

ge á longitude. Este problema, pelo que indicam os valores ob-

(64)

tidos no dia 26 de setembro de 1984 é contornado com a obser - vação de um maior número de estrelas igualmente distribuídas nos quatro quadrantes astronômicos.

0 tempo gasto para a observação de 10 pares de estre - las para a determinação da latitude pelo método de STERNECK é de 12 pares para a determinação da longitude pelo método de ZINGER variou entre 5 e 6 horas, enquanto que o tempo dispen - dido na observação de 32 estrelas para determinação simultânea da latitude e da longitude, por observação de estrelas em altu ras iguais, foi de 3 a 4 horas.

O tempo computacional necessário para elaborar o pro - grama de observação e efetuar os cálculos necessários para ob­

tenção da latitude e da longitude, bem como seus estimadores de precisão, no método da determinação simultânea da latitude e da longitude é de aproximadamente 3/4 do tempo total gasto pa­

ra determinação da latitude e da longitude pelos métodos, res­

pectivamente, de STERNECK e ZINGER.

A conclusão ê que o método da determinação simultânea da latitude e da longitude, por observação de estrelas em al­

turas iguais, pode ser perfeitamente empregado, com vantagens,

para a determinação de posição geográfica de segunda ordem,des

de que sejam observadas, pelo menos 8 estrelas em cada quadran

te.

Imagem

Referências

temas relacionados :