2323cos  seni 3

Esta prova vale 3,5 pontos.

Não serão aceitas respostas sem justificativas.

QUESTÃO 1 : (valor: 1,0) Seja z = 3 ─ i .

a) Passe z para a forma trigonométrica :

Solução. Considerando um complexo da forma z = a + bi, temos que a  3 e b   1 . O objetivo é escrever o número na forma ^{z  z .(cos   isen  )} . Temos:

i) z  a

²

 b

²

   3

²

    1

²

 3  1  4  2

ii) 6

º 11 330 2 1 2 cos 3

 











 



 













z sen b

z a

. Logo a solução é

 

 



 







6 11 6

cos 11 . 2

) º 330 º

330 .(cos 2



 isen z

ou

isen z

b) Calcule o valor de z

⁶

:

Solução. Aplicando a potência na forma trigonométrica, temos z

ⁿ

 z

ⁿ

^.[cos( n  ⁾  isen ⁽ n  ^)] . No

caso,     

11 . 64 ) 11 11

(cos 6 64

. 11 6 6

. 11 6 cos . 2

⁶

6

isen isen cis

z    



 



 

 ou z

⁶

 64 . cis 1980 º .

Encontrando o valor na forma algébrica, z

⁶

 ^{64 .(cos 11}   isen ¹¹  ⁾  ^{64 (}  ¹  ⁰ i ⁾   ⁶⁴ .

QUESTÃO 2 : (valor: 1,5)

Sejam z = 3 (

2 3 2

cos 3  

sen

 i ) e w = 4 ( ^{cos   i sen } ) . a) Determine o valor do produto z x w :

Solução. Calculando o produto na forma trigonométrica, temos:

 

 

i i isen

w z

isen isen

isen w

z

12 ) 0 ( 2 12 5 2

cos 5 12 .

2 3 2

cos 3 ).

4 ).(

3 ( cos

4 2 . 3 2

cos 3 3 .





 



 



 



 



 



 



 



 

 



 



 



 



 



 



 



 







 

 



 



1 COLÉGIO PEDRO II © UESC III

SEGUNDA CERTIFICAÇÃO / 2009 NOTA:

PROVA DE MATEMÁTICA I © 3

^a

SÉRIE © 1

^o

TURNO COORDENADORA: Maria Helena Baccar

PROFESSOR(A): ...

NOME: GABARITO

b) Calcule z + w na forma algébrica :

Solução. Passando cada complexo para a forma algébrica, vem:

 isen  i ^{z w i}

w

i i isen

z 4 3

4 )0 1 (4 cos

4

3 ) 2 0(3

3 2 cos 3

3    



 

















 



 

  











QUESTÃO 3 : (valor: 1,0)

Sejam os polinômios P(x) = x

²

+ 5 x + 6 e F(x) = x

³

+ x

²

– 5 x + 8 : a) Determine P( x ) − F ( x ) .

Solução. Operação básica de redução de termos algébricos semelhantes.

2 10 )8

5 (

6 5 )(

8 )(

5 )(

6 5

)( _{2 3 2 3}

2 3 2























 

 















 xP xF x x x x x x x

x x x xF

x x xP

b) Verifique se x = − 2 é raiz de P ( x ) ou de F ( x ) .

Solução. Para que um valor x = a seja raiz de um polinômio, o valor numérico desse polinômio para x = a deve ser nulo. No caso, a = -2.



 























































0 14 8 10 4 8 8 )2 (5 )2 ( )2 ( )2 (

0 6 10 4 6 )2 (5 )2 ( )2 (

2 3

2

F

raiz

P . Logo x = - 2 é raiz somente de P(x).

2