Teoria Espectral em Otimização Combinatória

(1)

Teoria Espectral em Otimização Combinatória

(2)

Este minicurso apresenta alguns conceitos básicos da Teoria Espectral de Grafos e, a partir deles, estabelece informações sobre parâmetros de grafos e relações com problemas de Otimização Combinatória. São apresentadas algumas noções básicas da Teoria dos Grafos e da Álgebra Linear necessárias para estabelecer relação com o Problema do Corte Maximal, utilizando autovalores de grafos.

A Teoria Espectral de Grafos teve origem em 1931, quando Hückel ([16]) produziu um trabalho em química quântica; sua fundamentação teórica teve início em 1957 com o artigo de Collatz e Sinogowitz ([4])e finalmente foi sedimentada em 1971 com a tese de doutorado de Cvetković ([5]). Até meados de 1980, cerca de 700 trabalhos nesta área haviam sido publicados por matemáticos e químicos. Nos últimos anos o número de publicações sobre o assunto vem crescendo supreendentemente com aplicações em Ciência da Computação e Pesquisa Operacional. Para uma idéia do desenvolvimento desta área visite www.sgt.pep.ufrj.br.

O Problema do Corte Maximal é NP-completo e pertence ao grupo de problemas mais difícies estudados em otimização combinatória, podendo ser formulado como um problema de programação quadrática inteira. Nosso objetivo é apresentar algumas matrizes que se associam a um grafo, tais como matriz de adjacência e matriz laplaciana e mostrar como através dos autovalores associados a estas matrizes podemos obter informações sobre parâmetros para este problema. A relação entre autovalores e cortes em grafos foi introduzida por Fiedler ([11]), e tem se mostrado útil em vários problemas.

Estudamos um limite superior para o corte maximal de um grafo G em função do maior autovalor da matriz Laplaciana de G e descrevemos algumas classes para as quais o limite superior é o melhor possível.

O texto será apresentando da seguinte forma.

Iniciamos apresentando alguns conceitos da Teoria dos Grafos ([10],[14]).

Na segunda seção, Teoria Espectral de Grafos ([6]), estudamos matriz de adjacência, matriz laplaciana, seus polinômios característicos e espectros, determinando as propriedades do grafo obtidas por eles.

A terceira seção aborda a relação entre parâmetros de grafos, estabelecendo limites para alguns invariantes.

Na última seção apresentamos um limite superior para o corte maximal de um grafo em função do maior autovalor da sua matriz Laplaciana.

Cybele Tavares Maia Vinagre

Marina Tebet Azevedo de Marins

Renata Raposo Del-Vecchio

(3)

1 Conceitos Básicos sobre Grafos

1.1 Definição Um grafo é uma estrutura G = ( V , E ) , onde V é um conjunto finito e não vazio cujos elementos são denominados vértices e E é um conjunto de subconjuntos a dois elementos de V, os quais são denominados arestas. V e E indicam, respectivamente, o número de vértices e o número de arestas de G. Quando G

^'

= ( ) ^V

^'

^, ^E

^'

é grafo satisfazendo V

^'

⊂ V e

E

^'

⊂ escrevemos G

^'

⊂ G . Quando V é um conjunto unitário e E = Ø dizemos que G é um grafo trivial.

Se c = { } u , v ∈ E , dizemos que c incide em u e v. O grau de um vértice v, denotado por d(v), é o número de arestas que incidem em v. Vértices ligados por uma aresta são ditos adjacentes.

Neste estudo consideraremos apenas grafos sem laços (arestas ligando um vértice a ele mesmo), sem arestas múltiplas (mais de uma aresta incidindo no mesmo par de vértices) e sem orientação.

Um grafo é dito valorado se suas arestas são rotuladas com números, chamados pesos.

Caso contrário, é dito não valorado. Um grafo não valorado é identificado com um grafo valorado onde os pesos são 1 nas arestas e 0 sobre as não-arestas.

1.2 Exemplo Seja G o grafo da figura abaixo. Neste exemplo, V = { v

₁

, v

₂

, v

₃

, v

₄

, v

₅

} e

{ e

₁

^, e

₂

^, e

₃

^, e

₄

^, e

₅

^, e

₆

}

E = onde V = 5 e E = 6.

{

₁

,

₂

} ,

₂

{

₂

,

₃

} ,

₃

{

₁

,

₄

} ,

₄

{

₄

,

₅

} ,

₅

{

₁

,

₅

} ,

₆

{

₂

,

₅

} .

1

v v e v v e v v e v v e v v e v v

e = = = = = =

Temos ainda que d ( v

₁

) = d ( v

₂

) = d ( v

₅

) = 3 , d ( v

₃

) = 1 e d ( v

₄

) = 2 .

v3

v2

v1

v⁴ v⁵

e1

e⁶ e⁴

e³

e2

e⁵

Apresentamos a seguir alguns tipos especiais de grafos que aparecerão ao longo de nosso estudo.

• Grafo completo É o grafo no qual quaisquer dois pares distintos de vértices são adjacentes. Para cada n ≥ 1 , o grafo completo com n vértices é denotado K

_n

.

K

⁵

(4)

• Grafo k-regular G é chamado grafo regular de grau k ou k-regular quando todo vértice do grafo G tem o mesmo grau.

2-regular

3-regular

• Cadeias, caminhos e ciclos Uma seqüência finita v

₁

, v

₂

..., v

_k

de vértices de um grafo

( V E )

G = , é dita uma cadeia (walk) de v

₁

a v

_k

quando { v

_i

, v

_i₊₁

} ∈ E para 1 ≤ i ≤ k − 1 . Dizemos que v

₁

, v

₂

..., v

_k

é uma cadeia fechada (respectivamente, cadeia aberta) quando v

₁

= v

_k

(respectivamente, v

₁

≠ v

_k

). Um caminho (path) é uma cadeia em que todos os vértices são distintos. Um caminho fechado é denominado ciclo. O comprimento de um caminho ou ciclo é o número de arestas que nele ocorre. P

_n

e C

_n

denotam, respectivamente, o caminho e o ciclo com n vértices. Em particular, o ciclo C

₃

é chamado triângulo.

P

⁵

G

¹

C

6

C

4

• Grafo conexo Diz-se que G é um grafo conexo quando existe um caminho ligando cada par de vértices. Em caso contrário, G é denominado desconexo.

Se G é grafo desconexo, dizemos que G

^'

⊂ G é uma componente conexa de G quando G

^'

é grafo conexo e não existe H ⊂ G grafo conexo tal que G

^'

⊂ H e G

^'

≠ H .

G

1 conexo

G

2 desconexo

(5)

• Árvore Um grafo G é chamado árvore quando G é um grafo conexo e sem ciclos.

• Grafo k-partido. G é dito um grafo k-partido quando existe uma partição

{ Y i k }

P =

_i

/ = 1 ,..., do seu conjunto de vértices em k subconjuntos disjuntos dois a dois, de modo que as arestas de G sejam sempre da forma { } p, para p q em Y

i

e q em Y

_j

. Assim, não há vértices adjacentes em um mesmo subconjunto da partição. Quando k = 2 temos um grafo bipartido e quando k = 3 temos um grafo tripartido.

bipartido tripartido

• Grafo bipartido completo Quando E = { { } v

_i

, v

_j

/ v

_i

∈ V

1

e v

_j

∈ V

2

} com V

₁

= r e V

2

= s, dizemos que G = ( V

₁

Υ V

₂

, E ) é um grafo bipartido completo e escrevemos G = K

r,s

.

K

3,4

• Grafo estrela Um grafo G com n vértices é dito uma estrela se G é um grafo bipartido

completo K

1,n

e escrevemos S

n

.

(6)

S

7

• Grafo Linha O grafo linha L(G) de um grafo G é construído tomando-se as arestas de G como vértices de L(G) e ligando-se dois vértices de L(G) quando as arestas correspondentes em G possuírem um vértice em comum. É fácil ver que se G é um grafo regular de grau k então L(G) é regular de grau 2k – 2. No exemplo abaixo, notar que G = K

4

é 3-regular e L(G) é 4-regular.

K

4

L(K4)

• Grafo Complementar O grafo complementar de G = ( V , E ) é o grafo ^G ⁼ ( ) ^V ^, ^E ^{, onde}

V

V = e { } ^v

i

, ^v

j

∈ ^E quando { } ^v

i

^, ^v

j

∉ ^E ^.

G G

• Produto Cartesiano de dois Grafos O produto Cartesiano GxH dos grafos G e H é o grafo com conjunto de vértices V ( G ) xV ( H ) e arestas { ( ) ( u ^, v ^, u ^,' v ^' ) } onde u = u ' e

{ } v ^, v ^' ∈ E ⁽ H ⁾ ou { } u ^, u ^' ∈ E ⁽ G ⁾ e v = v ' .

(7)

G H GxH

2 Teoria Espectral de Grafos

2.1 Matriz de adjacência, polinômio característico e espectro de um grafo

2.1.1 Definição Seja G = ( V , E ) um grafo com n vértices. A matriz de adjacência A(G) de G é a matriz quadrada de ordem n cujas entradas são

{ }

⎩ ⎨

⎧ ∈ ∈

= 0 , .

; ,

, ,

1 casos outros

nos

V v v para E

v v

a

_ij

se

ⁱ ^j ⁱ ^j

Logo, a matriz de adjacência de um grafo é uma matriz real simétrica, formada por uns e zeros, com traço zero e consequentemente com todos seus autovalores reais.

O polinômio característico de A(G) é denominado polinômio característico do grafo G e denotado por p

_G

( ) λ ; λ é dito um autovalor do grafo G quando λ é uma raiz de p

_G

. Se A(G) possui s autovalores distintos, o espectro do grafo G, denotado por spectG, é definido como a matriz 2 x s, onde a primeira linha é constituída pelos autovalores distintos de A(G) dispostos em ordem decrescente e a segunda, pelas respectivas multiplicidades algébricas. Assim, se λ

₁

> ... > λ

_s

são os autovalores distintos de A(G) e para 1 ≤ i ≤ s , ) m

_A

( λ

_i

são as suas multiplicidades algébricas então o espectro de G é

) . ( ...

) (

...

1

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

s A A

s

m spectG m

λ λ

O maior autovalor de G é denominado índice de G e denotado ind(G).

2.1.2 Exemplo Seja G o grafo do Exemplo 1.2. Sua matriz de adjacência é dada por:

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 1 0 1 1

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 ) (G

A .

p

G

( λ ) = λ

⁵

− 6 λ

³

− 4 λ

²

+ 3 λ + 2

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − −

= 1 1 1 1 1

7757 , 1 1 5892 , 0 7237 , 0 6412 , spectG 2

ind(G) = 2,6412

A Proposição a seguir é um primeiro exemplo de como propriedades de grafos são refletidas pelas propriedades algébricas de matrizes associadas a eles.

2.1.3 Proposição Seja G um grafo com n vértices e m arestas e seja

(8)

p

G

( λ ) = λ

ⁿ

+ a

₁

λ

ⁿ⁻¹

+ a

₂

λ

ⁿ⁻²

+ ... + a

_n₋₁

λ + a

_n

o polinômio característico de G.

Então os coeficientes de p

G

( λ ) satisfazem:

(i) a

₁

= 0;

(ii) a

₂

= -m;

(iii) a

₃

= -2t, onde t é o número de triângulos no grafo.

Prova Da teoria de matrizes ([15]) temos que, para cada i, 1 ≤ i ≤ n , (-1)

ⁱ

a

i

= soma dos menores principais de A(G) que têm i-linhas e i-colunas, onde um menor principal de A(G) com i linhas e i colunas é o determinante de qualquer submatriz de A(G) obtida pela retirada de um subconjunto de n – i linhas e do correspondente subconjunto de colunas.

(i) Como a diagonal de A(G) é formada por zeros então a

1

= 0.

(ii) Qualquer menor principal de A(G) com 2 linhas e 2 colunas e que tenha entradas não-nulas é necessariamente da forma ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 0 1

1 0 . Como existe um menor principal deste para cada par de vértices adjacentes e cada um deles vale -1 temos que

(-1)

²

a

₂

= (-1) E = (-1)m.

Logo

-a

2

= número de arestas = m.

(iii) Existem 3 possibilidades para menores principais de A(G) com 3 linhas e 3 colunas não todas nulas, a saber:

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 1

1 1 0 , 0 0 0

0 0 1

0 1 0

e ,

0 1 1

1 0 1

1 1 0

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

E destes, o único não nulo é o último, cujo valor é 2 e que corresponde a três vértices mutuamente adjacentes, ou seja, um triângulo.

Logo

(-1)

³

a

₃

= 2 x (número de triângulos) Ou seja,

a

3

= -2t.

2.1.4 Lema O número de cadeias de comprimento l ligando v

i

a v

j

em um grafo G é dado pela entrada de ordem i x j da matriz A

^l

, onde A = A(G) é a matriz de adjacência de G.

Prova ( Por indução sobre l) O resultado é verdadeiro para l = 1 pois A

¹

= A. Suponhamos o resultado verdadeiro para l = L. mas existem tantas cadeias de comprimento L + 1 ligando v

i

a v

j

quantas são as cadeias de comprimento L ligando v

i

a vértices v

h

adjacentes a v

j

. Assim, o número de tais cadeias é dado por

( ) ( ) ( )

{

vh v

^∑

j

}

^∈^E

⁼ ^∑ ⁼

L⁺ ij ih hj

ih L

L

A a A

A

,

1

.

Segue-se que o número de cadeias de comprimento L + 1 ligando v

_i

a v

_j

é ( ) A

L⁺¹ij

^. O resultado segue por indução.

2.1.5 Observação O resultado acima nos fornece uma relação entre o número de cadeias fechadas de um grafo e as somas de potências de seus autovalores.

De fato, seja G um grafo com n vértices e m arestas. Pelo lema anterior, o número total de cadeias

fechadas de comprimento l de G é o traço de A

^l

. Como o traço de uma matriz é a soma de seus

autovalores temos que:

(9)

Número total de cadeias fechadas de comprimento l ⁼ ∑ λ

^l_i

^. Em particular:

• A soma dos autovalores de G é zero pois tr(A) = 0.

• A soma dos quadrados dos autovalores é duas vezes o número de arestas, ou seja,

( ) ^A

²

² ^m ^;

tr =

• G é grafo regular de grau k se e somente se

ⁿ

kn

i

=

∑

=1

λ

2

, pois kn = 2m;

• A soma dos cubos dos autovalores é seis vezes o número t de triângulos, ou seja, tr(A

³

) = 6t.

Vemos então que o espectro de um grafo determina o número de vértices, de arestas e de triângulos. No entanto, este fato não pode ser generalizado, ou seja, nem sempre os ciclos de comprimento r (r ≥ 4) são determinados em função de tr(A

^r

), como se vê no seguinte exemplo:

G

¹

G

²

Embora G

1

e G

₂

tenham o mesmo polinômio característico, a saber, p ( λ ) = λ

⁵

− 4 λ

³

, G

₁

tem um ciclo de comprimento 4 e G

₂

não tem.

2.1.6 Proposição Seja G grafo regular de grau k. Então:

(i) k é um autovalor de G;

(ii) G é um grafo conexo se e somente se a multiplicidade de k é 1;

(iii) Qualquer autovalor λ de G satisfaz λ ≤ k .

Prova (i) Seja u a matriz coluna [ ¹ ¹ ^... ¹ ]

^T

. Como a soma das entradas de cada linha da matriz de adjacência A de G é k, o grau de cada vértice, temos que Au = ku, ou seja, k é um autovalor de G.

(ii) Seja x = [ x

₁

x

₂

... x

_n

]

^T

um autovetor associado ao autovalor k de G (Ax = kx) e suponhamos que x

j

é a entrada de x de maior valor absoluto. Temos que ( ) Ax

_j

⁼ ∑ x

_i

, onde o somatório é considerado sobre k vértices v

i

que são adjacentes a v

j

. Logo ∑ x

_i

= kx

_j

. Daí temos que, para cada l tal que v

l

é adjacente a v

j

.

; ) 1 ( )

1 (

_j _i _i _l _j

j

k x x x x k x

x + − = ∑ ≤ ∑ ≤ + −

Isto nos fornece x

_j

≤ x

_l

e, portanto, x

l

= x

j

para todos estes k vértices. Como G é conexo, podemos prosseguir sucessivamente desta maneira até mostrar que todas as entradas de x são iguais. Então x é múltiplo de u e o autoespaço associado ao autovalor k tem dimensão 1.

Suponhamos agora que k possua multiplicidade 1. Como G é desconexo, tomemos G

₁

, G

2

, ..., G

m

as componentes conexas de G. Como cada uma é um grafo conexo k-regular então k é um autovalor de multiplicidade 1 para cada G

i

. mas como ( λ )

₁

( λ ).

₂

( λ )... ( λ )

Gm G

G

p p p

p =

(10)

([13]), segue que k é um autovalor de G de multiplicidade m, contrariando a hipótese. Logo G é conexo.

(iii) Seja y um vetor não nulo de G associado a um autovalor λ e G e seja y

j

a entrada de y de maior valor absoluto. Como em (ii), temos ∑ y

_i

= ky

_j

^e ^λ y

_j

= ∑ y

_i

≤ k y

_j

. ^Logo ^λ ^≤ ^k ^. 2.2 Isomorfismo de Grafos

2.2.1 Definição Dois grafos G

1

e G

2

são ditos isomorfos quando existe uma correspondência biunívoca entre seus conjuntos de vértices de modo que as adjacências sejam preservadas.

Portanto dois grafos G

1

e G

2

são isomorfos quando podemos obter um do outro através de uma permutação de vértices. Isto significa que A(G

1

) e A(G

2

) são matrizes semelhantes, ou seja, que existe uma matriz de permutação P tal que P

^T

A(G

₁

)P = A(G

₂

).

2.2.2 Definição G

₁

e G

₂

são grafos coespectrais quando eles têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades, isto é, quando spect G

₁

= spect G

₂

.

2.2.3 Observação Se dois grafos são isomorfos eles têm o mesmo espectro. A recíproca dessa afirmação não é verdadeira em geral, como ilustra o exemplo a seguir:

1 4 7 4 7 )

( )

(

₂ ⁶ ⁴ ³ ²

1

λ =

_G

λ = λ − λ − λ − λ + λ −

G

p

p .

G

¹

G

²

G

1

e G

₂

são coespectrais mas não são isomorfos, pois como vemos, G

₂

tem um vértice de grau 5 e, em G

₁

, o grau máximo é 3.

2.2.4 Definição Dizemos que um grafo é caracterizado pelo seu espectro se os grafos coespectrais com G são isomorfos a G.

2.2.5 Observação O fato de existirem grafos coespectrais não isomorfos significa que algumas propriedades dos grafos não podem ser caracterizadas pelo seu espectro. A conexidade de um grafo, por exemplo, não depende do espectro. A existência de ciclos de comprimento 4 e o grau dos vértices são também propriedades não caracterizadas pelo espectro.

2.2.6 Proposição Um grafo G possui um único autovalor se e somente se G é totalmente desconexo.

Prova Seja λ autovalor de G com multiplicidade m. como o traço da matriz de adjacência A(G)

de G é zero então λ é zero. Logo o polinômio mínimo de A(G) é h(x) = x - λ = x e daí

(11)

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 ...

0 0 0

...

0 ...

0 0 0

0 ...

0 0 0 ) (G A

Portanto G possui m vértices isolados.

2.2.7 Corolário Grafos sem arestas são caracterizados pelo seu espectro.

2.2.8 Proposição Se um grafo G tem exatamente dois autovalores distintos λ

₁

> λ

₂

então G é grafo regular de grau λ

₁

e λ

₂

= -1.

Prova Sejam λ

₁

e λ

₂

autovalores de G tais que λ

₁

> λ

₂

. Então a matriz de adjacência A = A(G) de G tem polinômio mínimo h(x) = (x - λ

₁

)(x - λ

₂

) e, portanto,

; 0 )

(

₁ ₂ ₁ ₂

2

− + A + I =

A λ λ λ λ

Assim, para todo k, 1 ≤ k ≤ n , a

_kk²

= − λ

₁

λ

₂

. Daí tr(A

²

) = n(- λ

₁

λ

₂

) e G é regular de grau - λ

₁

λ

₂

. Como λ

₁

= - λ

₁

λ

₂

, λ

₂

= -1 e G é regular de grau λ

₁

.

2.2.9 Observação Em ([6]) é provado que os grafos com exatamente dois autovalores distintos são caracterizados pelo seu espectro.

2.3 Matriz de incidência

2.3.1 Definição A matriz de incidência de um grafo G com n vértices e m arestas, denotada B(G), é matriz de ordem n x m cujas entradas são:

⎩ ⎨

= ⎧

. ,

0 ; ,

1 contrário caso

v vértice no

incidente aresta

uma é e

b

_ij

se

^j ⁱ

2.3.2 Exemplo Para o grafo

v

3

e

1

v

²

v

1

v

⁴

v

⁵

e

2

e

⁶

e

4

e

⁵

e

3

A matriz de incidência é

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1 ) (G

B .

2.3.3 Lema Sejam B = B(G) a matriz de incidência de um grafo G, L(G) o seu grafo linha e A

L

a

matriz de adjacência de L(G). Então B

^T

B = 2I + A

L

.

(12)

Prova Considere α

_ij

= ( B

^T

B )

_ij

. Para (l

i

)

^T

, i-ésima linha de B

^T

e l

j

, j-ésima coluna de B, temos .

) (

_i ^T _j ij

= l l

α Daí α

_ij

= 1 se e

_i

= {v

k

, v

t

} ∈ E(G) e e

j

= {v

t

, v

r

} ∈ E(G); 2 α

_ij

= se i = j e

= 0

α

ij

para os demais casos.

Tomemos agora β

_ij

= ( A

_L

)

_ij

. Como l

i

e l

j

são vetores associados a restas de G incidentes em v

t

então β

_ij

= 1 . Neste caso, se i ≠ j , (2I + A

L

)

_ij

= 1, senão (2I + A

L

)

ij

= 2.

Finalmente, se e

i

e e

j

não são incidentes em G, 0 β

_ij

= . Isto prova o lema.

2.3.4 Proposição Se λ é um autovalor do grafo linha L(G) de um grafo G então λ ≥ − 2 .

Prova Como B

^T

B = 2I + A

L

e B

^T

B é matriz semi-definida positiva, se λ é autovalor do grafo linha então existe vetor v não nulo tal que

(B

^T

B)v = (2I + A

L

)v = 2v + λ v = (2 + λ )v.

Logo 2 + λ é autovalor de B

^T

B e portanto 2 + λ ≥ 0 , o que implica λ ≥ − 2 .

2.3.5 Observação Apesar de restritiva, a condição da Proposição anterior não é suficiente para caracterizar grafos linha, isto é, existem grafos cujos autovalores são todos maiores ou iguais a -2 e não são grafos linha. A caracterização dos grafos que têm menor autovalor igual a -2 foi obtida em 1976 ([3]).

2.3.6 Lema Sejam B = B(G) a matriz de incidência de um grafo G com n vértices e D a matriz diagonal n x n cujas entradas correspondem aos graus dos vértices de G. Então BB

^T

= D +A.

Prova Se i = j, o produto da i-ésima linha de B pela j-ésima coluna de B

^T

é o grau do vértice v

i

em G. Se i ≠ j , a entrada ij em BB

^T

é 1 ou 0, conforme v

i

e v

j

sejam ou não adjacentes em G.

2.3.7 Lema Sejam B = B(G) a matriz de incidência de um grafo G, L(G) o seu grafo linha e A

L

a matriz de adjacência de L(G). Se existe vetor v ≠ 0 tal que Bv = 0 então -2 é autovalor de A

L

. Prova Já vimos que B

^T

B = 2I + A

L

. Seja v ≠ 0 tal que Bv = 0. Daí (B

^T

B)v = B

^T

(Bv) = B

^T

0 = 0.

Logo (2I + A

L

)v = 2Iv + A

L

v = 2v + A

L

v = 0, ou seja, A

L

v = -2v. Como v ≠ 0 temos que -2 é autovalor de A

L

.

2.3.8 Lema Sejam B = B(G) a matriz incidência de um grafo G que contém um ciclo de comprimento par. Então existe um vetor v ≠ 0 tal que Bv = 0.

Prova Seja e

₁

, e

₂

..., e

₂_k

um ciclo de comprimento 2k em G. Tome o vetor v tal que v

i

= (-1)

ⁱ

para k

i 2

1 ≤ ≤ e v

i

= 0 para i > 2k. Verifica-se que Bv = 0.

2.3.9 Exemplo Para o grafo

e

¹

e

²

e

⁴

e

⁵

e

³

1

6 5

4 2

3

O vetor v = ((-1)

^-1

, (-1)

²

, (-1)

³

, (-1)

⁴

, 0) = (-1, 1, -1, 1, 0) satisfaz

(13)

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 0 0 0 0 0

0 1 1 1

1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

0 1 0 0 1

Bv .

2.3.10 Observação Decorre imediatamente dos dois últimos Lemas que se G contém um ciclo par então -2 é autovalor de L(G). A recíproca é também verdadeira ([6]). Prova-se de modo semelhante que G tem dois ciclos ímpares na mesma componente conexa se e somente se -2 é autovalor de G ([5]).

2.3.11 Proposição Se G é grafo k-regular com n vértices e m arestas então ).

2 (

) 2 ( )

)

(

= +

⁻

p − k +

p

_L_G

λ λ

^m ⁿ _G

λ Prova Considere as matrizes

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

m n

I B U I

0 λ e ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

T m n

I B

B V I

λ ^, Onde B é a matriz de incidência do grafo G. Então

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

T m n T

I B

BB UV I

λ

λ 0

e 0 .

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

B B I B

VU I

_T

T m n

λ λ

λ

Como det(UV) = det(VU) então λ

^m

det( λ I

_n

− BB

^T

) = λ

ⁿ

det( λ I

_m

− B

^T

B ).

Logo

=

− + +

=

− +

=

−

= det( ) det(( 2 ) ) ( 2 )

⁻

det(( 2 ) )

)

(

( T

n n m m T

L m G

L

I A I B B I BB

p λ λ λ λ λ

).

2 (

) 2 ( ) )

2 det((

) 2

( λ +

^m⁻ⁿ

λ + − k I

_n

− A

_L

= λ +

^m⁻ⁿ

p

_G

λ − k + 2.3.12 Corolário Se G é grafo regular de grau k com

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

−

− 1 1

1 1

...

1 ...

s s

m m

spectG k λ λ

Então

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− +

−

= −

−

n m m

m

k k

G k spectL

s s 1 1

1 1

...

1 2 2

...

2 2 ) 2

( λ λ

Prova Segue imediatamente da Proposição anterior.

2.3.13 Exemplo Para o grafo G = K

₄

temos:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

= 1 3 1 3 spectK

4

e

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

= 1 3 2 2 0 ) 4

( K

₄

spectL .

2.4 Laplaciano e Conectividade Algébrica

(14)

2.4.1 Definição Seja D a matriz diagonal dos graus dos vértices do grafo G (ou seja, D

ii

= d(v

i

)) e A a matriz de adjacência de G. A matriz

Q = D – A é chamada laplaciano do grafo G.

Então o Laplaciano é a matriz cujas entradas são definidas por

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

∈

−

=

−

=

contrário caso

E ij para

j i se vértice ésimo

i do grau o

d q

i ij

0 1

Para os grafos valorados, com peso c

ij

sobre a aresta { } i, j e c

ij

= 0 caso contrário, q

ii

= ∑

= n j

c

ij 1

e q

ij

= - c

ij

, para i ≠ j .

2.4.2 Exemplo Para o grafo

v

3

v

²

v

⁴

v

⁵

v

¹

Temos

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

1 0 0 0 0

0 3 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 0 3

D e

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 1 0 0 0

1 0 0 1 1

0 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0 A

Logo

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

=

1 1 0 0 0

1 3 0 1 1

0 0 1 0 1

0 1 0 2 1

0 1 1 1 3

Q .

Analogamente ao que foi definido para matriz de adjacência podemos falar no espectro do laplaciano.

2.4.3 Definição Se μ

₁

≥ ... ≥ μ

_n

são os autovalores de Q, o espectro do laplaciano de G é denotado por ^ζ ⁽ ^G ⁾ ⁼ [ ^μ

₁

^,..., ^μ

_n

] ^.

2.4.4 Exemplo Sejam G e H os seguintes grafos:

(15)

G H Então temos

[ ⁴ ^, ³¹ ^, ⁰ ]

) ( G =

ζ e ^ζ ⁽ ^H ⁾ ⁼ [ ⁴ ^, ³ ^, ² ^, ¹ ^, ⁰ ^, ⁰ ^, ⁰ ]

2.4.5 Observação Dado um grafo G, se considerarmos a matriz B de incidência com respeito a uma orientação dada, cujas entradas são:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

− +

=

. ,

0 ; min

, 1

; min

, 1

casos outros

nos

e de negativa ação

ter a é v

se

e de positiva ação

ter a é v

se

j i

β

ij

Prova-se que Q = ββ

^T

([2]). Segue daí que o laplaciano é matriz semidefinida positiva e, portanto, todos os seus autovalores são maiores ou iguais a zero.

2.4.6 Proposição O posto r(Q) do laplaciano Q de um grafo G é n – w, onde w é o número de componentes conexas de G.

Prova. Q tem uma decomposição em blocos de modo que para cada i, 1 ≤ i ≤ w , Q(G

i

) é a matriz laplaciana da i-ésima componente conexa de G. Assim,

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

−

) ( 0

0 0

0 ) ( 0 0

0 ...

0 ) ( 0

0 ...

0 0 ) (

1 2

1

w w

G Q G

Q G

Q G Q

Q

Κ Ο Μ

Μ Ο

Ο Ο

Para cada i, 1 ≤ i ≤ w , como a soma dos elementos de cada coluna de Q(G

i

) é nula temos que o posto desta matriz é, no máximo, n

i

– 1, isto é, r(Q(G

i

)) ≤ n

_i

− 1 . Para cada componente Q(G

i

), tomemos a combinação linear nula de suas colunas como

₁ ₁

+ ... +

₋₁ ₋₁

= 0

ni i

a

a α

α , onde

ℜ

k

∈

α , 1 ≤ i ≤ w . Isto é equivalente à multiplicação AX=0, quando X

^T

= [

1

...

₋1

]

ni

a

a . Por

escalonamento, verificamos que A é semelhante à matriz

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 0

1 0 0

0 0 ...

0 1

Κ Ο Ο Μ

Ο Ο

Μ Ο Ο

Portanto, X é o vetor nulo e o posto de cada componente conexa G

i

de G atinge o seu limite superior n

i

– 1. Logo, r(Q) = n – w.

2.4.7 Observação Segue da Proposição anterior que μ

_n

= 0 e, portanto, o espectro do laplaciano de G é [ ^μ

₁

^,..., ^μ

_n₋₁

^, ⁰ ] . Este fato, no entanto, pode ser provado diretamente, como na próxima Proposição.

2.4.8 Proposição Sejam μ

₁

≥ μ

₂

≥ ... ≥ μ

_n

os autovalores de Q. Então:

(i) μ

_n

= 0 e o vetor j = (1, 1, ..., 1)

^T

é autovetor associado;

(16)

(ii) Se G é conexo então μ

_n₋₁

> 0 ;

(iii) Se G é regular de grau k então μ

_i

= k − λ

_n₋₍_i₋₁₎

, onde os λ

_i

são os autovalores de A.

Prova

(i) Basta notar que a soma dos elementos de uma linha qualquer de Q é zero, logo Q.j = 0 = 0.j.

(ii) Como G é conexo, pela Proposição anterior temos que o posto de G é n – 1. Daí μ

_n₋₁

≠ 0 e portanto . μ

_n₋₁

> 0

(iii)Segue direto da definição de Q, observando que se G é regular de grau k,

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

=

k k

k D

...

0 0 0

...

0 ...

0 0

0 ...

0 0

.

2.4.9 Observação Vale a recíproca de (ii) ([1]).

2.4.10 Definição μ

_n₋₁

é chamado conectividade algébrica do grafo G.

A conectividade algébrica desempenha um papel fundamental no estudo de um grafo.

Este autovalor está associado a diferentes invariantes de grafos importantes, tais como número isoperimétrico e diâmetro, dentre outros. Foi comprovado recentemente que grafos com μ

_n₋₁

grande (em comparação com o grau máximo) têm propriedades importantes em várias aplicações ([18]).

2.4.11 Lema Para todo grafo G vale que Q ( G ) + Q ( G ) = nI − J , onde J é a matriz cujas entradas são todas iguais a 1.

Prova De fato, temos que

).

( )

( G Q G D A D A D D A A

Q + = − + − = + − +

Mas

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

+

− +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

= +

) 1 ( ...

0 0

0 ...

...

0 ...

0 ) 1 ( 0

0 ...

0 0

) 1 (

...

0 0 0

...

0 ...

0 0

0 ...

0 0

2 1

n

n k

K n k

n

k k

k D D

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

=

1 ...

0 0 0

...

0 ...

0 1 0

0 ...

0 0 1

n n

n

e A + A é a matriz com diagonal principal igual a zero e todas as outras entradas iguais a 1.

Portanto D + D − ( A + A ) = nI − J .

2.4.12 Proposição Se o espectro do laplaciano de um grafo é

[ ,..., , 0 ]

)

( G = μ

₁

μ

_n₋₁

ζ

então o espectro de G é

[ ,..., , 0 ]

)

( μ

₁

μ

₁

ζ G = n −

_n₋

n − .

(17)

Prova Já vimos que j = (1, 1, ..., 1)

^T

é autovetor associado ao autovalor 0 de Q. Como Q é matriz simétrica podemos tomar w

₁

, w

2

, ..., w

_n-1

autovetores associados a μ

₁

, μ

₂

,..., μ

_n₋₁

respectivamente de modo que w

i

seja ortogonal a j, para todo i, 1 ≤ i ≤ n − 1 . De fato, j

^T

.w

i

=

. ...

⁽ ⁾ )

2 ( ) 1

( n

i

w

i

w

w + + + Como j e w

i

são ortogonais 0 = w

_i⁽¹⁾

+ w

_i⁽²⁾

+ ... + w

_i⁽ⁿ⁾

. Afirmamos que, para todo i, 1 ≤ i ≤ n − 1 , w

i

é autovetor de G associado a n − μ

_i

. Pelo Lema anterior, Q ( G ) = nI − J − Q ( G ). Portanto, Q ( G ) = ( nI − J − Q ( G )) w

_i

= nIw

i

– Jw

i

– Q(G)w

i

= nw

i

– 0 -

μ

i

w

i

= (n - μ

_i

)w

i

, provando assim o resultado.

2.4.13 Proposição([11]) Os autovalorres do Laplaciano do Produto Cartesiano G x H são exatamente todas as somas μ

_i

( G ) + μ

_j

( H ), i = 1 ,..., G , j = 1 ,..., H .

Em particular,

{ ( ), ( ) }

min )

(

₁ ₁

1

GxH

_n

G

_n

H

n−

= μ

−

μ

−

μ e μ

₁

( GxH ) = μ

₁

( G ) + μ

₁

( H ) para

grafos valorados não negativamente G e H.

2.4.14 Exemplo Para os grafos G, H e G x H abaixo, ζ (G ) = ζ ( H ) = [ ] 2 , 0 e

[ 4 , 2 , 2 , 0 ]

) ( GxH =

ζ .

G H GxH

2.4.15 Corolário Seja

[ ^,..., ^, ⁰ ]

)

( G = μ

₁

μ

_n₋₁

ζ

O espectro do laplaciano de um grafo G. Então μ

₁

≤ n e μ

₁

= n se e somente se G é desconexo.

Prova Como μ

_n₋₁

= n − μ

₁

e μ

_n₋₁

≥ 0 temos que μ

₁

≤ n . Além disso, G é desconexo se e somente se μ

_n₋₁

= 0 . Portanto, G é desconexo se e somente se μ

₁

= n .

2.4.16 Exemplo A estrela com n vértices S

n

tem o maior autovalor do laplaciano igual a n. No exemplo abaixo, temos μ

₁

= 7 .

S

⁷

S

⁷

Vamos agora definir outros tipos de conectividade de um grafo.

(18)

2.4.17 Definição A conectividade de vértices de um grafo é o menor número de vértices que tornam o grafo desconexo ao serem retirados.

Notação κ (G )

2.4.18 Definição A conectividade de arestas é o menor número de arestas que tornam o grafo desconexo ao serem retirados.

Notação κ ' ( G )

A conectividade algébrica e as conectividades de vértices e de arestas estão relacionadas de acordo com o resultado abaixo, provado por Fiedler ([11]).

2.4.19 Proposição μ

_n₋₁

≤ κ ( G ) ≤ κ ' ( G ).

2.4.20 Exemplo O grafo abaixo tem μ

_n₋₁

= 0 , 3820 e κ = 1 = κ '.

3 Relações entre Parâmetros de Grafos

3.1 Definição Seja G = (V, E) um grafo. O número

} / ) (

min{ d v v ∈ V δ =

é chamado grau mínimo de G. O número

} / ) (

max{ d v v ∈ V Δ =

é chamado grau máximo de G. O número

∈

∑

=

V v

v V d

d 1 ( )

é chamado grau médio de G.

As seguintes relações são imediatas:

δ ≤ d ≤ Δ e 2 . V d = E

3.2 Definição Seja G um grafo. Se x e y são vértices de G, chamamos distância de x a y ao mínimo dos comprimentos dos caminhos que ligam x a y. O máximo das distâncias entre dois vértices quaisquer de G é chamado diâmetro de G.

3.3 Proposição Se G é um grafo conexo de diâmetro D então o número de autovalores distintos de A é no mínimo D + 1.

Prova Sejam λ

₁

, λ

₂

,..., λ

_t

os autovalores distintos de G. Como A é matriz simétrica e real, seu polinômio mínimo tem grau t e então

. 0 ) )...(

)(

( A − λ

₁

I A − λ

₂

I A − λ

_t

I =

(19)

Logo A

^t

é combinação linear de I, A, A

²

, ..., A

^t-1

. Suponhamos t < D e tomemos u e v dois vértices de G tais que d(u, v) = t. Então (A

ⁱ

)

uv

= 0 para todo i com 0 ≤ i ≤ t − 1 e (A

^t

)

uv

> 0, o que é uma contradição. Portanto t ≥ D + 1 .

3.4 Proposição Se G é um grafo com maior autovalor λ

₁

então

≤

d λ

₁

≤ Δ .

Prova Seja G um grafo com n vértices. Sendo λ

₁

o maior autovalor de G, o teorema de Raleigh- Ritz ([15]) garante que

x x

Ax x

T T x

max

0 1

=

≠

λ

Onde A é a matriz de adjacência de G. Então, para x = (1, ... , 1), temos

∑ ∑ ∑

= =

⎟ ⎟ =

=

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

=

ⁿ

⎛

i

n i

i n

i T ij

T

d v n d n a

x x

Ax x

1 1 1

) 1 (

1 e, portanto d ≤ λ

₁

. Agora, se M

n

indica o conjunto das matrizes de ordem n, a função N definida por N(M) = ∑

≤ =

≤ n j

ij n i

m

1

max para M = (m

ij

) em M

n

, define uma norma em M

n

. Notar que N(A) = Δ . Se λ é um autovalor de A temos λ ≤ λ

₁

; além disso, existe um autovalor λ tal que λ = λ

₁

. Se Ax = λ x para x ≠ 0 e se λ = λ

₁

, consideremos a matriz X de M

n

cujas colunas são todas iguais ao autovetor x e observemos que AX = λ x . Então λ N ( X ) = N ( λ X ) = N ( AX ) ≤ N ( A ) N ( X ) e daí

. )

1

( Δ

λ

λ = ≤ N A =

Na próxima Proposição veremos como técnicas de otimização são usadas para estabelecer um limite superior para o índice do grafo. Técnicas de otimização combinatória são usadas em softwares elaborados para resolver problemas em grafos, como por exemplo, o Autographix System. Este software, criado por Pierre Hansen e Gilles Caporossi, tem por objetivo gerar conjecturas, fazer provas semi-automáticas e analisar e descrever classes de grafos.

O problema de encontrar um grafo com determinadas propriedades é transformado em um problema de otimização com a função objetivo envolvendo um ou mais invariantes e, possivelmente, com algumas restrições.

3.5 Proposição Se G é um grafo com m arestas e n vértices então

( ) ¹ ^.

2

¹

1

≤ m −

n

λ

Prova Pela Observação 2.1.5 temos que λ

₁

+ λ

₂

+ ... + λ

_n

= 0 e λ

₁²

+ λ

²₂

+ ... + λ

²_n

= 2 m . Sejam f, g e h funções de ℜ

ⁿ

em ℜ definidas por

f( λ

₁

,..., λ

_n

) = λ

₁

,

g( λ

₁

,..., λ

_n

) = λ

₁

+ λ

₂

+ ... + λ

_n

, f( λ

₁

,..., λ

_n

) = λ

₁²

+ λ

²₂

+ ... + λ

²_n

.

Consideremos o seguinte problema de maximização com restrições de igualdade:

) ,..., (

max f λ

₁

λ

_n

sujeito às restrições g( λ

₁

,..., λ

_n

) = 0 e h( λ

₁

,..., λ

_n

) = 2m.

Definimos então a Lagrangeana

(20)

1 1 2 1 1

,..., , , )

( k k k

L λ λ

_n

= λ − ( λ

₁

+ λ

₂

+ ... + λ

_n

) − k

₂

( λ

₁²

+ λ

²₂

+ ... + λ

²_n

− 2 m ) e resolvendo por multiplicadores de Lagrange, obtemos:

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

= + + +

≤

=

−

∂ =

∂

=

−

∂ =

∂

) 4 ( 2

...

) 3 ( 0

...

) 2 ( 2

, ,

0 2

) 1 ( 0

2 1

2 22

12 2 1

2 1

1 2 1 1

m

n i i todo para k

L k

k L k

n n i i

λ λ

λ

λ λ

λ λ λ λ λ

Temos que 0 k

₂

≠ , pois, caso contrário, k

1

seria simultaneamente igual a 0 e 1. Daí segue de (2) que i, 2 ≤ i ≤ n ,

2 21 k

k i

=

−

λ . De (3) segue então que ( 1 ) 0 .

2 21

1

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

+

⁻

k

n

k

λ Logo

( 1 ) .

212

1

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

k

n

k

λ (5)

Substituindo em (4) obtemos:

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ) ( 1 )

²

2 .

212 2

212

2

n n n n n m

n

k

k k

k

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

₋

Segue daí que ( )

2 1 212

=

− n n

m k

k

. Voltando a (5) obtemos

( ¹ ) _{( )} ( ¹ ) _{( )} ( ¹ ) ^.

) 1

(

²

1 2 2 1

2 212

1 n

m n

n m n

n m k

k

n n n

n ⎟ = − = − = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

₋ ₋

λ

3.6 Proposição O número de vértices de um grafo com diâmetro D é, no máximo, igual a

( 1 ) ( 1 ) ... ( 1 ) . 1 + Δ + Δ Δ − + Δ Δ −

²

+ + Δ Δ −

^D⁻¹

Prova Tomemos um vértice v

₁

do grafo. Este vértice está ligado a, no máximo, Δ outros vértices. Cada um destes pode estar ligado a, no máximo, Δ − 1 (pois eles estão ligados a v

1

), acrescentando então no máximo Δ ( Δ − ¹ ) vértices. Podemos prosseguir sucessivamente deste modo D – 1 vezes, chegando assim ao resultado, qual seja,

( ¹ ) ( ¹ ) ^... ( ¹ ) ^.

1 + + − + −

²

+ + −

⁻¹

≤

^D

V Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ

3.7 Definição Se G = (V,E) é tal que

( 1 ) ( 1 ) ... ( 1 ) .

1 + + − + −

²

+ + −

⁻¹

=

^D

V Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ

Dizemos que G é um grafo de Moore.

3.8 Exemplo O grafo abaixo é chamado grafo de Petersen. Ele é um grafo de Moore e neste caso,

= 10

V , 3 Δ = e D = 2.

Teoria Espectral em Otimização Combinatória