Linguagem de Programação

(1)

Computadores e outros dispositivos eletrônicos programáveis executam instru¸cões ativando (ou desativando) determinadas partes em seus componentes. As instru¸cões são comunidadas ao dispositivo por uma sequência de zeros e uns (código binário).

Uma linguagem de programa¸cão é uma ponte entre a linguagem humana e a de máquina, mesclando conceitos de ambas.

As linguagens de programa¸cão são classificadas em vários n´ıveis de acordo com sua proximidade com a linguagem humana.

Linguagens de baixo n´ıvel são mais próximas da linguagem da máquina enquanto as de alto n´ıvel se aproximam da linguagem natural humana.

(2)

Uma linguagem de programa¸c˜ao pode sercompilada(traduzida para uma linguagem de m´aquina) ouinterpretada.

Uma linguagem interpretada não precisa ser compilada. Ela é lida por um programa que faz a tradu¸cão para a linguagem de máquina.

Pythoné uma linguagem de alt´ıssimo n´ıvel (VHLL – very high level language), interpretada, de código fonte aberto e dispon´ıvel para vários sistemas operacionais.

O interpretador doPython j´a vem instalado noLinux. Para windowsele est´a dispon´ıvel paradownloadem

http://www.python.org

OSageMath´e implementado principalmente emPython.

(3)

Pythoné uma linguagemdinamicamente tipada. Isto quer dizer que não é preciso declarar as variáveis ou ou tipo delas. A forma como a variável é usada no código identifica como ela será armazenada.

A = 3 É identificada como inteira (tipoint) A = 3.0 É identificada como inteira (tipofloat) A = "três" É identificada comostring

type(A) Para saber o tipo definido para a vari´avel

(4)

. coment´ ario

Tudo que estiver após o s´ımbolo # em uma linha de comando do Pythoné assumido como comentário.

Para comentar um bloco de comandos, coloque-o entre trˆes aspas simples.

#Coment´arios em python a=2 # a recebe 2 b=5

’’’in´ıcio bloco de coment´arios a=3

a=33 b=24 c=15

fim do bloco de coment´arios’’’

a+b

(5)

Opera¸c˜oes aritm´eticas:

8+3 adi¸c˜ao

8*3 multiplica¸c˜ao

8/3 divis˜ao de inteiros

8./3 divis˜ao de reais

8**3 potencia¸c˜ao

8**(1/3) radicia¸c˜ao

8%3 resto de divis˜ao

3*("na"+"da") 3x a concatena¸c˜ao de ’na’ com ’da’

Opera¸c˜oes booleanas:

a==b verifica se s˜ao iquais

a!=b oua<>b verifica se s˜ao diferentes

(6)

. Listas

Umalistaé uma sequência de variáveis delimitada por colchetes. Pode conter tipos diferentes e pode ser alterada (pois émutável).

list=[4,"nada", 3.0] define a lista listcom 3 elementos.

list[0] exibe o primeiro elemento da lista.

list[-2] exibe o pen´ultimo elemento da lista.

len(list) informa o tamanho da lista.

list+[3,5] concatenalistcom a lista[3,5].

list[1]=7 insere o valor 7 na posi¸c˜ao 1 da lista.

del list[1] remove o elemento da posi¸c˜ao 2 delist.

list.index(4) indica a posi¸c˜ao que o valor ”4”est´a na lista.

Se tiver mais de uma posi¸c˜ao com mesmo valor, indica a primeira ocorrˆencia.

(7)

. Listas: pseudo-matriz

(8)

. Tupla

Uma tuplaé uma sequência de variáveis delimitada por parênteses.

Assim como em uma lista, pode conter tipos diferentes. No entanto, uma tupla não pode ser alterada depois de criada (pois éimutável).

Os comandos de acesso e manipula¸cão de tuplas são analógas aos usados para listas.

tup=(4,"nada", 3.0) define a tuplatupcom 3 elementos.

tup[1] acessa o segundo elemento da tuplatup.

matriz=((1,2),(3,4)) cria uma pseudo-matriz 2x2

matriz[0][1] exibe o elemento da posi¸c˜ao 1x2 de matriz

(9)

. set

Conjuntos s˜ao definidos com a sintaxeset([elementos]).

X = set([1,19,’a’]) Y = set([1,1,1, 2/3]) Z=X.intersection(Y) print ’X =’,X print ’Y =’,Y print Z

print X == set([’a’, 1, 1, 19]) print ’a’ in X

print ’a’ in Y

Resultado:

X = set([’a’, 1, 19]) Y = set([1, 2/3]) set([1])

True True False

(10)

. Set

SageMathtem sua própria fun¸cão conjunto (Set) que além de incorporar as propriedades da Teoria de conjuntos, tem algumas fun¸cões adicionais.

X =set([1,19,’a’]) Y = Set([1,1,1, 2/3]) print ’X =’,X

print ’Y =’,Y print latex(X) print latex(Y)

Resultado:

X = set([’a’, 1, 19]) Y = {1, 2/3}

\text{\texttt{set([’a’,{ }1,{ }19])}}

\left\{1, \frac{2}{3}\right\}

(11)

. Range

A fun¸cãorange(a, b)gera uma lista de uma sequência de números inteiros no intervalo[a,b)

range(2,7) lista com os inteiros de 2 a 6.

range(7) lista com os inteiros de 0 a 6.

range(1,17,4) lista com os inteiros de 1 a 16, com raz˜ao 4.

(12)

. For

Na maioria das linguagens de programa¸cão, o comandoforrealiza uma itera¸cão percorrendo uma sequência de números inteiros de uma progressão aritmética.

EmPythona itera¸cão é feita percorrendo os itens de uma sequência que pode ser de diversos tipos (lista, string etc.). Por exemplo:

. . . . for i in range(1,4):

print i, print ""

for i in range(3)+range(5,7):

print i, print "\n"

lista=[’fada’,’casa’,’nada’]

for i in lista: print i

Resultado:

1 2 3 0 1 2 5 6

fada casa nada

(13)

Não é necessário utilizar{ }para delimitar um bloco de comandos ou endpara finalizar uma estrutura.

Não existe um delimitador espec´ıfico para blocos de código. A delimita¸cão é feita pela indenta¸cão( teclatabou 4 espa¸cos).

. . . . for i in range(1,3):

print i print "f_",i print "g_",i

Resultado:

1 f_ 1 2 f_ 2

. . . .g_ 2 Observe que a linha de comando{print "g_",i}está alinhado com o comandofor(e, portanto, o valor deineste caso não é iterado percorrendo a sequência de inteiros emrange(1,3)). Como o último valor paraié 2, foi impressog_2.

(14)

. Exemplo:

. . . . matriz = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

for i in range(len(matriz)):

for j in range(len(matriz)):

print matriz[i][j], print ""

Resultado:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

. . . .

(15)

Exemplos de formata¸c˜ao destrings:

a,b,c=3.1415,5,’n´umero’ atribui, respectivamente, valores para as vari´aveisa,bec.

print "a=%f" %a imprime: a={valor da float(f) a}

print "b=%d" %b imprime: b={valor do inteiro(d) b}

print "c=%s" %s imprime: c={valor da string(s) c}

print ’%f é %s’ %(a,c) imprime: 3.1416 é um número print ’%.2f’ %a imprime o float com 2 casas decimais print ’%6.2f’ %a imprime usando 6 espa¸cos no total

(insere espa¸co em branco se preciso).

\n pula uma linha

\t acrescenta espa¸co de tabula¸c˜ao

(16)

(17)

. if–elif–else

A estrutura geral de uma condicionaliftem a seguinte sintaxe:

if condi¸c~ao:

# comandos ...

elif condi¸c~ao:

# comandos ...

else:

# comandos ...

#Exemplo

var = [-2, 4, 5, 6, 0, -3, 4, 8, 3]

for i in var:

if i < 0:

print "Valor negativo: %d" % i elif i == 0:

print "zero na posi¸c~ao", var.index(0) else:

print "Valor positivo: %d" % i

(18)

. M´ odulo:

Existemm´odulosque podem ser inseridos no c´odigo.

Para importar um m´odulo basta colocar no in´ıcio do c´odigo:

import nome_do_m´odulo Exemplos:

import datetime# para marcar tempo import random# para gerar números aleatórios Para conhecer as fun¸cões de um módulo basta digitar:

help(nome_do_modulo).

(19)

. Exemplo

Procedimento para gerar uma pseudo-matriz (lista de listas) aleat´oria:

. . . . import random

def cria_matriz(lin,col):

A=[]

for i in range(lin):

linha=[]

for j in range(col):

linha = linha + [random.randint(1,10)]

A= A + [linha]

return A

cria_matriz(2,3)

. . . .

(20)

OSageMathé umsoftwarelivre e de código aberto de matemática que engloba softwares de várias áreas, tais como, álgebra, geometria, teoria dos números, análise numérica, criptografia, computa¸cão simbólica e numérica.

Criado em 2005 com o objetivo de ser uma alternativa gratuita a softwarescomerciais comoMaple, Mathematicaematlab.

OSageMathutiliza a linguagem de programa¸cãoPython. No entanto, não é preciso saberPythonpara usar a maioria dos recursos do programa.

O conhecimento necessário dePythonpara resolver umPPLou PPLI noSageMathé proporcional à complexidade do problema.

(21)

Endere¸co: http://www.sagemath.org

Para usar oSageMath´e preciso um navegador de internet como ambiente de trabalho.

Para usar nowindows´e preciso instalar uma m´aquina virtual.

Online:

https://cloud.sagemath.com http://sagecell.sagemath.org

(22)

http://sagecell.sagemath.org

(23)

http://sagecell.sagemath.org

(24)

Suponha que se queira resolver o seguintePPL:

max x₁+ 4x₂+ 3x₃ s.a. x₁+ 2x₂≤5

5x₁+ 5x₃≤8 x₁, x₂, x₃≥0

(25)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x1, x2, x3≥0

Crie umMixedIntegerLinearProgram (por padrão, o problema é de maximiza¸cão)

(26)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x1, x2, x3≥0

crie um vetor de vari´aveisx:

(n˜ao ´e preciso definir o tamanho do vetor)

(27)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x1, x2, x3≥0

adicione a fun¸c˜ao objetivo do PPL:

(28)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x1, x2, x3≥0

adicione as restri¸c˜oes do PPL:

(29)

max x₁+ 4x₂+ 3x₃ s.a. x₁+ 2x₂≤5

5x₁+ 5x₃≤8 x1, x2, x3≥0

resolva o PPL:

(30)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x1, x2, x3≥0

z= 14.8

(31)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x1, x2, x3≥0

z= 14.8 x₁= 0.0 x₂= 2.5 x3= 1.6

Exibir solu¸c˜ao:

(32)

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8

x₁, x₂, x₃≥0

(33)

Suponha que se queira resolver o seguintePI:

max x₁+ 4x₂+ 3x₃ s.a. x₁+ 2x₂≤5

5x₁+ 5x₃≤8 x₁, x₂, x₃∈Z+

(34)

Suponha que se queira resolver o seguintePI:

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8 x₁, x₂, x₃∈Z+

z= 11 x₁= 0 x2= 2 x3= 1

O que muda é a declara¸cão das variáveisx.

(35)

Suponha que se queira resolver o seguintePB:

max x₁+ 4x₂+ 3x₃ s.a. x₁+ 2x₂≤5

5x₁+ 5x₃≤8 x₁, x₂, x₃∈N

(36)

Suponha que se queira resolver o seguintePB:

max x1+ 4x2+ 3x3

s.a. x1+ 2x2≤5 5x1+ 5x3≤8 x₁, x₂, x₃∈N

z= 7 x₁= 0 x2= 1 x3= 1

O que muda é a declara¸cão das variáveisx.

(37)

Escrevendo o problema na forma matricial

max x₁+ 4x₂+ 3x₃ s.a. x₁+ 2x₂≤5

5x₁+ 5x₃≤8 x1, x2, x3≥0

(38)

Escrevendo um PPL de minimiza¸c˜ao na forma matricial

min 2x1+ 4x2+ 3x3

s.a.

x1+ 2x2≥5 5x1+x2+ 3x3≥8 x1+ 3x2≥3 x1, x2, x3≥0

(39)

. Alguns comandos ´ uteis

O conjunto solu¸c˜ao pode ser salvo em um vetor:

x_sol=p.get_values(x) Especificar o n´umero de casas decimais:

round(p.solve(),2) round(p.get_values(x),2) Selecionar osolver para resolver o MIP:

MixedIntegerLinearProgram(solver=’nomesolver’) Exemplos desolver: GLPK, Coin, CPLEX, Gurobi (Alguns comandos s˜ao espec´ıficos do solver) MixedIntegerLinearProgram(solver=’GLPK’) Para resolver um MIP de minimiza¸c˜ao:

MixedIntegerLinearProgram(maximization=False)

(40)

. Alguns comandos ´ uteis

Seja o MIP:

. . . . p = MixedIntegerLinearProgram()

v = p.new_variable(nonnegative=True)

. . . . p.get_min(v) retorna o valor m´ınimo das vari´aveis do vetorv p.get_min(v[1]) retorna o valor m´ınimo da vari´avelv[1]

p.set_min(v[1],None) permitev[1]assumir qq valor real negativo p.set_max(v[1],6) fixa o valor 6 como limitante superior parav[1]

p.set_binary(v[3]) fixev[3]como bin´aria

(p.polyhedron()).show() para exibir o poliedro(at´e 3D naturalmente) dir(p) Construtor de uma determinada fun¸c˜ao.

(41)

Dado o MIP:

. . . . p = MixedIntegerLinearProgram()

. . . . Inserir a restri¸c˜ao: P5

i=0v_i≤4

. . . . soma = p.sum(v[i] for i in xrange(5))

p.add_constraint(soma, max=4)

. . . . Inserir restri¸c˜ao: P3

i=1vi= 3

. . . . soma = p.sum(v[i] for i in xrange(1,4))

p.add_constraint(soma, min=3,max=3)

. . . . Informa¸. . . .c˜oes sobre as restri¸c˜oes:

p.constraints() # lista de restri¸c~oes p.constraints(0) # primeira restri¸c~ao

p.number_of_constraints() # n´umero de restri¸c~oes . . . .

(42)

. Exemplo:

min x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4

s.a.

x1+x2+x3+x4≥10 x3+x4= 4

xi∈ {1,2,3,4}, i= 1, . . . ,4.

Defina um vetoracom os coeficientes da fun¸c˜ao objetivo. Sejano n´umero de coordenadas dea.

Definapum PPI exum vetor de vari´aveis inteiras.

Fa¸casoma=Pn

i=1aixi e insira a restri¸c˜ao soma≥10.

Fa¸casoma=Pn−1

i=2 xi e insira a restri¸c˜ao soma= 4.

Para todoi, fixe o limitante superior (upper bound) da vari´avelxiem 3.

Sejaxˆi, i= 1, ..., n, o conjunto solu¸c˜ao do PPI. Imprima[ˆxi, i= 1, ..., n].

(43)

. Exemplo:

min x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4

s.a.

x1+x2+x3+x4≥10 x3+x4= 4

xi∈ {1,2,3,4}, i= 1, . . . ,4.

(44)

Exemplo:

Defina os seguintes elementos:

a= [1,2,−3,4], b= ((1,2,3,0),(4,3,0,6)), c= (10,4).

Defina um PI de minimiza¸c˜ao e um vetor de vari´aveis inteirasw.

Defina a fun¸c˜ao objetivoPn

i=1a_iw_i, em quen=|a|.

Defina as restri¸c˜oes:

Pn

i=1b1iwi=c1

Pn

i=1b2iwi≤c2

Resolva oPPI

Imprima o valor ótimo e os valores das variáveis não nulas.

(45)

Escrevendo um PLI de forma mais gen´erica:

(46)

Problema (tutoria): Considere 5 turmas de 3 disciplinas (MAT0, MAT1 e MAT2) distribu´ıdas em um dos poss´ıveis 5 horários (0-4). Um conjunto de 3 tutores (João, Maria, José) com os seguintes horários livres e disciplinas que podem ministrar. As tabelas exibem os dados dos tutores (horários livres e disciplinas que podem ministrar) e das turmas (horário e disciplina).

Tutor Disponibilidade MAT Jo˜ao 0, 1, 3 0, 1, 2

Maria 0, 2, 3 1, 2

Jos´e 1, 2 0, 1

Turma 1 2 3 4 5

Disciplina 0 0 1 1 2

Hor´ario 0 1 2 0 3

Escreva um trecho de c´odigo para gerar uma listatutorTurmaem que cada elementoi´e o conjunto de tutores que podem ministrar a turmai.

Imprima em cada linha cada elemento detutorTurma.

(47)

. . . .

Tutor=(’Jo~ao’,’Maria’,’Jos´e’)

discipTutor=(set([0,1,2]), set([1,2]),set([0,1])) #disciplina_tutor disponiTutor=((0,1,3),(0,2,3),(1,2)) #horarios dispon´ıveis

dadosTurma=((0,0),(0,1),(1,2),(1,0),(2,3)) #turma=disciplina,hor´ario ntutor,nturma=len(Tutor), len(dadosTurma)

ndisc,nhora=3,4 tutorTurma=[]

for j in range(nturma):

linha=set([])

for i in range(ntutor):

if dadosTurma[j][0] in discipTutor[i] and dadosTurma[j][1] in disponiTutor[i]:

linha = linha.union([i]) tutorTurma= tutorTurma + [linha]

print "Tutores que podem ministrar as turmas:\n"

for i in range(nturma):

print "Turma_",i,":", for j in tutorTurma[i]:

print Tutor[j], print ""

. . . .

(48)

. Bibliotecas de um espec´ıfico solver

Seja o MIP:

. . . . p = MixedIntegerLinearProgram(solver = "GLPK")

. . . . p.solver_parameter("timelimit", 60) # tempo m´aximo: 60s p.get_relative_objective_gap() # gap

(49)

import datetime

p = MixedIntegerLinearProgram(solver=’GLPK’) v = p.new_variable(integer=True, nonnegative=True) coeff,coefb=(1,5,3),(6,8,19)

A=([1,2,-3],[3,-1,1],[2,2,3]) soma=0

for i in range(1,4): soma+=coeff[i-1]*v[i]

p.set_objective(soma) for i in range(1,4):

soma=0

for j in range(1,4):

soma+=A[i-1][j-1]*v[j]

p.add_constraint(soma, max=coefb[i-1]) p.solver_parameter("timelimit", 60) timeini = datetime.datetime.now() p.solve()

timefim = datetime.datetime.now() v = p.get_values(v)

for i in range(1,4): print "v_"+str(i),"=", round(v[i],2) print "zbest=", p.get_objective_value()

print "gap = ", round(100* p.get_relative_objective_gap(),2) print "bestbound = ", p.best_known_objective_bound() print "time = ",timefim-timeini

Sa´ıda:

v_1 = 0.0 v_2 = 6.0 v_3 = 2.0 zbest= 36.0 gap = 2.78 bestbound = 37.0 time = 0:00:00.000138