Problema I.1 (7 valores) Considere a placa fina homogénea e de espessura uniforme e a respectiva discretização, representadas na figura 1.

Exame de Análise de Estruturas II Licenciatura em Engenharia Civil Responsável: Prof. Orlando Pereira 30 de Junho de 2001

1ª Época 2º Semestre Observações: Duração de 3 horas.

Consulta apenas do formulário e de duas folhas A4.

Inicie cada problema numa nova folha. Identifique todas as folhas.

Justifique convenientemente todas as respostas.

Parte I - Nota mínima de 3.5 valores

Problema I.1 (7 valores)

Considere a placa fina homogénea e de espessura uniforme e a respectiva discretização, representadas na figura 1.

(1) (2)

(3)

(4) (5) (6)

1.00 m 1.00 m 0.75 m 0.75 m

1.00 m 1.00 m

x y

a

b c

d e

E uniforme ν = 0

Figura 1

I.1.1.a) Identifique e numere os deslocamentos nodais globais.

I.1.1.b) Determine, em função dos termos das matrizes de rigidez elementares, os termos K_aa, K_ba, K_ca, K_da e K_ea da matriz de rigidez global. Utilize a numeração local indicada no formulário.

I.1.1.c) Determine, em função dos termos das matrizes de rigidez elementares, os termos K_bb e K_bc da matriz de rigidez global. Utilize a numeração local indicada no formulário.

I.1.1.d) Calcule o valor do termo F_a do vector de forças global sabendo que, para o referencial representado na figura 1, o carregamento é ³

3

1  kN/m



 



= m

f_x x .

I.1.2. Considere agora que d_d E

kNm3

=1 e os restantes deslocamentos nodais globais são nulos. Calcule o desequilíbrio de tensões, segundo x, na interface entre os elementos 1 e 2.

I.1.3. Considere agora que, no ponto de coordenadas (x, y) = (0.5 m, 0.5 m) existe uma mola, segundo x, de rigidez k.

I.1.3.a) Admitindo que se pretende utilizar a discretização anterior, calcule o valor do termo a adicionar a K_aa.

I.1.3.b) Desenhe uma nova malha com 20 a 30 elementos de 4 nós.

Problema I.2 (3 valores)

Considere o elemento de laje de 9 nós, baseado na teoria de Reissner-Mindlin, representado na figura 2.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

y

x

1.000 m 1.000 m 1.000 m

1.000 m

0.774 m 0.774 m 0.774 m

0.774 m

a b c

d e f

g h i

E, h uniformes ν = 0

Figura 2

I.2.1. Exprima mx

( )

I.2.2. Indique um conjunto de valores dos deslocamentos nodais para o qual

( )

, 12 Eh3

y x

m_x = e

( )

( )

( )

( )

m_{y xy x y} .

Parte II - Nota mínima de 3.5 valores

Problema II.1 (2.5 valores)

Considere a estrutura representada na figura 3, sujeita a uma carga móvel vertical no caminho de rolamento AD.

3.00 m 3.00 m 3.00 m

4.00 m

A B C D

E

1.00 m 2 kN 2 kN

E uniforme Barras AD:

I = I₀ (m⁴) A = ∞ Barra EC:

A = 10 I₀ (m²) Figura 3

II.1.a) Trace a linha de influência do momento flector no ponto C.

II.1.b) Trace a linha de influência do esforço transverso no ponto B.

II.1.c) Trace a linha de influência da reacção horizontal no apoio D.

II.1.d) Trace a linha de influência do deslocamento vertical do ponto C.

II.1.e) Para o comboio de cargas representado na figura, calcule os valores extremos do momento flector no ponto C.

Problema II.2 (2.5 valores)

Considere o pórtico plano representado na figura 4, sujeito a uma carga móvel vertical no caminho de rolamento AD.

3.00 m

4.00 m

A B C D

E F

4.00 m 2.00 m 2.00 m S

E uniforme

I = I₀ (m⁴) A = 10 I₀ (m²)

Figura 4

II.2.a) Determine a expressão, apenas na barra CD, da função de influência do momento flector em S. Não necessita de simplificar a expressão.

II.2.b) Trace o andamento aproximado da linha de influência do momento flector em S, indicando o grau da função em cada troço.

Problema II.3 (2.5 valores)

Considere a laje representada na figura 5. A laje está sujeita a uma carga uniformemente distribuída paramétrica e comporta-se como se fosse isótropa.

4.00 m 4.00 m 4.00 m 4.00 m

4.00 m

q = λ × 1 kN/m²

P P

P m m

m⁺ = ⁻ = (kNm/m)

Figura 5

II.3.a) Calcule um majorante (< ∞) do parâmetro de carga de colapso da laje.

II.3.b) Calcule um minorante (> 0) do parâmetro de carga de colapso da laje.

Problema II.4 (2.5 valores)

Considere a estrutura e o carregamento representados na figura 6.

4.00 m 3.00 m

4.00 m

A B

C

1.00 m D 2.00 m

λ × 1 kN

λ× 2 kN

kNm M

M_*⁺ = _*⁻=100

∞

=

= ⁻

+

*

* N

N

Figura 6

II.4.a) Identifique as secções críticas, numere-as e indique qual o grau de indeterminação estática da estrutura.

II.4.b) Calcule um majorante (< ∞) do parâmetro de carga de colapso da estrutura e trace o mecanismo a ele associado.

II.4.c) Calcule um minorante (> 0) do parâmetro de carga de colapso da estrutura e indique a distribuição de esforços (M, V, N) a ele associado.

Formulário

j k i

k j i

j k k j i

i i e i

i

x x c

y y b

y x y x a

y c x b A a

−

=

−

=

−

=

+ +

= ( )

2 1

)

ϕ (

( )( ) ( )

( )

ab y x

; a ab

xy

ab ; y b

; x ab

y b x a

= −

=

= −

−

= −

4 3

2 1

ψ ψ

ψ ψ

( )

x , u

xx ∂

ε ∂ x y

=

y y) v(x,

yy ∂

ε =∂

x y) v(x, y

y) u(x,

xy ∂

∂

∂

γ =∂ +











 γ ε ε

=











 σ σ σ

xy yy xx

xy yy xx

D

( )















− −

=

2 1 0 0

0 1

0 1

1 ²

ν ν

ν ν

D E

estado plano de tensão

=0 + + ^xy _x

xx f

y

x ∂

∂σ

∂

∂σ t_x =σ_xxn_x +σ_xyn_y

=0 + + ^yy _y

xy f

y

x ∂

∂σ

∂

∂σ t_y =σ_xyn_x +σ_yyn_y

d

u=Ψ e=Bd s=De

∫

=

V

dV DB B

K ^t

∫ ∫

Γ

Γ Ψ + Ψ

=

V

d

dV t

f

F ^{t t}

1 2 3

4 6

7 8 9

x y

5

1 1

1 1

( ) (

)

4 1

1= x x− y y−

ψ

( )( ) (

)

2 1

2 =− x+ x− y y−

ψ

( ) (

)

4 1

3 = x+ xy y−

ψ

( )(

)(

)

2 1

4 =− x x− y+ y−

ψ

( )( )(

)(

)

5 = x+ x− y+ y−

ψ

( ) (

)(

)

2 1

6 =− x+ x y+ y−

ψ

( ) (

)

4 1

7 = x x− y y+

ψ

( )( ) (

)

2 1

8 =− x+ x− y y+

ψ

( ) (

)

4 1

9 = x+ xy y+

ψ

x

x

x ∂

= θ∂

χ ,

y

y

y ∂

=∂θ

χ ,





∂ +∂

∂

= ∂

x y

x y xy

θ θ

χ 2

1 ,

x w

x

x ∂

+∂

=θ

γ ,

y w

y

y ∂

+∂

=θ

γ ;

(

)

f

x D

m = χ +νχ , ^{my =Df}

(

)

2 1−

= ,

(

)

3

1 12 −ν

= Eh

D_f ,

( )

x

v Eh γ

ν

= + 1 2 6

5 ,

( )

y

v Eh γ

ν

= + 1 2 6

5 .

Deformadas e forças de fixação para deslocamentos impostos Tipo de barra Imposição de rotação à

esquerda

Imposição de deslocamento transversal

bi-encastrada

encastrada-rotulada

encastrada-enc desliz.

N

0 F

F Kd+ =

x

y

L

1 1 12

(

)

)

( L x Lx x

x =−L − +

ϕ

x

y

L

1 2 2

(

)

) 1

( Lx x

x =−L − + ϕ

x

y

L

1 3 13

(

)

)

( L Lx x

x =−L − +

ϕ

x

y

L

1 4 13

(

)

)

( Lx x

x =−L − ϕ

desloc axial no nó inicial ϕ₅(x)=(1−x/L) desloc axial no nó final ϕ₆(x)=x/L

T6.1

x

y L

a b

VA 1 VB

MA

Libertação em B:

M EI

L b

A = 3

2 V EI L b

A =3

3 V EI

L b

B = −3

3

Libertação em B:

y x

L a

L x a L

L x x a

a x L a

L x a L

L x a x L

( )=

−



 

 + −

 

 ≤ ≤

− + −

 

 + −

 

 ≤ ≤







3 3

2 2 0

3 3

2 2

2 2

3 3

2 2

3 3

Libertação em A:









≤

 ≤



 

 + −



 



 −

≤

≤

−

 +



 

 + −



 



− −

=

a x L x

b x L

L L b

L x a b L L x

b x L

L b L x

y

2 0 2

3

2 2

3 3 )

(

3 3

3 3

[ ]













=

1 λ p X b B

X _{0 0}













=

















W0

W 0 u X

b B

t 0 t 0

t D=W_int =X^tu

W0

W W_ext =λ +