Aula no 06: Limites Laterais. Limite da Função Composta.
Objetivos da Aula
• Denir limites laterais de uma função em um ponto de seu domínio;
• Utilizar os limites laterais para vericar a existência de um limite;
• Calcular o limite de uma função composta;
1 Limites Laterais
Ao discutirmos a ideia intuitiva de limite de uma funçãof num pontopna aula passada, zemos questão de sempre exibir uma tabela tomando valores maiores que p (à direita de p) e menores que p (à esquerda dep). Essa preocupação pode ser exemplicada no seguinte exemplo:
Exemplo 1. Considere a função de Heaviside, denida por
H(t) =
1 se t≥0 0 se t <0 é possível calcular lim
t→0H(t)?
Figura 1: Gráco de Função de Heaviside
Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x tendendo a um número real p pela direita, signica dizer que estamos nos aproximando de p por valores maiores que ele. Sempre que zermos isso, utilizaremos a notação x → p+. Analogamente, se considerarmos pontos x tendendo a um número realppela esquerda, signica que estamos nos aproximando deppor números menores que ele, e isso será denotado por x→p−.
No caso da função de Heaviside, H, notamos que lim
x→0+H(t) = 1e limx→0−H(t) = 0. Formalizando essa ideia:
Denição 1. Dizemos queL é o limite à direita da funçãof(x) quando x→p+ e escrevemos
x→plim+f(x) =L
se, para todoε >0, existeδ >0tal que, se p < x < p+δ, então |f(x)−L|< ε.
Denição 2. Dizemos queL é o limite à esquerda da função f(x) quando x→p− e escrevemos lim
x→p−f(x) =L
se, para todoε >0, existeδ >0tal que, se p−δ < x < p, então |f(x)−L|< ε.
Como não existe um único número real para o qual a funçãoH(t) se aproxima quandot→0(indepen- dente do lado pelo qual se aproxima do pontop), dizemos quelim
t→0H(t) não existe e esse fato é enunciando no nosso próximo teorema, que relaciona a denição de limite com as denições de limite à esquerda e à direita:
Teorema 1. lim
x→pf(x) =Lse, e somente se lim
x→p+f(x) =L= lim
x→p−f(x)
Portanto, o teorema acima é um bom critério para sabermos se o limite de uma função existe ou não, como podemos observar nos seguinte exemplos:
Exemplo 2. Calcule o valor de lim
x→0|x|, se existir.
Solução: Por denição,f(x) é dada por
f(x) =
x se x≥0
−x se x <0
Observemos quef(x) =x sex→0+ ef(x) =−x sex→0−. Logo, calculando os limites laterais, temos que
x→0lim+f(x) = lim
x→0+x= 0 e
x→0lim−f(x) = lim
x→0−−x= 0 Logo, pelo Teorema 1, lim
x→0|x|= 0.
Exemplo 3. Vamos vericar que o limite lim
x→0
|x|
x não existe.
Note que
x→0lim+
|x|
x = lim
x→0+
x
x = lim
x→0+1 = 1 (1)
x→0lim−
|x|
x = lim
x→0−
−x
x = lim
x→0−−1 =−1 (2)
Como lim
x→0+f(x)6= lim
x→0−f(x)então, pelo Teorema 1, temos que lim
x→0
|x|
x não existe.
2 Limite de uma Função Composta
Nosso intuito nessa seção é estudar o limite de uma função composta. Apresentaremos dois resultados importantes para o nosso estudo, que nos permitirão calcular certos limites que por ora ainda não são possíveis.
Teorema 2. Sejam f, g duas funções tais queImf ⊆Dg. Se lim
x→af(x) =be g é contínua emb, então
x→alimg(f(x)) =g
x→alimf(x) . Exibiremos agora alguns exemplos de utilização do resultado anterior.
Exemplo 4. Calcule:
(a) lim
x→1cos
1−√ x 1−x
;
(b) lim
x→1
rx2−1 x−1; (c) lim
x→1
(3−x3)4−16 x3−1 ; (d) lim
x→−1
√3
x+ 2−1 x+ 1 . Solução:
(a) Um primeiro passo a ser dado é identicar na composta g(f(x)) = cos
1−√ x 1−x
, qual é a função f(x) e g(u). Nesse caso, ca claro que
f(x) = 1−√ x 1−x e que
g(u) = cosu
Agora, devemos vericar se as funções dadas satisfazem as hipóteses do Teorema 2. Primeiramente, vamos calcularlimx→1f(x). Observe que
x→1lim 1−√
x
1−x = lim
x→1
1−√ x 12−(√
x)2
= lim
x→1
1−√ x (1−√
x)(1 +√ x)
= lim
x→1
1 1 +√
x = 1 2.
O segundo passo a ser dado é vericar se g(u) é contínua em u = 1
2. De fato, pois a função g(u) = cosu é contínua emR. Logo, pelo teorema 2, temos que
x→1limcos
1−√ x 1−x
= cos
x→1lim 1−√
x 1−x
= cos 1
2
(b) Note queh(x) =
rx2−1
x−1 =g(f(x)), em que g(u) =√
u ef(x) = x2−1 x−1. Note também que
x→1lim x2−1
x−1 = lim
x→1
(x−1)(x + 1) x−1
= lim
x→1x+ 1
= 2
Como a funçãog(u) =√
u é contínua em 2, então segue do teorema 2 que
x→1lim
rx2−1 x−1 =
r
x→1lim x2−1
x−1 =√ 2
(c) Observe que não podemos enxergar nitidamente que a função
h(x) = (3−x3)4−16 x3−1
pode ser representada como a composta de duas outras funções. Para isso, fazemos o seguinte método, chamado mudança de variável no limite. Como o nome diz, devemos mudar a variável x para uma variável u de tal forma que o limite possa ser facilmente resolvido. Dessa forma, façamos
u= 3−x3. Observe que, desta equação, podemos concluir que
x3 = 3−u
(que utilizaremos para fazer a substituição no denominador da fração).
Portanto, a funçãoh(x)será escrita, em termos da variável u, como
q(u) = u4−16 2−u Agora, devemos determinar a nova tendência deu:
x→1limu= lim
x→1(3−x3) = 2.
Logo, sex→1, então u→2. E assim, calculamos:
x→1lim
(3−x3)4−16
x3−1 = lim
u→2
u4−16 2−u
= lim
u→2
u4−16
−(u−2)
= −lim
u→2
(u2−4)(u2+ 4) u−2
= −lim
u→2
(u−2)(u + 2)(u2+ 4) u−2
= −lim
u→2((u+ 2)(u2+ 4)) =−4 .8 =−32 (d) Assim como no exemplo anterior, vamos aplicar a mudança de variável no cálculo do limite
x→−1lim
√3
x+ 2−1 x+ 1 Fazendo
u=√3 x+ 2, observe que
x=u3−2 e que, como
lim u= lim √3
x+ 2 = 1,
temos que sex→ −1 então u→1. Logo,
x→−1lim
√3
x+ 2−1
x+ 1 = lim
u→1
u−1 u3−1
= lim
u→1
u−1 (u−1)(u 2+u+ 1)
= lim
u→1
1 u2+ 2u+ 1
= 1 3
O próximo teorema é uma consequência imediata o teorema anterior e arma propriedade extremamente útil para a determinação de limites, pois garante que a composta de duas funções contínuas também é contínua:
Teorema 3. Sejam f, g funções tais que Imf ⊆ Dg. Se f for contínua em a e g for contínua em f(a) então a função composta (g◦f)(x) =g(f(x))é contínua em a.
A utilidade desse último resultado é mostrado nos seguintes exemplos:
Exemplo 5. Determine o maior subconjunto A deRem que a funçãoh(x) = cos(x2) é contínua.
Solução: Note que a funçãoh(x) pode ser reescrita como (g◦f)(x)em que f(x) =x2 e g(u) = cosu. Note que f é contínua em Re g é contínua emR. Logo, pelo teorema 3, temos que a composta g◦f é
contínua em A=R.
Exemplo 6. Determine o maior subconjunto A deRem que a funçãoh(x) = ln(1 + senx)é contínua.
Solução: Note que a função f(x) = 1 + senx é contínua em R. Mas, a função g(u) = lnu é contínua em seu domínio, que é o conjunto (0,+∞). Sendo assim, devemos tomar os valores de x ∈Df tais que f(x)>0, ou seja senx >−1. Desse modo, a composta não estará denida para os valores de x em que senx=−1, isto é, parax=±3π
2 ,±7π
2 , ..., sendo a mesma contínua nos outros valores. Portanto, A=R−
3π 2 + 2kπ
, k∈Z
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.2 e 2.3 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 2.2 e 2.3 do livro texto.
