Universidade Federal do ABC Dinâmica não linear e caos
Prof. Rafael Vilela 3o quadrimestre, 2017 Lista 1: Mapas unidimensionais
Conteúdo: Capítulos 1 (todas as seções), 3 (seções 3.1 a 3.3) e 4 (seções 4.1, 4.3 e 4.5 e Challenge 4) do livro do Yorke, além de material preparado pelo professor (relação de
Kantz-Grassberger).
1. Faça os exercícios 3, 4, 5, 8, 10, 14 e 16 do capítulo 1 do livro do Yorke.
2. Faça os exercícios 1, 3, 4, 7 e 12 do capítulo 3 do livro do Yorke.
3. No ponto de bifurcaçãoa = 3do mapa logístico, um ponto xo estável (p= 2/3) torna-se instável e surge uma órbita de período 2 estável. Esboce simultaneamente os grácos:
(a) da retay=x.
(b) da função logística f(x) = 3x(1−x). (c) def2(x).
4. Mostre que todo ponto no intervalo [0,1] exibe dependência sensível a condições iniciais sob o mapa da tenda.
5. Prove que uma fonte necessariamente exibe dependência sensível a condições iniciais.
6. Encontre um ponto do intervalo LLR para o mapa da tenda.
7. Calcule o expoente de Lyapunov de uma órbita que não passa pelo ponto1/2sob o mapa da tenda.
8. Encontre os expoentes de Lyapunov de todas as órbitas correspondentes a condições iniciais no intervalo [0,1]para o mapa f(x) = 2.5x(1−x).
9. Prove que o mapa da tenda admite innitas órbitas caóticas.
10. Exiba pontos p e q no intervalo[0,1]que satisfazem simultaneamente:
(a) |p−q|<0.01;
(b) |f7(p)−f7(q)|>0.25, onde f é o mapa da tenda.
11. Seja f(x) = aox(1−x) e suponha que sejam vericados os seguintes fatos:
(a) o gráco de f2(x)intercepta a reta identidade nos pontos p, q, r e s, onde p < q <
r < s.
(b) a derivada de f2(x) com respeito ax é igual a 0.999 em q.
Encontre os expoentes de Lyapunov (quando houver) de todas as órbitas com condições iniciais em [0,1]para o mapaf(x).
12. Construa um mapa unidimensional cujo conjunto invariante tenha dimensão ln(2)lnm
13. Verique a relação de Kantz-Grassberger para o mapa do exercício anterior.
14. Escreva a expressão de um mapa sob o qual os pontos que permanecem no intervalo[0,1]
são aqueles que, expressos em base 4, contém apenas os dígitos 0 e 3. Além disso, calcule a dimensão do conjunto de Cantor construído por esse mapa.
15. Considere o mapa
f(x) =
5x+ 4, se x≤ −0.4;
−5x, se −0.4≤x≤0.4 5x−4, se x≥0.4
Calcule a dimensão fractal da fronteira entre os atratores em ∞e −∞.
16. Sobre o mapa do exercício anterior, por qual fator deve melhorar a precisão com que se mede a posição de um ponto para que o comprimento incerto caia pela metade?
