Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Capítulo 1 - Parte 1

Professor: Luiz Fernando Nunes

Índice

1 Matrizes e Determinantes ... 1

1.1 Matrizes ... 1

1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes ... 2

1.1.2 Operações com matrizes ... 4

1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes: ... 9

1.1.4 Matrizes Elementares ... 10

1.1.5 Definição de Matriz como Função ... 12

1.2 Determinantes e Matriz Inversa ... 12

1.2.1 Determinantes ... 12

1.2.2 Matriz Inversa ... 14

1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa ... 17

Referências Bibliográficas ... 18

1 Matrizes e Determinantes

1.1 Matrizes

Noção de matriz:

Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas.

Representação

Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por:

 

ij _{m n} mn

m m

n n

n

m a

a a

a

a a

a

a a

a

A _  _































2 1

2 22

21

1 12

11

, onde 1 i  m, 1 j  n.

Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz, podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e n.

O símbolo Mmn

 

^ indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem mn de elementos reais.

Exemplos

1. Se























3 0 5

2 1 2

0 1 1

A , então temos que: a₁₁1, a₁₂1, a₁₃ 0, a₂₁2,

22 1

a ,a₂₃2, a₃₁5, a₃₂ 0,a₃₃ 3.

2. Se 



 







 

2 7 0

5 2 9

B 3 , então temos que: b₁₁ 3, b₁₂9,b₁₃ 2, b₁₄5,

210

b ,b₂₂ 7, b₂₃  2, b₂₄ .

3. Se

























18 7

3 4

2 / 1 3 / 2

C , então temos que:

3 2

11 c ,

2 1

12 

c ,c₂₁ 4, b₂₂ 3,

210

b ,c₃₁7, c₃₂ 18.

4. Suponha que temos alguns dados como peso, altura e idade referentes a um grupo de quatro pessoas, como na tabela seguinte:

Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos)

Pessoa 1 1,75 62 40

Pessoa 2 1,64 53 27

Pessoa 3 1,83 75 31

Pessoa 4 1,50 50 18

Podemos representar estas informações na matriz seguinte:



















18 50 50 , 1

31 75 83 , 1

27 53 64 , 1

40 62 75 , 1

D , onde cada linha representa um indivíduo e as colunas

representam, as grandezas altura, peso e idade, respectivamente.

Definição

Duas matrizes

n

ij m

n

m a

A _ [ ] _ e

s

ij r

s

r b

B _ [ ] _ são iguais, se e somente se:















j i b a

s n

r m

ij

ij ,

1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Quadrada

É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n.

Exemplos

5.





















3 0 2

7 1 5

0 1 0

A , B

 

⁸ e 



 



 

 3 7

4

C 9 .

Matriz Nula

É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, a_ij 0 para todo i e j.

Exemplos

6.



















0 0 0

0 0 0

0 0 0

A e 



 



 0 0

0 B 0

Matriz Linha

É aquela onde m = 1.

Exemplos

7. A



9 0 3 2



e B

 

1 3

Matriz Coluna

É aquela onde n = 1.

Exemplos

8.

















  1 2 9 7

A e 



 





  2 B 3

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada (m = n) onde a_ij 0, para i j.

Exemplos

9.





















2 0 0

0 4 0

0 0 1

A e

















 

3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 4 0

0 0 0 9 B

Matriz Identidade

É uma matriz diagonal onde















j i para a

e j i para a

ij ij

1 0

Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por I_nn ou apenas I_n.

Exemplos

10.



















1 0 0

0 1 0

0 0 1

A , 



 



 1 0

0 B 1 e



















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 C

Matriz Triangular Superior

É uma matriz quadrada onde a_ij 0 para i > j.

Exemplos

11.





















1 0 0

2 7 0

0 9 1

A , 



 



 

 0 1 9

B 1 ,























1 0 0 0

2 1 0 0

0 6 0 0

3 0 3 1

C

Matriz Triangular Inferior

É uma matriz quadrada onde a_ij 0 para i < j.

Exemplos

12.





















1 7

0 2 9

0 0 4

A , 



 



 1 3

0 B 1 e

















 

1 0 0 2

0 9 3 4

0 0 5 6

0 0 0 1 C

1.1.2 Operações com matrizes

Adição

Dadas duas matrizes

n

ij m

n

m a

A _ [ ] _ e

n

ij m

n

m b

B _ [ ] _ , então:

n m n

m n

m ij ij ij

ij b a b

a B

A [ ] _ [ ] _ [  ] _

Exemplos

13. Se





















1 7 1

2 2 9

1 0 4

A e























1 2 6

0 3 1

8 1 2

B , então















 





0 9 5

2 5 10

7 1 6 B A

14. Suponha que as tabelas que seguem trazem as produções de soja, feijão e milho (em milhares de toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de um país:

Produção agrícola do primeiro ano

Soja Feijão Milho

Região 1 2000 150 700

Região 2 1000 450 120

Região 3 500 300 900

Produção agrícola do segundo ano

Soja Feijão Milho

Região 1 2500 200 400

Região 2 500 250 300

Região 3 1500 200 100

Se representarmos estas produções pelas matrizes:



















900 300 500

120 450 1000

700 150 2000

A e



















100 200 1500

300 250 500

400 200 2500

B , respectivamente, então a matriz





















1000 500

2000

420 700 1500

1100 350

4500 B

A representa a produção total nestes dois anos

consecutivos.

Propriedades da Adição de Matrizes

i) Associatividade: A



BC

 

 AB



C, A,B,CM_mn

 

 ii) Comutatividade: ABBA, A,BM_mn

 



iii) Elemento Neutro: A0A, onde 0 denota a matriz nula mn, AM_mn

 

 iv) Oposto: Dada AM_mn

 

 , existe a matriz

 

A M_mn

 

 , tal que A

 

A 0

Multiplicação de matriz por escalar

Dada uma matriz A_mn[a_ij]_mn e um escalar , então:

n m n

m ij

ij a

a

A _   _



 [ ] [ ]

Exemplos

15. Se























4 7 1

2 6 9

1 0 3

A e 2, então































8 14 2

4 12 18

2 0 6 2 A A

16. Se 



 







 

2 5 2

1 4

B 3 e 3, então 



 











 









 6 15 6

3 12 3 B 9

B

17. Suponha que a tabela que segue traz a produção de arroz e milho (em milhares de toneladas) de dois Estados de um país em um determinado ano:

Arroz Milho

Estado X 400 600

Estado Y 700 800

Se representarmos estas produções pela matriz: 



 





800 700

600

A 400 e no ano seguinte

estes Estados dobraram suas produções, então a matriz 



 





 1400 1600 1200

2 A 800 representa esta nova safra.

Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar

i)







^A



^A



, AM_mn

 

,, ii)







AAA,AM_mn

 

,, iii) 



^A^B



^A^B,A,BM_mn

 

, iv) 1AA, AM_mn

 



v) 0A0, ^A^Mmn

 

^ obs.: 0e 0^Mmn

 

^

Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes

n

ij m

n

m a

A _ [ ] _ e

p

jk n

p

n b

B _ [ ] _ , então:

p

ik m

c C B

A  [ ] _ , onde

























 ⁿ

j

jk ij nk

in k

i k i k i

ik a b a b a b a b a b

c

1 3

3 2 2 1

1 ...

Exemplos

18. Se 



 





22 21

12 11

a a

a

A a e 



 





23 22 21

13 12 11

b b b

b b

B b , então 



 





23 22 21

13 12 11

c c c

c c

C c , onde:















 ²

1 2 2 1 1

j

jk ij k

i k i

ik a b a b a b

c , isto é:

21 12 11 11

11 a b a b

c    

22 12 12 11

12 a b a b

c    

23 12 13 11

13 a b a b

c    

21 22 11 21

21 a b a b

c    

22 22 12 21

22 a b a b

c    

23 22 13 21

23 a b a b

c    

19. Se 



 









 

1 1 2

1 3

A 1 e





























6 0 2 1

1 1 2 5

1 3 0 4

B , então 



 





24 23 22 21

14 13 12 11

c c c c

c c c

C c ,

onde:

 

4 3

     

5 1 1 12

111         c₁₂ 1

 

0 3

     

2  1 2 8 c₁₃1

 

3 3

     

1  1  0 0 c₁₄ 1

 

1 3

     

1  1  6 4 c₂₁

           

²  ⁴  ¹  ⁵  ¹ ¹ ² c₂₂

           

2  0  1  2  1  2 4 c23

           

²  ³  ¹ ¹  ¹ ⁰ ⁵ c

           

^{2 1 1 1 1 6 7}

24         

c

Logo 



 









 

7 5 4 2

4 0 8 C 12

20. Imagine que uma empresa possui duas confeitarias chamadas de A e B, que fabricam três tipos de bolos chamados de 1, 2 e 3.

As vendas de bolos destas confeitarias, por semana, estão apresentadas na tabela que segue:

Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3 A 50 unidades 30 unidades 25 unidades B 20 unidades 20 unidades 40 unidades

Para a fabricação destes bolos, são necessários materiais conforme a seguinte tabela:

Bolo Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos Tipo 1 500 g 200 g 500 ml 150 g 4 Tipo 2 400 g 100 g 300 ml 250 g 5 Tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 g 6

Que quantidade destes materiais cada confeitaria deverá receber semanalmente para atender às demandas?

Se a primeira tabela for representada pela matriz 



 





40 20 20

25 30

X 50 e a segunda

tabela pela matriz



















6 0 600 150 450

5 250 300 100 400

4 150 500 200 500

Y , a resposta será dada pela matriz

Y X Z  :

Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos

A c₁₁ c₁₂ c₁₃ c₁₄ c₁₅

B c₂₁ c₂₂ c₂₃ c₂₄ c₂₅

48250 450

25 400 30 500

1150     

c

16750 150

25 100 30 200

12 50     

c

49000 600

25 300 30 500

1350     

c

15000 0

25 250 30 150

14 50     

c

500 6 25 5 30 4

15 50      c

36000 450

40 400 20 500

2120     

c

12000 150

40 100 20 200

2220     

c

40000 600

40 300 20 500

2320     

c

8000 0

40 250 20 150

2420     

c

420 6 40 5 20 4

2520     

c

Logo a resposta é:

Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos

A 48250 16750 49000 15000 500

B 36000 12000 40000 8000 420

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

(Desde que sejam possíveis as operações) i) AI IAA, sendo I a matriz identidade ii) A



BC



 ABAC e



AB



C ACBC iii) A



BC

 

 AB



C

iv) 0A0 e A00

Observe que em geral ABBA, podendo inclusive um dos membros estar definido e o outro não.

Transposição de matrizes

Dada uma matriz A_mn [a_ij]_mnM_mn

 

 , denomina-se transposta de A, a matriz:

m n ij

T b

A [ ] _ , cujas linhas são as colunas de A, isto é: b_ij a_ji.

Exemplos

21. Se























4 7 1

2 6 9

1 0 3

A , então























4 2 1

7 6 0

1 9 3 AT

22. Se





















5 2

4 0

1 3

B , então 



 



 

 1 4 5 2 0

T 3 B

Propriedades da Transposição de Matrizes

i)



AB



^T A^T B^T

ii)



A



^T A^T , onde  iii)

 

^{AT T A}

iv)



AB



^T B^T A^T

Definições

Seja A uma matriz quadrada, então:

a) A é dita simétrica, se e somente se, A^T  A.

Exemplo

23.



























5 7 1

7 2 0

1 0 3

A  A^T  A



























5 7 1

7 2 0

1 0 3

b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, A^T A.

Exemplo

24.

























0 5 3

5 0 1

3 1 0

A  A^T A

























0 5 3

5 0 1

3 1 0

1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes:

25. Para cada , considere a matriz 



 













 

 sen cos

sen T cos

a) Mostre que T_T_ T_





 













 



 













 

 _

 sen cos

sen cos

cos sen

sen T cos

T

= 



 

































































cos cos sen

sen cos

sen cos

sen

cos sen cos

sen sen

sen cos

cos

   

   

^_^{ }





























  T

cos sen

sen cos

b) Ache T_

   

   

^TT

T_  _



 













 



 





















 

cos sen

sen cos

cos sen

sen cos

26. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo A^T  A e B^T B.



AB



^T A^T B^T AB.

27. Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica.

Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo A^T A e B^T B.



AB



^T A^T B^T A

  

B  AB



.

28. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então AA^T é uma matriz simétrica.



^AAT



^{T AT }

 

^{AT T  AT AAAT}

29. Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica.

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo A^T  A e B^T B.



AB



^T B^T A^T BA.

30. Se AB0, então podemos afirmar queA0 ou B0? Não! Encontre alguns contra-exemplos.

31. Suponha que A0 e ABAC, então podemos afirmar que B=C ? Não!

C A B

A   ABAC0A



BC



0. Sabemos que A0, e que podemos ter A



BC



0 sem que BC0, Logo B não é necessariamente igual a C.

32. Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que YAI, podemos afirmar que B=C ?

Sim ! C A B

A   Y



AB



Y



AC







YA



B



YA



C

 

I B

 

I CB=C 33. Podemos dizer que a seguinte igualdade



AB



² A²2ABB²é verdadeira?

Não!



AB

 

 AB



AAABBABBA²ABBAB²

34. Podemos dizer que a seguinte igualdade



AB



²A²2ABB²é verdadeira?

Não!



AB

 

 AB



AAABBABB A²ABBAB²

1.1.4 Matrizes Elementares

Definição

Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:

i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;

ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;

iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.

Definição

Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.

Exemplos

35. Considere a matriz identidade



















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I . Então as matrizes



















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 5 0

0 0 0 1

E1 ,



















1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

E2 ,





















1 0 2 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

E3 , são matrizes

elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se Li representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:

















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





 ₂

2 5 L

L

1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 5 0

0 0 0 1

E

































1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 ₃

1 L

L

2

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

E

































1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





 _{4 2}

4 L 2L

L

3

1 0 2 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

E



















Teorema

Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de I_n. Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem nr, então o resultado será igual a EA.

Exemplo

36. Considere as matrizes elementares E₁, E₂eE₃, obtidas conforme segue:

















1 0 0

0 1 0

0 0 1





 ₁

1 3 L

L

1

1 0 0

0 1 0

0 0 3

E

































1 0 0

0 1 0

0 0 1



 ₃

2 L

L

₂

0 1 0

1 0 0

0 0 1

E

































1 0 0

0 1 0

0 0 1





 _{3 2}

3 L 4L

L

3

1 4 0

0 1 0

0 0 1

E

















 Considere agora a matriz





















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1

A . Verifique que:



















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1





 ₁

1 3 L

L



















1 5 3 2

0 2 4 1

9 0 6 3

= 

















1 0 0

0 1 0

0 0 3



















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1



















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1



 ₃

2 L

L

















1 4 2 0 1 5 3 2

3 0 2 1

= 

















0 1 0

1 0 0

0 0 1



















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1



















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1





 _{3 2}

3 L 4L

L























1 3 13 6

0 2 4 1

3 0 2 1

= 

















4 1 0

0 1 0

0 0 1



















1 5 3 2

0 2 4 1

3 0 2 1

1.1.5 Definição de Matriz como Função

Uma matriz do tipo m  n sobre um corpo F é uma aplicação do conjunto X={ (i, j)  N  N: 1 i  m, 1 j  n } em F. (N é o conjunto dos números naturais).

Se m = n a matriz é dita matriz quadrada.

Exemplo

37. A aplicação A: X  onde X= { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) }, definida por:

A(1,1) = 1, A(1,2) = 1, A (1,3 ) = 3, A (2,1) = 3, A (2,2) = 4, A (2,3) = 0

é uma matriz do tipo 2  3, isto é: A = 



 







 0 4 3

3 1 1

1.2 Determinantes e Matriz Inversa

1.2.1 Determinantes Definições

Se 



 





22 21

12 11

a a

a

A a detAa₁₁a₂₂a₁₂a₂₁

Se



















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

A 

31 22 13 32 21 13 31 23 12

33 21 12 32 23 11 33 22

det 11

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a A







































Definição

Dada uma permutação dos inteiros 1,2,...,n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele.

Permutação Número de inversões

( 1 2 3 ) 0

( 1 3 2 ) 1

( 2 1 3 ) 1

( 2 3 1 ) 2

( 3 1 2 ) 2

( 3 2 1 ) 3

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn.

Então detA

 

1 ^Ja _j a _j a _j ...a_njn

3 2

1 2 3

1  









Onde J  J(j₁,j₂,j₃,,...., j_n) é o número de inversões da permutação(j₁,j₂,j₃,,....,j_n) e  indica que a soma e estendida para todas as n!

permutações.

Observações

i) o coeficiente

 

1 ^Jdá o sinal de cada parcela da somatória.

ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada coluna.

iii) Através de reordenações, mostra-se também que: detA

 

1^Ja_j1 a_{j 2} a_j3...a_jnn

3 2

1  









Propriedades dos determinantes

i) detAdetA^T

ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por k, o determinante fica multiplicado por k.

iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.

iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.

v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.

vi) ^det



^A^B



^detA^detB

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn. Uma submatriz A_ijde A é uma matriz obtida de A eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

Exemplo

38. Se

























4 3 2

3 0 4

1 2 1

A então 



 





 

3 2

2 1

A23 , 



 



 

 0 3 1 2

A31 , etc.

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn. O cofator ou complemento algébrico de um elemento a_ijde A é o número: _ij 

 

^1ijdetA_ij.

Exemplo

39. Se

























4 3 2

3 0 4

1 2 1

A então:

   

9

4 3

3 det 0 1 det

1^{1 1} ₁₁ ²

11 



 





 









 ^ A ,

   

7

3 2

2 det 1

1 det

1^{2 3} ₂₃ ⁵

23 



 





 









 ^ A , etc.

Desenvolvimento de Laplace

Generalizando:

 

ij

n

j n ij

ij n a

a 





  1

det para qualquer linha i.

Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j:

 

ij

n

i n ij

ij n a

a 





  1

det para qualquer coluna j.

Exemplo

40. Se

























4 3 2

3 0 4

1 2 1

A então calcule detA.

Escolhendo, por exemplo a segunda linha (i=2)





























 2 21 21 22 22 23 23

3

1

detA a2 _j a a a

j j

 

_



 







 



 ^

4 3

1 det 2

1

4 ^{2 1} +

 

_



 









 

 ^

4 2

1 det 1

1

0 ^{2 2}

 





 





 



 ^

3 2

2 det 1

1

3 ^{2 3}

 

6 3

 

7 1 0

5

4       



1.2.2 Matriz Inversa

Seja A é uma matriz quadrada n  n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também n  n, que satisfaz a seguinte propriedade: ABBAI, em que I I_n é a matriz identidade n  n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.

Normalmente a matriz inversa de A é indicada por A^1, logo: AA^1A^1AI

Exemplo

41. Ache a inversa da matriz 



 



 4 1

3 A 2





 







 







 





1 0

0 1 4

1 3 2

d c

b

a 



 







 













1 0

0 1 4

4

3 2 3 2

d b c a

d b c a











 0 4

1 3 2

c a

c

a 

5

4 a e

5

1



c e











 1 4

0 3 2

d b

d

b 

5

3

 b e

5

2 d

Logo



















 



5 2 5 1

5 3 5 4 A 1

Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 



 







 







 





1 0

0 1 4 1

3 2 d c

b a

Teorema

Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.

Demonstração

Vamos supor que a matriz A possui duas inversas A₁^1 e A₂^1. Logo temos que A

A I A

A ₁^1  ₁^1 e AA₂^1I A₂^1A.

Assim

   

2¹

1 2 1

2 1

1 1 2 1

1 1

1 1 1















  A I A  AA  A AA IA A

A .

Portanto A₁^1 A₂^1 e a inversa é única.

Observações

i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então AB é também invertível e



AB



^1B^1A^1.

ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se detA0. iii) Se A é uma matriz quadrada e detA0, então

A A

det det ^1 1 .

Demonstração de (iii)

Sabemos que det



AB



detAdetB. Se A^1A I, então temos que



^{A A}



^{detA detA detI}

det ^1  ^1  

A A

det det ^1 1 .

iv)

 

^{A1 1 A.}

v)

   

^{A1T  AT 1.}

Teorema

Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em A^1.

Demonstração

Se A for linha equivalente a I, podemos conseguir essa redução multiplicando A à esquerda por uma seqüência E₁,E₂,E₃,...,E_k de matrizes elementares. Portanto, temos

I A E E E E

E_k _k1.... ₃ ₂ ₁  . Denotando BE_kE_k1....E₃E₂E₁, temos BA I. Assim, temos que A é invertível e B A^1. Agora, aplicar a mesma sequência de operações elementares em I é equivalente a multiplicar I, à esquerda por E_k E_k1....E₃E₂E₁. O

resultado é E_k E_k1....E₃E₂E₁I BI  A^1I  A^1. Desta forma, I é transformada em A^1 pela mesma seqüência de operações elementares de linhas.

Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a matriz inversa de A:

] [AI 

. .elem op

] [IA^1

Exemplo

42. Ache a inversa da matriz























3 2 1

1 2 1

1 2 1 A





















1 0 0 3 2 1

0 1 0 1 2 1

0 0 1 1 2 1









 ₂

1 L

L





















1 0 0 3 2 1

0 0 1 1 2 1

0 1 0 1 2 1







1 3 3

1 2 2

L L L

L L L



























1 1 0 4 4 0

0 1 1 2 4 0

0 1 0 1 2 1









 ₂

2 4

1L L

















1 1 0 4 4 0

4 0 1 4 1 2 1 1 0

0 1 0 1 2 1







2 3 3

2 1 1

4 2

L L L

L L L



































1 0 1 2

0 0

4 0 1 4 1 2

1 1 0

2 0 1 2 0 1

0 1









 ₃

3 2

1L L

























2 0 1 2 1 1

0 0

4 0 1 4 1 2

1 1 0

2 0 1 2 0 1

0 1











 _{2 3}

2 2

1L L L



























2 0 1 2 1 1

0 0

4 1 4 1 2 0 1

1 0

2 0 1 2 0 1

0 1







. Assim,



























 

2 0 1 2

1 4

1 4 1 2 1

2 0 1 2 1

A 1 .

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn. Então a matriz dos cofatores de A é a matriz A

 

ij _nn.

Exemplo

43. Se 



 





 

1 3

1

A 2 então 



 





 



 











 

2 1

3 1

22 21

12

A 11

Pois

 

1¹¹1 1

11   

 ^ ,

   

1^{1 2} 3 3

12    

 ^ ,

 

^{11 21 1}

21   

 ^ ,

 

^{12 22 2}

22   

 ^

Definição

Seja A uma matriz quadrada nn. Chama-se matriz adjunta de A, a matriz

 

^AT

adjA .

Exemplo

44. Se 



 





 

1 3

1

A 2 então _



 



 

 



 





 

2 3

1 1 2

1 3

1 ^T

adjA

Teorema

Seja A uma matriz quadrada nn, tal que detA0. Então: AadjA



detA



I_n. Deste teorema podemos concluir que:



A



I_n adjA

A  det   I_n A AadjA 

det 

A A adjA

det

1 



1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa

45. Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.

Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 33 assim:

















 A D I

V A

X U P

, que usando a correspondência numérica fica: M =

















1 4 9

22 0 1

24 21 16

Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo:

C =























1 0 2

2 1 2

0 1 1

Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos MC:































7 13 3

22 1 45

18 37 22 C

M