Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Indução Matemática (Indução Fraca) Contato: nibbledi l.com Escrit

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Indução Matemática (Indução Fraca) Indução Matemática (Indução Fraca)

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 20/12/2014 - Atualizado em 16/07/2017 Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 20/12/2014 - Atualizado em 16/07/2017

O que é:

A indução matemática é uma técnica usada para demonstrar proposições a respeito dos A indução matemática é uma técnica usada para demonstrar proposições a respeito dos números

números inteiros. Não sendo possível utiliza-la com números racionais ou irracionais. inteiros. Não sendo possível utiliza-la com números racionais ou irracionais.

Primeiro princípio de indução:

Seja P(

Seja P(nn) uma proposição dependente de) uma proposição dependente de n n ((nn^∈^∈ZZ)), com, com n n ^≥^≥, sendo, sendo   um inteiro dado, um inteiro dado, supondo que se consiga provar que:

supondo que se consiga provar que:

)) P( P() é verdadeira.) é verdadeira.



)) SeSe k k ^≥^≥  e e P(P(k k ) é verdadeira, então P) é verdadeira, então P((k k ++ 1 1)) também é verdadeira. também é verdadeira.

então P

então P((nn)) é verdadeira para todo é verdadeira para todo n n ^≥^≥..

Exemplo 1:

Exemplo 1: Demonstre por indução que Demonstre por indução que o sucessor de qualquer inteiro po- sitivo o sucessor de qualquer inteiro po- sitivo nn éé maior que seu antecessor (

maior que seu antecessor (nn^≥^≥11).).

Solução:

Prova de Prova de ::

Not

Note e que a que a prpropooposiçsição é ão é vavalidlida a parpara a 1.1.

Pois, 2 é sucessor de 1 e

Pois, 2 é sucessor de 1 e 2 2 > > 1 1..

Prova de Prova de ::

Se a proposição é válida para

Se a proposição é válida para k k então, ele então, ele deve ser menor que seu sucessor.

deve ser menor que seu sucessor.

k

k < k < k ++ 1 1

Somando 1 em cada membro Somando 1 em cada membro

k

k ++ 1 1 < < ( (k k ++ 1 1) +) + 1 1

k

k ++ 1 1 < < k k ++ 2 2

Como

Como k k ++ 22 é é sucsucessessor or dede k k ++ 11 então, então, pela desigualdade acima a proposição tam- pela desigualdade acima a proposição tam- bém deve ser válida para

bém deve ser válida para k k ++ 1 1..

Desse modo, pelo princípio de indução a Desse modo, pelo princípio de indução a proposição é válida para todo

proposição é válida para todo nn ^∈^∈ ZZ, maior, maior ou igual a 1.

ou igual a 1.

Exemplo 2:

Exemplo 2: Demonstre por indução: Demonstre por indução:

a)

a) 11++22++^{·· ·· ··}++nn = = nn((nn++ 1 1)) 2

2 ((nn^≥^≥11)) b)

b) 11 + + 33 + + 55 + + ^{·· ·· ··} + + ((22nn⁻⁻ 11) ) == nn²² ((nn^≥^≥11))

c)

c) 11³³++22³³++^{·· ·· ··}++nn³³ = = ((11++22++...++nn))²² ((nn^≥^≥11))

d)

d) 11^·· 22 + + 22 ^··33 + + ^{·· ·· ··}++ nn^·· ((nn + + 11) ) == n

n((nn++ 1 1)()(nn++ 2 2)) 3

3 ((nn^≥^≥11)) e)

e) nn²² > n> n++ 1 1 ((nn^≥^≥22)) Solução de a:

Solução de a:

Obse

Observe rve que que a a proproposiposição é ção é verdverdadeiadeirara para

para n n = = 1 1, pois, pois

11 = = 11((11++ 1 1)) 2

2 == 1 1 Prova de

Prova de ::

Ad

Admimititindndo o quque e a a prpropopososiçição ão seseja ja veverr-- dadeira para um

dadeira para um k k ^∈^∈ AA então: então:

1

1++^{·· ·· ··}++ k k = = k k ((k k ++ 1 1)) 2 2 Somando

Somando ( (k k ++ 1 1)) em ambos os termos em ambos os termos

(2)

1

1++^{·· ·· ··}++ k k + + ((k k ++ 1 1) ) == k k ((k k ++ 1 1)) 2

2 + + ((k k ++ 1 1)) chegamos á:

chegamos á:

1

1++^{·· ·· ··}++ k k + + ((k k ++ 1 1) ) == ((k k ++ 1 1)()(k k ++ 2 2)) 2

2

O que mostra que a proposição também O que mostra que a proposição também seria válida para

seria válida para k k ++ 1 1..

As

Asssimim, , pepelo lo prprininccípípio io de de inindduçuçãão o aa proposição é valida para todo

proposição é valida para todo nn ^∈^∈ ZZ maior maior ou igual a 1.

ou igual a 1.

Solução de b:

A

A prpropooposiçsição ão é é ververdaddadeireira a parpara a 1 1 poipois,s, 11 = = 1 1²²..

Se a proposição é verdadeira para

Se a proposição é verdadeira para k k en-en- tão:

tão:

1

1++ 3 3++ 5 5++^{·· ·· ··}+ + ((22k k ⁻⁻11) ) == k k ²²

Note que os valores a direita crescem de Note que os valores a direita crescem de 2 em

2 em 2 (1, 2 (1, 3, 5,...3, 5,...). ). AssAssim o im o prpróxóximo terimo termomo da sequencia depois de

da sequencia depois de 2 2k k ⁻⁻11 seria seria 22k k ++ 1 1..

11++33++55++^{·· ·· ··}++ ((22k k ⁻⁻11)+)+ ((22k k ++11) ) == k k ²²++ ((22k k ++11))

1

1++ 3 3++ 5 5++^{·· ·· ··}+ + ((22k k ⁻⁻11) + ) + ((22k k ++ 1 1) ) = = ((k k ++ 1 1))²²

Ou seja, se a proposição é valida para Ou seja, se a proposição é valida para k k então ela é válida para

então ela é válida para k k + + 1 1. . Sendo Sendo assiassim,m, pelo princípio de indução a proposição é ver- pelo princípio de indução a proposição é verdadeira para todo

dadeira para todo n n ^≥^≥11..

Solução de c:

prova de prova de ::

A

A prpropopososiçiçãoão éé váválilidada paparara 1, p1, poioiss11³³ == 1 1²²..

Se a proposição é válida para

Se a proposição é válida para k k então então

1

1³³++ 2 2³³++^{·· ·· ··}++ k k ³³ = = ((11++ 2 2++ .. ....++ k k ))²² Somando

Somando ( (k k ++11))³³ em ambos os membrosem ambos os membros então

então

1

1³³++22³³++^{·· ·· ··}++k k ³³++((k k ++11))³³ = = ((11++22++...++k k ))²²++((k k ++11))³³

Como visto na letra

Como visto na letra   do exercício do exercício 1 1++22++ ...

... + + k k == k k ((k k ++ 1 1)) 2

2 . . AsAssimsim, , podpodemoemos fazes fazer ar a seguinte substituição

seguinte substituição

((11++22++...++k k ))²²++((k k ++11))³³ ==

 

^k^k⁽⁽^k^k⁺^+ 1¹⁾⁾

2 2



²²

+

+((k k ++11))³³

((11++22++ .. ....++ k k ))²²+ (+ (k k ++11))³³ == ((k k ++ 1 1))²²((k k ++ 2 2))²² 2

2²²

((11++22++...++k k ))²²+ (+ (k k ++11))³³ ==

 

⁽⁽^k^k⁺^+ 1¹⁾⁽⁾⁽^k^k⁺^+ 2²⁾⁾

2 2



²²

((11++22++...++k k ))²²++((k k ++11))³³ == ( (11++ 2 2++ .. ....+ + ((k k ++ 1 1))))²²

Com isso mostramos que se a proposição Com isso mostramos que se a proposição é válida para

é válida para k k então ela também é válida então ela também é válida para

para k k + + 1 1. . AssiAssim, pelo princípio de induçãom, pelo princípio de indução a proposição é válida para todo

a proposição é válida para todo n n ^≥^≥11..

Solução de d:

A proposição é válida para 1.

1

1^··22 = = 11((11++ 1 1)()(11++ 2 2)) 3

3 66 = = 6 6

T

Tomando omando a a proposiçãproposição o como como verdadeiraverdadeira para

para k k então: então:

1

1^··22++ 2 2^··33++^{·· ·· ··}++ k k ^··((k k ++ 1 1) ) == k k ((k k ++ 1 1)()(k k ++ 2 2)) 3

3

(3)

Somando a ambos os membros

Somando a ambos os membros ( (k k ++11)()(k k ++ 22))

1

1^··22++22^··33++^{·· ·· ··}++k k ^··((k k ++11)) + (+ (k k ++11))^··((k k ++22))

=

= k k ((k k ++ 1 1)()(k k ++ 2 2)) 3

3 + + ((k k ++ 1 1)()(k k ++ 2 2)) 1

1^··22++ 2 2^··33++^{·· ·· ··}+ + ((k k ++ 1 1))^··((k k ++ 2 2))

=

= ((k k ++ 1 1)()(k k ++ 2 2)()(k k ++ 3 3)) 3

3

Solução de e:

A proposição é verdadeira para 2.

2

2²² >> 2 2++ 1 1

4 4 > > 3 3 Prova de

Prova de ::

Se a proposição é verdadeira para

Se a proposição é verdadeira para k k en-en- tão:

tão:

k

k ²² > k > k ++ 1 1

Somando 1 em ambos os membros en- Somando 1 em ambos os membros en- tão:

tão:

k

k ²²++ 1 1 > > k k ++ 2 2

Como

Como ((k k ++ 1 1))²² > k > k ²²++ 1 1 então então

((k k ++ 1 1))²² > k > k ²² ++ 1 1 > > k k ++ 2 2

O que resulta em

O que resulta em ((k k ++ 1 1))²² > k > k ++ 2 2

Exem

Exemplo plo 3:3: Dado o numero natural Dado o numero natural ,, seja

seja Y Y ^⊂^⊂ NN um conjunto com as seguintes um conjunto com as seguintes

propriedades:

(1) a (1) a ^∈^∈ Y; Y;

(2) n

(2) n ^∈^∈ Y Y ^⇒^⇒ n n + + 11^∈^∈ Y Y..

Pr

Provove e que que Y Y concontem todos os tem todos os númnúmererosos naturais maiores do que ou iguais a

naturais maiores do que ou iguais a  ..

Solução Solução Cons

Consideridere e um um conjconjuntounto XX ==   __^∪^∪ Y onde Y onde 

 __ == {{nn ^∈^∈ NN;;n n < < }}. . Se proSe provavarmormos ques que XX ==

N

N, , ententão ão loglogicaicamenmente te Y Y == ^{^{nn ^∈^∈ NN;;nn ^≥^≥ }}..

Como a primeira demonstração é mais sim- Como a primeira demonstração é mais sim- ples vamos focar nela.

ples vamos focar nela.

Nova proposição:

Nova proposição: SeSe nn ^∈^∈ NN, então, então nn ^∈^∈

X X..

Para essa prova temos que analisar dois Para essa prova temos que analisar dois casos

casos   >> 0 0 e e   = = 0 0..

Se

Se   >> 0 0 então 0 então 0^∈^∈II__ o que implica o que implica em

em 0 0 ^∈^∈ X X ;;

Se

Se  == 00 então então 00 ^∈^∈ Y Y que implica que implica que

que 0 0 ^∈^∈ X X ..

Assim, como mostrado em ambos os ca- Assim, como mostrado em ambos os casos, a proposição é verdadeira para zero.

sos, a proposição é verdadeira para zero.

Supondo que

Supondo que k k ^∈^∈ NN, então ou, então ou k k ^∈^∈ II__ ouou k

k ^∈^∈ Y Y . . VVamoamos consides considerar ambas as hipótrar ambas as hipóte-e- ses.

ses.

Se

Se k k ^∈^∈ I a então I a então k k < <  que im- que implica que:

plica que:

◦

◦ k k ++11^≥^≥, nesse caso, nesse caso k

k ++ 1 1^∈^∈ Y; Y;

◦

◦ ou então ou então k k ++ 11 < < ,, nesse caso

nesse caso k k ++ 1 1^∈^∈ I I__..

Em todo caso

Em todo caso k k ++ 1 1 ^∈^∈XX..

Se

Se k k ^∈^∈ Y então Y então k k ^≥^≥   ^⇒^⇒ k k + + 1 1 > >



 ^∈^∈ Y que implica novamente que Y que implica novamente que k

k ++ 1 1^∈^∈XX, pois Y, pois Y ^⊂^⊂ XX..

 

(4)

Como o

Como o 0 0 e todos os seus sucessores per- e todos os seus sucessores per- tencem a

tencem a XX então então XX == NN. . O quO que coe condnduz auz a conclusão de que Y =

conclusão de que Y =^{^{nn^∈^∈NN;;nn^≥^≥}}..

Exemplo 4:

Exemplo 4: Use o exercício anterior para Use o exercício anterior para pro

provar var queque 22nn ++ 11 << 22ⁿⁿ em em segseguiduida, a, queque n

n^≤^≤22 < < 2 2ⁿⁿ para todopara todo n n ^≤^≤55..

Solução da primeira parte:

Es

Essa sa prpropopososiçição ão sisimpmplelesmsmenente te nãnãoo ocorre para

ocorre para nn == 22 (veri(veriﬁqueﬁque!). !). No entanNo entantoto para

para nn^≥^≥ 3 3 isso ocorre. isso ocorre. VVamos prova-la pelaamos prova-la pela indução já que pro outro caso isso não seria indução já que pro outro caso isso não seria possível.

possível.

Para

Para n n = = 3 3 temos: temos:

22((33) +) + 1 1 < < 2 2³³

Logo a desigualdade é valida para

Logo a desigualdade é valida para n n = = 3 3..

Se a desigualdade é verdadeira para um Se a desigualdade é verdadeira para um k

k ^∈^∈ NN, então:, então:

2

2k k ++ 2 2++ 1 1 = = 2 2^k^k++ 2 2 22((k k ++ 1 1) +) + 1 1 = = 2 2^k^k++ 2 2

Acontece que

Acontece que 22^k^k++ 2 2 < < 2 2^k^k⁺⁺¹¹. Veja:. Veja:

2

2^k^k++ 2 2 < < 2 2^k^k⁺⁺¹¹ 2

2 < < 2 2^k^k⁺⁺¹¹⁻⁻22^k^k 2

2 < < 2 2^k^k((22⁻⁻11)) 2

2 < < 2 2^k^k

Como

Como n n = = k k , então, então k k não pode ser menor não pode ser menor que três.

que três. O que O que provprova essa ultima desiga essa ultima desigual-ual- dade. Assim:

dade. Assim:

22((k k ++ 1 1) +) + 1 1 = = 2 2^k^k++ 2 2 < < 2 2^k^k⁺⁺¹¹

⇒

⇒22((k k ++ 1 1) +) + 1 1 < < 2 2^k^k⁺⁺¹¹

Completando a demonstração.

Solução da segunda parte:

Para

5

5²² << 2 2⁵⁵

Logo a desigualdade é valida para

Logo a desigualdade é valida para n n = = 5 5..

Se a formula e verdadeira para

Se a formula e verdadeira para k k , então:, então:

((k k ++ 1 1))²² = = ((22k k ++ 1 1) +) + k k ²² ^≤^≤22^k^k++ k k ²² Vamos provar que

Vamos provar que 22^k^k++ k k ²² << 2 2^k^k⁺⁺¹¹..

2

2^k^k++ k k ²² << 2 2^k^k⁺⁺¹¹ k

k ²² << 2 2^k^k⁺⁺¹¹ ⁻⁻22^k^k k

k ²² << 2 2^k^k((22⁻⁻11)) k

k ²² << 2 2^k^k Essa última

Essa última inequinequação e ação e ververdadeidadeira ra porpor hipótese assim:

hipótese assim:

((k k ++ 1 1))²² << 2 2^k^k++ k k ²² << 2 2^k^k⁺⁺¹¹ Que simpliﬁcando ﬁca:

Que simpliﬁcando ﬁca:

((k k ++ 1 1))²² << 2 2^k^k⁺⁺¹¹

O que completa a demonstração.

Ex

Exememplplo o 5:5: PrProvove e popor r ininduduçãção o ququee



ⁿⁿ⁺^+ 1¹

n n



ⁿⁿ

≤

≤nn, para todo, para todo n n ^≥^≥33..

Solução:

Para



³³⁺^+ 1¹

3 3



³³

<

< 3 3

O que é verdadeiro.

Exemplo 6:

Exemplo 6: Prove por indução que: Prove por indução que:

1

1++ 2 2²²++ 3 3³³++ .. ....++ n n²² == nn((nn++ 1 1)()(22nn++ 1 1)) 6

6

Solução:

A igualdade se veriﬁca para 1. Veja:

11 = = 11((11++ 1 1)()(22((11) +) + 1 1)) 6

6 11 = = 1 1

Su

Supopondndo o quque e a a prpropopososiçição ão seseja ja veverr-- dadeira para

dadeira para k k ^∈^∈NN, então:, então:

11++22²²++33²²++.. .. ..++k k ²²++((k k ++11))²² == k k ((k k ++ 1 1)()(22k k ++ 1 1)) 6

6 ++((k k ++11))²²

=

= k k ((k k ++ 1 1)()(22k k ++ 1 1)) 6

6 + + ((k k ++ 1 1))²²

=

= ((k k ++ 1 1)()(k k ++ 2 2)()(22k k ++ 3 3)) 6

6

=

= ((k k ++ 1 1)(()((k k ++ 1 1) +) + 1 1)()(22((k k ++ 1 1) +) + 1)) 1 6

6 que implica em:

que implica em:

1

1++ 2 2²²++ 3 3²²++ . . .. ..++ k k ²²+ + ((k k ++ 1 1))²²

=

= ((k k ++ 1 1)(()((k k ++ 1 1) +) + 1 1)()(22((k k ++ 1 1) +) + 1 1)) 6

6

Completando a demonstração.

Exe

Exemplmplo o 7:7: CriCritiqtique ue a a seseguiguinte nte arargu-gu- mentação: Quer-se provar que todo numero mentação: Quer-se provar que todo numero natu

natural é pequenoral é pequeno. . EvideEvidentementemente, 1 é nte, 1 é umum num

numerero o peqpequenueno. o. AléAlém m disdissoso, , sese nn for pe- for pequeno,

queno, n n++11 também sera, pois não se torna também sera, pois não se torna grande um numero pequeno simplesmente grande um numero pequeno simplesmente so

somamandndo-o-lhlhe e umuma a ununididadade. e. LoLogogo, , popor r inin-- dução, todo numero natural e pequeno.

dução, todo numero natural e pequeno.

Solução:

O

O prprobloblema ema aquaqui i ocoocorrrrerieria a no no paspasso so in-in- dut

dutivoivo. . PoPois quanis quando tomado tomamos ummos um nn natu- natu- ral "pequeno" temos de nos perguntar, pe- ral "pequeno" temos de nos perguntar, pe- qu

queneno em o em rerelalaçãção a o a quque? e? Se em relSe em relaçaçãoão ao maior de todos os números naturais pe- ao maior de todos os números naturais pe- quenos então

quenos então n n++ 1 1 seria grande? seria grande?

Exemplo 8:

Exemplo 8: Use indução para provar que Use indução para provar que 1

1³³++ 2 2³³++ 3 3³³++ . . .. ..++ n n³³ == 11 4

4nn²²((nn++ 1 1))²² Solução:

Solução:

A igualdade se veriﬁca para 1.

11 = = 11 4

4 ^··11²²((11++ 1 1))²² 11 = = 1 1

(6)

Con

Considsideraerando ndo a a prpropooposiçsição ão ververdaddadeireiraa para

para k k então: então:

1

1³³++22³³++33³³++.. .. ..++k k ³³+ (+ (k k ++11))³³ == 11 4 4

··k k ²²((k k ++ 11))²²+ + ((k k ++ 1 1))³³

Operando com o lado direito da igualdade Operando com o lado direito da igualdade acima facilmente se chega á:

acima facilmente se chega á:

1 1 4

4 ^··k k ²²((k k ++ 1 1))²²+ + ((k k ++ 1 1))³³

=

= k k ²²((k k ++ 1 1))²²++ 4 4((k k ++ 1 1))³³ 4

4

E após certa álgebra:

k

k ²²((k k ++ 1 1))²²++ 4 4((k k ++ 1 1))³³ 4

4 == 11

4

4((k k ++11))²²((k k ++22))²²

Concluindo a demonstração.

Exemplo 9:

Exemplo 9: Prove por indução que Prove por indução que nn!! > >

n

n²², para, para n n >> 3 3..

Solução:

Prova de i:

Para

Para n n = = 4 4 a proposição é verdadeira pois a proposição é verdadeira pois 4!

4! > > 4 4..

Prova de ii:

Fazendo

Fazendo n n = = k k ++ 1 1 então: então:

n

n!! > > nn²²

⇒

⇒ ((k k ++ 1 1))!! > > ( (k k ++ 1 1))²²

⇒

⇒ ((k k ++ 1 1))k k !! > > ( (k k ++ 1 1)()(k k ++ 1 1))

⇒

⇒ k k !! > > k k ++ 1 1

Que de fato ocorre para todo

Que de fato ocorre para todo k k >> 3 3. Com-. Com- pletando a demonstração.

pletando a demonstração.

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