27. Exercícios.
VERIFICAR SE UMA IMAGEM PODE RESULTAR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
27.1. Sendo − − = 4 2 3 2 3 1 A
a matriz canónica da transformação linear T :»2 → » , verifique se os vectores 3 ) 8 , 10 , 4 ( 1 = − w , w2 =(0,0),w3 =(−8,2,−8),w4 =(0,0,0) e w5 =(3,2,1) pertencem à imagem (ou contradomínio) de T .
O vector w2 =(0,0) não pertence à imagem de T , dado que w2∈» e o 2 contradomínio de T está contido em » . O vector 3 w4 =(0,0,0) pertence, dado que, para toda a transformação linear, a imagem do vector nulo é o vector nulo (0 =A0). Quanto aos vectores w , 1 w e 3 w podemos verificar se pertencem à imagem de T 5 de diversos modos. Por exemplo, dado que A é a matriz a transformação e tendo em atenção que u Au w − − = = 4 2 3 2 3 1 temos T Ó P I C O S Exercícios.
A
ULA
27
• Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira
• Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição junto do docente de todas as dúvidas associadas.
− − = − − − = 2 1 1 1 4 2 3 2 3 1 8 10 4 4 2 3 2 3 1 u u u w Resolvendo o sistema >> A=[1 -3;2 3;0 -4]; >> B=[4 -10 8]'; >> rref([A B]) ans = 1 0 -2 0 1 -2 0 0 0
, concluímos que o sistema é possível, pelo que w é uma imagem da transformação. 1 Aliás (dado que o sistema é possível e determinado) podemos mesmo concluir que
) 2 , 2 ( 1 = − −
u é o objecto cuja imagem é w . 1 De modo idêntico temos
− − = − − − − = 2 1 3 3 4 2 3 2 3 1 8 2 8 4 2 3 2 3 1 u u u w Resolvendo o sistema >> A=[1 -3;2 3;0 -4]; >> B=[-8 2 -8]'; >> rref([A B]) ans = 1 0 -2 0 1 2 0 0 0
, concluímos que o sistema é possível, pelo que w é uma imagem da transformação 3 (u3 =(−2,2) é o objecto cuja imagem é w ). 3
Por último, temos
− − = − − = 2 1 5 5 4 2 3 2 3 1 1 2 3 4 2 3 2 3 1 u u u w Resolvendo o sistema >> A=[1 -3;2 3;0 -4]; >> B=[3 2 1]'; >> rref([A B]) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
, concluímos que o sistema é impossível, pelo que w não é uma imagem da 3 transformação.
Outro modo de abordar a questão seria determinar o subespaço de » gerado 3 pelas colunas da matriz da transformação. Ou seja, sendo a1 =(1,2,2) e
) 4 , 3 , 3 ( 2 = − −
a os vectores correspondentes às colunas da matriz da transformação, uma imagem, w =(w1,w2), não é mais do que uma combinação linear destes vectores, sendo os coeficientes as coordenadas do objecto que lhe dá origem
) , (u1 u2 = u Au w a a w = − − = + = 2 1 1 2 1 1 4 2 3 2 3 1 u u u u
O problema pode assim ser interpretado como um problema de determinação de um subespaço gerado por um conjunto de vectores. Resolvendo o sistema
− − = 2 1 1 1 1 4 2 3 2 3 1 u u w w w
, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, resulta
>> A=[1 -3;2 3;0 -4]; >> B=[w1 w2 w3].'
[ 1, -3, w1] [ 2, 3, w2] [ 0, -4, w3] Passo 1: (-2)*L1 + L2 => L2 [ 1, -3, w1] [ 0, 9, w2-2*w1] [ 0, -4, w3] Passo 2: (1/9)*L2 => L2 [ 1, -3, w1] [ 0, 1, 1/9*w2-2/9*w1] [ 0, -4, w3] Passo 3: (3)*L2 + L1 ==> L1 (4)*L2 + L3 ==> L3 [ 1, 0, 1/3*w1+1/3*w2] [ 0, 1, 1/9*w2-2/9*w1] [ 0, 0, w3+4/9*w2-8/9*w1]
Concluímos que, para que o sistema seja possível, deverá ser 0 9 4 8 0 9 8 9 4 3 2 1 1 2 3+ w − w = ⇔ w − w − w = w
Fica assim determinada a condição que caracteriza o subespaço das imagens. Podemos verificar que w1 =(4,−10,8) e w3 =(−8,2,−8) verificam a restrição (8×4−4×(−10)−9×8 =0 e 8×(−8)−4×2−9×(−8)= 0, e portanto pertencem à imagem da transformação, mas w5 =(3,2,1) não verifica (8×3−4×2−9×1≠0), e portanto não pertence à imagem.
DETERMINAR A MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO DADOS UM CONJUNTO DE OBJECTOS E IMAGENS
27.2. Determine as matrizes canónicas das transformações ) 3 , 2 ( ) , ( 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x T = − − ) , , 2 ( ) , , ( 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 x x x x x x x x x x T = + + − − ) 3 , , , 2 ( ) , , , ( 1 2 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 3 x x x x x x x x x x x x T = + − − −
Conhecida a expressão analítica da transformação a determinação da matriz canónica da transformação é imediata. Para (w1,w2)= T1(x1,x2)=(2x1−x2,x1−3x2) temos
− − = − = − = 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 1 2 3 2 x x w w x x w x x w logo − − = 3 1 1 2 1 A
Procedendo de modo análogo para T2(x1,x2,x3)=(x1+x2+2x3,x1−x2,x2−x3), temos: − − = 1 1 0 0 1 1 2 1 1 2 A , e para T3(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x3,x1−x4,x2−x3,x1−3x4) − − − = 3 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 3 A
27.3. Dada a transformação linear T :»2 →» tal que 3 T(e1)=(−1,2,0) e ) 1 , 2 , 0 ( ) (e2 = −
T escreva a matriz da transformação.
Sendo a matriz canónica da transformação dada por A=
[
T(e1) T(e2)]
, temos de imediato − − = 1 0 2 2 0 1 Aa)
b) c)
d) e)
27.4. Diga quais das imagens, de b) a d), são compatíveis com uma transformação linear do objecto da figura a) e determine as transformações lineares correspondentes.
Dados um vector u e um vector v com a mesma direcção de u , v k= u, e sendo a imagem de u o vector
Au w = , temos w Au u A Av z k k k = = = =
Numa transformação linear T :»n →» , vectores n paralelos têm por imagem vectores paralelos, pelo que é imediato reconhecer que a imagem b) não resulta duma transformação linear do objecto a).
Numa transformação linear T :»n → » a imagem do n vector nulo é o vector nulo, w=A0=0, pelo que é imediato reconhecer que as imagens c) e d) não resultam duma transformação linear do objecto a).
Atendendo à imagem e), dado que
) 2 , 1 ( ) 1 , 0 ( ) ( ) 1 , 2 ( ) 0 , 1 ( ) ( 2 1 − = = = = T T T T T T e e
, e sendo a matriz da transformação linear T :»2 →» 2 dada por A=
[
T(e1) T(e2)]
, temos de imediato − = 2 1 1 2 A
A transformação linear em causa é, portanto, ) 2 , 2 ( ) , (x1 x2 x1 x2 x1 x2 T = − +
Por exemplo, para a diagonal do quadrado, temos
= − = = 3 1 1 1 2 1 1 2 Au w
a)
b)
27.5. Considere a transformação linear T :»2 →» que transforma o paralelogramo da 2 figura a) no paralelogramo da figura b). Qual das seguintes matrizes pode ser a matriz da transformação em causa − − = 1 3 1 0 3 2 1 A − − = 2 3 3 2 1 2 2 A − − = 3 4 2 3 1 1 3 A − − = 1 0 3 1 3 2 4 A
Basta atender a que
(0,2) ( 1, 3) T = − − Ora, sendo − − = = = = = = 3 1 ) ( 2 2 2 1 0 2 2 0 ) 2 , 0 ( A A A e2 Ae2 T e2 T , temos − − = 2 3 2 1 ) (e2 T
, pelo que, das matrizes candidatas a única que pode ser a matriz da transformação em causa é a matriz A . 2
Escolhendo dois vectores linearmente independentes, por exemplo, ) 2 , 0 ( 1 = u e u2 =(2,4), temos w1 = T(u1)=(−1,−3) e ) 0 , 2 ( ) ( 2 2 = u =
w T , pelo que, sendo
[
]
[
]
A A A u u A w w Au w = − − = − − = − − = = − 2 3 3 2 1 2 4 2 2 0 0 3 2 1 4 2 2 0 0 3 2 1 1 2 1 2 1 Genericamente[
][
]
1 2 1 2 1 − = w w u u A >> u1=[0 2]'; >> u2=[2 4]'; >> w1=[-1 -3]'; >> w2=[ 2 0]';>> A=[w1 w2]*inv([u1 u2]) A =
