Aula 4 de Exercícios

Aula 4 de Exercícios

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Exercício 1:

Uma carga q está uniformemente distribuída no segmento de reta de x = 0 a x = L sobre o eixo x, com densidade linear = q=L: Qual o campo elétrico gerado por este segmento de reta num ponto P sobre o eixo dos x, em x = x0:

O ponto P está a uma distância

x = xo; xom L ) r = xo x

O campo do ponto P está a uma distância do elemento de carga está dirigido ao longo do eixo x e tem módulo.

dEx = kdq (xo x) 2 = k dx (x0 x) 2 = Z Ex Ex(0) dEx = Z L 0 k dx (x x0)2 = k 1 x0 x L 0 = k _f 1 x: L 1 x0g = k f L x: (x0 L)g Como = q=L Ex = kq x0(x0 L) ; _{se L l lx}0 =) Ex' k' x2 0 Exercício 2:

Calcule o campo elétrico !E num ponto r sobre a mediatriz de um segmento de reta de comprimento L carregado com carga total q:

O elemento de carga dq provoca um campo elétrico d2 em P. dEx = jdE!jsen dEy =jdE!jcos d!E = dEx!i + dEy!j jdE!_{j =} k dq r2 = k dx p x2_{+ y}2 2

d!E = _jdE!_jsen !i +_{jdEj cos} !j

sen = _p x x2_+y2 cos = y p x2_+y2 d!E = k dx (px2_{+ y}2₎2: x p x2_{+ y}2 ! !_{i +} 0 B @ _pk dx x2_{+ y}2 2 :_p y x2_{+ y}2 1 C A!j d!E = k " xdx (x2_{+ y}2₎3=2 !_j #!_{i +} k dx (px2_{+ y}2₎2: y x2_{+ y}2 ! !_j d!E = k xdx (x2_{+ y}2₎3=2 !_{i +} ydx (x2_{+ y}2₎3=2 !_j Z E(x) E(x= 1₂)=0 d!E = k "Z _xdx (x2_{+ y}2₎3=2 !_{i + y}Z 1=2 1=2 dx (x2 _{+ y}2₎3=2 !_j # integrais: I1 = Z _xdx (x2_{+ y}2₎3=2 = Z _du 2 : 1 u3=2 = 1 2 Z u 3=2du u = x2+ y2 =_{) du = 2xdx} = 1 2 u 1=2 1 2 = 1 2:2u 1=2 _{= x}2_{+ y}2 1=2

I1 = Z 1=2 1=2 ::: = x2+ y2 1=2=1=2₁₌₂= (L=2)2+ y2 1=2 ( L=2)2+ y2 1=2 I2 = Z dx (x2 _{+ y}2₎3=2 = x y2p_x2_{+ y}2 I2 = [:::] 1=2 1=2 = (1=2) y2 q (1=2)2+ y2 ( 1=2) y2₍₁₌₂₎2_{+ y}2 = L y2 q ((1=2)2+y2₎ ! E (y) = k y L y2 q (1=2)2+ y2 !_j !_{E (y) =} k y L q (1=2)2+ y2 !_j

Dá para ver pela simetria da distribuição de cargas que cada elemento de carga que esteja à direita da origem, há um outro que está à esquerda e que provoca uma componente paralela de campo elétrico d!E que é igual e oposta à do campo do primeiro elemento. Então, se somarmos as componentes paralelas de todos os elementos de carga, estas componentes terão soma nula. Portanto, somente a componente de campo perpendicular ao segmento de reta contribui para o campo total.

qdo y L =₎ !E (y) = k L y2 !_j y L =₎ !E (y) = 2k y !_j

* campo !E sobre o eixo de um anel de cargas

* campo E!sobre o eixo de um disco uniformemente carregado. Exercício 3:

Considere um anel uniforme de cargas, com o raio a e carga total Q. Calcule o campo elétrico num ponto P sobre o eixo do anel a uma distância x do centro anel.

Tomemos um elemento de carga dq que provoca o campo d!E num ponto P sobre o eixo x d!E = dEx!i + dE1!j Z d!E =!E = Z dEx!i + Z dE1!j

dE_? :componente perpendicular ao eixo x

Pela simetria da distribuição de carga, vemos que a soma das componentes perpendiculares ao eixo deve ser nula, pois a soma de todos os elementos de carga com os elementos de carga diametralmente opostos, anulam-se.

Z

dE_? = 0

Assim, resta apenas a componente de campo axial.

dEx = kdq r2 : cos cos = x r r =px2_{+ a}2 _{) r = x}2_{+ a}2 1=2 dEx = kdq r2 : x r = kdqx r3 = kdqx (x2_{+ a}2₎3=2 O campo do anel é: Z dEx = Ex = Z _kxdq (x2_{+ a}2₎3=2

x não se altera, vamos integrar sobre os elementos de carga e remover todos os termos constantes. Ex = kx (x2_{+ a}2₎3=2 Z dq

Z dq = Q Ex = kxQ (x2_{+ a}2₎3=2 =) !_{E =} kxQ (x2_{+ a}2₎3=2 !_i Exercício 4:

Considere um disco uniformemente carregado, com o raio R e carga total Q. Calcule o campo elétrico sobre o eixo do disco.

Podemos aqui fazer uma analogia com o caso anterior e considerar o disco como se fosse um conjunto de anéis concêntricos. Devido a simetria do problema o campo elétrico sobre o eixo do disco será paralelo ao eixo. Consideremos um anel de carga de raio a, um elemento de disco de espessura da

A área do anel é

dA = 2 ada a área do disco total é

A = R2 Q = R2

O campo do anel de cargas é dado por

! E = kxQ (x2_{+ a}2₎3=2 !_i um elemento de disco dEx = kxdq (x2_{+ a}2₎3=2 dq = dA = 2 ada

dEx =

2 k adax (x2_{+ a}2₎3=2

O campo total provocado pelo disco pode ser encontrado

Ex = Z dEx = Z R o 2 k xada (x2_{+ a}2₎3=2 = 2 k x Z R o ada (x2_{+ a}2₎1=2 resolvendo a integral Z _ada (x2_{+ a}2₎3=2 = Z _du 2 : 1 u3=2 = 1 2 Z u 3=2du = u = x2+ a2 =_{) du = 2ada} Z ::: = 1 2 u 1=2 1 2 = u 1=2 = x2+ a2 1=2 Z ada (x2_{+ a}2₎3=2 = 1 p x2_{+ a}2 Z R o ::: = " 1 p x2_{+ R}2 1 pp x2 # = 1 x 1 p x2_{+ R}2 Ex = 2 k x 1 x 1 p x2_{+ R}2 Ex = 2 k 1 x p x2_{+ R}2 !_{E = 2 k 1} x p x2_{+ R}2 !_i

muito afastados do disco x R podemos achar uma aproximação para a expressão (1) conhecendo-se o desenvolvimento do binômio.

Podemos escrever: x p x2 _{+ R}2 = x q x2 _{1 +} R2 x2 = x x q 1 + R2 x2 = _q 1 1 + R2 x2 = 1 + R 2 x2 1=2 n = 1=2 2= R 2 x2 =) x p x2_{+ R}2 ' 1 + 1 2 R2 x2

de modo que, quando estivermos muito afastados do disco R=x 1e

x p

x2_{+ R}2 ' 1

R2

2x2

substituindo agora os resultados

!_{E = 2 k 1 1 +} R2 2x2 !_i ! E = 2 k R 2 2x2 !_i mas Q = R2_{, logo} !_{E =} kQ x2 !_i

ou seja, quando estamos muito afastados do disco, o campo elétrico gerado pelo disco parece àquele gerado por uma carga puntiforme Q.

Exercício 5:

Se o campo elétrico gerado por um disco num ponto P localizado no eixo do disco é dado por

!

E = 2 k 1 _p x

x2_{+ R}2

!_i

Solução: ! E = 2 l 4 "o 2 41 1 + R x 2! 1=23 5 conhecendo-se a expansão: (1 + ")n 1 + n"

com " 1 condição que ocorre se x R, ou seja, para pontos muito afastados

" = R x 1; então n = 1 2 1 + R x 2! 12 = 1 + 1 2 R x = 1 R2 2x2 !_{E =} 2"o 1 1 + R2 2x2 be !_{E =} R2 4"ox2be mas como Q = R2 ₌ ) !_{E =} R2 4 "ox2 = kQ x2 be

ou seja, quando estamos muito afastados do disco, o campo elétrico gerado pelo disco parece aquele gerado por uma carga puntiforme Q. Por outro lado, para pontos muito próximos do centro do disco, isto é, R x, temos

!_{E =} 2"of1 1 + R x 1 2 ! 1 2 gbe b E = 2"obe Exercício 6:

A que distância, ao longo do eixo central de um disco de plástico de raio R, uniformemente carregado, o módulo do campo elétrico é igual à metade do seu valor no centro da superfície do disco?

Solução:

Um ponto no eixo de um disco carregado uniformemente a uma distância z acima do centro do disco é E = 2 k 1 x x2_{+ R}2 E = 2 1 4 "o 1 x x2_{+ R}2 E (z) = 2"o 1 z z2_{+ R}2

A magnitude do campo elétrico no centro z = 0 =) Ec = _2"o

Queremos encontrar z que satisfaz E(z)_E

c = 1 2 2"o 1 z p z2_{+ R}2 = 1 2 2"o = 4"o 1 z z2_{+ R}2 = 1 2 =) z p z2_{+ R}2 = 1 2 z2 z2_{+ R}2 = 1 4 =) 4z 2 = z2+ R2 =_{) 3z}2 = R2 =_{) z = p}R 3 Exercício 7:

Duas barras …nas de plástico, uma de carga +q e a outra de carga -q, formam um círculo de raio R num plano xy. Um eixo x passa pelos pontos que unem as duas barras e a carga em cada uma delas está uniformemente distribuída. Qual o módulo, direção e sentido do campo elétrico!E criado no centro do círculo?

Solução: dq = ds ds = Rd =_{) dq = Rd} d!E = kdq R2 br dEy =jdEj cos dEy = k Rd R2 = k cos d R E = Z dEy = k R Z =2 0 cos d = : k R R R como q = R

o campo pode ser escrito como

!_{E =} k R2:q bj

Levando-se em conta os 4 quadrantes obtemos

!_{E =} 4kq R2 jb