Matrizes resolução de A B for igual a, logo a mensagem recebida é amor. Dessa forma, se a

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Matrizes – 2016

1. (Unicamp 2016) Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não

pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a

a) 12. b) 15. c) 16. d) 20.

2. (Ueg 2016) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 2, onde cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, a1, b2, c3, , z26. Por exemplo, se a resolução de A B for igual a 1 13 ,

15 18

 

 

  logo a mensagem recebida é amor. Dessa forma, se a

mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz B 1 1,

2 1         então a matriz A é a) 8 7 8 10    _    b) 6 6 7 11    _    c) 8 5 7 11    _    d) 6 7 6 11        

www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 11 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Leia o texto a seguir e responda à(s) questão(ões).

O levantamento sobre a dengue no Brasil tem como objetivo orientar as ações de controle, que possibilitam aos gestores locais de saúde antecipar as prevenções a fim de minimizar o caos gerado por uma epidemia. O Ministério da Saúde registrou 87 mil notificações de casos de dengue entre janeiro e fevereiro de 2014, contra 427 mil no mesmo período em 2013. Apesar do resultado expressivo de diminuição da doença, o Ministério da Saúde ressalta a importância de serem mantidos o alerta e a continuidade das ações preventivas. Os principais criadouros em 2014 são apresentados na tabela a seguir.

Região Armazenamento _{da água (%) domiciliares (%)} Depósitos Lixo (%)

Norte 20,2 27,4 52,4

Nordeste 75,3 18,2 6,5

Sudeste 15,7 55,7 28,6

Centro-Oeste 28,9 27,3 43,8

Sul 12,9 37,0 50,1

(Adaptado de: BVS Ministério da Saúde. Disponível em: <www.brasil.gov.br/saude/2014>. Acesso em: 21 abr. 2015.)

3. (Uel 2016) Seja A a matriz formada pelos elementos a , em que i são as regiões e j os _ij tipos de criadouros apresentados na tabela. Considerando que cada região tenha seus tipos de criadouros aumentados em 10%, devido a um desequilíbrio ambiental, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a matriz B resultante.

a) B_{3 5}  k A_{3 5} , em que k10,0 b) B_{3 5}   (1 k) A_{3 5} , em que k0,1 c) B_{5 3}   (1 k) A_{5 3} , em que k0,1 d) B_{5 3} (10 k) A  _{5 3} , em que k0,1 e) B_{5 3}  k A_{5 3} , em que k0,1

4. (Uepa 2015) Leia o texto para responder à questão.

Uma loja de vendas de celulares realizou o levantamento das quantidades de três aparelhos vendidos no mês de outubro. A tabela I mostra o preço desses três aparelhos e a tabela II apresenta os resultados encontrados nos 5 primeiros dias do mês de outubro, a partir do levantamento realizado:

Tabela I

Preços de aparelhos celulares (em Reais)

Aparelhos X Y Z

Preço 679,00 1.340,00 2.490,00

Tabela II

Quantidade de aparelhos vendidos Dia

Aparelho 01 02 03 04 05

Aparelho X 2 1 0 1 3

Aparelho Y 1 0 2 3 1

Aparelho Z 0 1 1 2 0

Nestas condições, o valor total das vendas, nos 5 primeiros dias de outubro, em reais, foi de: a) 19.340,00 b) 20.271,00 c) 21.896,00 d) 22.563,00 e) 24.093,00

www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 11 5. (Uerj 2015) Observe a matriz A , quadrada e de ordem três.

0,3 0,47 0,6 A 0,47 0,6 x 0,6 x 0,77           

Considere que cada elemento a dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i_ij j). O valor de x é igual a: a) 0,50 b) 0,70 c) 0,77 d) 0,87

6. (Uel 2015) Uma reserva florestal foi dividida em quadrantes de 1m2 de área cada um. Com o objetivo de saber quantas samambaias havia na reserva, o número delas foi contado por quadrante da seguinte forma:

7 1 7 1

Número de samambaias Número de por quadrante quadrantes

0 8 1 12 2 7 A 3 B 16 4 14 5 6 6 3                       _{ } _{ }                    

O elemento a da matriz A corresponde ao elemento _ij b da matriz B, por exemplo, _ij 8

quadrantes contêm 0 (zero) samambaia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia.

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a operação efetuada entre as matrizes A e B, que resulta no número total de samambaias existentes na reserva florestal.

a) AtB b) BtAt c) A B d) At Bt e) AB

7. (Pucrs 2015) Dada a matriz A 1 1 1 1

 

  

  e a função f, definida no conjunto das matrizes 2 2

por f(X)X22X, então f(A) é

a) 1 1 1 1     _{ }    b) 0 0 0 0       c) 1 1 1 1       d) 2 2 2 2       e) 3 3 3 3       8. (Mackenzie 2015) Se 1 1 0 A 0 1 0 , 0 0 1            1 0 0 B 0 1 0 , 0 0 1            0 0 0 C 0 0 0 0 0 0            e os inteiros x e y

são tais que A2    x A y B C, então

a) x0 b) x1 c) x 2 d) x 1 e) x2

www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 11 9. (Ufsc 2015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar que:

01) A inversa da matriz A 2 5 1 3     _    é a matriz 1 2 5 A . 1 3  _{ }      02) No desenvolvimento de 12 2 1 x , x     

  para x0, não existe termo independente de x.

04) O triângulo de vértices A(2, 2), B( 4, 6) e C(4, 12) é retângulo e escaleno. 08) A área do quadrilátero ABCD, em unidades de área, é 19.

16) O quilate é uma unidade utilizada para medir a pureza de metais. Aplicado ao ouro, trata-se da razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, sendo que cada quilate indica 1

24 de ouro do todo. Por exemplo, se um anel for feito de metal com 18 partes de

ouro puro e 6 partes de outros metais, então ele terá 18 quilates. Se uma joia tem 20 partes de ouro puro e 4 partes de outros metais, então ela tem 20 quilates. Assim, uma joia que possui 62,5% de ouro puro tem 14 quilates.

10. (Uema 2015) Uma matriz A (m n) é uma tabela retangular formada por m n números reais (a ), dispostos em m linhas e _ij n colunas. O produto de duas matrizes A(a )_{ij m n} e

ij n p

B(b )_ é uma matriz C(c )_{ij m p} , em que o elemento c é obtido da multiplicação _ij

ordenada dos elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando os elementos resultantes das multiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, A B  B A.

Faça a multiplicação das matrizes A e B, e verifique se esse produto é comutativo, ou seja: A B  B A. 1 2 3 A 0 1 2 0 0 1            e 0 1 2 B 1 2 3 0 1 0      _  _     11. (Mackenzie 2014) Se a matriz 1 x y z 3y z 2 4 5 5 y 2z 3 z 0        _          é simétrica, o valor de x é a) 0 b) 1 c) 6 d) 3 e) –5

www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 11 12. (Insper 2014) Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela.

Amigo Quantidades compradas de Total pago (R$) cadernos canetas lápis

Júlia 5 5 3 96,00

Bruno 6 3 3 105,00

Felipe 4 5 2 79,00

Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são,

respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços unitários com os dados da tabela é

a)









5 5 3 x y z 6 3 3 96 105 79 . 4 5 2     _{ }     b) x 5 5 3 96 y 6 3 3 105 . z 4 5 2 79         _  _                    c)



 



5 5 3 6 3 3 x y z 96 105 79 . 4 5 2    _{  }       d) 5 5 3 x 96 6 3 3 y 105 . 4 5 2 z 79           _{ }                    e) x 96 5 5 3 y 105 6 3 3 . z 79 4 5 2         _  _                   

www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 11 13. (Uema 2014) Uma empresa da construção civil faz 3 tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos; tipo 2, para casal com até 2 filhos e tipo 3, para casal com 3 ou mais filhos. A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço.

Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal Tipo da Casa Ferro (feixe) Madeira 3 (m ) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro) Tipo 1 3 2 2 3 Tipo2 4 4 3 5 Tipo3 5 5 4 6

Preço por Unidade de Material Fornecido em reais Feixe de ferro Madeira 3 (m ) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro) 500,00 600,00 400,00 300,00

Sabendo que a empresa construirá 2, 4 e 5 casas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido, para esta primeira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de

a) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total 5.200,00 7.100,00 8.900,00 83.300,00 b) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.400,00 7.100,00 9.100,00 82.700,00 c) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.400,00 7.100,00 8.900,00 81.700,00 d) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.400,00 7.400,00 8.900,00 82.900,00 e) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 11 Gabarito:

Resposta da questão 1: [A]

O resultado pedido é igual a (5 2) (6 2)   12. Resposta da questão 2:

[B]

Com os dados do enunciado, pode-se escrever:

x y 1 1 6 12 z w 2 1 15 18 x y 6 6 z w 7 11                              _      Resposta da questão 3: [C]

É imediato que 1 i 5 e 1 j 3. Logo, a ordem da matriz A é 5 3. Além disso, sendo 10%0,1 a taxa de crescimento, tem-se que o fator de crescimento dos reservatórios é igual a (1 0,1). Portanto, a resposta é B_{5 3}   (1 k) A_{5 3} , com k0,1.

Resposta da questão 4: [E]

Questão anulada pelo gabarito oficial, mas está correta nesta apostila. O resultado pedido corresponde à soma dos elementos da matriz



679 1340 2490



21 0 2 31 0 1 31



2698 3169 5170 9679 3377 ,



0 1 1 2 0     _{ }     ou seja, R$ 24.093,00.

Portanto, não havia alternativa correta, porém foi feito ajuste e adotamos a alternativa E como correta.

www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 11 Resposta da questão 5:

[B]

Sabendo que a₁₁log(1 1) log20,3, tem-se que

23 32 x a a log(2 3) log5 10 log 2 log10 log2 1 0,3 0,7.         _ _      Resposta da questão 6: [A]

O número total de samambaias existentes na reserva florestal é dado pela expressão

0 8 1 12 2 7 3 16        4 14 5 6   6 3.

Portanto, a operação necessária entre as matrizes A e B, a fim de obter a expressão anterior, é AtB. Resposta da questão 7: [B] Tem-se que 2 f(A) A 2A 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 . 0 0         _{   } _{ }           _{  } _            Resposta da questão 8: [C] Tem-se que 2 1 2 0 x x 0 y 0 0 0 0 0 A x A y B C 0 1 0 0 x 0 0 y 0 0 0 0 . 0 0 1 0 0 x 0 0 y 0 0 0                      _{  } _{ } _{ } _                

www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 11 Resposta da questão 9:

02.

[01] Incorreta. Tem-se que

2 5 2 5 9 25 . 1 3 1 3 5 14       _  _  _   _      

Portanto, como A A 1 não é igual à matriz identidade de ordem 2, segue que A1 não é a inversa de A.

[02] Correta. O termo geral do binômio

12 2 1 x x  _      é 48 5p p ₂ p 1 12 T ( 1) x . p        

Para que o desenvolvimento do binômio apresente um termo independente de x, deve-se ter p 48.

5

 Absurdo, pois p pertence ao conjunto dos números naturais menores do que

13.

[04] Incorreta. Calculando os comprimentos dos lados, obtemos d(A, B) 52, d(A, C) 200 e d(B, C) 388. Logo, se ABC é um triângulo retângulo, então, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2

d (B, C)d (A, B) d (A, C) 388200 52.

Contradição.

[08] Incorreta. A área do quadrilátero de vértices A(7, 2), B(1, 1), C( 3,  2) e D( 2, 3) é dada por 7 1 3 2 7 1 1 7 2 9 4 2 3 4 21 2 1 2 3 2 2 2 1 52 2 26 u.a.                  

www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 11 Resposta da questão 10:

Para que o produto seja comutativo, deve-se ter c_ij d ,_ij para todo i e todo j, com ij 3 3

(c ) _   C A B e (d )_{ij 3 3}   D B A. Assim, como c₁₁2 e d₁₁0, segue-se que o produto de A e B não é comutativo.

Em particular, temos 1 2 3 0 1 2 A B 0 1 2 1 2 3 0 0 1 0 1 0 2 0 4 1 0 3 . 0 1 0           _{  }  _                    e 0 1 2 1 2 3 B A 1 2 3 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 . 0 1 2           _  _{ } _                    Resposta da questão 11: [C]

A matriz dada é simétrica se tivermos

x y z 4 x y z 4 3y z 2 y 2z 3 2y z 1 z 5 z 5 x 6 y 3 . z 5          _{    }  _{  }    _{ }  _{ }      _      Resposta da questão 12: [D]

Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são dados, respectivamente, por 5x5y3z96, 6x3y3z105 e 4x5y2z79.

Portanto, a única alternativa que relaciona corretamente os preços unitários com os dados da tabela é a alternativa [D].

www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 11 Resposta da questão 13: [C] Sejam 3 2 2 3 Q 4 4 3 5 5 5 4 6            e 500 600 C . 400 300             

A matriz V(v )_{ij 3 1}, definida por V Q C, é dada por

500 3 2 2 3 4400 600 4 4 3 5 7100 . 400 5 5 4 6 8900 300          _{ }    _{ }     _{ }        

Portanto, sendo cada elemento v da matriz V o custo unitário da casa Tipo i, com i_i1 1, 2, 3, segue o resultado.