Estima¸
c˜
ao Robusta da Estrutura a Termo
das Taxas de Juros
Tese de Doutorado
por
William Lima Le˜
ao
Departamento de M´
etodos Estat´ısticos
Instituto de Matem´
atica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
2017
Estima¸
c˜
ao Robusta da Estrutura a Termo
das Taxas de Juros
William Lima Le˜
ao
Tese de Doutorado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica - De-partamento de M´etodos Estat´ısticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos ne-cess´arios `a obten¸c˜ao do grau de Doutor em Estat´ıstica.
Orientador: Carlos A. Abanto-Valle
Rio de Janeiro, RJ - Brasil
Estima¸
c˜
ao Robusta da Estrutura a Termo
das Taxas de Juros
William Lima Le˜
ao
Tese de Doutorado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica - De-partamento de M´etodos Estat´ısticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do grau de Doutor em Estat´ıstica.
Aprovada por:
Prof. Carlos A. Abanto-Valle, Ph.D., UFRJ (Presidente)
Prof. Helio dos Santos Migon, Ph.D., UFRJ
Prof. Dani Gamerman, Ph.D., UFRJ
Prof. Hedibert Freitas Lopes, Ph.D., Insper
Prof. Fl´avio Augusto Ziegelmann, Ph.D., UFRGS
Rio de Janeiro, RJ - Brasil
Aos meus av´os Jos´e Tavares e Cecy por terem feito parte da minha vida. (in memorian) `
A minha m˜ae por sempre acreditar em min. Ao meu pai Jo˜ao Carlos. (in memorian)
Agradecimentos
Aos meus falecidos av´os, Jos´e Tavares e Cecy, que me apoiaram em toda minha vida, dando toda a coragem e cofian¸ca que precisei para finalizar esta fase da minha vida.
`
A minha m˜ae, Lenieda Louren¸co de Lima, que sempre me deu for¸ca para continuar acreditando no meu trabalho.
`
A minha namorada, Thais Cavalcante Aguiar, que esteve ao meu lado tanto nos bons como nos maus momentos sempre me encorajando e acreditando que eu conseguira finalizar esta tese.
Ao meu tio, Lu´ıs Augusto, que nunca deixou de acreditar no meu potencial. `
A minha irm˜a J´ulia com todo sua inocˆencia e confian¸ca que sempre me deram for¸ca para continuar acreditando no trabalho.
Aos meus colegas da UFRJ que compartilharam comigo os momentos de dificuldade e alegria tornando essa jornada muito mais prazerosa e significante para minha vida.
Aos meu amigos do IBGE que sempre me deram for¸ca para continuar.
A todo corpo docente e funcion´arios administrativos por me ajudarem neste per´ıodo. Ao professor Carlos A. AbantoValle n˜ao s´o pela ´otima orienta¸c˜ao mas tamb´em por toda paciˆencia e amizade durante toda esta jornada.
`
A professora Fl´avia Maria Pinto Ferreira Landim, que sempre teve boa vontade para me ajudar quando precisei.
Ao professor David Rodeh, pelo grande apoio e amizade.
Aos professores Dani Gamerman, Hedibert F. Lopes, H´elio dos Santos Migon, Fl ˜A¡vio Augusto Ziegelmann e Ralph dos Santos Silva por aceitarem o convite para fazer parte da minha banca e ajudar a melhorar meu trabalho com seus apontamentos muito bem colocados.
Ao departamento de M´etodos Estat´ısticos do Instituto de Matem´atica, pela oportu-nidade e `a CAPES e FAPERJ pelo apoio financeiro.
Resumo
A Estrutura a Termo desempenha um papel relevante no cen´ario econˆomico e a forma da curva de taxa de juros traz uma ideia da atividade econˆomica atual, al´em de fornecer informa¸c˜ao relevante para prever poss´ıveis mudan¸cas nas taxas futuras. Neste traba-lho apresentam-se formas de se estender o modelo b´asico de Nelson e Siegel (NS), com o objetivo de aprimorar seu ajuste e previs˜ao, analisando os principais fatos estilizados pre-sentes nas taxas de juros de t´ıtulos e identifica-se a liga¸c˜ao entre a estrutura a termo e a conjuntura macroeconˆomica corrente. O processo de inferˆencia da classe de modelos tra-balhada ´e realizado sobre o paradigma Bayesiano. Um algoritmo baseado em simula¸c˜oes de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) ´e proposto. Realiza-se, a partir do m´etodo de estima¸c˜ao desenvolvido, uma aplica¸c˜ao emp´ırica utilizando-se as taxas de ju-ros do governo dos Estados Unidos, de forma que, os modelos aqui propostos apresentam resultados superiores aos modelos b´asicos j´a bastante trabalhados na literatura a respeito de estrutura a termo, tal que, a ado¸c˜ao de estruturas robustas aprimoraram tanto ajuste como a previs˜ao das taxas de juros futuras.
Palavras Chaves: Estrutura a termo, MCMC, Volatilidade Estoc´astica, Mudan¸ca de Regimes, Caudas Pesadas.
Abstract
The term structure plays a relevant role in the economic scenario and the shape of the interest rate curve gives an idea of current economic activity and also provides relevant information to predict possible changes in future rates. This paper presents ways of ex-tending the basic model of Nelson and Siegel (NS), with the objective of improving its fit and forecast, analyzing the main stylized facts present in the interest rates of bonds and identifies the link between the term structure and the current macroeconomic environ-ment. The inference process of the model class is worked on the Bayesian paradigm. An algorithm based on Monte Carlo simulations via Markov Chains (MCMC) is proposed. Based on the developed estimation method, an empirical application using US govern-ment interest rates is performed, so that the models proposed here present higher results than the basic models already well worked out in the literature regarding term structure, such that the adoption of robust structures improved both adjustment and the forecast of future interest rates.
Key words: Term structure, MCMC, Stochastic Volatility, Regime Switching, Fat tails.
Sum´
ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Modelos de Nelson e Siegel 7
2.1 Introdu¸c˜ao . . . 7
2.2 Modelagem da Estrutura a Termo . . . 7
2.3 Curva das Taxas de Juros segundo Nelson-Siegel . . . 13
3 Modelagem 19 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 19 3.2 Modelo . . . 23 3.3 Estima¸c˜ao . . . 26 3.3.1 Volatilidade - VED . . . 29 3.3.2 Volatilidade - VEC . . . 30
3.4 Previs˜ao fora da amostra . . . 36
4 Aplica¸c˜ao 38 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 38
4.2 Dados . . . 38
4.3 Modelo MDL.MR.VED.d . . . 42
4.4 Modelo MDL.MR.VEC.d . . . 59
5 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros 68 5.1 Considera¸c˜oes Finais . . . 68
A Conceitos B´asicos 71
A.1 Introdu¸c˜ao . . . 71
A.2 Misturas de escala de distribui¸c˜ao normal . . . 71
A.2.1 Distribui¸c˜ao t de Student Multivariada . . . 72
A.2.2 Distribui¸c˜ao Slash Multivariada . . . 73
A.3 Matriz Exponencial . . . 73
A.4 Modelo Dinˆamico . . . 74
A.4.1 Modelo Linear Dinˆamico . . . 74
A.4.2 M´etodo MMP . . . 75
A.5 M´etodos de Simula¸c˜ao de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . 77
A.5.1 Cadeias de Markov . . . 77
A.5.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings . . . 78
A.5.3 Amostrador de Gibbs . . . 78
A.6 Sele¸c˜ao de modelos . . . 79
A.6.1 Crit´erio de Informa¸c˜ao Deviance . . . 80
A.6.2 Crit´erio de informa¸c˜ao Watanabe-Akaike . . . 80
A.6.3 Erro Quadr´atico M´edio de Previs˜ao . . . 81
B Distribui¸c˜oes Condicionais Completas e Estima¸c˜ao de Vari´aveis Laten-tes 82 B.1 Distribui¸c˜oes Condicionais Completas . . . 82
B.1.1 Distribui¸c˜ao condicional completa de ψ . . . 82
B.1.2 Distribui¸c˜ao condicional completa de σ2 j . . . 83
B.1.3 Distribui¸c˜ao condicional completa de ν . . . 83
B.1.4 Distribui¸c˜ao condicional completa de γ . . . 84
B.1.5 Distribui¸c˜ao condicional completa de A . . . 85
B.1.6 Distribui¸c˜ao condicional completa de α . . . 85
B.1.7 Distribui¸c˜ao condicional completa de B . . . 86
B.1.8 Distribui¸c˜ao condicional completa de Υ . . . 87
B.2 Estima¸c˜ao das vari´aveis latentes . . . 88 B.2.1 Vari´aveis de mistura Ut . . . 88
Lista de Tabelas
2.1 Estat´ısticas descritivas da estrutura a termo das taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos para as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos. . . 9 2.2 Yield spread da estrutura a termo das taxas de juros de t´ıtulos dos Estados
Unidos em rela¸c˜ao a maturidades de 15 anos. . . 10 2.3 An´alise das trˆes primeiras componentes principais, (denotadas PC1, PC2
e PC3), da estrutura a termo das taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos para as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos. . . 11
3.1 Parˆametros da mistura de 10 componentes Gaussianas para aproxima¸c˜ao da distribui¸c˜ao dos elementos de υt. . . 31
4.1 Estat´ısticas descritivas das taxas de juros de t´ıtulos do governo dos Estados Unidos no per´ıodo de janeiro de 1972 at´e agosto de 2016 para diferentes vencimentos. . . 39 4.2 Per´ıodos de recess˜ao dados pelo NBER. . . 41 4.3 Correla¸c˜ao entre as vari´aveis macroeconˆomicas e os representantes emp´ıricos
dos fatores. . . 42 4.4 Parˆametros estimados do modelo MDL.MR.VED.t. Primeira coluna: m´edia
a posteriori. Segunda coluna: desvio padr˜ao. Terceira coluna: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . 45 4.5 Resultados da estima¸c˜ao do desvio padr˜ao dos erros observacionais do
modelo MDL.MR.VED.t. Primeira coluna: m´edia a posteriori. Segunda coluna: desvio padr˜ao. Terceira coluna: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . . 45
4.6 Resultados da estima¸c˜ao da matriz de persistˆencia, A, o n´ıvel µ0 e seu incremento µ1, para o modelo MDL.MR.VED.t. Primeira linha: m´edia a posteriori. Segunda linha: desvio padr˜ao. Terceira linha: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . 46 4.7 Resultados da estima¸c˜ao da matriz de persistˆencia B e o n´ıvel α da
log-volatilidade para o modelo MDL.MR.VED.t. Primeira linha: m´edia a posteriori. Segunda linha: desvio padr˜ao. Terceira linha: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . 47 4.8 Resultados da estima¸c˜ao da matriz de covariˆancia Υ das log-volatilidades
para o modelo MDL.MR.VED.t. Primeira linha: m´edia a posteriori. Se-gunda linha: desvio padr˜ao. Terceira linha: Intervalo de 95% Confian¸ca. 48 4.9 Estat´ısticas descritivas dos fatores estimados. . . 51 4.10 DIC-deviance information criterion. (MDL)-Macro Diebold e Li,
(MR)-Mudan¸ca de Regime, (VED)-Volatilidade Estoc´astica Diagonal, (N)-Normal, (t)-t de Student, (S)-Slash. . . 56 4.11 Raz˜ao entre as ra´ızes dos erros quadr´aticos m´edios de previs˜ao dos modelos
MDL.MR.VED.S, MDL.MR.VED.t com o modelo MDL.N. . . 58 4.12 Resultados da estima¸c˜ao do modelo MDL.MR.VEC.t. Primeira coluna:
m´edia a posteriori. Segunda coluna: desvio padr˜ao. Terceira coluna: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . 61 4.13 Resultados da estima¸c˜ao da matriz de persistˆencia, A, o n´ıveis µ0 e µ1,
para o modelo MDL.MR.VEC.t. Primeira linha: m´edia a posteriori. Se-gunda linha: desvio padr˜ao. Terceira linha: Intervalo de 95% Confian¸ca. 62 4.14 Resultados da estima¸c˜ao da matriz de n´ıvel M para o modelo MDL.MR.VEC.t.
Primeira linha: m´edia a posteriori. Segunda linha: desvio padr˜ao. Ter-ceira linha: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . 63 4.15 Resultados da estima¸c˜ao da matriz de persistˆencia ¯B para o modelo MDL.MR.VEC.t.
Primeira linha: m´edia a posteriori. Segunda linha: desvio padr˜ao. Ter-ceira linha: Intervalo de 95% Confian¸ca. . . 63
4.16 Estat´ısticas Descritivas dos fatores do modelo MDL.MR.VEC.t. Primeira coluna: m´edia a posteriori (em cima) e m´edia emp´ırica (em baixo). Se-gunda coluna: desvio padr˜ao a posteriori. Terceira coluna at´e a Quinta coluna: Correla¸c˜ao entre os fatores latentes (lt, st, ct) e os fatores emp´ıricos
(Lt, St, Ct). Sexta a Quinta colunas: Correla¸c˜ao entre os fatores latentes e
os fatores macroeconˆomicos (IN F Lt, CUt, F F Rt). . . 64
4.17 DIC-deviance information criterion. (MDL)-Macro Diebold e Li, (MR)-Mudan¸ca de Regime, (VEC)-Volatilidade Estoc´astica Cheia, (N)-Normal, (t)-t de Student, (S)-Slash. . . 67 4.18 Raz˜ao entre as ra´ızes dos erros quadr´aticos m´edios de previs˜ao dos modelos
Lista de Figuras
2.1 Estrutura a termo das taxas de juros dos t´ıtulos do governo dos Estados Unidos. O per´ıodo da amostra vai de janeiro de 1987 at´e agosto de 2016 com as maturidades de 1 a 15 anos. . . 9 2.2 Gr´afico em duas dimens˜oes da estrutura a termo das taxas de juros dos
t´ıtulos do governo dos Estados Unidos. O per´ıodo da amostra vai de janeiro de 1987 at´e agosto de 2016 com as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos. . . 11 2.3 N´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura Emp´ıricas (linhas cheias) e as trˆes primeiras
componentes principais (linhas tracejadas) para as taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos para as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos. . . 12 2.4 Cargas fatoriais do estrutura a termo de Nelson-Siegel para λ = 0.0674. . 15 2.5 Carga fatorial da inclina¸c˜ao. . . 15 2.6 Carga fatorial da curvatura. . . 16
4.1 Estrutura a termo mensal das taxas de juros do governo dos Estados Uni-dos de janeiro de 1972 at´e agosto de 2016 com as maturidades de 1 a 15 anos. . . 40 4.2 Estrutura a termo mensal das taxas de juros do governo dos Estados
Uni-dos de janeiro de 1972 at´e agosto de 2016 com as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos. . . 40 4.3 Curva de taxa de juros m´edia. Esquerda: estimada e observada. Direita:
4.4 Probabilidade a posteriori do regime de volatilidade alta (linha pontilhada)
e os per´ıdos de recess˜ao do NBER (regi˜ao sombreada). . . 48
4.5 Estimativas do n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura. . . 51
4.6 Fator de n´ıvel estimado e contrapartes emp´ıricas. . . 52
4.7 Fator de inclina¸c˜ao estimada e contrapartes emp´ıricas. . . 53
4.8 Fator de curvatura estimada e contraparte emp´ırica. . . 53
4.9 M´edia a posteriori da vari´avel de mistura Ut−1 com para taxas de juros com erros seguindo uma distribui¸c˜ao t de Student. . . 54
4.10 M´edia a posteriori da vari´avel de mistura Ut−1 com para taxas de juros com erros seguindo uma distribui¸c˜ao Slash. . . 54
4.11 Esquerda: M´edia suavizada das volatilidades para os fatores e vari´aveis macroeconˆomicas. . . 56
4.12 O gr´afico representa o valor ajustado a partir da m´edia a posteriori de Λft para os modelos MDL.MR.VED.N e MDL.MR.VED.t, MDL.MR.VED.S. Os pontos representam os valores reais das taxas de juros. . . 57
4.13 Curva das taxas de juros m´edia. Esquerda: estimada e observada. Direita: alta volatilidade e baixa volatilidade. . . 59
4.14 Probabilidade a posteriori do estado de volatilidade alta, P (St= 1). . . . 60
4.15 N´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura da curva das taxas de juros. . . 64
4.16 Regi˜ao de 95% de confian¸ca da diagonal principal da matriz de volatilidade estoc´astica completa eHt para o modelo MDL.MR.VEC.t. . . . . 65
4.17 Regi˜ao de 95% de confian¸ca das covariˆancias da matriz de volatilidade estoc´astica completa eHt. . . . 66
Cap´ıtulo 1
Introdu¸
c˜
ao
A estrutura a termo das taxas de juros, tamb´em conhecida por curva a termo ou curva das taxa de juros (yield curve), se refere a rela¸c˜ao entre taxas de juros em diferentes maturidades (vencimentos). Desempenhando um papel relevante no cen´ario econˆomico, a forma da curva das taxas de juros traz uma ideia da atividade econˆomica atual e tamb´em auxilia na previs˜ao de poss´ıveis mudan¸cas nas taxas futuras. A negocia¸c˜ao entre credores e mutu´arios ´e um exemplo b´asico da importˆancia de como a informa¸c˜ao trazida pela forma da estrutura a termo pode influenciar em uma tomada de decis˜ao para um dado investimento, de modo que, um investidor ou credor, ir´a exigir de seu mutu´ario (e.x.Tesouro Nacional) uma taxa de juros a ser recebida maior quanto maior for o prazo do empr´estimo, sendo a taxa de juros o objeto utilizado pelo mutu´ario para convencˆe-lo a realizar a concess˜ao, visto isso, a curva a termo ´e um indicador gr´afico para a tomada de decis˜ao nesse cen´ario.
Entender o mecanismo gerador das curvas das taxas de juros ´e fundamental para diversas ´areas, tais como: precifica¸c˜ao de t´ıtulos, gerˆencia de carteiras, aloca¸c˜ao de ativos, etc. Do mesmo modo que a estima¸c˜ao, ´e igualmente importante a habilidade de prever a estrutura a termo futura, sendo a previs˜ao das taxas de juros o ingrediente principal no desenvolvimento de cen´arios macroeconˆomicos, os quais s˜ao utilizados por grandes companhias, institutos financeiros, reguladores, investidores institucionais, entre outros. O seu estudo tem fascinado e intrigado gera¸c˜oes de pesquisadores, possuindo interessantes aplica¸c˜oes pr´aticas de modo que ´e amplamente utilizado tanto por acadˆemicos como
por profissionais, contando com uma vasta literatura contendo uma ampla variedade de modelos desenvolvidos.
No momento de escolher entre os diferentes modelos existentes para se estimar a es-trutura a termo a primeira quest˜ao que deve ser considerada est´a relacionada em qual contexto te´orico do modelo deseja-se trabalhar. H´a duas abordagens populares: os mo-delos de equil´ıbrio e os sem arbitragem.
Nos modelos de equil´ıbrio, fatores que influenciam a estrutura a termo tais como: expectativa, avers˜ao ao risco, alternativas de investimento e preferˆencias quanto ao mo-mento do consumo, atuam na determina¸c˜ao dos pre¸cos e consequentemente, das taxas de juros. Geralmente os modelos de equil´ıbrio come¸cam com a modelagem das taxas de curto prazo e assim produzem a estrutura a termo para todo o tempo. Modelos per-tencentes a esta categoria podem ser caracterizados pela sua tratabilidade e facilidade de uso, por´em com a consequente desvantagem do comportamento n˜ao realista da taxa de juros de curto prazo e da limita¸c˜ao das formas poss´ıveis da estrutura de termo. No trabalho piorneiro de Cox et al. (1985b) utiliza-se um modelo de precifica¸c˜ao de ativos de equil´ıbrio geral intertemporal, de forma que, muito dos fatores tradicionalmente menci-onados como influentes na estrutura a termo s˜ao inclu´ıdos de maneira consistente com o modelo conduzido a f´ormulas espec´ıficas para os pre¸cos de t´ıtulos. Em Cox et al. (1985a) desenvolve-se um modelo de equil´ıbrio geral a tempo cont´ınuo onde um dos principais resultados ´e uma equa¸c˜ao diferencial a qual os pre¸cos de ativos devem satisfazer, de modo que sua solu¸c˜ao d´a o pre¸co de equil´ıbrio de qualquer ativo em termos das subjacentes vari´aveis reais na economia. Em Longstaff e Schwartz (1992) desenvolve-se um modelo de equil´ıbrio geral de dois fatores, sendo eles: a taxa de juros de curto prazo e a volatilidade da taxa de juros de curto prazo, de modo que a dependˆencia entre as taxas e a volatili-dade permiti que o modelo capture muitas das proprievolatili-dades observadas na estrutura a termo das taxas de juros.
A hip´otese de n˜ao arbitragem garante que a evolu¸c˜ao das taxas de juros sobre o tempo ´
e consistente com a forma transversal da curva a termo em qualquer ponto no tempo. Pode-se dizer que os mercados reais s˜ao pelo menos aproximadamente sem arbitragem, deste modo, uma bom modelo para a curva das taxas de juros deve exibir liberdade de
arbitragem. As restri¸c˜oes te´oricas que eliminam oportunidades de arbitragem fornecem a funda¸c˜ao para uma ampla literatura sobre modelos livres de arbitragem que come¸cam com Vasicek (1977) e Cox et al. (1985b). As vers˜oes afim deste modelo s˜ao particu-larmente populares j´a que as taxas s˜ao fun¸c˜oes afim dos fatores latentes, o trabalho de (Duffie e Kan, 1996) apresenta um modelo multifatorial livre de arbitragem para a es-trutura a termo no qual a taxa de juros de qualquer t´ıtulo ´e considerada como sendo uma combina¸c˜ao afim dependente da maturidade para um conjuto de taxas “bases”, j´a em Dai e Singleton (2000), de foma mais geral, explora-se a diferen¸ca entre as fam´ılias de modelos afim de estrutura a termo e baseado em considera¸c˜oes te´oricas e evidencias emp´ıricas sugere-se que algumas subfam´ılias s˜ao mais adequadas do que outras para ex-plicar o comportamento hist´orico das taxas de juros. Em Chib e Ergashev (2009) mostra como modelar as taxas de juros sob o ponto de vista Bayesiano, apresentando uma nova abordagem para o ajuste dos modelos da curva das taxas de juros afim com fatores ma-croeconˆomicos. Deve ser apontado que liberdade de arbitragem ´e essencialmente uma condi¸c˜ao de consistˆencia interna de modo que um modelo mal especificado pode ser in-ternamente consistente com a liberdade de arbitragem e ainda assim ter pouca rela¸c˜ao com o mundo real fornecendo uma pobre performance emp´ırica.
Substancial esfor¸co tem sido colocado para responder quest˜oes de como modelar, estimar e prever a estrutura a termo. Afastando-se da suposi¸c˜ao de n˜ao arbitragem das taxas de juros, o modelo fortemente utilizado por gestores de ativos de renda fixa em organiza¸c˜oes p´ublicas, bancos de investimentos e bancos centrais que vem apresentando respostas satisfat´orias para essas quest˜oes ´e o introduzido por Nelson e Siegel (1987). Caracteriza-se pelo ajuste de uma flex´ıvel fun¸c˜ao param´etrica de f´acil estima¸c˜ao cujos fatores latentes possuem interpreta¸c˜oes intuitivas de: n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura da curva das taxa de juros e al´em deste ajuste eficiente das taxas de juros, vem demonstrando bons resultados na previs˜ao da estrutura a termo futura (Diebold e Li, 2006; Pooter et al., 2007). O Banco Central Europeu (ECB) publica diariamente a estrutura a termo de todo Eurosystem baseado em uma extens˜ao do modelo de Nelson-Siegel proposta em Soderlind e Svensson (1997). Settlements (2005) esclarece que as abordagens mais utilizadas por bancos centrais s˜ao a de Nelson e Siegel ou a extens˜ao de Svensson (1995). Em Diebold
e Rudebusch (2013) encontram-se extens˜oes para o modelo b´asico de Nelson e Siegel que s˜ao teoricamente rigorosas e empiricamente bem-sucedidas.
Grande parte da pesquisa que encontra-se na literatura sobre estrutura a termo das taxas de juros utiliza o modelo b´asico de trˆes fatores de Nelson-Siegel, o qual adota su-posi¸c˜oes como: normalidade e volatilidade constante para as taxas. O problema dessa abordagem encontra-se no fato que estas suposi¸c˜oes s˜ao muito restritivas podendo acar-retar na perda de eficiˆencia do ajuste da curva a termo, levando assim a um efeito consider´avel na inferˆencia dos parˆametros e vari´aveis latentes do modelo. A presen¸ca de valores at´ıpicos (outliers) nas taxas de juros ´e um fato j´a comprovado empiricamente, Abanto-Valle et al. (2012) mostram que o ajuste e previs˜ao da estrutura a termo me-lhora consideravelmente quando adota-se distribui¸c˜oes caudas pesadas para a dinˆamica das taxas de juros no lugar da suposi¸c˜ao de normalidade. Outro ponto que deve ser notado ´e que as taxas de juros de t´ıtulos advˆem de negocia¸c˜oes nos mercados financeiros, tal que, em trabalhos emp´ıricos foi constatado que em per´ıodos de alta volatilidade na economia as taxas de juros tamb´em tendem a ser altamente vol´ateis, logo a volatilidade pode mudar ao longo do tempo contrariando a hip´otese de variˆancia constate do modelo. Koopman et al. (2010) estendeu o modelo de Diebold e Li (2006), considerando uma com-ponente de volatilidade comum que afeta conjuntamente as taxas de juros para todas as maturidades especificando um processo auto regressivo heteroced´astico condicional ge-neralizado (GARCH). Com uma abordagem mais flex´ıvel, Hautsch e Ou (2008) prop˜oe modelar diretamente a volatilidade estoc´astica nos fatores da curva a termo, neste caso, as volatilidades dos fatores s˜ao associadas a incerteza do n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura da estrutura a termo sendo naturalmente interpretadas como as volatilidades de carteiras de t´ıtulos relacionadas com as curtas, m´edias e longas maturidades.
A inclus˜ao de volatilidade vari´avel no tempo ´e um bom m´etodo para s´eries que apre-sentam mudan¸cas bruscas nas taxas de juros as quais podem ocorrer devido a diver-sos acontecimentos tais como: mudan¸cas na economia, crises, pol´ıticas monet´arias, etc. Evidˆencias emp´ıricas sugerem que s´eries temporais de vari´aveis econˆomicas e financei-ras podem exibir diferentes padr˜oes sobre o tempo, sendo assim, uma outra t´ecnica que pode ajudar nessas situa¸c˜oes ´e admitir que dinˆamica da taxa de juros est´a sujeita a
mu-dan¸cas discretas e persistentes entre regimes distintos. Modelos de Mumu-dan¸cas de Regime representam um modo parcimonioso de capturar a dinˆamica n˜ao-linear da estrutura a termo. Alguns trabalhos que podem ser citados s˜ao: Levant e Ma (2013) o qual mostra que mudan¸cas discretas no parˆametro que controla o decaimento das cargas fatoriais do modelo de Nelson e Siegel captura melhor as mudan¸ca de regimes quando comparado-se ao modelo b´asico, Hevia et al. (2015) prop˜oe diversas extens˜oes adotando mudan¸cas de regimes atrav´es de um processo denominado Markov switching para o modelo dinˆamico de Nelson e Siegel.
A contribui¸c˜ao desta tese ´e apresentar formas de aprimorar o ajuste e a previs˜ao da estrutura a termo, de modo que, analisa-se os principais fatos estilizados presentes nas taxas de juros de t´ıtulos e ainda identifica-se a liga¸c˜ao entre a estrutura a termo e con-juntura macroeconˆomica do per´ıodo a ser considerado na aplica¸c˜ao emp´ırica desta tese. Desenvolvem-se aqui modelos que combinam as t´ecnicas mencionadas acima para obter uma vers˜ao aprimorada do modelo dinˆamico b´asico de Nelson e Siegel. Al´em disso tem-se como objetivo caracterizar a rela¸c˜ao entre os fatores de n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura com a conjuntura macroeconomia, utilizando para isso: a atividade econˆomica, a infla¸c˜ao e a pol´ıtica monet´aria como medidas chave da economia. Compara¸c˜oes entre os modelos propostos e com modelos j´a presentes na literatura atrav´es de m´etodos conceituados na literatura ir˜ao demonstrar a eficiˆencia das abordagens propostas.
Sobre o paradigma Bayesiano para inferˆencia da classe de modelos trabalhada, prop˜ oe-se um algoritmo eficiente para a estima¸c˜ao e previs˜ao das extens˜oes propostas para a curva de Nelson e Siegel baseado em simula¸c˜oes de Monte Carlo via Cadeias de Markov, de modo que seja poss´ıvel: revelar a presen¸ca de caudas pesadas nas taxas de juros, demonstrar a importˆancia de se considerar volatilidade estoc´astica nos modelos, exibir a mudan¸ca entre regimes ao longo do tempo, extrair as vari´aveis latentes consideradas na modelagem para os dados em quest˜ao e realizar a previs˜ao da estrutura a termo das taxas de juros futura.
A primeira parte conta com uma revis˜ao dos aspectos te´oricos da estrutura a termo das taxas de juros com a apresenta¸c˜ao de diferentes formas de model´a-la utilizando como base o modelo introduzido por Nelson e Siegel.
Na segunda parte s˜ao propostas duas abordagens para a estima¸c˜ao da estrutura a termo das taxas de juros apresentando-se as conclus˜oes obtidas e os seus poss´ıveis apri-moramentos, de modo que, as duas extens˜oes desenvolvidas s˜ao:
*Modelagem com Macro Fatores, Mudan¸cas de Regime e Volatilidade Estoc´astica
S´ubitas mudan¸cas na economia podem ocorrer devido a diferentes fatores como, por exemplo: mudan¸ca de governo, cr´ısis, recess˜oes, atentados terroristas, entre outras, tais eventos podem causar mudan¸cas na forma da estrutura a termo das taxas de juros. As-sim tem-se como objetivo propor uma extens˜ao ao modelo introduzido em Diebold et al. (2006) que capture as mudan¸cas de regimes nas taxas juros baseado nos trabalhos de Levant e Ma (2013) e Hevia et al. (2015) e que ao mesmo tempo seja um modelo robusto com a ado¸c˜ao de caudas pesadas como feito em Abanto-Valle et al. (2012) e com a ado¸c˜ao de volatilidade estoc´astica na sua estrutura fatorial como desenvolvido em Hautsch e Ou (2008).
*Modelagem com a Matriz de Volatilidade Completa
A rela¸c˜ao entre os riscos dos fatores latentes e as vari´aveis macroeconˆomicas encontrada na curva das taxas de juros introduzida em Diebold et al. (2006) ´e significativa por´em ´
e considerada constante no tempo. Como as mudan¸cas no cen´ario econˆomico ao longo do tempo podem afetar a forma da curva das taxa de juros ´e razo´avel imaginar que a rela¸c˜ao entre os riscos dos fatores latentes com as vari´aveis macroeconˆomicos tamb´em seja afetada. Assim prop˜oe-se aqui uma extens˜ao ao modelo de Nelson e Siegel com a utiliza¸c˜ao da matriz de volatilidade estoc´astica trabalhada em Ishihara et al. (2014) para aprimorar a estima¸c˜ao dessa rela¸c˜ao e mostrar que ela tamb´em pode variar no tempo.
Cap´ıtulo 2
Modelos de Nelson e Siegel
2.1
Introdu¸
c˜
ao
Neste cap´ıtulo introduz-se as considera¸c˜oes iniciais relacionadas com a modelagem da curva das taxas de juros. O cap´ıtulo divide-se da seguinte maneira: na se¸c˜ao 2.2 apresentam-se os principais fatos estilizados presentes nas taxas de juros indicando-se a importˆancia da utiliza¸c˜ao de modelos fatoriais para a modelagem e na se¸c˜ao 2.3 descreve-se a abordagem introduzida por Nelson e Siegel (1987) para modelar a estrutura a termo das taxas de juros.
2.2
Modelagem da Estrutura a Termo
O primeiro problema que surge na modelagem da estrutura a termo ´e como resumir a informa¸c˜ao das taxas de juros em qualquer ponto do tempo para um grande n´umero de t´ıtulos negociados. Neste contexto, utilizar uma estrutura fatorial ´e ideal j´a que esta opera em situa¸c˜oes onde h´a um conjunto de observa¸c˜oes de dimens˜ao alta conduzido por um conjunto subjacente de dimens˜ao baixa, revelando que na aparente complexidade das taxas de juros encontra-se uma realidade muito mais simples capaz de fornecer uma boa descri¸c˜ao para as taxas de juros. Em particular, pode-se destacar trˆes principais raz˜oes para a utiliza¸c˜ao de uma estrutura de fatores:
1. A estrutura de fatores geralmente fornece uma descri¸c˜ao emp´ırica precisa da estru-tura a termo das taxas de juros.
2. Os modelos fatoriais possuem propriedades estat´ısticas atraentes, transformando a modelagem intrat´avel de alta dimens˜ao em uma situa¸c˜ao trat´avel de baixa di-mens˜ao. Em outras palavras, a informa¸c˜ao ´util contida nas taxas de juros de t´ıtulos pode ser explicada por um n´umero pequeno de fatores.
3. A teoria econˆomica financeira rotineiramente envolve estrutura de fatores. Sabe-se que existem milhares de ativos financeiros no mercado, por´em, por uma variedade de raz˜oes observa-se que os prˆemios de risco s˜ao conduzidos por um pequeno n´umero de componentes ou fatores de risco. Um exemplo nesse contexto ´e o conhecido modelo de precifica¸c˜ao de ativos de capital (CAPM) o qual ´e um modelo de um ´
unico fator.
A maior parte dos estudos iniciais que envolvem taxas de longo prazo assumiam um ´
unico fator (Macaulay, 1938), onde esse fator ´e o n´ıvel, por´em a estrutura de um ´unico fator limitava o ˆambito do estudo da dinˆamica da estrutura a termo.
A dinˆamica da curva das taxas de juros move-se bastante, podendo assumir diferentes formas atrav´es do tempo e para cada maturidade, como por exemplo: crescendo em taxas crescentes ou decrescentes, decrescendo em taxas crescentes ou decrescentes, achatadas, em forma de U, e assim por diante.
Na figura 2.1 apresenta-se um gr´afico tridimensional da estrutura a termo das taxas de juros dos t´ıtulos do governo dos Estados Unidos, revelando que al´em do n´ıvel a estrutura a termo envolve m´ultiplos fatores. De forma geral, trˆes fatores ou componentes principais s˜ao suficientes para explicar a maior parte da varia¸c˜ao das taxas de juros.
A tabela 2.1 apresenta estat´ısticas resumo para as maturidades 1, 4, 8, 12 e 15 anos, respectivamente. Pode-se observar que m´edias das taxas de juros (desvios padr˜oes) cres-cem (decrescres-cem) com as maturidades. Observa-se tamb´em que as taxas de juros s˜ao al-tamente persistentes chegando a ter altas autocorrela¸c˜oes para grandes defasagens como a de ordem 12 exibida. A m´edia temporal crescente das taxas de juros em rela¸c˜ao a maturidade pode ser explicada pela avers˜ao ao risco ou pela preferencia pela liquidez
tempo 1980 1990 2000 2010 matur idade 5 10 15 taxa de juros 5 10 15
Figura 2.1: Estrutura a termo das taxas de juros dos t´ıtulos do governo dos Estados Uni-dos. O per´ıodo da amostra vai de janeiro de 1987 at´e agosto de 2016 com as maturidades de 1 a 15 anos.
dos investidores, j´a que, quanto maior o prazo maior ser´a o prˆemio exigido, os desvios decrescem provavelmente porque, de acordo com a teoria das expectativas, as taxas de longo prazo s˜ao a m´edia geom´etrica das taxas de curto prazo correntes e as taxas futuras esperadas de curto prazo. Assim, mesmo que a taxa atual mude o impacto sobre uma taxa de longo prazo ser´a menor quanto maior for a maturidade.
Tabela 2.1: Estat´ısticas descritivas da estrutura a termo das taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos para as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos.
Maturidade M´edia Desvio Padr˜ao ρ(1)ˆ ρ(12)ˆ
1 5.3600 3.5767 0.9891 0.8691
4 5.9700 3.2947 0.9910 0.8965
8 6.4767 2.9717 0.9907 0.8962
12 6.7761 2.7894 0.9901 0.8914
O yield spread ´e a diferen¸ca entre taxas de juros de diferentes maturidades. Tipica-mente quanto mais arriscado ´e um t´ıtulo maior ´e seu yield spread, j´a que com risco mais elevado os investidores exigem um compensa¸c˜ao adequada atrav´es de um maior yield spread. Logo, quando os spreads entre t´ıtulos aumentam significa que o mercado est´a prevendo um maior risco de inadimplˆencia o que implica em uma desacelera¸c˜ao da econo-mia e quando eles diminuem implica em uma queda do risco devido provavelmente a uma expans˜ao econˆomica. Por esta raz˜ao, os t´ıtulos em mercados emergentes, os quais geral-mente apresentam problemas financeiros, e os desenvolvidos, que possuem uma situa¸c˜ao financeira claramente mais saud´avel, tipicamente s˜ao negociados com taxas de juros sig-nificativamente diferentes. A tabela 2.2 mostra as mesmas estat´ısticas da tabela 2.1 para o yield spread relativo ao vencimento de 10 anos. A dinˆamica do yield spread difere ni-tidamente das taxas de juros. Pode ser visto tamb´em, que os spreads s˜ao menos vol´ateis e menos persistentes. Assim, como no caso das taxas de juros, as autocorrela¸c˜oes com defasagem de 1 mˆes s˜ao bastante grandes, por´em elas decaem rapidamente. No entanto, para a defasagem de 12 meses as autocorrela¸c˜oes nos spreads s˜ao bem menores do que nas taxas de juros.
Tabela 2.2: Yield spread da estrutura a termo das taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos em rela¸c˜ao a maturidades de 15 anos.
Maturidade M´edia Desvio Padr˜ao ρ(1)ˆ ρ(12)ˆ
1 -1.5505 1.4657 0.9659 0.6062
4 -0.9406 0.8766 0.9668 0.6952
8 -0.4339 0.3981 0.9495 0.6695
12 -0.1344 0.1266 0.9207 0.5575
15 - - -
-A figura 2.2 mostra o gr´afico das taxas de juros dos t´ıtulos do governo dos Estados Unidos de modo que cada curva representa uma maturidade espec´ıfica. ´E f´acil ver que as curvas para todas as maturidades tendem a se mover juntas. Al´em disso, fica claro que a dinˆamica operante das curvas ´e mais do que somente um fator comum de n´ıvel.
tempo taxa de juros 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 02 05 08 11 14 0 5 10 15 14 8 12 15
Figura 2.2: Gr´afico em duas dimens˜oes da estrutura a termo das taxas de juros dos t´ıtulos do governo dos Estados Unidos. O per´ıodo da amostra vai de janeiro de 1987 at´e agosto de 2016 com as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos.
Tabela 2.3: An´alise das trˆes primeiras componentes principais, (denotadas PC1, PC2 e PC3), da estrutura a termo das taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos para as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos.
CP %Explicada Desvio ρ(1)ˆ ρ(12)ˆ
Primeira 0.9794 2.2129 0.9910 0.8970
Segunda 0.0195 0.3118 0.9551 0.5065
Terceira 0.0011 0.0735 0.8677 0.3869
A tabela 2.3 mostra a an´alise de componentes principais para as taxas de juros de t´ıtulos do governo dos Estados Unidos revelando nela que quase 100% da varia¸c˜ao ´e ex-plicada pelas trˆes primeiras componentes. Pode-se ver que a maior parte da variabilidade das taxas de juros est´a presente na primeira componente principal e al´em disso ´e a mais previs´ıvel das componentes, devido a sua alta persistˆencia. A segunda componente ´e menos vari´avel e persistente que a primeira. A terceira, por sua vez, ´e a menos vari´avel e persistente das trˆes componentes.
A figura 2.3 apresenta as trˆes componentes contra os representantes emp´ıricos do n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura sendo respectivamente taxa de juros correspondentes as ma-turidades de 10A, 15A-10A e 2×8A-10A-15A, onde A=anos. A figura revela que os trˆes fatores s˜ao efetivamente: n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura da curva de taxa de juros. Este ´
e um fato importante pois implica que fatores diferentes, provavelmente possuem deter-minantes macroeconˆomicos diferentes e espec´ıficos e tamb´em vale notar que os fatores da curva s˜ao ortogonais devido a liga¸c˜ao com as componentes principais, as quais s˜ao ortogonais por constru¸c˜ao.
Nív el e PC1 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14 16 −4 −2 0 2 4 6 Inclinação e PC2 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14 16 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 Cur v atur a e PC3 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14 16 −1.0 −0.5 0.0 0.5
Figura 2.3: N´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura Emp´ıricas (linhas cheias) e as trˆes primeiras componentes principais (linhas tracejadas) para as taxas de juros de t´ıtulos dos Estados Unidos para as maturidades de 1, 4, 8, 12 e 15 anos.
uma estrutura que adote mais do que simplesmente um fator. A literatura cont´em uma ampla variedade de m´etodos para a constru¸c˜ao de fatores e suas respectivas cargas, a seguir s˜ao apresentadas algumas dessas abordagens:
1. Colocar a estrutura somente nos fatores estimados deixando as cargas livres. Um exemplo nesse contexto seria considerar os fatores como as trˆes primeiras com-ponentes principais, as quais s˜ao ortogonais por constru¸c˜ao, enquanto que suas correspondentes cargas s˜ao deixadas sem restri¸c˜ao.
2. Restringir ambos fatores e suas correspondentes cargas. O modelo dinˆamico de fa-tores latentes sem arbitragem faz esta suposi¸c˜ao focando em ajustar perfeitamente a estrutura a termo em um ponto do tempo, para assegurar que n˜ao haja a possi-bilidade de arbitragem utilizando, geralmente, modelos afim. Contribui¸c˜oes neste sentido, podem ser vistas em Vasicek (1977), Christensen et al. (2011) and Chen e Du (2013).
3. Considerar estrutura nas cargas deixando os fatores livres. A modelagem que segue esse padr˜ao, muito popular entre profissionais do mercado e banco centrais, a qual ´e o foco deste projeto de tese, ´e realizada atrav´es da conhecida curva das taxas de juros de Nelson e Siegel, introduzida em Nelson e Siegel (1987). Diebold e Li (2006) reinterpretaram o modelo de Nelson e Siegel como um modelo de dinˆamico de trˆes fatores que indicam o n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura da curva das taxas de juros.
2.3
Curva das Taxas de Juros segundo Nelson-Siegel
O modelo de Nelson e Siegel e suas vers˜oes estendidas s˜ao reconhecidas por sua eficiˆencia no ajuste da estrutura a termo das taxas de juros dentro da amostra e pela sua capacidade preditiva fora da amostra. A correspondente curva das taxas de juros est´atica ´e definida como:
yt(τ ) = β1+ β2 1 − e−λτ λτ + β3 1 − e−λτ λτ − e −λτ (2.1)
onde yt(τ ) ´e taxa de juros do t´ıtulo de interesse no tempo t com vencimento em τ meses.
Fora sua estrutura parcimoniosa, dependendo dos valores dos quatro parˆametros do modelo (β1, β2, β3, λ), a curva de Nelson e Siegel apresenta grande flexibilidade podendo
tomar v´arias das formas mencionadas na se¸c˜ao anterior.
A representa¸c˜ao dinˆamica da curva das taxas de juros de Nelson e Siegel introduzida por Diebold e Li (2006) reconhece que os fatores devem variar no tempo dado que a curva tamb´em varia (veja a figura 2.1). Mudando a nota¸c˜ao para enfatizar a interpreta¸c˜ao dos fatores como n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura (level, slope e curvature) o modelo de fatores dinˆamicos pode ser escrito como:
yt(τ ) = lt+ st 1 − e−λτ λτ + ct 1 − e−λτ λτ − e −λτ (2.2)
onde (lt, st, ct) ´e o vetor de fatores latentes n˜ao-observ´aveis. O parˆametro λ ´e associado
com a taxa de decaimento exponencial das cargas em diferentes maturidades. Valores pequenos de λ produzem decaimentos lentos e podem ser melhores para ajustar a curva nas maturidades de longo prazo. No entanto, valores grandes de λ produzem decaimentos r´apidos sendo melhores para ajustar a curva em maturidades de curto prazo. Al´em disso, λ controla onde a carga de ct atinge seu m´aximo.
A dinˆamica dos trˆes fatores determinam inteiramente a dinˆamica de ytpara qualquer
maturidade τ . Para entender melhor os fatores latentes realiza-se aqui um estudo sobre suas cargas fatoriais. A seguir, a figura 2.4 mostra o comportamento das cargas para um espec´ıfico valor de λ.
Analisando-se separadamente cada um fatores, considera-se primeiro a carga associ-ada ao fator lt que ´e igual a 1, isto ´e, a carga ´e constante independentemente do valor
do parˆametro de λ e da maturidade de modo que seu valor n˜ao decai para zero no caso limite como nos demais fatores que ser˜ao vistos. Assim, pode-se interpretar lt como um
fator de longo prazo (n´ıvel) que afeta todas as taxas simultaneamente. Em particular, pode ser verificado facilmente que yt(∞) = lt.
A seguir, considere-se a carga em st, (1 − e−λτ)/λτ , uma fun¸c˜ao que come¸ca em 1
e decai monotonicamente e rapidamente para 0 com a maturidade, a qual ´e ligada ao curto prazo que induz varia¸c˜oes na propaga¸c˜ao das taxas de juros. Logo, st pode ser
maturidade 0 20 40 60 80 100 120 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Nível Inclinação Curvatura
Figura 2.4: Cargas fatoriais do estrutura a termo de Nelson-Siegel para λ = 0.0674.
considerado como o fator de curto prazo (inclina¸c˜ao). Alguns autores como Frankel e Lown (1994) definem a inclina¸c˜ao da curva das taxas de juros como y(0) − y(∞) o que ´e exatamente igual a st. A figura 2.5 descreve esse comportamento para diferentes valores
de λ onde vemos que quanto maior o valor de λ mais r´apido ´e o decaimento para 0.
maturidade 0 20 40 60 80 100 120 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 λ =0.0550 λ =0.0795 λ =0.1040 λ =0.1285 λ =0.1530
Figura 2.5: Carga fatorial da inclina¸c˜ao.
Finalmente, a carga de ct, (1 − e−λτ)/λτ − e−λτ, a qual come¸ca em 0 (e assim n˜ao ´e de
como fator de prazo m´edio. A figura 2.6 descreve esse comportamento para diferentes valores de λ de modo que quanto maior ´e o valor da taxa de decaimento λ, mais r´apido a curvatura m´axima ´e alcan¸cada e, igualmente ao caso da inclina¸c˜ao, ser´a mais r´apido o decaimento para zero a medida que se aumenta a maturidade.
maturidade 0 20 40 60 80 100 120 0.0 0.2 0.4 0.6 λ =0.0550 λ =0.0795 λ =0.1040 λ =0.1285 λ =0.1530
Figura 2.6: Carga fatorial da curvatura.
Assim sendo, tem-se que ltgoverna o n´ıvel da curva de rendimentos e stsua inclina¸c˜ao,
al´em disso ´e interessante notar que a taxa instantˆanea depende de ambos fatores, do n´ıvel e da inclina¸c˜ao, j´a que yt(0) = lt+st. V´arios outros modelos possuem a mesma implica¸c˜ao.
Em particular, Dai e Singleton (2000) mostram que os modelos de trˆes fatores de Bal-duzzi et al. (1996) e Chen (1996) imp˜oem a restri¸c˜ao que a taxa instantˆanea ´e uma fun¸c˜ao afim de somente duas das trˆes vari´aveis de estado, uma propriedade compartilhada pelo modelo de trˆes fatores de Lund et al. (2004).
A seguir apresenta-se a correspondˆencia entre os fatos estilizados presentes na estru-tura a termo das taxas de juros e a habilidade de reprodu¸c˜ao desses fatos do modelo de Nelson e Siegel atrav´es de seus fatores latentes:
1. A curva das taxas de juros m´edia ´e crescente e concava. No modelo a curva das taxas de juros m´edia ´e a curva correspondente aos valores m´edios de lt, st e ct tal
2. A curva das taxas de juros assume uma grande variedade de formas atrav´es do tempo, no modelo isso pode ser alcan¸cado com a varia¸c˜ao dos valores dos fatores lt, st e ct.
3. A dinˆamica persistente dos juros corresponder´a a forte persistˆencia de lt e a
per-sistˆencia dos spreads, corresponder´a a fraca persistˆencia de st.
4. As curvas das taxas de juros com prazos curtos dependem positivamente de lt e st,
enquanto que, a de prazo longo depende somente de lt.
5. Taxas de longo prazo dependem somente de lt. Se lt´e o fator mais persistente ent˜ao
as taxas com prazos mais longos ser˜ao mais persistentes do que as taxas de curto prazo.
Adicionando um erro estoc´astico ao modelo dinˆamico de Nelson e Siegel determin´ıstico pode-se expressar a equa¸c˜ao das observa¸c˜oes, para t = 1, . . . , N , em nota¸c˜ao matricial por:
yt= Λft+ εt
onde as vari´aveis s˜ao
yt= yt(τ1) yt(τ2) .. . yt(τr) , ft = lt st ct , εt= εt(τ1) ε(τ2) .. . ε(τr)
e matriz param´etrica das cargas fatoriais ´e dada por
Λ = 1 1−e−λτ1 λτ1 1−e−λτ1 λτ1 − e −λτ1 1 1−eλτ−λτ2 2 1−e−λτ2 λτ2 − e −λτ2 .. . ... ... 1 1−eλτ−λτr r 1−e−λτr λτr − e −λτr .
Assim tem-se que as taxas s˜ao determinadas em parte pelos fatores lt, ste cte pelo
dos fatores, h´a diversas formas de especificar esta dinˆamica, uma poss´ıvel e comumente encontrada na literatura ´e considerar sua evolu¸c˜ao como um vetor autorregressivo (VAR) de primeira ordem, tal que:
ft− µ = A(ft−1− µ) + ηt onde µ = µl µs µc , A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , ηt= ηlt ηs t ηtc ,
tal que µ ´e a m´edia dos fatores, A determina a dinˆamica dos fatores e ηt s˜ao erros dos estados.
Para completar falta especificar a estrutura de covariˆancia dos erros observacionais e de estados. Uma suposi¸c˜ao padr˜ao em modelos de estrutura a termo ´e a de que os erros das observa¸c˜oes e dos estados s˜ao ortogonais, ou seja, εt, s˜ao independentes dos
erros dos estados, ηt. A dinˆamica dos erros podem ser considerados como simples ru´ıdos brancos (Diebold e Rudebusch, 2013) por´em a suposi¸c˜ao mais utilizada na literatura ´e de que os erros seguem uma distribui¸c˜ao Gaussiana como o trabalho realizado por Nelson e Siegel (1987), Diebold e Li (2006), etc. Apesar de comum, n˜ao h´a necessidade de assumir normalidade para os erros de modo que h´a evidˆencia emp´ırica na qual tal suposi¸c˜ao n˜ao reflete a realidade das taxas de juros de modo que uma alternativa seria a utiliza¸c˜ao de distribui¸c˜oes de caudas pesadas para aprimorar os resultados obtidos na estima¸c˜ao e previs˜ao como o que foi realizado em Abanto-Valle et al. (2012).
Cap´ıtulo 3
Modelagem
3.1
Introdu¸
c˜
ao
Compreender o mecanismo gerador das taxas de juros para todos os tempos e matu-ridades ´e de suma importˆancia para responder quest˜oes diretamente relacionadas com a precifica¸c˜ao de t´ıtulos, pol´ıticas de d´ıvida p´ublica, pol´ıtica monet´aria, gerenciamento de carteiras de risco, entre outras.
(Diebold e Li, 2006, DL) contribuem para a literatura propondo uma vers˜ao dinˆamica do modelo de Nelson e Siegel, afirmando que um bom ajuste da dinˆamica da curva das taxas de juros deve ser capaz de reproduzir seus fatos estilizados: a forma da curva de taxa de juros m´edia, a variedade de formas para todos os tempos, a forte persistˆencia das taxas de juros e a persistˆencia fraca dos spreads. Desde ent˜ao, diversas extens˜oes foram desenvolvidas acerca dessa abordagem, com o fim de aprimorar o ajuste da estru-tura a termo fazendo-se uso de t´ecnicas que auxiliam a identifica¸c˜ao de fatos estilizados marcadamente presentes nas taxas de juros.
A maior parte da pesquisa mencionada at´e aqui concentra-se no modelo original de trˆes fatores de Nelson e Siegel onde a suposi¸c˜ao b´asica ´e o uso da distribui¸c˜ao normal (N) como base para a inferˆencia dos parˆametros. Infelizmente, tal suposto ´e bastante restritivo e sofre de falta de robustez na presen¸ca de outliers, podendo ter um efeito
sig-nificativo sobre o processo de inferˆencia. Sabe-se que os pre¸cos de t´ıtulos frequentemente exibem caudas pesadas com poss´ıveis outliers. Schwartz (1998) utilizou uma medida robusta e encontrou que quase 10% dos t´ıtulos do Tesouro dos EUA na base de dados de renda fixa s˜ao outliers. De acordo com Schwartz, podem haver outliers nos dados da estrutura a termo por causa de uma variedade de raz˜oes, tais como: classifica¸c˜oes de t´ıtulos desatualizadas, spreads grandes em t´ıtulos l´ıquidos, transa¸c˜oes n˜ao-s´ıncronas ou erros de introdu¸c˜ao de dados e utiliza¸c˜ao da fun¸c˜ao de taxa de juros errada. Abanto-Valle et al. (2012) introduzem uma extens˜ao robusta do modelo de trˆes fatores de DL por meio a classe de misturas de escala da distribui¸c˜ao normal multivariada. Nesta tese consideram-se as distribui¸c˜oes: t de Student e Slash como sendo uma alternativa robusta a hip´otese usual de normalidade das taxas de juros. Apesar dos fatores de modelo DL receberem interpreta¸c˜oes como n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura, n˜ao h´a uma liga¸c˜ao expli-cita a vari´aveis macroeconˆomicas. Diebold et al. (2006) e Lange (2013) mostram que h´a evidˆencia consider´avel de efeitos macroeconˆomicos na curva das taxas de juros futura e da curva das taxa de juros sobre a evolu¸c˜ao macroeconˆomica futura para t´ıtulos do governo dos Estados Unidos.
A dinˆamica da curva das taxas de juros difere marcadamente entre per´ıodos de ex-pans˜oes e recess˜oes econˆomicas. Dada a importˆancia da liga¸c˜ao com fundamentos macroe-conˆomicos, faz-se necess´ario que a curva de taxa de juros seja capaz de capturar mudan¸cas que possam ocorrer na economia ao longo do tempo. Assim, esta caracter´ıstica pode ser pensada como mais um fato estilizado a ser considerado na modelagem da estrutura a termo.
Motivados por evidˆencias emp´ıricas que sugerem a existˆencia de mudan¸cas no com-portamento da estrutura a termo das taxa de juros foram desenvolvidos extens˜oes ao modelo de DL. Assim, Xiang e Zhu (2013) desenvolvem um modelo sujeito a mudan¸cas entre um, dois e trˆes regimes dependentes no n´ıvel e volatilidade dos fatores. Zhu e Rahman (2015) introduziram um modelo para a estrutura a termo com vari´aveis ma-croeconˆomicas admitindo-se mudan¸ca de regimes no n´ıvel e na volatilidade dos fatores. Hevia et al. (2015), apresentam diferentes formas de acrescentar mudan¸cas de regimes na estrutura a termo considerando mudan¸cas de regime no parˆametro de decaimento
expo-nencial das cargas fatoriais e no n´ıvel, persistˆencia e volatilidade dos fatores da curva e Levant e Ma (2016) estabelecem que o n´ıvel e o decaimento das cargas exponenciais da curva determinam a forma da curva, desse modo, prop˜oem dois modelos com mudan¸cas, o primeiro admite mudan¸cas no parˆametro de decaimento exponencial e o segundo na volatilidade dos fatores. Chib e Kang (2013) desenvolve, sob a abordagem Bayesiana, uma extens˜ao para a curva das taxas de juros no contexto livre de arbitragem com a ado¸c˜ao de mudan¸ca de regimes e liga¸c˜ao com fatores macroeconˆomicos.
Outro ponto interessante a se considerar na modelagem da estrutura a termo ´e a inclus˜ao da volatilidade mudando no tempo para as taxas de juros. Evidˆencias emp´ıricas sugerem que as mudan¸cas nos prˆemios de risco ao longo do tempo est˜ao relacionadas com mudan¸cas temporais no risco dos t´ıtulos. O processo generalizado heteroced´astico autorregressivo condicional na m´edia (GARCH-in-mean, GARCH-M) proposto por Engle et al. (1987) se destaca ao estabelecer diretamente uma rela¸c˜ao risco-retorno em que o prˆemio de risco vari´avel no tempo ´e expresso como uma fun¸c˜ao linear do tamanho atual do risco. Engle et al. (1990) e Engle e Ng (1993) utilizando o modelo GARCH-M mostram que o prˆemio de retorno de uma conta do Tesouro ´e conduzido pelo prˆemio de risco vari´avel no tempo.
Extrair a volatilidade da estrutura a termo das taxas de juros atrav´es da pr´opria variˆancia das observa¸c˜oes, considerando-a vari´avel no tempo, ´e uma maneira de identifi-car o risco inerente das taxas de juros. Considerando modelos fatoriais Aguilar e West (2000) consideram que as log-volatilidades dos fatores seguem um vetor auto-regressivo VAR com erros correlacionados, em Lopes e Carvalho (2007) generaliza-se o modelo de volatilidade fatorial multivariado desenvolvido em Pitt e Shephard (1999) e Aguilar e West (2000), com duas propostas: na primeira considera-se cargas fatoriais variantes no tempo e na segunda admite-se a possibilidade de saltos na volatilidade dos fatores, tornando-o capaz de capturar dinˆamicas mais complexas. No contexto de modelos de estrutura a termo Koopman et al. (2010) admitem uma componente comum de volatili-dade das taxas de juros para todas as maturivolatili-dades como um processo GARCH, Hautsch e Ou (2008) prop˜oem que a volatilidade, modelada de forma estoc´astica, est´a diretamente associada aos fatores latentes de n´ıvel, inclina¸c˜ao e curvatura e ilustram que os fatores e a
volatilidade est˜ao intimamente ligados a vari´aveis que refletem atividade macroeconˆomica (infla¸c˜ao, pol´ıtica monet´aria e crescimento do emprego) e sugerem que as componentes da curva de taxa de juros extra´ıdos tˆem poder de previs˜ao a longo prazo para os fun-damentos macroeconˆomicos. Hautsch e Yang (2012) consideram que a volatilidade dos fatores de Nelson-Siegel reflete a varabilidade do mercado de t´ıtulos em termos do risco inerente `a forma da curva de taxa de juros e constitui uma alternativa parcimoniosa ao modelo GARCH de alta dimensionalidade mencionado anteriormente.
Pode-se ver que as diferentes extens˜oes para o modelo de Nelson e Siegel introduzidas para se estimar a estrutura a termo de taxa de juros apresentam uma liga¸c˜ao com a conjuntura macroeconˆomica. Ou seja, os rumos da economia afetam diretamente os pre¸cos dos t´ıtulos e por conseguinte as taxas de juros.
Assim com o objetivo de desenvolver um modelo aprimorado para curva das taxas de juros que ao mesmo tempo apresente a liga¸c˜ao com os fundamentos macroeconˆomicos e identifique per´ıodos de instabilidade econˆomica como recess˜oes e expans˜oes, neste traba-lho prop˜oem-se algumas extens˜oes da curva dinˆamica de Diebold e Li com macro-fatores (Diebold et al., 2006, MDL): primeiro, admite-se que os erros observacionais seguem uma distribui¸c˜ao de caudas pesadas, permitindo a identificando de poss´ıveis outliers na estrutura a termo das taxas de juros; segundo, introduz-se a possibilidade de mudan¸cas de regimes (MR) no n´ıvel dos fatores atrav´es de um processo markoviano de primeiro ordem, Markov switching, com dois regimes discriminando a baixa e alta variabilidade inerente das taxas de juros; terceiro, como em Hautsch e Yang (2012), inclui-se a vo-latilidade nos fatores da curva MDL afim de n˜ao s´o aperfei¸coar a identifica¸c˜ao do risco tanto para os fatores, que representam diretamente o risco da estrutura a termo, como tamb´em para vari´aveis macroeconˆomicas chaves as quais mostram a posi¸c˜ao da economia do per´ıodo considerado para an´alise. Espera-se que com esta combina¸c˜ao de hip´oteses seja poss´ıvel identificar de forma mais precisa os efeitos nas taxas de juros que os per´ıodos de recess˜oes e expans˜oes econˆomicas trazem, para assim realizar melhores previs˜oes da estrutura a termo futura.
O restante do cap´ıtulo ´e estruturado da seguinte maneira: a se¸c˜ao 3.2 introduz as extens˜oes propostas ao modelo de Nelson e Siegel resultando numa abordagem mais
flex´ıvel e aprimorado para estima¸c˜ao e previs˜ao das taxas de juros e na se¸c˜ao 3.3 descreve-se a metodologia de estima¸c˜ao do ponto de vista Bayesiano via MCMC.
3.2
Modelo
O modelo MDL ´e definido como:
yt= Λft+ εt, εt ∼ Nr(0, Σ) (3.1)
ft+1= µ + Aft+ ηt, ηt∼ N3+p(0, Π) (3.2)
onde yt= (yt(τ1), yt(τ2), . . . , yt(τr)) T
´e o vetor da estrutura a termo observada no tempo t nas maturidades τ1, τ2, . . . , τr, ft = (lt, st, ct, x1t, x2t, . . . , xpt)T ´e o vetor de fatores
latentes aumentado com as vari´aveis macroeconˆomicas observadas x1t, x2t, . . . , xpt no
tempo t, εt = (ε(τ1), ε(τ2), . . . , ε(τr))T ´e o vetor aleat´orio de erros observacionais, ηt =
(η1, η2, . . . , η3+p) T
´
e o vetor de erros dos estados, µ = (µ1, µ2, . . . , µ3+p) T
´
e o vetor de lo-caliza¸c˜ao dos fatores, A ´e a matriz (3+p)-dimensional de persistˆencia dos fatores, Nk(·, ·)
indica a distribui¸c˜ao normal multivariada k-dimensional e a matriz de cargas fatoriais aumentada com parˆametros de decaimento λ e dimens˜ao r × (3 + p) ´e dada por:
Λ = 1 1−eλτ−λτ1 1 1−e−λτ1 λτ1 − e −λτ1 0 . . . 0 1 1−e−λτ2 λτ2 1−e−λτ2 λτ2 − e −λτ2 0 . . . 0 .. . ... ... ... . .. ... 1 1−e−λτr λτr 1−e−λτr λτr − e −λτr 0 . . . 0 .
Assume-se que εt e ηt s˜ao independentes no tempo e entre si para todos tempos e
ma-turidades e que diag (Σ) = (σ21, σ22, . . . , σr2)T de modo que diag(·) extrai os elementos da diagonal principal de uma matriz.
A volatilidade das taxas de juros ´e extra´ıda da variabilidade dos estados do modelo com a substitui¸c˜ao da matriz de variˆancias constante Π pela matriz de volatilidades eHt.
Assim a equa¸c˜ao dos fatores 3.2 do modelos ´e substitu´ıda por:
Adotam-se duas abordagens para a evolu¸c˜ao das log-volatilidades Ht. A primeira ´e
baseada no trabalho desenvolvido por Hautsch e Yang (2012) o qual considera a matriz Ht diagonal e sua evolu¸c˜ao de seus elementos n˜ao-nulos ´e dada por:
ht+1= α + B (ht− α) + ξt, ξt ∼ Nq(0, Υ) (3.4)
onde ht= diag(Ht) = hlt, hst, hct, h1t, . . . , h p t
T
representando o vetor de log-volatilidades de modo que a sua evolu¸c˜ao ´e dada por um vetor autorregressivo (VAR) de ordem q = 3+p tal que α ´e o vetor de m´edias, ¯B ´e a matriz de persistˆencia e Υ ´e a matriz constante de variˆancia das vari´aveis aleat´orias ξt.
as matrizes (3 + p)-dimensionais s˜ao tais que: M ´e diagonal indicando a m´edia, ¯B a persistˆencia e Et ´e diagonal correspondendo aos erros das log-volatilidades.
A abordagem adotada em 3.4, apesar de simples ´e muito restrita, medindo somente a variˆancia no tempo dos fatores latentes e das vari´aveis macroeconˆomicas, supondo assim correla¸c˜ao nula entre as log-volatilidades. Nos modelos DL e MDL considera-se uma matriz de variˆancia-covariˆancia constante para a distribui¸c˜ao dos erros fatoriais exibindo correla¸c˜ao significa entre os fatores e vari´aveis macroeconˆomicas de modo que n˜ao considerar esta rela¸c˜ao poderia levar a um ajuste e previs˜oes menos eficientes das taxas de juros e ao mesmo tempo prejudicar a identifica¸c˜ao dos regimes de baixa e alta volatilidades, surge ent˜ao a quest˜ao se essa correla¸c˜ao ´e significativa e se ela varia no tempo.
Ishihara et al. (2014) desenvolve um modelo de volatilidade estoc´astica multivariada para extra¸c˜ao da volatilidade de a¸c˜oes tal que a evolu¸c˜ao das log-volatilidades ´e dada por:
Ht+1= M + ¯B (Ht− M ) + Et (3.5)
onde denota o produto de Hadamard, as matrizes M , ¯B e Ets˜ao (3 + p)-dimensionais
sim´etricas que indicam a media, a persistˆencia componente a componente e os erros das log-volatilidades.
ele-mentos, de modo que, utilizando a mesma nota¸c˜ao dada em 3.4 tem-se que:
ht+1= α + B (ht− α) + ξt, ξt ∼ Nq(0, Υ) (3.6)
h0 ∼ Nq(c0, Υ0) (3.7)
onde em 3.5 tem-se ht = vech(Ht) como o vetor q-dimensional das log-volatilidades
tal que q = (3 + p)(4 + p)/2, α = vech(M ), B ´e a matriz diagonal formada pelos elementos de vech( ¯B), ξt= vech(Et) e Υ ´e a matriz de variˆancia dos erros aleat´orios das
log-volatilidades. Para ambas assume-se que a distribui¸c˜ao inicial das log-volatilidades satisfaz as condi¸c˜oes de estacionariedade tal que c0 = (I − B)−1α e vecc(Υ0) = (I −
B ⊗ B)−1vecc(Υ) onde ⊗ denota o produto de Kronecker e por fim sup˜oe-se que ξt’s s˜ao independentes entre e com as vari´aveis εt e ηt e no tempo, de modo que, vecc(·) ´e o
operador de vetorizar, o qual converte uma matriz em um vetor coluna das colunas da matriz, vech(·) denota o operador que constr´oi um vetor empilhado com as colunas do triangulo inferior de uma matriz sim´etrica.
O parˆametro µ da equa¸c˜ao 3.3 indica o n´ıvel dos fatores e como a curva de taxa de juros ´e completamente especificada por seus fatores incorpora-se nesse parˆametro as propriedades de mudan¸ca de regime admitindo assim a possibilidade de mudan¸cas discretas no n´ıvel dos estados de modo que a equa¸c˜ao 3.3 ´e modificada por:
ft+1 = µSt+ Aft+ ηt, (3.8)
onde µSt = (1−St)γ0+Stγ1com St∈ {0, 1} sendo a vari´avel indicadora Stcaracterizada,
para efeitos de estima¸c˜ao, como mais um fator latente presente no modelo proposto tal que µ0 = γ0 e µ1 = γ1. A mudan¸ca dinˆamica de regime na equa¸c˜ao 3.8 ´e governada por um processo markoviano de primeira ordem com probabilidades de transi¸c˜ao πij =
P (St+1 = j|St = i) e probabilidade inicial π0(i) = P (S0 = i), onde i, j ∈ {0, 1} e
P1
j=0πij = 1 de tal forma que torna-se St uma vari´avel indicadora apresentando o n´ıvel
m´edio dos estados no tempo t. No intuito de evitar problemas de identifica¸c˜ao desses estados, assumisse a restri¸c˜ao ||µ0|| < ||µ1||, imposta para identifica¸c˜ao de cada regime. Como j´a mencionado na introdu¸c˜ao do cap´ıtulo, a suposi¸c˜ao b´asica de normalidade das taxas de juros n˜ao condiz com a realidade assim modifica-se a estrutura da equa¸c˜ao 3.1
para utiliza¸c˜ao de distribui¸c˜oes caudas pesadas nos erros observacionais utilizando-se as distribui¸c˜oes t de Student e Slash pertencentes a classe de misturas de escalas de distribui¸c˜oes normais (MEN)(Abanto-Valle et al., 2012):
yt(τ ) ∼ Nr(Λft, U −1
t Σ), (3.9)
Ut∼ p(u|ν), (3.10)
onde Ut ´e a vari´avel da mistura cuja distribui¸c˜ao ´e dada por p(u|ν) de modo que o
parˆametro ν controla a forma da distribui¸c˜ao, mais detalhes sobre as distribui¸c˜oes desta classe podem ser vistos no apˆendice A.2.
Com o objetivo de identificar mudan¸cas relevantes nos ciclos econˆomicos, possibilitar o reconhecimento de outliers e medir a liga¸c˜ao com princ´ıpios macroeconˆomicos na estru-tura a termo das taxas de juros, adota-se uma combina¸c˜ao das estruturas mencionadas acima com base na curva dinˆamica de DL. Assim prop˜oe-se duas abordagens de modo que adota-se macro fatores, mudan¸ca de regimes, caudas pesadas e as duas estruturas para volatilidade mencionadas acima. Denotam-se os modelos por MDL.MR.VED.d sendo o modelo que adota a equa¸c˜ao 3.4 e MDL.MR.VEC.d para o que adota 3.5, d ∈ {N, t, S}. Uma vez que o modelo est´a completamente especificado, sob o paradigma da inferˆencia Bayesiana, a estima¸c˜ao a posteriori dos parˆametros e vari´aveis latentes presentes no modelo proposto ´e conduzida atrav´es da utiliza¸c˜ao de m´etodos MCMC apresentados no apˆendice A.
3.3
Estima¸
c˜
ao
O processo de estima¸c˜ao para os parˆametros e vari´aveis latentes ´e realizado do ponto de vista Bayesiano, com a constru¸c˜ao de um algoritmo eficiente via MCMC para an´alise dos modelos MDL.MR.VED.d e MDL.MR.VEC.d.
Sejam θ = ψ, σ2
1, σ22, . . . , σ2r, γT0, γT1, αT, vecc(A)T, vecc(B)T, vech(Υ)T, ν, π00, π11, π0
T o vetor de parˆametros, ψ = log λ, Y = yT1, yT2, . . . , yTnT o vetor com toda informa¸c˜ao dispon´ıvel at´e o tempo n, f = fT0, fT1, . . . , fTnT
o vetor de fatores aumentado, S = (S1, S2, . . . , Sn)T o vetor de vari´aveis indicadoras do processo Markoviano de primeira
ordem do n´ıvel dos estados, U = (U1, U2, . . . , Un)T o vetor das vari´aveis de mistura e
h = (hT0, hT1, . . . , hTn)T o vetor de log-volatilidades.
A abordagem bayesiana para estima¸c˜ao dos modelos MDL.MR.VED.d e MDL.MR.VEC.d utilizam o princ´ıpio de dados aumentados o qual considera f , h, S e U como vari´aveis latentes. Assim, utilizando o teorema de Bayes, a densidade de probabilidade conjunta de parˆametros e vari´aveis latentes possui a seguinte decomposi¸c˜ao:
p(θ, f , h, U , S|Y ) ∝ p(Y |f , U , θ)p(f |h, S, θ)p(h|θ)p(U |θ)p(S|θ)p(θ)
onde p(Y |f , U , θ) ∝ n Y t=1 |Σ|−1/2| exp −1 2Ut(yt− Λft) TΣ−1 (yt− Λft) p(f |h, S, θ) ∝ n Y t=1 |e−Ht/2| exp −1 2ft− µSt−1 − Aft−1 T e−Htf t− µSt−1 − Aft−1 p(h|θ) ∝ n Y t=1 |Υ|−1/2exp −1 2[ht− α − Bht−1] T Υ−1[ht− α − Bht−1] p(h0|θ) p(h0|θ) ∝ |Υ0|−1/2exp −1 2(h0− α0) TΥ−1 0 (h0− α0) p(U |θ) ∝ n Y t=1 p(Ut|ν) p(S|θ) ∝ πS0 n Y t=1 p(St|St−1, θ) πi = P (S0 = i), i = 0, 1.
com α0 = (I − B)−1α e vec(Υ0) = (I − B ⊗ B)−1vecc(Υ), onde ⊗ denota o produto
de Kronecker.
Assume-se a distribui¸c˜ao a priori de θ ´e decomposta por:
p(θ) ∝ p(ψ)p(Σ)p(γ0, γ1)p(A)p(α, B|Υ)p(Υ)p(ν)
de forma que as componentes da distribui¸c˜ao a priori s˜ao especificadas a seguir: ψ ∼ N (mψ, s2ψ), σ
2
j ∼ GI(v, s) para j = 1, . . . , r, πii ∼ Be(l0i, l1i), π0 ∼ Be(l0, l1), ν ∼
p(ν), (γ0, γ1) ∼ MN3+p,2(Mγ, Vγ, Uγ), A ∼ MNq,q(MA, VA, UA)IΩ(A), α|Υ ∼
N (·, ·), GI(·, ·), Be(·, ·), Nk(·, ·) MNk,l(·, ·, ·), WIk(·, ·) denotam as distribui¸c˜oes normal
univariada, gama inversa, beta, Normal k−variada, matriz normal k×l-variada, Wishart-Inversa de ordem k-variada, respectivamente e IΩ(·) ´e uma fun¸c˜ao indicadora tal que
Ω = {X ∈ Rq×q : |max(autovalor(X))| < 1}.
Assume-se as seguintes distribui¸c˜oes `a priori para ν:
• Para a distribui¸c˜ao Slash, ou seja, Ut∼ Be(ν, 1), adota-se a distribui¸c˜ao G(aSbS).
• Para a distribui¸c˜ao t de Student, ou seja, Ut ∼ G(ν/2, ν/2), adota-se a priori de
Jeffreys introduzida em Fonseca et al. (2008) tal que:
p(ν) ∝ ν ν + 3 1/2 ϑ0ν 2 − ϑ0 ν + 1 2 − 2(ν + 3) ν(ν + 1) 1/2
onde ϑ(a) = ∂Γ(a)/∂a e ϑ0(a) = ∂ϑ(a)/∂a s˜ao as fun¸c˜oes digamma e trigamma respectivamente.
A distribui¸c˜ao a posteriori p(θ, f , h, U , S|Y ) ´e intrat´avel analiticamente, ent˜ao os parˆametros e vari´aveis latentes s˜ao gerados de suas distribui¸c˜oes condicionais completas utilizando o amostrador de Gibbs. O esquema de amostragem ´e descrito pelo algo-ritmo 3.3.1 a seguir:
Algoritmo 3.3.1 Amostrador de Gibbs
1. (i = 0): Inicialize θ(i), f(i), h(i), S(i), U(i),
2. Gere θ(i+1)|f(i), h(i), U(i), S(i), Y ,
3. Gere f(i+1)|θ(i+1), h(i), U(i), S(i), Y ,
4. Gere h(i+1)|θ(i+1), f(i+1), U(i), S(i), Y ,
5. Gere U(i+1)|θ(i+1), f(i+1), h(i+1), S(i), Y ,
6. Gere S(i+1)|θ(i+1), f(i+1), h(i+1), U(i+1), Y ,
Sabe-se da importˆancia de gerar de modo eficiente os fatores latentes, f . O m´etodo mais simples, single-move sampler, gera cada ft dado os outros fs’s e demais vari´aveis latentes e parˆametros, por´em, apesar de sua simplicidade este m´etodo ´e conhecido por ser ineficiente do ponto de vista computacional. Os algoritmos multi-move sampler surgem, na literatura, como uma alternativa eficiente para a simula¸c˜ao das vari´aveis de estado em modelos de espa¸co de estados com distribui¸c˜ao normal das observa¸c˜oes fazendo uso do filtro de Kalman, conjuntamente com um suavizador de simula¸c˜oes (Durbin e Koopman, 2002; de Jong e Shepard, 1995). Embora os m´etodos apresentados por estes autores sejam eficientes, gerando-se amostras menos correlacionadas e evitando problemas de degenera¸c˜ao da amostra que podem ocorrer com o single move, s˜ao mais complicados e necessitam de mais tempo computacional. Nesta tese utiliza-se o m´etodo desenvolvido em McCausland et al. (2011) onde extrai-se os estados de modelos de espa¸co-estado gaussianos sem a necessidade de utilizar o filtro de Kalman, apresentando-se como uma abordagem mais eficiente computacionalmente, especialmente para os casos em que a dimens˜ao dos dados ´e grande. Detalhes deste m´etodo podem ser visto no apˆendice A.4.2. As equa¸c˜oes 3.1 e 3.8 representam um modelo de espa¸co-estado gaussiano para os fatores latentes da estrutura a termo de modo que para aplicar o m´etodo MMP as quan-tidades ct, dt, Ft, Gt, Vt e Wt, necess´arias para se aplicar o algoritmo, s˜ao 0, µSt, Λ,
A, Σ e eHt respectivamente.
A seguir apresentam-se os procedimentos de estima¸c˜ao para as duas abordagens pro-postas para a volatilidade fatoriais.
3.3.1
Volatilidade - VED
O modelo de espa¸co-estados para extra¸c˜ao da volatilidade no modelo MDL.MR.VED.d ´
e representado pelas equa¸c˜oes 3.6 a 3.8, diferente dos fatores latentes da curva das taxas de juros, n˜ao ´e poss´ıvel aplicar o m´etodo MMP diretamente j´a que 3.8 n˜ao ´e linear nas log-volatilidades por´em ´e poss´ıvel transformar a equa¸c˜ao 3.8 para se adequar a estrutura necess´aria, assim a seguir apresenta-se os procedimentos para realizar esta estima¸c˜ao:
