3) Que distância percorre em 16 s o corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da figura acima?

FAP151 - Fundamentos de Mecânica. 5ª Lista de exercícios. Abril de 2007

Determinando a posição a partir da aceleração.

Para entregar: exercícios 11 e 24 Integral

1) O pneu de um automóvel contém, no seu interior, 5,2·10-2 kg de ar. No instante t = 0 h, um prego faz um pequeno furo por onde vaza ar, numa taxa de vazamento (ou "velocidade" com que o ar é perdido) descrita pelo gráfico ao lado. Quanto ar contém o pneu no instante t = 0,50 h?

Integral: posição a partir da velocidade.

2) Determine a posição do automóvel, cujo movimento está representado no gráfico abaixo à esquerda, nos instantes: t = 0 s; t = 20 s; t = 40 s; t = 60 s e t = 70 s. Esboce o gráfico de x(t) para todo o intervalo 0 ≤ t ≤ 70 s .

Figura do exercício 2: velocidade do automóvel em função do tempo.

Figura do exercício 3: velocidade do corredor em função do tempo.

3) Que distância percorre em 16 s o corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da figura acima?

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 20 40 60 80 100 120 t(s) v (m /s )

4) O gráfico de v(t) acima representa o movimento de um veículo numa avenida. No instante

t = 55 s, o veículo contorna o canteiro central e retorna pela outra pista.

0 2 4 6 8 0 0,25 0,5 0,75 1 t(h) taxa_per da (kg/h) velocidade do auto 0 5 10 15 20 0 20 40 60 80 t(s) v (m /s ) 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 t(s) v (m /s )

a) No instante t = 100 s, a que distância o carro se encontra do ponto em que estava em

t = 0 s?

b) Esboce o gráfico de x(t).

5) Determine aproximadamente o deslocamento entre t = 100 s e t = 0 s do carro cujo gráfico v(t) está esboçado abaixo. O método gráfico mais simples consiste em contar o número de

quadrículas contidas entre o gráfico e o eixo, tomando o cuidado de estimar que fração ficou entre o gráfico e o eixo, para as quadrículas que forem cortadas pelo gráfico.

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 20 40 60 80 100 120 t(s) v (m /s ) 6) No desenho ao lado, estão os gráficos das velocidades de dois carros de corrida em um autódromo, que, inicial-mente alinhados, arrancam simultaneamente ao sinal verde. Em que instante o carro que saiu na frente é ultrapassado pelo outro?

Integral: posição a partir da aceleração.

7) A partir do gráfico de aceleração em função do tempo ao lado, determine os gráficos de v(t) e x(t), sabendo que v(0) = 10 m/s e x(0) = 100 m. Suponha que em t = 10, 30 e 40 s, a aceleração mude de valor instantaneamente, de modo que o valor exato da aceleração nesses instantes não tem importância.

8) Os gráficos abaixo descrevem a aceleração de carros de corrida que, em t = 0s, têm velocidade 30 m/s e estão na posição –20 m no sistema de referência escolhido. Lembrando que a “área” sob a

curva da aceleração dá a VARIAÇÃO da velocidade (e não a velocidade), responda às questões

0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 t(s) v (m /s ) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 t(s) a (m /s 2 )

abaixo, sempre levando em conta as condições iniciais dadas. Nos gráficos, marque valores numéricos nas escalas e respeite as proporções.

a) Considerando o gráfico da figura A, determine a velocidade v nos instantes t = 10 s e 20 s. NÃO esqueça da velocidade inicial.

b) Considerando o gráfico da figura B, determine a velocidade nos instantes t = 10 s e 20 s. O traço vertical no gráfico nos instantes t = 2; 10, e 20 s indica que a mudança de

aceleração é tão brusca que o valor exato da aceleração nesses instantes não tem importância.

c) Esboce o gráfico v × t, correspondente à figura B, levando em conta as condições iniciais dadas. Use papel milimetrado ou quadriculado.

d) Mesmo que em c) tomando os dados da figura A.

e) Determine a posição do objeto, cujo movimento está descrito pela figura B, nos instantes 2, 10 e 20 s. Determine a área sob a curva da velocidade contando o número de

quadrículas.

f) Esboce o gráfico de posição em função do tempo, x × t, correspondente à figura B. g) Mesmo que em e), considerando o movimento descrito na figura A.

h) Mesmo que em f), considerando o movimento descrito na figura A.

9) No gráfico de aceleração em função do

tempo ao lado, a aceleração muda de valor instantaneamente em t = 20, 40 e 60 s. Determine os gráficos de v(t) e x(t) para t no intervalo de 0 a 70 s nas seguintes situações:

a) v(0) = 0 m/s, x(0) = 100 m;

b) v(0) = 10 m/s, x(0) = 100 m;

c) v(0) = −10 m/s, x(0) = 100 m.

10) Em um carro que está se movendo a 72 km/h, o motorista começa a frear, aumentando lentamente a pressão sobre os freios, de maneira que o módulo da aceleração aumenta com o tempo de acordo com o gráfico da figura ao lado. Quanto tempo o carro demora a parar? (O gráfico está desenhado em linha pontilhada porque a aceleração cai a zero quando o carro pára, o que acontece antes de t = 10 s).

Figura B -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 t(s) a (m /s ) Figura A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 t(s) a (m /s ) 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 t(s) |a |( m /s 2) 2 ₂ -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 20 40 60 80 t(s) a (m /s 2)

11) No gráfico de aceleração em função do tempo ao lado, as linhas verticais em t = −2; 0; 2 e 4 s indicam mudanças de aceleração tão bruscas que os valores exatos nesses instantes não têm

importância – a mudança é praticamente instantânea. Determine os gráficos de v(t) e

x(t) para t no intervalo de -2 a 6 s, sabendo

que em t = − 2 s a velocidade é nula e a partícula está em x = 0.

Descrevendo o movimento pela velocidade

12) Um motorista num automóvel viajando numa estrada plana e retilínea a 30 m/s avista uma placa indicando a velocidade máxima permitida de 15 m/s. Devido a um ônibus "grudado na traseira", demora 1,0 s para tirar o pé do acelerador e consegue reduzir a velocidade lentamente, demorando 10,0 s para chegar à velocidade máxima permitida. Supondo que a aceleração tenha sido constante durante a redução da velocidade:

a) represente graficamente a velocidade do automóvel em função do tempo de t = 0 s até t = 30 s, tomando o instante que o motorista viu a placa como origem dos tempos.

b) determine a aceleração durante a redução da velocidade.

c) determine o deslocamento do automóvel durante a redução da velocidade. Integral em um intervalo definido.

13) Determine a área exata debaixo da curva y=f(x), de a até b, através da antiderivada F(x) quando f(x )= 6 + x

−−−−

−−−−

−−−−

14) Nos exercícios seguintes determine a área exata debaixo da curva y = f(x), de a a b, através da antiderivada A(X).

a) f(x) = 3x

−−−−

b) f(x) = x2 + x + 1, a =

−−−−

c) f(x)= 41 + x2

−−−−

−−−−

−−−−

15) Determine a área exata debaixo da curva y = 5 sen(πx+π/2) + 5 nos seguintes intervalos:

a) [0; 1]. b) [0; 2]. c) [2; 3]. d) [1; 3].

16) a) Um serralheiro precisa dobrar uma tira metálica para construir uma braçadeira. Para isso, usa uma forma que é metade de um disco com 9,0 cm de raio e 1,00 cm de espessura. Calcule o volume da forma e a massa necessária para construí-la em alumínio. A densidade do Al é 2,7 g/cm3. -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 0 2 4 6 t(s) a(cm /s2)

b) Um técnico pretende construir um molde para dobrar as nervuras de uma antena parabólica, pensando que será fácil prepará-las simplesmente

dobrando o perfil sobre um molde em forma de parábola. Este problema consiste em determinar a massa desse molde, que terá a forma

representada na figura ao lado e será maciço, feito de uma chapa de Alumínio com 1,00 cm de espessura, com as dimensões: 1,00 m de largura,

0,20 m de altura. A densidade do Al é 2,7 g/cm3. A parábola que define a forma do molde pode ser descrita pela equação y_p =0,20−0,80x2, em metros para x em metro, cujo gráfico está na figura abaixo; ao determinar a área das faces maiores do molde por integração, note a

propriedade y_p(x=−0,50)= y_p(x=0,50)=0.

Integração conhecendo as condições iniciais.

17) Determine x(t) dado que a velocidade da partícula é:

a) v(t) = 3t2-t+2, em m/s para t em s, sendo que a posição em t0=0 s é x0 = 0.

b) v(t) = t2-4, em m/s para t em s, sendo que a posição em t0=0 s é x0 = 10 m.

18) Determine x(t) dado que a velocidade da partícula é v(t)= -t2+2t+1, sendo que a posição em

t0=2 s é x0 = 0. Atenção, não confunda x0 com x(t=0).

19) Determine x(t) dado que a velocidade da partícula é:

a) v(t) = (3/2)t2-3t+1 em m para t em s, com x(t = 1 s) = 3 m.

b) v(t) = t2+t−2 em m para t em s, com x(t =

−

d) v(t) = 5 cos(πt) em cm para t em s, com x(t = 0 s) = 0 cm.

e) v(t) = 5 sen(πt+π/3) em cm para t em s, com x(t = 0 s) = 0 cm.

f) v(t) = 5 cos(πt+π/6) em cm para t em s, com x(t = 0 s) = 0 cm.

g) v(t) = 5 sen(πt+π/3) em cm para t em s, com x(t = 0 s) = 7,5 cm.

h) v(t) = 5 cos(πt+π/6) em cm para t em s, com x(t = 0 s) = −7,5 cm.

20) Uma criança de massa m = 40 kg está brincando num balanço. Suponha, nos itens abaixo, que a oscilação tenha pequena amplitude, de modo que o movimento seja horizontal e o período calculado pela fórmula

g l

T =2

π

a) Se a corda do balanço tem 2,5 m de comprimento, determine a freqüência angular ω ( = 2π/T) do movimento do balanço. -0,6 y(m) -0,4 -0,2 O 0,2 0,4 0,6 0,1 0,3 0,2 x(m)

y

y=0

b) Sabendo que a força resultante é F = F0 sen(ωt), use a 2ª lei de Newton para determinar a

aceleração da criança.

c) A partir da aceleração, determine a velocidade em função do tempo e o valor da constante

F0, sabendo que a velocidade em t = π/4 s é 0,0 m/s e em t = 0 s é 1,0 m/s.

d) A partir da velocidade, determine a posição em função do tempo, sabendo que x(t = 0 s) = 0 m.

e) (opcional) Qual a amplitude do movimento do balanço? Qual dado do problema definiu esse valor?

Obs.: Esta não é a maneira de resolver o problema da dinâmica do balanço. O problema foi elaborado para treinar o uso das integrais de seno e cosseno.

21) Determine x(t) no intervalo [0 s; 40 s] dado que a aceleração da partícula é a(t)=

−−−−

em m/s2 para t em s, sendo que em t0 = 0 s a posição x é x(0) = 10 m e a velocidade é v(0) = 10

m/s.

22) Determine x(t) no intervalo [0 s; 10 s] dado que a aceleração da partícula é

( )

a em cm/s2 para t em s, sendo que em t0=0 s a posição x é x(0) = -50

cm e a velocidade é v(0) = 20 cm/s .

23) Um corpo que em t=0 está na posição x(0) = 100 m, tem aceleração em função do tempo dada pela função:

( )

   ≤ ≤ + − < ≤ = 15 10 0 , 6 4 , 0 10 0 2 , 0 t t t t t

a em m/s2 para t em s. Determine a posição em

função do tempo, x(t), no intervalo 0 ≤ t ≤ 15 s quando a velocidade em t=0 é a) v(0) = 0;

b) v(0) = 10 m/s; c) v(0) = -10 m/s.

24) Determine a posição em função do tempo de uma partícula, x(t), no intervalo de tempo [0s; 1s], sabendo que sua aceleração é

( )

   ≤ ≤ < ≤ = 0 , 1 5 , 0 0 , 4 5 , 0 0 0 , 8 t t t t a em m/s2 para t em s e que em t = 0 s está na posição -1,0 m com velocidade 1,0 m/s.

Integração numérica.

25) Calcule, para as funções dos itens a até d abaixo, a integral definida

=

∫

( )

b a

dx

x

f

S

primeiramente de maneira aproximada pela soma

∑

( )

=

∆

x

x

f

todos iguais e xi o ponto médio do i-ésimo intervalo e, depois, exatamente, calculando a integral

definida analiticamente. Em cada item, os extremos do intervalo são dados, bem como o número de segmentos em que deve ser dividido o intervalo.

a) f(x) = x + 1, a = 1, b = 3, n = 1;

b) f(x) = x2, a =

−

−

c) f(x) = 1/x2, a = 1, b = 2, n = 5; considerando 4 casas decimais