Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística PPGEMQ / PPGEP - UFSM

(1)

1

Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística

(2)

Na prática da pesquisa em geral, o tamanho da amostra parece sintetizar todas as questões relacionadas ao processo de amostragem. E, às vezes, esse aspecto ainda é traduzido pela clássicas questões:

Que percentagem da população deverá ser observada?

(3)

3

Determina

ç

_ç

ão do Tamanho da

_{ão do Tamanho da}

Amostra

Em pesquisas, uma etapa de grande

importância é a determinação do tamanho da amostra que será utilizado para o

(4)

Sabemos que conhecido o nível de confiança, o qual deve ser fixado em função do acerto que se deseja ter na estimação por intervalo, a medida que aumentamos neste nível, os intervalos passam a ter amplitudes maiores, o que implica em perda de precisão.

(5)

5 O ideal seria termos alto nível de confiança e

pequena amplitude (logo teríamos grande precisão), mas necessitaríamos de uma amostra muito grande, pois, fixado n, confiança e precisão variam em sentidos opostos.

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1º)Nível de confiança : determinado pelo

pesquisador;

2º)Precisão (e₀): o erro amostral corresponde à diferença entre as estimativas amostrais e os parâmetros populacionais, ocorrendo em qualquer tipo de pesquisa ou experimento;

3º)Tipo de Investigação: depende das características

populacionais a serem investigadas.

Depende de três fatores:

(7)

7

C

á

_á

lculo para o tamanho

_{lculo para o tamanho}

m

í

_í

nimo da amostra

_{nimo da amostra}

Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode ser feito, mesmo sem conhecer o tamanho da população, da seguinte forma:

2 0 0

e

1 n



primeira aproximação para o tamanho da amostra. erro amostral tolerável

0

n

Onde:

0

e

(8)

Quando se conhece o tamanho

da popula

ç

_ç

ão

_ão

o cálculo anterior pode ser corrigido:

0 0

n

N

n

.

N

n





N tamanho da população n tamanho da amostra

(9)

9

Exemplo

Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas características da população das N=200 famílias moradoras de um certo bairro. Estas características (parâmetros) são especialmente do tipo percentagens, tais como, a percentagem de famílias que usam programas de alimentação popular, a de famílias que moram em casas próprias,... Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra aleatória simples, tal que possamos admitir, com alta confiança, que os erros amostrais não ultrapassem 4% (e₀= 0,04)?

(10)

Para estimar a m

é

dia populacional



e₀ = Semi-amplitude do intervalo de confiança, neste caso da média.

n

S

.

2 t

e

ou

n

.

2 Z

e

₀







₀





(11)

11

Tamanho da amostra para

estimar a m

é

_é

dia

_dia

populacional

com variância populacional conhecida:

2 0 2                    e z n  

População Infinita População Finita





2 2 2 0 2 2 2 1 2                    z N e N z n

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Exemplo

Suponha que a variável escolhida num estudo seja o peso de certa peça e que a população é composta de 600 elementos. Pelas especificações do produto, o desvio-padrão é de 10 kg. Admitindo-se um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 1,5 kg, calcule o tamanho da amostra.

(13)

13 Substituí-se pela variância que é obtida através de uma

amostra piloto, de tamanho n₁.

2 2 2 , 2 0 2 2 2 , ) ( ) 1 (N t s e N s t n             

com variância populacional desconhecida:

Onde = n1 - 1 graus de liberdade



          _       0 2 , e S t n  

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Considera

ç

_ç

ões ap

_{ões ap}

ó

_ó

s o c

_{s o c}

á

_á

lculo

_lculo

do tamanho da amostra:

 Se n < n₁: a pré-amostra selecionada, de tamanho n₁, foi suficiente para garantir a precisão desejada.

 Se n >n₁: deve-se completar a pré-amostra, acrescentando elementos até atingir o valor “n” que garanta a precisão desejada.

(15)

15

Observa

ç

_ç

ões:

_ões:

Se for desconhecido, o valor de S deve ser

calculado numa amostra piloto de n’ _{elementos e}

com (n’_{-1) gl.}

Se n < n’ _{a amostra piloto já é suficiente para}

estimação;

Se n > n’ _{retira-se da população os elementos}

amostrais necessários para estimar .

Como a variância aparece no numerador das expressões, concluímos que quanto mais heterogênea for a população em estudo, maior deverá ser “n”.



2 t



(16)

Exemplos

1) Qual o tamanho da amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é 4mm, com 98% de confiança e precisão de 0,5mm?

(17)

17

2) Foram feitas 20 medidas do tempo gasto em minutos para se fabricar um componente industrial,obtendo-se: 13,15,12,14,17,15,16,15,14,16,17,14,16,15,15,13,14,15, 16,15.

Esses dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto nessa fabricação, com precisão de 30 segundos e 95% de certeza? Caso negativo, qual o tamanho da amostra adicional necessária?

(18)

Tamanho da amostra se a

vari

á

_á

vel for nominal ou ordinal

_{vel for nominal ou ordinal}

de popula

ç

ão finita

2 0 2 2

*

e

p

z

n

















₍

₁

₎

₍

₎

_*

*

2 2 2 0 2 2

q

p

z

N

e

N

q

p

z

n

 



















Onde: p* é a proporção amostral que pode ser obtida através de um pré-amostra de n₁ elementos e q* _=(1-p)

(19)

19

Exemplo

Suponha que a variável escolhida num estudo seja a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X e que o investigador tenha elementos para suspeitar que essa porcentagem seja de 30%. Admita a população infinita e que se deseja um nível de 99% e um erro amostral de 2%. Calcule o tamanho da amostra.

(20)

Observa

ç

_ç

ões:

_ões:

1) Quando não se tem informação a respeito de p*, usa-se p* = q* = 50% o que levará a um tamanho de amostra superavaliado mas garantindo a precisão desejada, embora podendo ter como conseqüência, aumentos no custo e no tempo de amostragem e consequentemente na pesquisa.

2) Se p for próximo de 0 ou 1 corre-se o risco de se dimensionar uma amostra maior do que o necessário.

(21)

21

3) Se soubermos com segurança que

ou , pode-se usar

p

₀ obtendo-se uma amostra suficiente, pois

Observa

ç

_ç

ões:

_ões:

5 ,

0 p

p



₀



p

5 ,

0 

₀



).

p

1 (

p

)

p

1 (

p





₀



₀

(22)

Exemplos

1) Qual o número de jogadas de uma moeda é suficiente para se estimar a proporção de “caras” obtidas, com precisão de 3% e confiança de 90%?

(23)

23

2) Em uma pesquisa de mercado bem conduzida, 57 das 150 pessoas entrevistadas afirmaram que seriam compradoras de certo produto a ser lançado. Essa amostra é suficiente para estimar a proporção real de futuros compradores, com uma precisão de 0,08 e confiança de 95%?

(24)

C

á

lculo do tamanho da amostra

quando se deseja fazer um teste

de diferen

ç

a de m

é

dias para

amostras dependentes

2 1 2

x

)

1 n

;

2 t

1 n

;

t

(

n















n

D

.

S

EPD

2





EPD - erro padrão da diferença

- erro tipo II (sua probabilidade)

(25)

25

Quando o desvio padrão

é

desconhecido

Onde: 2 2 1 2 2 ) x x ( ) 1 n ; t 1 n ; t ( n         2 n n S S EPD 2 1 2 2 1 2      

diferença

da

padrão

erro

EPD

2 piloto

amostra

da

média

x

1 piloto

amostra

da

média

x

2 piloto

amostra

da

iância

var

S

1 piloto

amostra

da

iância

var

S

2 1 2 2 2 1



(26)

C

á

lculo do tamanho da amostra

quando se deseja fazer um teste de

duas m

é

dias para amostras

independentes com desvios

-

padrões

desconhecidos mas iguais

2 2 1 2 2 2 2 1

)

x

(

)

EPD

.(

)

1 n

;

t

1 n

;

t

(

n













  2 1 2 1 2 2 2 1 2 1

n

1 n

1 .

2 n

n

S

).

1 n

(

S

).

1 n

(

EPD



























(27)

27

C

á

lculo do tamanho da amostra

quando se deseja fazer um teste de

duas m

é

dias para amostras

independentes com desvios

-

padrões

desconhecidos e desiguais

2 2 2 1 2 1

n

S

n

S

EPD









2 2 1 2 2 2 2 1

)

x

(

)

EPD

.(

)

1 n

;

t

1 n

;

t

(

n













 