Aula nº 32. Aula Teórica de Flexão Composta

(1)

Aula nº 32

Aula Teórica de 09 – 12 – 2003

Flexão Composta

Estruturas sujeitas à flexão composta ou à acção axial excêntrica (continuação). Núcleo central de uma secção. Principais propriedades. Exemplos de aplicação.

(2)

4 4 – FLEXÃO COMPOSTA (continuação)

4.2 – ESTADO DE TENSÃO (1 material)

Redução das forças

à secção em análise e aos eixos ≅ E.P.C.I

(N, M

x

, M

y

)

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Σ = Σ = Σ = i i i My My Mx Mx N N

( )

←← ↓ ←←

⊕

Esforços

Estado de tensão (σ)

Princípio da Sobreposição dos Efeitos

(P.S.E.)

⊕

(

x

,

y

)

=

σ

N

+

σ

Mx

+

σ

My

σ

(tracção) (comp.)

y

I

M

x

I

M

A

N

x x y y

_⋅

₊

_⋅

−

=

σ

isto é

Centro de pressão (CP) (x

0

; y

0

)

M G y x M N y x

=

y x x y G y x N _* * 0 0 centro de pressão (CP)

e.n. – eixo neutro passa pelos pontos (x*; 0) e (0; y*) Centro de Pressão N M x₀ =− y N M y x 0 =

Traduz as excentricidades nas duas direcções X e Y M x y x

⊕

My N

(3)

Eixo neutro (e.n.)

( )

x,y =0 σ

ou

É a equação da recta dada por

0 y , x

recta que passa pelos pontos ( , 0)x* (0, )y* x * x * y * y y− = ⇒ ⇒ expressão geral −

eixo neutro passa pelos pontos (x*; 0) e (0; y*) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 0 2 x 0 2 y y i * y x i * x ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = A I i A I i y y x x

O eixo neutronão é um eixo baricentro como ocorre na flexão plana e flexão desvoada.

• EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Considere o pilar de secção constante representado na Figura 1, constituído por um material resistente de igual forma a compressões e a tracções. O pilar está sujeito às cargas N e H indicadas. Para a secção da base do pilar, determine:

a) As tensões nos vértices A, B, C e D. b) A posição do eixo neutro.

Secção do Topo do Pilar

H = 100 kN 3. 0 m N = 500 kN 0.15 A 0.15 0.40 H D C B y x N Figura 1

(4)

RESOLUÇÃO

a)

• Dados: N = 500 kN H = 100 kN

A B _C D H y x N H 0.4 0.1 5 0. 15 3. 0 N

• Geometria de massas

:

Momentos de inércia

4 3 3 4 4 3 m 10 6 . 1 12 40 . 0 30 . 0 m 10 9 12 30 . 0 40 . 0 × ₌ _× − ₌ × ₌ _× − = y x I I

• Esforços resultantes na base do pilar

:

admitindo apenas flexão composta, são obtidos pela redução das forças à secção em análise e nos EPCI.

Secção da base do pilar

m kN 200 3 100 2 . 0 500 3 H 0.2 N M m kN 75 15 . 0 500 0.15 N M kN -500 N y x ⋅ = × + × − = × + × − = ⋅ = × = × = = A B _C D M M x y y x N N = -500 kN M = 75 kNm

M = 200 kNm

y x

(5)

• Estado de tensão:

a tensão normal resultante é obtida por

y

I

M

x

I

M

N

x x y y y x, )

=

_Ω

−

⋅

+

⋅

(

σ

Para a secção referida vem:

X, Y = ECPI PONTO x (m) y (m) σ(x,y) (MPa) A 0,2 0,15 -16,667 B 0,2 -0,15 -41,667 C -0,2 -0,15 8,333 D -0,2 0,15 33,333

b)

• Eixo Neutro:

a posição do e.n. é determinada pelo lugar geométrico dos pontos onde a tensão é

nula. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ = = ⇒ = ⇒ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ ⇔ + ⋅ = ⇔ ⇔ = ⋅ + ⋅ − × − ⇔ = ⋅ + ⋅ − Ω = ∗ ∗ m ) 3 ( 03 . 0 x 0 y m 05 . 0 y 0 1 x 30 -y 20 0.05 x 1.5 y 0 75 200 3 . 0 4 . 0 500 0 ) , ( x y I x I y I M x I M N x y x x y y y x σ A B _C D y x en

(6)

4.3 – NÚCLEO CENTRAL (N.C.)

Conceitos gerais

→ Secção transversal

: contorno convexo

Secção transversal de uma barra contorno convexo

→ Condição:

Núcleo central de uma secção transversal de uma barra é o lugar geométrico

dos pontos dessa secção, tais que, forças N (paralelas ao eixo da barra) neles aplicados (centro de pressão (x0, y0)) ⇒ toda a secção está sujeita a um só tipo de tensão (tracção ou compressão)

→ Exemplo:

secção rectangular

x

y

1 e.n. e.n. e.n. 2 3 núcleo central 1 2 3 Centro de pressão: → ponto 1 - (x1; y1) → ponto 2 - (x2; y2) → ponto 3 - (x3; y3)

Eixos neutros respectivos: → e.n. 1 → (x*; 0) e (0; y*)

→ e.n. 2 →(x*; 0) e (0; y*) → e.n. 3 →(x*; 0) e (0; y*)

eixo neutro passa pelos pontos (x*; 0) e (0; y*)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 0 2 x 0 2 y y i * y x i * x

(7)

Propriedades

→

Vértices

do polígono convexo envolvente

: correspondem a lados do núcleo central

→

Lados

do polígono convexo envolvente

: correspondem a vértices do núcleo central

→ Centros de pressão no contorno do NC

: correspondem a eixos neutros tangentes à

secção (contorno convexo)

→ Se o polígono convexo envolvente tiver

n lados

: o núcleo central tem n vértices

→ Cálculo

: Os limites do núcleo central duma secção poligonal determinam-se considerando

hipotéticos centros de pressões (xi; yi) nos sucessivos vértices do contorno

convexo da secção. Os vários troços dos eixos neutros (x*;0) e (0;y*) assim

obtidos, contém também os centros de pressões que correspondentes a eixos neutros que são sempre tangentes à secção. A área delimitada pelos vários troços referidos constitui o núcleo central.

Vértices do contorno convexo (centro de pressão)

⇒ Lados do núcleo central (eixo neutro) P1

(

xP₁;yP₁

)

→ = * P * P1,y 1 x p1

(

P₂ P₂

)

2 x ;y P → 2 * P * P ,y p x ₂ ₂ = P3

(

xP₃;yP₃

)

→ *_P *_P = 3 3,y x p3

(

P₄ P₄

)

4 x ;y P → * ₄ P * P ,y p x 4 4 = VÉRTICES DO CONTORNO NÚCLEO CENTRAL Ponto x0 y0 x* y*

x

y

P

3

P

₄

P

₂

P

p p p p

c. convexo

1 1 3 2 4

(8)

• EXEMPLO DE APLICAÇÃO

A secção transversal representada na figura 2 refere-se a um pilar constituído por um material que resiste de igual modo a tracção e a compressões.

a) Determine o núcleo central da secção.

b) Para uma força exterior vertical, de compressão, a actuar no ponto P e de valor igual a 3000 kN, calcule a tensão normal máxima instalada bem como a posição do eixo neutro.

0.50 P

0.50

0.50 0.50 0.50 _[m]

(9)

RESOLUÇÃO

a)

Os limites do núcleo central duma secção poligonal determinam-se considerando hipotéticos centros de pressões nos sucessivos vértices do contorno convexo da secção. A área delimitada pelos vários troços de eixo neutro obtidos define o núcleo central.

0. 625 0. 5 0. 5 0.5 0.5 0.5 y x

• Geometria de massas:

Centro de gravidade e raios de giração principais

∑

= = = n 1 i i n 1 i i i G A A y y

[

]

∑

= + = n 1 i 2 Gi i x x I A y I Gi

[

]

∑

= + = n 1 i 2 Gi i y y I A x I Gi ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = A I i A I i y y x x ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = × + × × + × = Ω = = × + × − × × + × + − × + × = Ω = = × + × × × + × × = 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 m 48 7 5 . 0 5 . 1 5 . 0 5 . 0 12 5 . 1 5 . 0 12 5 . 0 5 . 0 m 192 13 5 . 0 5 . 1 5 . 0 5 . 0 625 . 0 75 . 0 5 . 0 5 . 1 12 5 . 0 5 . 1 25 . 0 625 . 0 5 . 0 12 5 . 0 5 . 0 m 625 . 0 5 . 0 5 . 1 5 . 0 5 . 0 75 . 0 5 . 0 5 . 1 25 . 0 5 . 0 5 . 0 y y x x G I i I i y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − = − = ∗ ∗ 0 0 2 0 0 2 192 13 48 7 y y i y x x i x x y

(10)

• Cálculo do núcleo central:

a partir dos vértices do contorno convexo da secção

eixo neutro passa pelos pontos (x*; 0) e (0; y*)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = 0 2 x 0 2 y y i * y x i * x

Vértices do contorno convexo Lados do núcleo central

PONTO x0 (m) y0 (m) x* (m) y* (m) recta Q1 0,75 -0,375 -0,19444 0,18056 1 Q2 0,75 0,125 -0,19444 -0,54167 2 Q3 0,25 0,625 -0,58333 -0,10833 3 Q4 -0,25 0,625 0,58333 -0,10833 4 Q5 -0,75 0,125 0,19444 -0,54167 5 Q6 -0,75 -0,375 0,19444 0,18056 6 núcleo central 1 2 3 4 5 6 Q Q Q _Q Q Q 1 2 3 4 5 6 x y

(11)

b

) P M = -3000 × 0.125 = -375 M = -3000 × 0.25 = -750 x y N = P = -3000 kN y x en N _x y M M

esforços nos ECPI: 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q (x*,0) (0,y*) Momentos de inércia:

(

)

(

)

4 3 3 4 2 3 2 2 3 m 48 7 12 5 . 1 5 . 0 12 5 . 0 5 . 0 m 192 13 625 . 0 75 . 0 5 . 0 5 . 1 12 5 . 0 5 . 1 25 . 0 625 . 0 5 . 0 12 5 . 0 5 . 0 = × + × = = − × × + × + − × + × = y x I I

Equação do eixo neutro:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = − = ⇒ = ∴ − ⋅ = ⇔ = ⋅ − + ⋅ − − − ⇔ = ⋅ + ⋅ − Ω = ∗ ∗ m 58333 . 0 x 0 y m 54167 . 0 y 0 54167 . 0 x 92857 . 0 y 0 375 750 0 . 1 3000 0 ) , ( x y I x I y I M x I M N x y x x y y y x σ

Cálculo da σmax : pontos suspeitos Q4 e Q5: _I y

M x I M N x x y y y x, )= _Ω − ⋅ + ⋅ ( σ ( ) ( ) 750 0.75 375 0.125 7549.451 kPa 0 . 1 3000 0.75,0.125 -kPa 253 . 7747 625 . 0 375 25 . 0 750 0 . 1 3000 0.25,0.625 -5 4 − ≈ × − + − × − − − = ⇒ − ≈ × − + − × − − − = ⇒ x y x y I I Q I I Q σ σ

A máxima tensão normal ocorre em Q4 que prova, por isso, ser o ponto mais afastado do eixo neutro.

⊕