ISSN 2176-1396
APRENDIZAGEM MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Jane Eletra Serafini Daniel1 - UFPR Ettiène Guérios2 - UFPR Grupo de Trabalho - Didática: Teorias, Metodologias e Práticas Agência Financiadora: não contou com financiamento Resumo
Este artigo teve como objetivo pesquisar quais as principais dificuldades na aprendizagem das operações aritméticas elementares nos anos iniciais do ensino fundamental. O estudo envolveu pesquisa de campo em uma escola pública de ensino fundamental do município de Curitiba. Sujeitos envolvidos, alunos de uma turma de quarto (2013) e que foram acompanhados no quinto ano (2014). Na coleta dos dados foram utilizados cinco registros escritos dos alunos individualmente. As atividades práticas em sala de aula centraram-se em um instrumento com 19 contas armadas das quatro operações aritméticas fundamentais divididas em duas listas, uma com 10 contas e outra com 9 contas e situações problemas envolvendo seis contas do instrumento. Tendo-se por intenção construir uma base sobre a resolução das operações elementares e problemas com a finalidade de identificar que dificuldades foram apresentadas pelos alunos analisando os erros. Para este estudo foram trazidas literaturas especialistas nos temas tratados com destaque para CURY (2008) e Pinto (2000),ZATTI, AGRANIONIH & ENRICONE (2010) , PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (1997) que apontam para a importância da matemática nas séries iniciais e SANTOS (2006) para o encaminhamento metodológico da pesquisa. O resultado da análise qualitativa e quantitativa das atividades realizadas no período da investigação demonstrou que grande parte dos erros cometidos pelos alunos se deve a não compreensão do algoritmo, especialmente nas soluções onde várias informações e processos precisam ser considerados ao mesmo tempo.
Palavras chave: Matemática nos anos iniciais. Análise de erros. Dificuldades de aprendizagem. Atividades.
1
Aluna do Programa de Pós Graduação em Educação: Teoria e Prática de Ensino da Universidade Federal do Paraná.
2
Professora Titular da Universidade Federal do Paraná, docente do Programa de Pós Graduação em Educação (PPGE) e do Programa de Pós Graduação em Educação: Teoria e Prática de Ensino (PPGE :TPEN).
Introdução
O interesse inicial pela pesquisa está relacionado com a prática docente da pesquisadora no ensino fundamental, médio e anos iniciais e ouvir diariamente reclamações de alunos que não gostavam, não entendiam, não conseguiam compreender a matemática, “ela é muito difícil e complicada” diziam eles. A fala constante desses alunos trouxe-nos uma preocupação, “o que fazer para reverter estes conceitos”? O incentivo para a realização da pesquisa foi possível pela facilidade de encontrar em literaturas, trabalhos, artigos, dissertações e também aplicar um instrumento em uma turma de alunos dos anos iniciais envolvendo operações elementares e situações problemas para investigar quais as dificuldades apresentadas por eles e que poderiam ser resolvidas para não desmotivá-los e tornar a matemática uma disciplina rejeitada.
Os PCNs (1997), dirigidos ao ensino de 1ª a 4ª séries também enfatizam que:
É preciso levar o aluno a compreender e interagir com o mundo à sua volta, estabelecer relações quantitativas e qualitativas, resolver situações – problema comunicar-se matematicamente, estabelecer conexões com as demais áreas do conhecimento, desenvolver autoconfiança no seu fazer matemático. (PCNs, 1997, p.31)
Desse modo, a matemática pode colaborar para o desenvolvimento de novas competências e novos conhecimentos e para o progresso tecnológico que o mundo atual exige.
Esse conhecimento é fundamental para a aprendizagem de matemática na vida escolar, principalmente para a realização de operações elementares. Ensinar matemática é levar a criança à abstração, é tornar a disciplina atraente, envolvente e significativa.
A pretensão desta pesquisa era diagnosticar quais as principais dificuldades na aprendizagem matemática, mais especificamente nos anos inicias do ensino fundamental. Como o assunto é muito amplo, surgiu à necessidade de limitar o tema. Para Santos (2006, p. 69) “a prática, a seleção/delimitação de um problema de pesquisa consiste em escolher, entre os vários aspectos anteriormente levantados, aquele que merecerá estudo e investigação nesse momento”.
Assim, a partir do tema geral, passou a ser destacada nesta pesquisa a análise dos erros cometidos pelos alunos na resolução das operações elementares e problemas, pois pelos erros é possível observar as dificuldades nas resoluções algorítmicas.
Desenvolvimento
Na experiência como profissional da educação básica foi possível observar que são muitos os alunos dos anos iniciais que têm dificuldades na aprendizagem da matemática elementar, encontrando dificuldade principalmente ao resolver os cálculos com os algoritmos convencionais e situações problemas. Essas dificuldades se não forem identificadas no inicio da vida escolar, podem persistir pelos anos seguintes, dificultando avanços no raciocínio e podendo causar desmotivação.
Em cursos de formação continuada tem-se percebido o interesse de professores por autores que defendem a análise dos erros dos alunos como fator revelador das dificuldades no processo de raciocínio e na construção do conhecimento lógico-matemático.
A atuação de uma autora como docente em salas dos anos iniciais em uma escola da rede municipal de ensino fundamental no município de Curitiba facilitou a aplicação de um instrumento de pesquisa para estudo quanto à aprendizagem em matemática voltado para as operações algorítmicas convencionais com alunos de uma turma de 4º ano no ano de 2013 e a possibilidade de acompanhá-los no 5º ano no ano de 2014.
O estudo envolveu os mesmos alunos em momentos diferentes e permitiu avaliar o resultado das atividades aplicadas um ano depois e para complementar o estudo foi acrescentado uma atividade incluindo situações-problemas com operações aplicadas nas atividades anteriores.
A contribuição deste estudo, após a análise dos resultados poderá fazer a diferença para a aprendizagem de matemática nos anos iniciais do ensino fundamental, motivando os professores a observarem melhor o erro do aluno e encararem as dificuldades como um desafio na busca de superação por meio de estratégias didáticas inovadoras, rompendo com o individualismo e a rotina tradicional. Segundo Cury (2008, p.77) “a análise dos erros cometidos pelos alunos é uma abordagem de pesquisa e também uma metodologia de ensino, se for empregada para elaborar estratégias que lhes permitam superar dificuldades de aprendizagem do conteúdo.”
Iniciamos a pesquisa de campo com enfoque qualitativo e quantitativo que permite observar os fatos tais como eles acontecem. Santos (2006, p.27) afirma que “o campo é o lugar natural onde acontecem os fatos, fenômenos e processos”.
Como metodologia adotamos a abordagem qualitativa e quantitativa que se enquadra como propósito de estudo, na busca dos obstáculos que interferem na aprendizagem matemática especialmente com relação à resolução algorítmica e situações problemas.
A análise qualitativa busca entender e analisar determinadas realidades, estabelecendo avaliações e pontos de vista sobre o assunto pesquisado. A motivação foi propor a análise de erros defendida pelos autores estudados como possível orientadora para descobrir que dificuldades os alunos tem no processo ensino aprendizagem da matemática.
Quanto ao objetivo da pesquisa, ela é descritiva. Santos (2006, p. 26) define pesquisa descritiva como “um levantamento das características conhecidas que compõem o fato/fenômeno/processo. É normalmente feita na forma de levantamentos ou observações sistemáticas de fato/fenômeno/processo escolhido”.A coleta e o tratamento de dados ocorreram em três etapas: aplicação de atividades aos alunos, tabulação e análise dos dados e apresentação dos resultados. Especificações da pesquisa:
a) Campo da pesquisa: Escola pública de Ensino Fundamental do município de Curitiba.
b) Sujeitos da pesquisa: Alunos que freqüentavam o 4° ano do ensino fundamental da referida escola no ano letivo de 2013 e continuaram na mesma escola no 5º ano em 2014.
c) Instrumento de coleta: Atividades com contas armadas com as quatro operações aritméticas fundamentais e situações problemas.
d) Aplicação do instrumento de pesquisa: Aplicação das atividades aos alunos do 4° ano no segundo semestre de 2013 e repetidas aos alunos do 5° ano no segundo semestre de 2014. Ainda em 2014 a aplicação da atividade com situações problemas.
e) Tabulação dos dados: Organização dos dados em tabelas por atividade e ano. f) Análise dos dados: Organização das informações de acordo com as atividades e
ano de aplicação das mesmas.
g) Apresentação dos resultados: Apresentar o resultado criando categorias para análise das dificuldades de aprendizagem.
A aplicação da primeira atividade com contas armadas para a turma de quarto ano em 2013 teve a intenção de identificar dificuldades que os alunos apresentavam na resolução de cálculos quanto à compreensão dos algoritmos das operações aritméticas fundamentais. Com elas pudemos visualizar se o procedimento do aluno estava ou não vinculado ao
desenvolvimento aritmético aditivo ou multiplicativo, ou seja, se resolviam as contas armadas porque mecanizaram seu processo ou se atribuíam significado matemático à resolução. A segunda atividade também com contas armadas, porém com grau maior de dificuldade quanto à resolução algorítmica foi aplicada nesta mesma turma de quarto ano em 2013 com a mesma intenção da primeira atividade.
No segundo semestre de 2014 foi repetida a primeira e segunda atividade aplicada em 2013 para os alunos que estavam no quinto ano. A terceira atividade aplicada apenas em 2014 com os alunos do quinto ano eram problemas com operações da primeira e segunda atividade acrescentando a dificuldade de interpretar o enunciado, armar a conta, identificar a operação e lidar com valor monetário. A intenção deste instrumento foi identificar se em contexto de resolução de problemas os alunos utilizariam diferentes procedimentos de resolução em função do desenvolvimento do pensamento aritmético aditivo ou multiplicativo para os mesmos cálculos das contas armadas, se demonstrariam compreensão apropriando-se do processo de resolução das operações aritméticas elementares, ou se os resolveriam mecanicamente.
Da primeira lista de atividades do primeiro instrumento constaram as seguintes contas armadas:
a) adição com uma parcela envolvendo a dezena e outra a unidade (73+4); b) subtração com minuendo e subtraendo envolvendo dezena (68-24);
c) adição sem reagrupamento com uma parcela na ordem da centena e outra na da dezena (238+61);
d) subtração com minuendo na ordem da dezena e subtraendo na ordem da unidade (86-4);
e) adição com reagrupamento de ordem na dezena, com duas parcelas na ordem das dezenas (93+16);
f) subtração com minuendo na ordem da centena e subtraendo na da dezena (869-46); g) multiplicação com um algarismo no multiplicador e o multiplicando na ordem das dezenas (77x8);
h) multiplicação com um algarismo no multiplicador e o multiplicando na ordem das centenas (567x6);
i) divisão por um algarismo no divisor e o dividendo na ordem das dezenas (86/4); j) divisão por um algarismo no divisor e dividendo na ordem das centenas (963/3). Da Segunda lista de atividades do primeiro instrumento constaram as seguintes contas armadas:
a) adição com uma parcela envolvendo a dezena e outra a unidade com reagrupamento (78+6);
b) adição com reagrupamento na unidade e dezena (67+23);
c) subtração com reserva, com minuendo e subtraendo envolvendo a ordem da centena (345-126);
d) subtração com reserva com minuendo e subtraendo envolvendo a ordem da dezena (85-76);
e) adição com reagrupamento até a ordem da centena (567+238);
f) multiplicação com multiplicando até a ordem da dezena e dois algarismos no multiplicador (74x36);
g) multiplicação com multiplicando até a ordem da centena e 2 algarismos no multiplicador (786x34);
h) divisão com dividendo e divisor na ordem da dezena (99/16);
i) divisão com divisor na ordem das centenas e dividendo na ordem da dezena (864/12)
Para o segundo instrumento, selecionamos as seguintes operações, para as quais construímos enunciados relacionados a situações vividas por eles para que, conforme a literatura estudada, os alunos pudessem compreender e interpretar a situação apresentada e identificar a operação matemática que os resolveria: (68-24) e (896-46) da primeira atividade e (864/12), (74x36), (567+238) e (345- 126) da segunda atividade assim contemplando adição com reserva, subtração sem agrupamento e com recurso, multiplicação e divisão com dois algarismos.
Os enunciados foram os seguintes:
a) A casa de Gabriel tem 68 metros de frente, a casa de Leonardo tem 24 metros de frente. Quantos metros de frente a casa de Gabriel tem a mais que a de Leonardo?
b) Sara anda 869 metros até chegar a escola, Bianca anda 46 metros. Quantos metros Sara anda até chegar a casa de Bianca?
c) O pai de Luana comprou uma televisão por R$864,00. A loja parcelou em 12 vezes. Qual o valor que o pai de Luana irá pagar em cada parcela?
d) A turma do 5º ano da Professora Márcia programou um passeio. Os 36 alunos confirmaram a ida ao passeio. Cada aluno deverá pagar R$74,00 para as despesas de alimentação e transporte. Qual o valor que será gasto neste passeio?
e) A mãe de Ana vende roupas. Na primeira quinzena de setembro ela vendeu R$567,00, na segunda quinzena ela vendeu R$238,00. Quanto ela vendeu no mês de setembro?
f) A calçada que contorna a praça próxima da escola tem 345 metros e está sendo reformada. Mas as chuvas impediram que a obra continuasse, e até o momento foram feitos apenas 126 metros. Quantos metros faltam para finalizar a reforma?
Analisar os erros é um método de investigação que pode ajudar na compreensão da natureza dos erros nas respostas dos alunos. Portanto ao analisar os erros dos alunos seguiremos a interpretação de Cury (2008, p. 63), quando afirma que “ao analisar as respostas dos alunos, o fundamental não é o acerto ou o erro em si, mas as formas de se apropriar de um determinado conhecimento, que pode indicar dificuldades de aprendizagem”. E Pinto (2000, p.145) conclui que “ao ser colocado em situação de realizar suas próprias experiências matemáticas, o aluno percebia seu erro não como uma incapacidade ou como decorrente de falta de atenção, mas como um obstáculo a ser ultrapassado.”
Para categorizar os erros nos cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão usamos como referência as categorias baseadas em padrões de erros apontados em Zatti, Agranionih & Enricone (2010). As que definimos são: reprodução errada da operação proposta, erros de contagem, montagem do algoritmo convencional, procedimentos incorretos no desenvolvimento algoritmo, erros de tabuada, não domínio do algoritmo, erro de subtração durante o cálculo e erros estranhos.
Percebemos que alguns alunos adquirem noções incompletas dos conceitos ou ideias indefinidas do algoritmo e aprendem as quatro operações sem compreender o que estão fazendo, por isso cometem tantos erros. Nesse sentido cabe questionar sobre o sentido do aprender. Em alguns momentos nos perguntamos se os alunos não compreendem apenas o procedimento de resolução dos algoritmos convencionais ou se, na verdade, não desenvolveram as ideias conceituais das próprias operações. Temos consciência de que o acerto de resoluções algorítmicas não garante o domínio dos conceitos matemáticos, ou seja, de que desenvolveram o pensamento aditivo e o multiplicativo.
Concordamos com os PCN’s (1998, p. 37), quando afirmam que,“ a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não aprendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos”.
Nesta etapa da escolaridade, 4º ano e 5º anos, os alunos deveriam ter a compreensão dos procedimentos de cálculo da adição e subtração. Quanto à multiplicação e divisão, também seria fundamental que eles dominassem o processo, embora a porcentagem de erros dos resultados demonstre que ainda há falta de domínio do processo.
A análise dos erros foi realizada somente com os alunos que participaram de todas as atividades propostas, (doze alunos), durante a pesquisa, que nos permitiu fazer algumas considerações sobre as categorias de erros na resolução das situações problemas.
Interpretação errada do enunciado do problema neste caso específico do primeiro problema. A maioria dos alunos não conseguiu compreender o contexto da questão, pois o termo “a mais” induziu-os a utilizarem a adição para resolvê-lo.
Na adição ocorreram dificuldades nas operações com reserva, esqueceram o número a ser transportado ou agregaram errado o valor que deveria ser acrescentado na ordem superior.
Na subtração ocorreram procedimentos incorretos no desenvolvimento do algoritmo, principalmente onde era necessário retirar uma dezena para transformá-la em unidades.
Na multiplicação e na divisão as principais dificuldades foram pela falta de memorização ou de automatização no uso da tabuada, erros de montagem das contas, falta de domínio do valor posicional dos algarismos, especificamente quando as operações envolvem mais de um algarismo no multiplicador ou no divisor.
Dificuldade na resolução dos cálculos que envolvem valor monetário, pelo acréscimo dos zeros dos centavos.
Falta de atenção ou de memorização no processo dos cálculos resultou na reprodução errada da proposta ou da resposta, a utilização de valores de outras operações, erros de contagem e de cálculo mental.
Dificuldades na transformação de dezena em unidades na subtração, incompreensão das propriedades do sistema de numeração decimal, falta de domínio na percepção do valor posicional dos algarismos.
Considerações Finais
As considerações feitas ao longo deste estudo mostraram que multiplicação e a divisão aparecem entre as operações mais difíceis para os alunos sujeitos da pesquisa. Em alguns casos os erros evidenciam-se pela não compreensão do processo de cálculo, em outros, pela não automatização do processo e outros talvez por erros de esquecimento de algumas etapas do algoritmo. Também foi possível observar que o não domínio de processos próprios a outras operações, tais como adição, também contribui para esses erros, como é o caso do esquecimento do “vai um”, tanto na soma como na multiplicação. O algoritmo da multiplicação por dois algarismos no multiplicador envolve, além da tabuada, o domínio de vários procedimentos, como os da reserva e da adição.
O resultado positivo seria facilitado se houvesse a memorização e automatização do uso da tabuada, que continua sendo um processo básico, necessário para a aprendizagem da matemática.
Muitos erros nas divisões foram causados pela reprodução errada da operação proposta e não domínio do algoritmo. O que chamou atenção foi à ausência de respostas em alguns cálculos propostos.
Alguns alunos tentaram resolver dificuldades nas operações de divisão por meio de soma, subtração ou multiplicação do dividendo e do divisor. Outros atribuíram zero como resposta o que pode ser considerado um sinal de impossibilidade ou de aproximação com o conceito de número decimal. Ou seja, o aluno constrói um procedimento alternativo de resolução, mesmo que não corresponda ao certo.
Este estudo reforçou a ideia de que a matemática básica, elementar, é de importância fundamental para que o aluno possa prosseguir na aquisição dos conhecimentos matemáticos. Mas essa aprendizagem não acontece para todas as crianças ao mesmo tempo, pois cada uma pode estar num estágio de desenvolvimento psicogenético e dentro de cada estágio ocorrem variáveis que podem interferir no processo de ensino-aprendizagem. Uma forma de mudar este (pre) conceito sobre a dificuldade matemática é respeitar o estágio cognitivo em que a criança se encontra o que facilita a compreensão e interesse por parte delas, fortalecendo o vínculo entre a escola e sua realidade.
Alguns alunos adquirem noções incompletas dos conceitos, ideias indefinidas do algoritmo e passam a aprender as quatro operações sem compreender o que estão fazendo, por
isso cometem tantos erros. É uma aprendizagem mecânica, sem significado. Na leitura dos PCN’s (1998), encontramos que:
Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz, pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos. ( PCN’s 1998, p. 37)
É necessário aproximar a matemática da vida cotidiana dos alunos. Uma estratégia é diferenciar situações problemas de exercícios e considerar as diversas formas e os variados caminhos para a resolução, respeitando e valorizando o raciocínio e a criatividade para encontrar a solução, contextualizando o conteúdo trabalhado.
É importante incentivar o aluno a não desistir, mas motivá-lo a tentar resolver todas as atividades propostas, sem medo de errar. Ele precisa ser levado a identificar e julgar as estratégias que adota perceber se o erro ocorreu por simples distração, dificuldade de raciocínio, incompreensão das regras algorítmicas ou outro motivo. E também analisar o enunciado e o resultado dos problemas e confrontar com a situação proposta.
Neste estudo não foi trabalhado de forma explicita a análise dos erros pelos próprios alunos. Isso foi feito, mas de maneira implícita, natural. Recomenda-se a criação, implantação, avaliação e divulgação de projetos baseados nas ideias de Cury (2008) e Pinto (2000), com o objetivo de, por meio de atividades especificas, levar o aluno a constatar seus próprios erros e direcionar sua aprendizagem com mais criatividade e autonomia.
O tema “dificuldades em matemática no ensino fundamental” e mais especificamente “análise de erros” nos cálculos algoritmos oportuniza novos estudos e pesquisas. Seria importante elaborar projetos para usar essa metodologia de ensino de forma explícita, levando o professor e o aluno a desmitificarem o erro, pesquisarem suas causas, debaterem os resultados e procurarem alternativas.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação - Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Ensino de 1ª a 4ª série. Brasília: MEC/SEF, 1997.
CURY, Helena M. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. 1. Ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.
PINTO, Neuza B. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino da matemática elementar. 2 ed. Campinas, SP. Papirus, 2000.
SANTOS, Antonio R. dos. Metodologia científica: a construção do conhecimento. 6 ed. Rio de Janeiro. DPA, 2006.
ZATTI, Fernanda; AGRANIONIH, Neila T; ENRICONE, Jacqueline R.B. Aprendizagem matemática: desvendando dificuldades de cálculos dos alunos. Revista Perspectiva: Florianópolis, v. 34, 128, n. p. 115-132, 2010.
