GEOMETRIA DESCRITIVA A

GEOMETRIA DESCRITIVA A

10.º Ano

10.º Ano

Sólidos I - Poliedros

GENERALIDADES - Sólidos

O sólido geométrico é uma forma limitada por porções de superfícies, O sólido geométrico é uma forma limitada por porções de superfícies, planas e (ou) curvas.

Os poliedros são sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas poligonais.

Quando as faces do poliedro são todas iguais, o poliedro é considerado regular.

Os prismas são sólidos com duas bases poligonais e iguais. As faces

laterais, se o prisma é recto, poderão ser rectângulos ou

quadrados. Se o prisma é oblíquo, as faces poderão ser

paralelogramos ou losangos. Perspectiva em baixo no lado esquerdo

de um prisma pentagonal regular recto. No lado direito, a

Uma pirâmide é um poliedro, com uma base e um vértice. A

pirâmide toma o nome do polígono da base. Perspectiva em baixo no

lado esquerdo de uma pirâmide quadrangular regular. No lado

xz

O contorno aparente de um sólido é a linha fechada que separa as partes do sólido que são visíveis das partes que são invisíveis. Na projecção de um sólido numa representação bidimensional de uma forma tridimensional, é possível distinguir as partes visíveis das partes invisíveis. Assim sendo, a linha quebrada fechada [A₁D₁C₁H₁G₁F₁] constitui o limite exterior da projecção, é o

contorno aparente horizontal do sólido. B₂ A₂ A B E F G H G₂ H₂ D₂ C₂ F₂ E₂ x xy sólido.

O vértice E é o vértice com menor cota, ficando oculto pela massa do sólido, sendo invisível, bem como todas as arestas que nele

convergem na projecção horizontal.

O vértice F é o vértice com menor afastamento, ficando oculto pela massa do sólido, sendo invisível, bem como todas as arestas que nele convergem na projecção frontal. A₁ C D D₁ C₁ H₁ G₁ E₁ B₁ F₁

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES

HORIZONTAIS

Pretendem-se as projecções de uma pirâmide regular situada no 1.º diedro, com 4

cm de altura, e de que o quadrado [ABCD] é a base. O quadrado [ABCD] está contido

num plano horizontal ν com 1 cm de cota.

V₂ x O₂ O₁ A₂ A₁ (fυ) B₂ B₁ C₂ C₁ D₂ D₁ ≡ V1

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES

FRONTAIS

Pretendem-se as projecções de um cubo situada no 1.º diedro, e de que o quadrado

[ABCD] é uma das faces do cubo. O quadrado [ABCD] está contido no Plano Frontal

de Projecção. A face [EFGH] do cubo, oposta ao quadrado [ABCD] está contida num

plano frontal φ, com 4 cm de afastamento.

A₂ D₂ ≡ E2 ≡ H2 x C₂ C₁ A₁ B₂ B₁ D₁ (hφ) E1 ≡ G2 G₁ H₁ ≡ F2 F₁

REPRESENTAÇÃO DE POLIEDROS COM BASES DE

PERFIL

quadrado [ABCD] é a base

mais à direta, e o

quadrado [EFGH] a base

mais 5 cm à esquerda. O f_π ≡ hπ A₂ D₂ B₂ f_π1 ≡ hπ1 E₂ G₂ F₂ H₂ x mais 5 cm à esquerda. O

quadrado [ABCD] está

contido num plano de

perfil π. A direcção do

eixo do prisma é obtida através das suas

projecções. C₂ D₁ C₁ A₁ B₁ G₂ F₁ H₁ E₁ G₁

São dados dois pontos, A (2; 1; 2) e B (-2; 2; 2). A e B são vértices de um

triângulo equilátero [ABC], contido num plano horizontal ν e situado no 1.º

diedro. O triângulo [ABC] é a base de uma pirâmide triangular regular com 6

cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide.

y ≡ z V₂ x A₂ A₁ B₂ B₁ (fυ) C₂ C₁ O₂ O₁≡ V1

Um prisma hexagonal regular, com bases

frontais e situado no 1.º

diedro, tem o ponto O (6;

4) como o centro da circunferência que

circunscrita o hexágono da base com maior

afastamento do prisma. Um lado do hexágono mede 3 cm. Duas faces laterais do prisma estão

contidas em planos x O₂ A₂ ≡ A’2 B₂ ≡ B’2 C2 ≡ C’2 D₂ ≡ D’2 E₂ ≡ E’2 F₂ ≡ F’2 ≡ O’2 contidas em planos horizontais. O prisma tem 5 cm de altura. Desenha as projecções do prisma. x O₁ (hφ) (hφ1) A₁ A’₁ B₁ B’₁ C₁ C’₁ D₁ D’₁ ≡ E’1 ≡ F’1 O’1 ≡ F1 ≡ E1

Um prisma quadrangular regular, com bases de perfil e situado no 1.º diedro, tem o quadrado

[ABCD] como base mais à

esquerda. A (1; 4) é o

extremo de menor

afastamento da diagonal

[AC], que é de topo e

mede 5 cm. O prisma tem 8 cm de altura. Desenha as projecções do prisma. f_π ≡ hπ fπ1 ≡ hπ1 A₂≡ C2 B₂ D₂ ≡ O2 B’₂ D’₂ A’₂ ≡ C’2≡ O’2 as projecções do prisma. x A₁ C₁ B₁≡ D1≡ O1 A’₁ C’₁ B’₁ ≡ D’1≡ O’1

Um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1.º diedro, tem o quadrado

[ABCD] como a base de

menor afastamento,

contido num plano frontal

φ. A (1; 1; 2) e C (-3; 1; 5)

são dois vértices opostos

do quadrado [ABCD]. O

prisma tem 5 cm de

altura. As projecções do

eixo do prisma fazem

y ≡ z A C₂ O₂ B₂ D e₂ O’₂ A’₂ B’₂ C’₂ D’₂

eixo do prisma fazem

com o eixo x, ângulos de

60º (a.e.) e 45º (a.e.), respectivamente as projecções horizontal e frontal. Desenha as projecções do prisma. x A₂ A₁ C₁ (hφ) (hφ1) O₁ B₁ D₂ D₁ e₁ A’₁ C’₁ B’₁ D’₁ O’₁

Uma pirâmide pentagonal oblíqua, situada no 1.º

diedro, tem o pentágono

regular [ABCDE] como

base, contido num plano

horizontal ν, com 7 cm de cota. A circunferência circunscrita ao pentágono é tangente ao Plano Frontal de Projecção; e o seu

centro, o ponto Q, tem 4

x y ≡ z (fυ) Q₂ V₂ ≡ A2 B₂ C₂ D₂ E₂

centro, o ponto Q, tem 4

cm de afastamento e –2 cm de abcissa. O vértice

A tem afastamento nulo

e –2 cm de abcissa, e o B é o vértice mais à esquerda do pentágono. O ponto V (2; 5; 1) é o vértice da pirâmide. Desenha as projecções da pirâmide. x Q₁ V₁ A₁ B₁ C_{1 D} 1 E₁

REPRESENTAÇÃO DE LINHAS E PONTOS

PERTENCENTES ÀS FACES/ARESTAS DE

POLIEDROS

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano

horizontal ν. M é um ponto qualquer da directriz (que é o quadrado). A geratriz g

(como é qualquer geratriz) é definida pelo ponto M (ponto da directriz) e pelo

vértice V (vértice da superfície).

V₂ g₂ x O₂ O₁ A₂ A₁ (fυ) B₂ B₁ C₂ C₁ D₂ D₁ ≡ V1 M₂ M₁ g₁

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano

horizontal ν. Para localizar um segmento de recta horizontal [RS] com2 cm de cota,

contido na face [CDV] da pirâmide, é utilizada uma recta horizontal h.

O₂ A₂ (fυ) D₂ B_{2 C2} V₂ h₂ R₂ S₂ x O₁ A₁ B₁ C₁ D₁ ≡ V1 R₁ S1 h₁

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano

horizontal ν. A determinação de um ponto P, que pertence à superfície da pirâmide,

mas não está contido em nenhuma aresta do sólido, através de uma geratriz g,

definida pelo ponto F e o vértice.

O A₂ (fυ) D B₂ C V₂ g₂ P₂ x O₂ O₁ A₂ A₁ (fυ) B₂ B₁ C₂ C₁ D₂ D₁ ≡ V1 F₂ F₁ g₁ P₁

DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE PLANOS QUE

CONTÉM FACES DE POLIEDROS

Uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, com base num plano

horizontal ν. Para determinar os traços do plano que contém a face [BCV] da

pirâmide, é necessário desenhar as projecções de duas rectas do plano, que neste

caso serão as rectas horizontais h (a recta que contém o segmento de recta [BC]) e

h’ (uma recta paralela a h e passando por V).

V₂ h’₂ F’₂ f_α x O₂ O₁ A₂ A₁ (fυ) B₂ B₁ C₂ C₁ D₂ D₁ ≡ V1 ≡ h2 h₁ h’₁ F₂ F₁ F’₁ h_α

Uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura é situada no 1.º diedro. Os pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6; 7) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC] que é a base da pirâmide, contido num plano horizontal

ν. O vértice C é o vértice de menor afastamento da base. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal. Desenha as projecções de um segmento y ≡ z A₂ B₂ (fυ) O₂ C₂ V₂ h₂ R2 T2 S2 projecções de um segmento de recta horizontal [RS], contido na face [ABV] da pirâmide, com 4 cm de cota, com R situado na aresta [AV] e S na aresta [BV]. Desenha as projecções de um ponto T, com 4 cm de cota e 4,5 cm de afastamento, pertencente à superfície da pirâmide e contido na face [ABV].

Analisa a visibilidade do ponto

T em ambas as projecções. x A₁ B₁ C₁ O₁ V₂ ≡ V1 R₁ S₁ h₁ T₁ Tal como o segmento de recta [RS], o ponto Testá visível na projecção frontal mas invisível na projecção horizontal,

Uma pirâmide triangular regular com 6 cm de altura é situada no 1.º diedro. Os pontos, A (3; 4; 7) e B (-1; 6; 7) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC] que é a base da pirâmide, contido num plano horizontal ν. O vértice C é o vértice de menor afastamento da base. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal. y ≡ z A₂ B₂ (fυ) O₂ C₂ V₂ ≡ h2 h’₂ F₂ F’₂ f_α pirâmide é invisível em projecção horizontal. Determina os traços do plano que contém a face [ABV] da pirâmide. x A₁ B₁ C₁ O₁ V₂ ≡ V1 h₁ h’₁ F₁ F’₁ h_α