Folha Prática - Representação de Números e Erros. 1. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto fixo:

1. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto fixo:

a) 24 b) 197 c) 1001

d) 7,65 e) 8,963 f) 266,66

2. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações binárias:

a) 1110110001 b) 10010110 c) 0,111010101 d) 101001,0101 3. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 0,7 com

precisão de 6 casas decimais?

4. Quantos dígitos binários são necessários para se representar o número 333,476 com precisão de 3 casas decimais?

5. Qual é o maior número (em módulo) que pode ser representado com 11 dígitos binários? E qual é o menor número (em módulo), excluindo-se zero?

6. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 3 símbolos (0, 1 e 2), qual deveria ser a base utilizada? Como seria a representação do número decimal 29?

7. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 8 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7), qual base poderia ser utilizada? Como seria a representação do número decimal 23.

8. Representar os seguintes números decimais em binário com ponto flutuante, utilizando 8 dígitos binários significativos: 7; 31; 65; 97; 1099; 0,1377; 265,43; 909,7463.

9. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações em binário com ponto flutuante:

a) (1,001) x 2(0100) _{b) -(1,10101) x 2}(1001) _{c) (1,011) x 2}-(1110)

10. Quantos algarismos significativos são necessários para se representar a fração 1/3 com uma precisão de 6 casas decimais utilizando binário com ponto flutuante?

11. Suponha que um sistema de representação binária com ponto flutuante utilize 6 algarismos para representar a mantissa de um número e 4 algarismos para representar o expoente. Qual o número imediatamente maior que (1,01001) x 2(0001) _{e qual o número imediatamente menor?}

Quanto valem estes números na representação decimal? Neste caso, como poderia ser representado o número decimal 2,6?

12. Converta para a base binária, usando o método das divisões sucessivas, os seguintes números inteiros: a) 13 b) 35 c) 192 d) 255 e) 347 f) 513 g) 923

13. Converta para a base binária, usando os processos das divisões sucessivas (quando necessário) e das multiplicações sucessivas, os seguintes números reais com ponto fixo:

a) 0.5 b) 1.25 c) 3.125 d) 12.75 e) 7.5225 f) 4.25 g) 75.8

14. Represente no formato com ponto flutuante normalizado da base binária os seguintes números reais: a) 0.1 b) 0.5 c) 0.625 d) 1.25 e) 3.8 f) 12.75 g) 7.5225 h) 4.25 i) 75.8

15. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e  {-5, …, 6}, F(10, 4, -5, 6): .d₁d₂d₃d₄ x 10e_.

a) Determine o maior e menor números positivos que este computador pode representar. b) Para que números ocorre overflow e underflow ?

16. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e  {-5, …, 6}, F(10, 4, -5, 6):  .d₁d₂d₃d₄ x 10e_.

Determine o resultado das seguintes operações (começar por representar os valores no formato de ponto flutuante normalizado):

a) 12.7542 + 7.5225 b) 4.32567 + 0.00654 c) 75.87643 – 46.00222

d) 1.25 x 3.125 e) 12.7542 / 1.25

17. Considere um hipotético computador com 4 dígitos, base binária (b=2) e expoente e  {-5, …, 6}, F(2, 4, -5, 6):  d₁d₂d₃d₄ x 2e_.

Determine todos os valores possíveis neste computador.

18. Represente o número 12 em notação normalizada de 2 dígitos, base binária e intervalo dos expoentes definido em { -4, …, 5 }, F(2, 2, -4, 5).

19. Representar o número 25 em notação normalizada de 2 dígitos, base decimal e intervalo dos expoentes definido em { -2, …, 3 }, F(10, 2, -2, 3).

20. Converta os seguintes números em binário para decimal, usando o algoritmo de Horner: a) 10101010 b) 10011001 c) 10111

21. Converter os seguintes números binários fracionários, usando o algoritmo de Horner modificado, para a base decimal

22. Efetua as seguintes operações entre números binários: a) 1111 + 0001 b) 0001 + 0111 c) 1010 + 0111 d) 110110 – 101011 e) 110110 - 101011 f) 10011 x 10011 g) 1111 + 0101 h) 101010 / 110 i) 11001110 / 1101 j) 100100011 / 11101 k) 111000001 / 101001 23. Represente os seguintes números reais no formato de ponto flutuante (normalizado):

a) 0.00025 b) 0.125 c) 12.75 d) 7.5225 e) 4.25 f) 75.8 g) 80142.7601310 h) 11001.11₂

24. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(10, 2, -2, 3), determine: a) o menor número positivo possível;

b) o maior número positivo possível; c) As regiões de underflow e de overflow;

d) o maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0, que mantém o resultado inalterado (precisão da máquina);

e) o número de elementos do sistema F.

25. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(2, 3, -1, 2), determine: a) o menor número positivo possível e respetivas regiões de underflow;

b) o maior número positivo possível e respetivas regiões de overflow;

c) O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 mantendo o resultado inalterado (precisão da máquina);

d) o número de elementos do sistema F.

26. Quantos dígitos significativos existem em cada um dos seguintes números? a) 00001000020000

b) 10000200003004 c) 000123.0004500

27. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de dígitos significativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculando

28. Para x = 0.433 x 102_{, y = 0.745 x 10}0 _{e z = 0.100 x 10}1_{, calcule usando aritmética de três dígitos}

significativos: a) x + y b) y/x c) x.z

d) Quantos dígitos significativos apresentam os resultados ?

29. Supondo que as operações abaixo são processadas numa máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se:

X₁ = 0.3491 x 104

X₂ = 0.2345 x 100

determinar os resultados das seguintes expressões: a) (X₂ + X₁) – X₁

b) X₂ + (X₁ – X₁)

c) Compare e comente os resultados obtidos.

30. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por arredondamento simétrico, verifique que:

a) (4210 – 4.99) – 0.002 ≠ 4210 – (4.99 – 0.002) b) (0.123 / 7.97) x 84.9 ≠ (0.123 x 84.9) / 7.97 c) 15.9 x (4.99 + 0.02) ≠ (15.9 x 4.99) + (15.9 x 0.02)

31. Considere o sistema F(10, 3, -2, 3). Represente nesse sistema, os seguintes números de modo que eles estejam normalizados:

a) 0.35 b) 0.0123

c) 5391.3 d) 0.0003

32. Calcule os erros absolutos (EA) e relativos (ER) das seguintes aproximações: a) X = 231.29 e fl(X) = 232.04

b) X = 0.5682 e fl(X) = 0.5701

c) X = 12.329 e fl(X) = 12.331 d) X = 0.397682 e fl(X) = 0.396965 33. Arredonde cada um dos seguintes números a cinco dígitos significativos:

a) 0123.395 b) 0123.205 c) 0123.206

34. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no sistema F(10, 4, -98, 99):

35. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no sistema F(6, 4, -2, 3): a) 0.0055555 b) 1345.15 c) 0.000123425 d) 0.055555 e) 13.053 36. Dada a quantidade X =

(

)

20, realize os seguintes cálculos a) Determine o valor exato de X com cinco dígitos significativos

b) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos fazendo arredondamento por defeito (corte do número)

c) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos com arredondamento simétrico

d) Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percentual nas aproximações obtidas nas alíneas b) e c).

37. Seja m = (1/2)b1-n _{é a unidade de erro de arredondamento de um sistema de ponto flutuante}

F(b, p, e_min, e_max).

a) Qual é o valor em F de 1 + m ?

b) Qual o menor número positivo e, de F, tal que 1 + e > 1 ?

38. Calcular um limite superior para o erro de truncatura quando se usa 1 – (x2_{/2) para aproximar}

cos(x) para x  [0.0, 0.1]. 39. Considere o seguinte integral:

4

∫

0 1

1 1+x2dx

a) Calcule aproximações para o integral anterior, usando a regra

∫

_∑

f(x_i) +R, com R = (h/2)(b−a)f '(), ∈[a ,b ]. Selecione h = 1/n (n = 1, 2, 4, 8, …, 1024).

b) Conhecido o valor exato do integral determine o erro em cada aproximação. c) Obtenha um limite superior para o erro de truncatura em cada passo.

d) Obtenha estimativas para o erro devido a arredondamentos (calculando a diferença entre os resultados dos cálculos efetuados em precisão simples e em precisão dupla). Comente sobre a dominância de cada erro quando n cresce.

40. Escreva aproximações com seis dígitos significativos para os números

41. Obtenha os erros absolutos, erros relativos e percentagem de erros das aproximações a)

√

6  0.166667

c) π  3.1416

42. A Agência Nacional do Petróleo efetuou verificações em bombas de postos de gasolina, obtendo como resultado a tabela apresentada abaixo. Qual dos postos está a enganar o consumidor em maior proporção?

Posto _{efetivamente dispensada}Quantidade de gasolina Quantidade de gasolina_{medida pela bomba}

Shill 9,90 10,00

Bri 19,90 20,00

Texis 29,80 30,00

Ipiris 29,95 30,00

43. Se A = 3.56 ± 0.05 e B =3.25 ± 0.04, em que intervalo se encontra o resultado de A + B

44. A fórmula para calcular a tensão normal em uma barra longitudinal é dada por = F/AE, onde F∈ = força normal aplicada, A = área da barra e E = módulo de Young. Se F = 50 ± 0.5N, A = 0.2 ± 0.002 m2 e E = 210 x 109 ± 1 × 109 Pa, qual é o maior erro na medida da tensão?

45. Caso se queira especificar um número m para o mínimo de dígitos significativos corretos de um determinado resultado, então o valor do erro aproximado relativo deve ser |∈a| ≤ 0.5 x 102−m%.

Por outro lado, dado o valor para | a|, o número mínimo de dígitos corretos é dado por∈ m ≤ 2 − log( a /0.5). Responda:∣ ∈ ∣

a) O erro aproximado relativo no cálculo da raiz de uma equação é 0,004%. Qual o número mínimo de dígitos corretos da solução?

b) Qual o menor erro aproximado relativo para obtermos uma solução com 6 dígitos corretos? 46. No cálculo do volume de um cubo com lado de 5cm, a incerteza na medição de cada lado é de

10%. Qual o erro relativo máximo na medida do volume do cubo?

47. Considere o cálculo de f'(2) para a função f(x) = x2 utilizando f'(x) = (f(x + h) − f(x)) / h. Responda:

a) Qual o erro se utilizarmos h = 0.2 ?