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Teoria e Exercícios
Teoria e Exercícios
Matemática
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Prof. Pacher
Data de impressão: 15/05/2006
Itaipu
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Aprovada Receita Federal 2002-2
4º Lugar em Aduana
ADRIANA KINDERMANN SPECK
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1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS E PROPRIEDADES
1.1. CONJUNTOS NÚMEROS 1.1.1. NÚMEROS NATURAIS (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
N = {0,1,2,3,4,5...} na forma tabular.
N* o asterisco representa o conjunto dos números naturais sem o elemento zero (o que significa o conjunto dos números naturais não nulos, {1,2,3,4,5...}
1.1.2. NÚMEROS INTEIROS (Z)
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} na forma tabular.
Z* representa o conjunto dos números inteiros sem o zero (números inteiros não nulos), {...-3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
Z+ representa o conjunto dos números inteiros não
negativos = {0, 1, 2, 3,...} .
Z-_ representa o conjunto dos números inteiros não
positivos, {...-3,-2, -1, 0}.
Z*+ representa o conjunto dos números inteiros positivos,
{1, 2, 3,...}
Z*- representa o conjunto dos números inteiros negativos,
{...-3,-2,-1}
1.1.3. NÚMEROS RACIONAIS (Q)
São todos os números inteiros (Z) e todos os números que podem ser representados (escritos) na forma de fração e as próprias frações. Exemplos: Frações: {
3
4
;14
5
;2
7
3
;1
8
;7
1
; ...} Unitários decimais : { 0,25; 12,8; 1,33; ...} Dízimas periódicas: { 0,333...; 1,2454545...; 7,123444...; ...}Q* representa o conjunto dos números inteiros sem o zero (números racionais não nulos).
Q+ representa o conjunto dos números racionais não
negativos .
Q_ representa o conjunto dos números racionais não
positivos.
Q*+ representa o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- representa o conjunto dos números racionais
negativos.
1.1.4. NÚMEROS IRRACIONAIS (Ir)
São todas as raízes não exatas e os números transcendentes como p.ex. o número pi=3,14159...; o número e=2,718182....; etc
Ir* representa o conjunto dos números irracionais sem o zero (números irracionais não nulos).
Ir+ representa o conjunto dos números irracionais não
negativos .
Ir_ representa o conjunto dos números irracionais não
positivos.
Ir*+ representa o conjunto dos números irracionais
positivos.
Ir*- representa o conjunto dos números irracionais
negativos.
1.1.5. NÚMEROS REAIS (R)
Todos os números acima citados: N, Z, Q e Ir, são números reais.
R* representa o conjunto dos números reais sem o zero (números reais não nulos).
R+ representa o conjunto dos números reais não negativos
.
R_ representa o conjunto dos números reais não positivos. R*+ representa o conjunto dos números reais positivos.
R*- representa o conjunto dos números reais negativos.
1.1.6. NÚMEROS PARES E ÍMPARES;
NÚMERO PAR é todo aquele cujo algarismo da
unidade é: 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
NÚMERO ÍMPAR é todo número cujo algarismo
da unidade é: 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9. Por exemplo:
2248 é par (termina em 8), mas 23546801 é ímpar (termina em 1).
1.1.7. NÚMEROS PRIMOS
São todos os números inteiros n maiores do que um, divisíveis por 1 e pelo próprio número n.
{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; ...}
Obs.: O número 2 é o único primo par.
1.1.8. SÍMBOLOS
: pertence : existe : não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio : contém : não contém / : tal que
: implica que : se, e somente se
1.1.9. SÍMBOLOS DAS OPERAÇÕES
A intersecção B A união B a - b diferença de A com B a < b a menor que b a menor ou igual a b a > b a maior que b a maior ou igual a b a e b a ou b
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1.1.10. DIAGRAMA DOS NÚMEROS REAIS
2. CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE
I) Um número inteiro n é divisível por 2 quando o
algarismo da unidade é: 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 (par).
II) Um número inteiro n é divisível por 3 quando a soma
dos seus algarismos é um número divisível por 3.
III) Um número inteiro n é divisível por 4 quando os dois
últimos algarismos (direita) forem 00 ou os dois últimos algarismos (direita) formarem um número divisível por 4.
IV) Um número inteiro n é divisível por 5 quando o
algarismo das unidades é: 0 ou 5.
V) Um número inteiro n é divisível por 6 quando é
divisível simultaneamente, por 2 e por 3.
VI) Um número inteiro n é divisível por 7 quando a
diferença entre o número que se obtém de n suprimindo o algarismo das unidades e o dobro deste algarismo suprimido de n, resulta num número divisível por 7.
VII) Um número inteiro n é divisível por 8 quando termina
em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos (direita) for divisível por 8.
VIII) Um número inteiro n é divisível por 9 quando a
soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
IX) Um número inteiro n é divisível por 10 quando o
algarismo das unidades é: 0 (zero).
X) Um número inteiro n é divisível por 15 quando é
divisível simultaneamente, por 3 e por 5.
3. OPERAÇÕES COM NÚMEROS E SUAS PROPRIEDADES
3.1. NUMEROS CONSECUTIVOS, SUCESSOR E ANTECESSOR
Dois números naturais são consecutivos quando entre eles não houver outro número natural.
Exemplo: 2 e 3 são números consecutivos pois entre eles não há outro número natural
4 e 9 não são números consecutivos pois entre eles existem o 5, 6, 7 e 8.
Chamamos o número 2 de antecessor do número 3, e respectivamente o número 3 de sucessor do número 2. Se tivermos três números consecutivos, denominando o número do meio de n, seu antecessor será (n-1) e seu sucessor será (n+1).
Observação: Também em Z (conjunto dos números naturais, positivos e negativos), tem-se os números consecutivos e por sua vez o sucessor e o antecessor de um número. Exemplo:
-3 e 2 são números consecutivos, -3 e antecessor de 2 e este por sua vez e sucessor daquele.
3.2. VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO
Valor Absoluto - e a quantidade real que o número
representa não importando a sua posição.
Valor Relativo ou Posicional depende da posição do algarismo dentro do número. E o valor absoluto multiplicado pela posição.
Por exemplo, pode-se descrever o número 123 456
1 2 3 4 5 6 O rd e m d a s c e n te n a s O rd e m d a s d e z e n a s O rd e m d a s u n id a d e s O rd e m d a s c e n te n a s O rd e m d a s d e z e n a s O rd e m d a s u n id a d e s
Classe dos milhares Classe das unidades simples
Observações:
I) Podemos ter classes maiores tais como: milhões,
bilhões, trilhões, etc.
II) O número acima pode ser lido das seguintes formas:
Cento e vinte e três mil, quatrocentos e cinqüenta e seis, ou mesmo, uma centena de milhar + duas dezenas de milhar + três unidades de milhar + quatro centenas+ cinco dezenas + seis unidades.
III) O valor absoluto de 6 no número dado é 6, o valor
absoluto de 5 é 5, o valor absoluto de 4 é 4; o valor absoluto de 3 é 3; o valor absoluto de 2 é 2; o valor absoluto de 1 é 1.
iv) o valor relativo de 6 no número dado é 6, o valor relativo de 5 é 50 (5 x 10), o valor relativo de 4 é 400 (4 x 100); o valor relativo de 3 é 3.000 (3 x 1.000); o valor relativo de 2 é 20.000 ( 2 x 10.000); o valor relativo de 1 é 100.000 (1 x 100.000).
N
Z
Q
R
Ir
R
N
Z
Q
Ir
R
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3.3. ADIÇÃO
Operação onde adicionamos dois ou mais números obtendo como resultado sua soma.
Exemplos:
4 (parcela) + 5 (parcela) = 9 (soma ou total)
3 (parcela) + 2 (parcela) + 7 (parcela) = 12 (soma ou total) -3 + 4 = 1 (observe que temos um numero negativo sendo somado a um número positivo, o sinal que prevalece é daquele que contiver maior valor absoluto).
3.3.1. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa - a ordem das parcelas não altera a soma.
a + b = b + a 5 + 7 = 7 + 5 = 12
Associativa é possível somar três ou mais parcelas, duas a duas, sem alterar a soma.
(a + b)+c = a+(b + c) (1 + 2)+3 = 1+(2 + 3) = 6
Elemento Neutro qualquer número somado com zero dará o próprio número.
5 + 0 = 5 -6 + 0 = -6 3.4. SUBTRAÇÃO
Minuendo subtraendo = diferença, resto, sobra, excesso.
5 (minuendo) 3 (subtraendo) = 2 (diferença) -3 (+5) = -8
(-3 subtraído do número positivo 5 = -3 5 = -8)
Observação:
I) A subtração não apresenta as propriedades: comutativa,
associativa e elemento neutro.
II) Podemos fazer a prova real, minuendo menos
subtraendo e igual a diferença se diferença mais o subtraendo for igual ao minuendo.
M S = D se M = S + D 5 3 = 2 se 5 = 3 + 2 3.5. MULTIPLICAÇÃO
7 (fator) x 3 (fator) = 21 (produto ou múltiplo 6 (fator) x 9 (fator) x 2 (fator) = 54 (produto ou múltiplo)
(-3) (fator) x (+4) (fator) = (-12) (produto ou múltiplo)
Atenção para a regra dos sinais, tanto para multiplicação quanto para a divisão:
Número A Número B A x B ou A / B + (positivo) + (positivo) + (positivo) - (negativo) - (negativo) + (positivo) + (positivo) - (negativo) - (negativo) - (negativo) + (positivo) - (negativo)
3.5.1. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa - a ordem dos fatores não altera o produto.
a x b = b x a 5 x 7 = 7 x 5 = 35
Associativa é possível multiplicar três ou mais fatores, dois a dois, sem alterar o produto.
(a x b) x c = a x (b x c) (4 x 2) x 3 = 4 x (2 x 3) = 24
Elemento Neutro qualquer número multiplicado por um dará o próprio número.
5 x 1 = 5 -6 x 1 = -6
Distributiva em relação a uma adição ou subtração o produto de um número por uma adição (ou subtração) de outros números pode ser encontrado fazendo-se a multiplicação desse número por cada um dos termos da soma (ou diferença) obtendo-se produtos que depois deverão ser somados (ou subtraídos) para chegar ao resultado.
3 x (2+5) = 3 x 2 + 3 x 5 = 6 + 15 = 21 4 x (7 3) = 4 x 7 4 x 3 = 28 12 = 16
Neste caso, ainda é possível resolver primeiro o que está dentro do parênteses.
3 x (2+5) = 3 x 7 = 21 4 x (7 3) = 4 x 4 = 16 3.6. DIVISÃO
O dividendo dividido pelo divisor dá como resultado o quociente e ainda sobra o resto.
33 (dividendo) 7 (divisor)
5 (resto) 4 (quociente)
Outra forma de representar a divisão é dada por:
Dividendo = divisor x quociente + resto ( D = d x q + r )
33 = 7 x 4 + 5 Observações 1:
I) A divisão que apresenta resto denominamos de divisão
aproximada ou não exata.
II) A divisão que não apresenta resto denomina-se divisão
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Observações 2:
I) O resto nunca poderá ser maior ou igual ao divisor, ou
seja, o maior resto possível será sempre o divisor menos um.
34 dividido por 5 é igual a 6 resto 4, 4 é o maior resto na divisão por 5 pois se aumentarmos o número (34 + 1) ele novamente poderá ser dividido por 5 e apresentar resto zero, 34 + 1 = 35 dividido por 5 é igual a 7 resto zero.
II) A divisão não apresenta as propriedades: comutativa,
associativa e elemento neutro.
III) Atente para a regra dos sinais: -8 / 4 = -2. 4. EXPRESSÕES NUMÉRICAS
São as expressões formadas por números mais símbolos (que indicam as operações), as expressões numéricas devem seguir determinada hierarquia, a saber:
1º) Resolve-se a potenciação e a radiciação 2º) Resolve-se a multiplicação e a divisão 3º) Resolve-se a adição e a subtração
Não se deve esquecer que podem aparecer pontuações matemáticas:
1º) Resolve-se o que estiver entre parênteses ( );
2º) Resolve-se o que estiver entre colchetes [ ];
3º) Resolve-se o que estiver entre chaves { }. Exemplos: a) 22 + 5 x 3 = 4 + 5 x 3 = 4 + 15 = 19 b) 8/4 2 = 2 2 = 0 c) (2+5) x 3 = 7 x 3 = 21 d) {2 + [10 - 3 x (8/4 + 1)] 1} = {2 + [10 3 x (2+1)] 1} = {2 + [10 3 x 3] 1} = {2 + [10 9] 1} = {2 + 1 1} = 2 Se houver coincidência de prioridades dentro de uma mesma operação, resolver o que vier primeiro, ou seja, o que aparecer primeiro da esquerda para a direita (como lemos).
36 / 6 x 4 (apareceram a divisão e a multiplicação, e ambas tem a mesma prioridade, faço o que apareceu primeiro da esquerda para a direita), logo: 36 / 6 x 4 = 6 x 4 = 24.
5. FRAÇÕES
O símbolo
a
b
significa a:b, ou a b, ou a/b, lê-se a divididopor b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
Chamamos:
a
b
de fração;onde a é o numerador e b é o denominador.
Observações:
I) Se a é múltiplo de b, então
a
b
é um número natural.Exemplo:
A fração 6/2, onde 6 é o numerador e 2 é o denominador (6 e múltiplo de 2). Logo, ao efetuar a divisão de 6 por 2, obteremos o quociente 3. Assim, 6/2 é um número natural. ii) mais adiante estudaremos uma fração muito especial, denominada razão, mas desde já saiba que fração e razão não são a mesma coisa (a fração representa a divisão de dois números quaisquer, enquanto a razão representa a divisão entre duas grandezas).
5.1. O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO
Já vimos que a/b pode ser um número natural, mas nem sempre isto acontece. Nestes casos, o que se entende por a/b?
A fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes
iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Júlio comeu 3/4 de uma pizza. Isso significa que, ao dividir a pizza em 4 partes iguais, Júliocomeu 3 partes:
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Júlio, e a parte branca é a parte que sobrou da pizza.
5.2. COMO LER UMA FRAÇÃO?
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são múltiplos de 10 (10, 100, 1000,...)
1/2 Um meio 1/8 Um oitavo 1/3 Um terço 1/9 Um nono 1/4 Um quarto 1/10 Um décimo 1/5 Um quinto 1/100 Um centésimo 1/6 Um sexto 1/1000 Um milésimo 1/7 Um sétimo
5.3. CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES
As frações podem ser classificadas como ordinárias, decimais, próprias, impróprias, aparentes, equivalentes.
Fração ordinária fração cujo denominador não é múltiplo de 10:
P.ex. 2/4; 5/8 e 12/8.
Fração decimal fração cujo denominador e múltiplo de 10:
P.ex. 1/10; 2/100 e 45/1000.
Fração própria: é aquela em que o numerador é menor
que o denominador: P.ex. 5/6; 12/15 e 1/2.
Fração imprópria: é aquela em que o numerador é maior
ou igual ao denominador: P.ex. 15/12; 3/2 e 5/3.
Obs.: As frações impróprias podem ser representadas como números mistos, ou seja, aqueles que apresentam uma parte inteira e outra fracionaria.
P.ex.:12= 1+5= 15 7 7 7
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Fração aparente: é aquela em que o numerador é múltiplo
do denominador. P.ex. 15/3 = 5 e 6/2 = 3.
Frações equivalentes: são frações que representam a
mesma parte do todo. P.ex.:
1
=
2
=
3
= ...
2
4
6
são frações equivalentes.Para encontrar frações equivalentes basta multiplicar (ou dividir) o numerador e o denominador da fração por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo:
Obter frações equivalentes à fração 1/2.
1.3
3
=
2.3
6
5.4. SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
Uma fração equivalente a 12/15, com termos menores, é 4/5. A fração 4/5 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 12/15 pelo fator comum 3. Dizemos que a fração 4/5 é uma fração simplificada de 12/15.
A fração 4/5 não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração 4/5 não pode ser simplificada porque 4 e 5 são números primos entre si.
5.5. NÚMEROS FRACIONÁRIOS
São os números que resolvem equações do tipo:
7 . N = 1 logo somente se N = 1/7 que a equação se resolve, observe que N é um número fracionário com numerador igual a um e denominador igual a sete.
6. MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
O conjunto dos números múltiplos de n, é o conjunto formados por todos os números obtidos multiplicando-se n pelos números naturais.
P.ex.:
Múltiplos de 6: {0, 6, 12, 18, 24, 30,...} Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...} Múltiplos comuns de 4 e 6: {0, 12, 24,...}
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
7. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
É o menor número divisível por todos os números envolvidos
Para obter o MMC de 20, 15 e 25, divide-se simultaneamente os números envolvidos por fatores primos e, o MMC será o produto desses primos usados na fatoração comum. 20- 15- 25 2 10- 15- 25 2 5- 15- 25 3 5- 5- 25 5 1- 1- 5 5
1 MMC(20,15,25)=300, observe que o produto dos divisores: 2.2.3.5.5=300
8. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
É o maior número que divide ambos os números envolvidos.
Para obter o MDC de 84 e 90, fatora-se separadamente os números envolvidos e, o MDC será obtido pelo produto dos divisores comuns observados nas fatorações.
84 2 90 2 42 2 45 3 21 3 15 3 7 7 5 5 1
1
MDC (84, 90)=2.3=6, observe que 2 e 3 são divisores comuns em ambas as fatorações.
9. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
9.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Analisemos dois casos:
I) Sendo os denominadores iguais.
Para somar frações com denominadores iguais basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Exemplos: 1) 2+1=3 4 4 4 2)
7 3
-
=
4
5 5
5
II) Sendo os denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao MMC (mínimo múltiplo em comum) dos denominadores das frações.
Exemplo:
Somar as frações
4
e
5
5
2
.Obtendo o MMC dos denominadores temos MMC(5, 2) = 10.
4
5
4.2 + 5.5
8 + 25
33
+
=
=
=
5
2
10
10
10
Resumindo:
Utilizamos o MMC para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso ( I ).
9.2. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado no exemplo que segue.
x
8
4
8
4
8x4
32
x
=
x
=
=
3
3
3
3
3x3
9
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9.3. DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo que segue.
8
8 4
3
8
3
24
:
ou
=
x
=
= 2
4
3 3
3
4
12
3
10. POTENCIAÇÃO Definição Se n N e a R, defini-se: n a = a × a × a × ... × a n fatores n>11
zero
a = a
e
a
= 1
1 -n Se a 0, n = a a Propriedades m n m+n 1) a × a = a m n m-n 2) a ÷ a = a com a 0 n n n 3) a × b = (a × b) n n n 4) a ÷ b = (a ÷ b) com b 0 n m n×m 5) (a ) = a
Exemplos
A potenciação é uma operação matemática que representa, de forma resumida, diversas multiplicações, observe:
35 = 3 . 3 . 3. 3. 3 = 243
As principais regras gerais da potenciação conhecidas são:
1) Potência de um número.
an = a . a ... a 23 = 2 x 2 x 2 = 8 2) Todo número elevado a zero é igual a 1. a0 = 1 10 = 1; 20 = 1;
3) Todo número elevado a um é igual a ele mesmo.
a1 = a 11 = 1; 21 = 2;
4) Calculando o inverso de um número.
a-n =
,
a
0
a
1
n 2 -5 =32
1
2
1
55) Multiplicação de potencies de mesma base.
an . am = an + m 22 . 23 = 22+3 = 25 = 32
6) Divisão de potencies de mesma base.
an ÷ am = an - m 23 ÷22 = 23-2 = 21 = 2
7) Potência da potência.
(am)n = amn (22)3 = a6 = 64
8) Potência de um número fracionário
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: n n a a = n b b 2 2 4 4 16 = = 2 3 3 9 11. RADICIAÇÃO Definição
n
n
a = x
x
= a
Propriedades
n
n
n
1)
a × b =
a × b
n
n
n
2)
a ÷ b =
a ÷ b
n m
n×m
3)
a =
a
p×n p×m
m
n
4)
a
=
a
(p
0)
m
m
n
n
5)
a
= ( a )
1) Potência de um expoente racional
m
n m
n
a
=
a
3 4 32 = 242) Radiciação de um número fracionário
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
n
a
a
n
=
com b
0
n
b
b
25
25
5
=
=
64
64
8
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EXERCÍCIOS E TESTES
01. Complete o quadro, conforme divisibilidade, por 2, 3, 4,
5, 6, 8, 9, 10 e 15. a) 472 é divisível por: b) 721 é divisível por: c) 46 é divisível por: d) 58 é divisível por: e) 1520 é divisível por: f) 134 é divisível por: g) 10000 é divisível por: h) 2725 é divisível por: i) 3.000.008 é divisível por: j) 61.366 é divisível por:
02. Qual o menor número que se deve somar a 31420
para que resulte em um número divisível por 3?
03. (Of. Just.) Quais os números primos que são divisores
de 120? a) 0, 1, 2, 3, 5 b) 1, 2, 3, 5 c) 3, 5, 8 d) 1, 3, 5 e) 2, 3, 5
04. Efetue as operações indicadas a seguir:
a)
6,28 : 4 = b)
4,617 : 5,7 = c)
3,15 : 1,5 = d)
0,54 : 0,3 = e)
7,232 : 0,4 = f) 1 : 0,0102 =
05. (Of. Just.) Qual o menor número primo que não é
divisor de 39? a) 13 b) zero c) 3 d) 11 e) 1
06. Efetue a operação indicada: 0,0004 : 0,0002. 07. O inverso de 0,25 é:
08. O oposto de 7 é:
09. (ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de 24
kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único instrumento disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os pesos metálicos. Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de: a) 3 kg b) 4 kg c) 6 kg d) 8 kg e) 12 kg 10. (FCC) O resultado de 64 - 8 : 0,16 é um número compreendido entre: a) 50 e 60 b) 40 e 50 c) 30 e 40 d) 20 e 30 e) 10 e 20 11. O valor da expressão (1 - 0,3) x (3 - 1,4) + 1,83 é: a) 2,95 b) 7,25 c) 11,07 d) 13,03
12. Analise a seqüência de Fabinacci que viveu no Século XII útil na descrição de alguns fenômenos de botânica e de genética.
1, 1, 2, 3, 5, 8, ____, 21, 34, ...
O sétimo termo da seqüência, que completa a lacuna, é: a) 10
b) 11 c) 12 d) 13 e) 20
13.(OBM) No quadrado mágico abaixo, a soma dos
números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma. Por isso, no lugar do X devemos colocar o número: 15
35
50
25 X
a) 30 b) 20 c) 35 d) 45 e) 40
14. A divisão 2,4375 : 6,5; o mesmo resultado que:
a) 24375 : 65000 b) 24375 : 6500 c) 24375 : 650 d) 24375 : 65
15.(OBM) Simplificando a fração
2004
2004
2004
2004
2004
, obtemos: a) 2004 b) 113/355 c) 1/2004 d) 2/3 e) 2/716. (FCC) A conta indicada abaixo é uma adição com três
parcelas, sendo que a terceira parcela foi apagada: 43,20 1ªparcela
+ 50,83 2ªparcela x x ,x x 3ªparcela 111,48 total
O valor da parcela que foi apagada é: a) 17,45; b) 19,25; c) 23,35; d) 25,05; e) 27,45. 17. O resultado de: 24 : [ ( 14 6 ) . 3 ] é : a) 9 b) 8 c) 1 d) 0
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18. O resultado de (2100 72 . 23 ) : 12 é : a) 704 b) 37 c) 36 d) 21 19. O resultado de 2 . ( 5,42 + 8,58 ) 0,2 é : a) 13,8 b) 14 c) 28 d) 27,8 20. Veja as sentenças : I .17 + 17 + 17 + 17 = 4 . 17 II .9 . 9 .9 = 93 III. 93 = 27Quais delas estão corretas? a) I e III b) II e III c) I e II d) Todas 21. O produto 8,25x7,4 é igual a: a) 61,05 b) 62,055 c) 62,155 d) 63,22 22. O quadrado do número 1,4 é: a) 19,6 b) 5,6 c) 2,8 d) 1,96 e) 19 23. (FUVEST) Calcule: 0,2 x 0,3 3,2 - 2,0
24.(PUC-SP) Qual é o valor de
25 . 12,8
100
? a) 3,2 b) 32 c) 1,6 d) 16 e) 0,3225. Calcule o valor da expressão aritmética que segue
67 [ 74-( 22 + 9 8 ) + 15 ].
26. Calcule o valor da expressão aritmética que segue:
38 + { 23 [ 6 ( 1 + 4 ) + 2 ] 1}. 27. Calculando-se 4 1,2 (-3,5), obtém-se: a) 1,9 b) -1,7 c) 1,5 d) 1,3
28. Dentro de uma caixa estão 35 bolinhas de aço que
pesam 0,28kg cada uma. Pesando a caixa com as bolinhas obtivemos 10,36kg. A caixa, sozinha, pesa: a) 56g b) 1,96kg c) 2,96kg d) 560g 29. Efetuando-se
2
5
)
8
,
0
(
)
5
(
)
2
,
1
(
10
, obtém-se: a) 2/3 b) 1/2 c) - 1/2 d) - 2/3 30. Observe a figura:a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido? b) Cada uma dessas partes representa que fração do
retângulo?
c) A parte pintada representa que fração do retângulo?
31. Observe as figuras e diga quanto representa cada
parte da figura e a parte pintada:
a)
b)
c)
32. Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:
a) a)
6
3
da pizza b) b)6
5
da pizza c) a pizza toda 33. Se7
3
do que eu tenho são 195 reais, a quanto
corresponde
5
4
do que eu tenho?
34.Três minutos representam quantos por cento de 1
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Represente percentualmente, quanto vale as parte sombreadas (pintadas), nas figuras a seguir:
35.
36.
37. Calcule a dízima periódica e diga se ela é simples ou
composta: a) b) c) d) e) f)
38. Complete as lacunas conforme solicita a operação,
veja a letra a resolvida: a) 2/9 0,222... b) 6/9 c) 13/99 d) 174/999 e) 52/99 f) 2135/9999 g) 1/9 h) 45/99 i) 77/99
39. (OBM) Se
p
q
é a fração irredutível equivalente a6,888...
2, 444...
o valor de p + q é igual a: a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 4240. Dada a dízima periódica, represente na forma de
fração:
a) 0,44444... b) 0,1252525... c) 0,545454... d) 0,04777...
41. Represente no formato unitário decimal as frações que
seguem:
(Unitário decimal é o mesmo que escrever o número equivalente com uso de vírgula)
7 a) 5 = 20 b) 9 = 130 c) 4 = 263 d) 300 = 12 e) 5 =
42. Represente as frações abaixo, na notação com o
símbolo de porcentagem (%). 18 a) 100 = 34 b) 100 = 7 c) 100 = 1 d) 4 =
43. Represente as porcentagens que seguem, em frações
reduzidas. a) 18% b) 2,3% c) 4% d) 200% e) 3,04% f) 0,02%
44. Calcule a área pintada na figura:
3/4
2/3
45. Três rodovias de mesmo comprimento, 360 km cada,
receberam igual camada de asfalto (área sombreada), conforme ilustrado na figura a seguir:
Rodovia 1 360 km
Rodovia 2 360 km
Rodovia 3 360 km
Determine em km lineares, a quantidade asfaltada.
46. Usando o símbolo %, represente a parte colorida da
figura.
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47. Num estacionamento de um hipermercado há 340
carros.
a) Que porcentagem representa Metade dos carros? b) Que porcentagem representa Um quarto dos carros?
c) Do total de carros, quantos correspondem a 20%?
d) Do total de carros, quantos correspondem a 75%?
48. A figura mostra um bolo dividido em partes iguais. Dois
terços de uma dessas partes correspondem a quanto do bolo?
49. Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua
capacidade total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a capacidade total desse reservatório?
50. Numa cidade 3/16 dos moradores são de
nacionalidade estrangeira. Se o total de habitantes é 30.000, o número de brasileiros na cidade é:
a) 23.865 b) 24.375 c) 25.435 d) 25.985 e) 26.125
51. Quantos divisores positivos tem o número 84?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 24
52. Quantos divisores positivos tem o número 360?
a) 12 b) 16 c) 18 d) 24 e) 36
53. Qual a sentença verdadeira?
a) Todo o número ímpar é divisível por 3. b) Todo o número divisível por 4 termina em 4. c) Alguns números pares são divisíveis por 3.
d) Alguns números terminados em 7 são divisíveis por 2.
54. Dos números abaixo, aquele divisível por 3 e por 4 é:
a) 111111 b) 238440 c) 338480
d) 338442
55. (Of. JUST.) Qual o valor da razão entre o M.D.C. e o
M.M.C. de 56 e 80 ? a) 70 -1 b) c) d) 35 e) 2
56. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9:
57. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de
12:
58. Dos números abaixo, aquele divisível por 3 e por 4 é:
a) 111111 b) 238440 c) 338480 d) 338442
59. Qual é a sentença verdadeira ?
a) Todo múltiplo de 3 termina em 3 b) Todo múltiplo de 4 termina em 4 ou 8 c) Todo múltiplo de 5 termina em 0 ou 5 d) Todo múltiplo de 6 termina em 6
60. Determine a sentença falsa:
a) 770 é divisível por 7 b) 13 é divisor de 260
c) O maior múltiplo de 9, menor que 100 é 99 d) 204 é divisível por 24
61. Se 6 garrafas de vinho custam 70 reais, qual deve ser,
em reais, o preço de 9 garrafas? a) 105
b) 110 c) 115
d) mais que 120
62. O menor múltiplo comum entre 60 e 75 é :
a) 150 b) 300 c) 450 d) 600 63. Ache o MMC: a) MMC (9, 18) b) MMC (20, 25) c) MMC (4,10)
64. Na decomposição em fatores primos do número 192
aparecem: a) três fatores 2 b) cinco fatores 2 c) seis fatores 2 d) dois fatores 3 e) três fatores 3 65. O mmc entre 24 e 30 é: a) 240 b) 90 c) 120 d) 60
66. Calcule o menor número que é divisível ao mesmo
tempo por: 2, 5, e 7? 67. O mmc entre 65 e 35 é: a) 455 b) 435 c) 415 d) 365 e) 305
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68.(CESCEA-SP) Dadas as frações: 3/4; 5/6; 4/5; 2/3, a
maior é: a) 5/6 b) 4/3 c) 3/4 d) 2/3 e) todas iguais
69. Sabe-se que mmc(10, 15)=a e mmc(15, 20)=b. Então,
a+b é igual a: 70. O m.m.c de 12, 45, 96 e 180 é: a) 480 b) 720 c) 1440 d) 2 880 71. (FGV-SP) Sejam A e B o m.d.c.e o m.m.c. de 180 e
150, respectivamente. Então B : A é igual a: a) 30
b) 60 c) 120 d) 180
72. Saem do porto de Santos, navios Argentinos de 6 em 6
dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num dia sairem dois navios desses países que tempo demorará para sairem juntos outra vez?
a) 10 dias b) 11 dias c) 12 dias d) 13 dias e) 14 dias
73. No ponto de ônibus passa um ônibus para Caixa
Prego de 15 em 15 minutos e um ônibus para Tão Longe de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos às 8h 30 min, a que horas vão passar juntos de novo ?
a) 8h 55min b) 9h 15min c) 9h 30min d) 9h 45min
74. Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 60
minutos respectivamente. Se coincidir das três apitarem juntas numa vez, quantas horas levara para apitarem juntas novamente? a) 15 horas b) 16 horas c) 17 horas d) 18 horas e) 19 horas
75. Três funcionários de um escritório cumprem,
sistematicamente, horas-extras de trabalho. inclusive aos sábados e domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, hoje, os três cumprirem horas-extras, a próxima vez em que eles irão cumprí-las num mesmo dia será daqui a:
a) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um ano
76. Três despertadores são graduados da seguinte
maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o segundo de duas em duas horas e o terceiro de 5 em 5 horas. Depois da primeira vez que tocaram juntos, este fato voltará a ocorrer novamente após:
a) 40 horas b) 30 horas c) 25 horas d) 20 horas e) 15 horas
77. Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e
sentido, do ponto de partida em uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Em quantos minutos voltarão a se encontrar novamente? a) 20 b) 22 c) 24 d) 120 e) 132
78. Represente numericamente a soma das partes pintadas, na representação geométrica:
+
79. Encontre o resultado dos cálculos abaixo:
a)
b)
c)
80.(UF-SM) Dados os números reais:
2
1
5 1
a =
+
, b =
-
e c = 0,12
3
2
4 2
, pode-se afirmar que: a) c < b < a b) a < b < c c) c < a < b d) b < c < a e) b < a < c 81. O valor da expressão 1/6 - 3/4 + 5/8 é: a) 1/24 b) 3/25 c) 7/25 d) 7/28 e) 7/48Itaipu
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82. De seu salário de R$ 408,00 você gastou 2/6 com
alimentação, 1/6 com a farmácia e 1/6 com material escolar dos filhos. Nesse mês sobraram __________ para as demais despesas.
a) R$ 166,00 b) R$ 156,00 c) R$ 146,00 d) R$ 136,00
83. Um marceneiro recebeu a encomenda de 12
banquinhos de madeira e prometeu entregá-los em 5 dias. No 1º dia fez 1/12 dos banquinhos; no 2º dia fez 2/12 e no 3º dia fez mais 1/12. Para cumprir o compromisso assumido, deverá fazer nos dois últimos dias, se dividir a tarefa restante em partes iguais, ______ banquinhos por dia. a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 84. (UNIFOR) Efetuando-se 10 3.( + 8) 8 5 30 , obtém-se: a) 13/12 b) 12/13 c) 5/11 d) 11/28 e) 15/29 85. (PUC-SP) O valor de 1 0,3 2 8 a) 1/5 b) 3/16 c) 1/10 d) 13/16
86. (FUVEST-SP) O valor da expressão
2 1 1 1 6 3 1 1 3 6 2 2 é: a) 1/2 b) 3/5 c) 3/4 d) -3/5
87. (FESP-PE) Resolvendo a expressão
2 5 1 1 9 1 1 : . 2 6 3 5 4 2 3
a) 17/12 b) 12/17 c) 3/8 d) 3/85 88. Considere os números 5/7, 8/7, 12/10, e 3/2. A
diferença entre o maior e o menor deles é: a) 5/14 b) 2/7 c) 1/10 d) 11/14 e) 3/10 89. Quanto é 30% de R$420,00 ? a) R$14,00 b) R$42,00 c) R$84,00 d) R$126,00 90. Quanto é 13% de R$ 850,00 ? a) R$ 130,00 b) R$ 120,50 c) R$ 110,50 d) R$ 108,00 91. De o valor da expressão 14,5% de 80 + 37,5% de 40.
92. Se você determinar 32% do número 550, encontrará
um número x. Se você calcular 125% do número x, vai encontrar um número y. Qual o valor da expressão x + y?
93. (FCC) A região sombreada da figura representa a área
plantada de um canteiro retangular, que foi dividido em quadrados.
Em relação à área total do canteiro, a região plantada corresponde, aproximadamente, a a) 18,4% b) 19,3% c) 20,8% d) 23,5% e) 24,2% 94. Quanto é 13% de R$ 850,00 ? a) R$ 130,00 b) R$ 120,50 c) R$ 110,50 d) R$ 108,00 95. 30% de R$640,00 é igual a: a) R$ 182,00 b) R$ 192,00 c) R$ 198,00 d) R$ 207,00
96. Um aluguel de R$ 550,00 sofreu um aumento de 18%.
Ele passou a valer: a) R$ 649,00 b) R$ 612,00 c) R$ 504,00 d) R$ 99,00 97.(CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale: a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009 d) 0,09 e) 0,0081
98. Assinale a sentença verdadeira:
a) 6% = = 0,6 b) 13% = = 1,3 c) 140% = = 1,4 d) 20,5% = = 0,0205
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99. 30% de R$640,00 é igual a: a) R$ 182,00 b) R$ 192,00 c) R$ 198,00 d) R$ 207,00100. Assinale a sentença verdadeira:
a) 6% = = 0,6 b) 13% = = 1,3 c) 140% = = 1,4 d) 20,5% = = 0,0205 101. (FUVEST) A metade de 2100 é: a) 250 b) 1100 c) 299 d) 251 e) 150
102. (FUVEST) Qual é a metade de 222? a) 122
b) 211 c) 111 d) 221 e) nda
103.(UNICAMP-SP) Dados os dois números positivos, 31/3
e 41/4, determine o maior.
104.(PUC-SP) O número de elementos distintos no quadro
a seguir é: 24 4-2 (-2)4
42 (-4)2 (-2)-4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 105. O valor de 64 1/6 é igual a: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 106. 0,25 + (- 2) - 2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 3 d) 0,5 e) 4 107. Efetuando-se 6 (2 17) 2 3 ((17) ) obtém-se: a) 64 b) 32 c) 16 d) 8 e) 4 108. Calculando 1000012-1000002, obtemos: a) 200001 b) 100001 c) 1 d) 99999 e) 0 109. Efetuando-se 2-4 , obtém-se: a) -8 b) - 1/16 c) 1/16 d) 1/8 e) 16 110. O valor de 32 + 23 + 24 42 é: a) 17 b) 15 c) 12 d) 49 e) 10 111. (PUC-SP) (0,5)4 é igual a: a) 0,125 b) 0,0625 c) 0,625 d) d)0,25 112. O valor de 8 . (0,5)2 é: a) 2 b) 0,2 c) 20 d) 200 113. (FUVEST-SP) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: a) 0,0264 b) 0,0336 c) 0,1056 d) 0,2568 114. Efetuando-se 2,5 x 10-5 5 x 10-5, obtém-se: a) 5 b) 0,5 x 10-1 c) 5 x 10-1 d) 0,5 x 10-3 e) 0,5 x 10-11 115. (FCC) Entre os números: 2120; 460; 840; 1630 e 3220, o menor é: a) 3220 b) 1630 c) 840 d) 460 e) 2120 116. (OBM) A razão 2 8 8 4
)
4
(
)
2
(
é igual a: a) 4 1 b) 2 1 c) 1 d) 2 e) 8117. (OBM) Qual dos números a seguir é o maior?
a) 345 b) 920 c) 2714 d) 2439 e) 8112
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118. Resolvendo a expressão: 3 2 2 3 2 (2 )119. (FCC) Calculando-se 4 2952 . 10 3 4 2942 . 10 3, obtém-se um número compreendido entre: a) 400 e 900 b) 150 e 400 c) 50 e 150 d) 10 e 50 e) 0 e 10
120. (NC.UFPR) O valor da expressão
2 1 3 1 2 1 3 10 5 3 2 2 é: a) 1 b) 5/6 c) 0 d) - 1 e) - 4/3
121. (OBM) O quociente de 5050 por 2525 é igual a : a) 2525
b) 1025 c) 10025 d) 225 e) 2 2525
122. Assinale a sentença falsa:
a) (-2)3 = -8 b) (-1)100 = 1 c) (-5)2 = -25 d) (-2)5 = -32 123. O valor da expressão é: a) 17,5 b) 8 c) 6,5 d) -1 e) -14,5 124. O número
72
é igual a: a) 6 2 b) 2 2 c) 36 2 d) 2 2 e) 12 2125. Num supermercado 2 kg de bacalhau custam R$
70,00. Quanto pagarei por 1,2kg desse mesmo bacalhau?
126. Simplifique as raízes: a) 180
b) 2048
c) 3 135
d) 5 243
e) 9 1/2 f) 40,5 g) 12 1/2 h) 4 - 0,5 i) 64 1/6
127. A soma dos números racionais que estão no quadro
que segue, é: 1,777... 1/9 2 3 5 2 1024 3,141592... - 0,02 5 - 3 0 a) 5359/450 b) 5555/450 c) 0 d) 112 3/7 e) 752 6/450 128.(FESP-SP) A expressão 1 0,3 0,036 4 0,04 0,01 equivale a: a) 0,95 b) 13,4 c) 1,34 d) 9,5 e) 1,4 129.(UF-RS) Seja
9
6
5
24,8
5
x
. Então o valor de 0,3% de x é: a) 0,66 b) 0,066 c) 2,2 d) 6,6 e) 0,022130. Calcule o valor da expressão e simplifique o
resultado: 10. 50 5
131. Expresse na forma de um único radical:
3
2
132. (PUC-SP) Os números 45 , 33 e 2 são
colocados: a) em ordem crescente b) em ordem decrescente 133. (UF-MG) O quociente 7 3 5 48 2 192 : 3 3é igual a: a) 1 b) 2 c) 2 3 d) 3 3
134. A expressão 6 3 8. 2 2 é igual a: a) 4 b) 8 c) 2 2 d) 4 2
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135. (OBM)0
,
4444
...
a) 0,2222 b) 0,3333 c) 0,4444 d) 0,5555 e) 0,6666136. (CESULON-PR) Qual o valor de x, se x é igual a:
3 4096. a) 4 b) - 1 c) 2 d) 3 e) 7
137. (UF-GO) O número resultante de: 18 8 2, é igual a: a) 2 b) - 2 c) 5 d) 5 e) 0
138.(UFPR) O valor da expressão 4 (0,5)3 0,25 2 2
é:
139. Devem ser distribuídos 70 litros em garrafinhas com
capacidade de 0,35 litros. Quantas garrafinhas serão necessárias?
140. Quantas caixas, de 48 quilos cada uma, podem ser
transportadas de uma só vez num elevador que suporta apenas 600 quilos?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
141. Encontre o número que, dividido por 15, dá quociente
178 e resto 7. Depois, some os quatro algarismos desse número. Qual é o resultado?
a) 24 b) 22 c) 20 d) 18
142. Um número decimal x o resultado da divisão de 73
por 8. Quanto vale x?
143. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo
por: a) 1/125 b) 1/8 c) 8 d) 12,5 e) 80
144. (Of. JUST.) Das opções abaixo, assinale a que é
divisível ao mesmo tempo por 2, 3 e 5: a) 1.060
b) 2.025 c) 1.100 d) 1.800 e) 2.300
145. (FCC) Dividindo um número por 7, obtive o quociente
13 e o resto 5. Logo o valor desse número é: a) 48
b) 96 c) 100 d) 126 e) 156
146. Considere A = 2.730 . O menor valor natural de n
para que nA seja divisível por 396 é: a) 66
b) 33 c) 22 d) 6 e) 3
147.(OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por 17,
obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos afirmar que n é igual a: a) 4 817 b) 4 917 c) 3 815 d) 4 618 e) 4 418
148. A Aluna Juliana dividiu um certo número por 17 e
obteve o quociente 13 e o resto 4. Se ela adicionar 7 ao dividendo e mantiver o mesmo divisor, encontrará o, mesmo quociente, porém um novo resto. A soma do número inicial com o novo resto é igual a :
a) 225 b) 232 c) 238 d) 231 e) 236
149. O aluno Hermano, destaque em olimpíadas
internacionais de matemática, apresentou o seguinte problema para os colegas de sala: Qual o número que é maior que 199 e menor que 251, é divisível por 2, por 3, e por 5 e no entanto não é divisível por 7? Socorro, sua colega calculou corretamente e respondeu que o número é: a) 230 b) 240 c) 220 d) 210 e) 250
