1
Aula 1: REVISÃO: ONDAS TRANSVERSAIS EM UMA CORDA1.1. INTRODUÇÃO
Considere inicialmente as parábolas f1(z) e f2(z) na Fig. 1 abaixo:
FIG. 1
Claramente, a parábola f2(z) está deslocada para a direita em relação à parábola f1(z) pelo valor z0.
Matematicamente, escrevemos
)
(
)
(
1 0 2z
f
z
z
f
. (1.1)Considere agora um pulso (onda) propagando-se em uma corda, para a direita, com velocidade v, em dois instantes consecutivos t1 = 0 e t2 = t > 0, sem perdas. Seja f o deslocamento transversal da corda
em um ponto de coordenada z sobre a mesma. Como esquematizado abaixo, o pulso que corresponde a f (z,t) está deslocado em relação ao pulso que corresponde a f(z) pela distância vt . Como nas parábolas acima, escrevemos para uma onda que se propaga para a direita a relação geral
)
(
)
,
(
z
t
f
z
vt
f
.(1.2) FIG. 2Evidentemente, uma onda que se propaga para a esquerda deve satisfazer a relação funcional
)
(
)
,
(
z
t
f
z
vt
f
. (1.3)Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Física
Física Geral 4 - 2011.2 - Notas de Aula
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
f
1(z) = z
2z
0
f
2(z) = (z – z
0)
2z
0
z
0)
(
)
0
,
(
z
t
1f
z
f
z
v
)
,
(
)
,
(
z
t
2t
f
z
t
f
z
vt
2
Por exemplo, a função2 ) (
)
,
(
z
t
Ae
B z vtf
, (1.4)onde A e B são constantes, descreve uma onda que se propaga para a direita (sentido de z crescente). Neste curso, daremos ênfase a uma onda ideal, a qual descreve, de maneira relativamente simples, diversos fenômenos de interesse, a onda senoidal. Note que em relação ao curso Física Geral 2, estamos adotando aqui uma nova notação, com a troca x z e y f. Assim, por exemplo, a onda senoidal da Física 2, y(x, t) = ymsen[k(x vt)], será escrita aqui como
(
)
sen
)
,
(
z
t
A
k
z
vt
f
, (1.5)com a constante A fazendo o papel da amplitude máxima da onda. Antes de tratar a onda senoidal em detalhe, é importante lembrar que fenômenos ondulatórios em uma corda podem ser entendidos a partir das leis de Newton, como revemos a seguir.
A Fig. 3 mostra um pequeno segmento da corda, de massa m z, onde é a densidade linear de massa da corda, supostamente uniforme. No lado esquerdo do segmento (em z) a tensão é diferente daquela no lado direito (em z z), mas o módulo da tensão é o mesmo em qualquer ponto da corda.
FIG. 3
Para pequenas deformações, podemos desprezar a componente horizontal da força resultante sobre m.
Na direção vertical, a resultante tem componente
(
)
(
)
.
tan
tan
sen
sen
2 2 1 2 1 1 2 2z
z
f
z
f
z
z
f
z
f
z
f
F
z z z
De acordo com a segunda lei de Newton, esta resultante também é igual a 2
2 2 2
t
f
z
t
f
m
,de onde segue, portanto, a equação de onda
2 2 2 2 2
1
t
f
v
z
f
, (1.6)onde
v
/
. Note que tanto (1.4) quanto (1.5) são soluções particulares de (1.6).z
z +
z
m
2
1 2
1
3
1.2. ONDAS SENOIDAISA frequência e o número de onda k da onda senoidal na corda estão relacionados por
vk
v
vT
k
2
2
. (1.7)Introduzindo a constante de fase , podemos, então, escrever genericamente para uma onda senoidal que se propaga para a direita a expressão
).
cos(
)
,
(
z
t
A
kz
t
f
D (1.8)Para positivo, esta é uma onda do tipo “(kz t)” deslocada para a esquerda de uma distância /k. A
onda que se propaga para a esquerda deve, então, uma onda do tipo “(kz t)” deslocada para a direita
por uma distância /k, ou seja,
).
cos(
)
,
(
z
t
A
kz
t
f
E (1.9)Como o cosseno é uma função par, podemos trocar todos os sinais de seu argumento e escrever
).
cos(
)
,
(
z
t
A
kz
t
f
E (1.10)Comparando as equações (1.8) e (1.10), vemos que para se obter uma expressão para fE a partir de fD,
basta trocar o sinal do número de onda k.
1.3. NOTAÇÃO COMPLEXA
Um número complexo c é definido por c = x iy, onde x e y são números reais e
i
1
. Dizemos que x é a parte real de c (x = Rec) e que y é a parte imaginária de c (y = Imc). Podemos, assim, representar o número complexo c por um vetor em um plano, onde as componentes cartesianas são x e y. O módulo de c é um número real não negativo definido por2 2
y
x
c
r
. (1.11)Seja é o ângulo que o “vetor” c faz com o eixo x, de modo que x = rcos e y = rsen. Nas coordenadas
polares (r, ), uma notação conveniente para o número c é a notação de Euler
i
re
c
, (1.12)onde
e
i
cos
i
sen
.A notação de Euler (1.12), como veremos, é particularmente útil como ferramenta matemática no tratamento de fenômenos ondulatórios. O principal ingrediente é o fato de que, por exemplo,
( )
Re
cos
kz
t
e
ikzt . (1.13)4
1.4. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO EM UMA INTERFACEConsidere duas cordas semi-infinitas com densidades uniformes 1 e 2, unidas por um nó
localizado em z = 0, como esquematizado na Fig. 4 abaixo. Suponha que uma onda senoidal incide sobre o nó da esquerda para a direita. Ou seja, alguém agita a corda em z ∞ e ela vibra com uma única frequência em toda sua extensão. A tensão também é a mesma em todos os pontos da corda. Portanto, se 1 ≠ 2, v1 ≠ v2 e, consequentemente, k1 ≠ k2. Em outras palavras, as velocidades de propagação e os
comprimentos de onda são diferentes nas duas regiões, z < 0 (“Região 1”) e z > 0 (“Região 2”).
FIG. 4
A onda incidente na região 1 pode ser escrita como
I
I
I
z
t
A
k
z
t
f
(
,
)
cos
1
.(1.14)Por enquanto, vamos identificar números complexos através de um “~”. Considere, então, o número complexo kz t i I I
z
t
A
e
f
(
,
)
~
1~
, (1.15) onde i I I IA
e
A
~
. Claramente, vemos quef
I(
z
,
t
)
Re
~
f
I(
z
,
t
)
. Evidentemente, números complexos não representam grandezas mensuráveis e usaremos a notação complexa apenas em manipulações algébricas. Em estado estacionário (t >> 0), a solução da equação de onda (1.6) para o sistema da Fig. 4 requer ainda uma onda refletida e outra transmitida pelo nó. A onda refletida propaga-se para a esquerda na região 1, sendo escrita como) ( 1
~
)
,
(
~
i kz t R Rz
t
A
e
f
. (1.16)A onda transmitida propaga-se para a direita na região 2, sendo escrita como
) ( 2
~
)
,
(
~
ikz t T Tz
t
A
e
f
(1.17)Resumindo, na região 1 (z < 0), a solução da equação de onda (1.6) é do tipo
) ( ) ( 1 1 1
~
~
)
,
(
~
)
,
(
~
)
,
(
~
i kz t R t z k i I R Iz
t
f
z
t
A
e
A
e
f
t
z
f
. (1.18)Na região 2 (z > 0), a solução é
~
f
2(
z
,
t
)
~
f
T(
z
,
t
)
, dada em (1.17). Suponha, então, que são conhecidas as densidades 1 e 2, a frequência e a amplitude da onda incidenteA
I~
. O problema agora é encontrar as amplitudes das ondas refletida e transmitida. Para isso, temos que considerar propriedades do nó para que fiquem estabelecidas as condições de contorno em z = 0. O caso mais simples é aquele em
Nó
2
1z
5
que supomos que o nó é puntiforme e tem massa desprezível. Neste caso, a solução e sua derivada são contínuas na interface. Explicitamente:Condição 1: Continuidade da função de onda.
R R I
A
A
A
t
f
t
f
1(
0
,
)
2(
0
,
)
~
~
~
. (1.19)Condição 2: Continuidade da derivada da função de onda.
I R
T z zk
A
A
k
A
z
f
z
f
~
~
~
2 1 0 2 0 1
. (1.20)Multiplicando a equação (1.19) por k1 e somando o resultado com a equação (1.20), segue que
I T
A
k
k
k
A
~
2
~
2 1 1
. (1.21)Agora, multiplicando (1.19) por (k2) e somando com (1.20), obtemos
I R
A
k
k
k
k
A
~
~
2 1 2 1
. (1.22)As equações (1.21) e (1.22) fecham a solução do problema. Vamos explorá-las um pouco mais. As potências médias transmitidas pelas ondas senoidais envolvidas neste problema são (veja seu livro de Física 2) 2 2 1 1
~
2
1
I Iv
A
P
, (1.23a) 2 2 1 1~
2
1
R Rv
A
P
e (1.23b) 2 2 2 2~
2
1
T Tv
A
P
. (1.23a)Definindo o coeficiente de reflexão por CR = PR/PI e o coeficiente de transmissão por CT = PT/PI, é fácil
verificar que
2 2 1 2 2 1k
k
k
k
C
R
, (1.24)
2 2 1 2 1 2 2 1 24
k
k
k
k
A
A
k
k
C
I T T
(1.25)e que, portanto, CR CT 1, como deveria ser, uma vez que a energia é conservada. Ao longo do curso de
Física 4 encontraremos situações similares a esta envolvendo ondas eletromagnéticas e ondas de matéria.
Pense nisto: Como você calcularia os coeficientes CR e CT de uma estrutura composta por duas cordas de
mesma densidade 1, semi-infinitas, separadas por um segmento de comprimento L e densidade 2?
![Referências técnicas para atuação de psicólogas(os) em Programas de Atenção à Mulher em situação de Violência [2013] - CREPOP CREPOP](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)