Ciclos limites em Sistemas Rígidos.

(1)

Programa de PósGraduação em Matemáti a

CICLOS LIMITES EM SISTEMAS RÍGIDOS

Thais Presses Mendes

Orientador: Prof. Dr. Fabio S al o Dias

(2)

Programa de PósGraduação em Matemáti a

CICLOS LIMITES EM SISTEMAS RÍGIDOS

Thais Presses Mendes

Orientador: Prof. Dr. Fabio S al o Dias

Dissertação submetida aoProgramade PósGraduação emMatemáti a omo

parte dos requisitospara obtenção doTítulo de Mestre em Ciên iasem

Matemáti a

Itajubá MG

(3)

Dedi o este trabalho aos meus pais, Carla e Amauri, ao meu irmão Gabriel e

(4)

AgradeçoaDeus portodas as bênçãosderramadas sobreminha vidaeporme

on eder pa iên ia e fé para superar os momentosdifí eis e onseguir umprir

esta etapa.

Aos meus pais, Carla e Amauri, pelo amor, arinho e apoio em todos os

momentos da minha vida. Por renun iarem aos seus sonhos para que eu

on-quiste osmeuse porseremmeus exemploseminha forçaemtodos osdesaos.

Agradeçotambém aomeu irmão Gabrielpeloapoioe amizade.

Aosmeus avós, José Améri oe Carmélia,pelos uidados e afeto. À minha

avó Lourdes, pelo arinho, onselhos e por todas as vezes que me a almou

quando o ansaço eo desânimo tomaram onta de mim.

Agradeçoimensamenteaomeuorientador,FabioS al oDias,pelapa iên ia

e omprometimento em sua orientação, pelo onvívio, pelas palavras sempre

motivadorasepelaenormededi ação omoprofessoreorientador. Seusvaliosos

ensinamentosesuaatençãodesmedidaforamfundamentaisparaessa onquista

epara minha formação.

AomeunamoradoKikopeloamor, arinhoein entivo. Muitoobrigadapor

estar aomeu lado em todos os momentos.

ÀSra. DelmindaeDr. Clésio,deixominhagratidãoporteremme re ebido

em sua asa e por se tornarem uma verdadeira família pra mim. Além da

alegria de on luir este urso, levo o imenso prazer de tê-los onhe ido e de

poder onviver e aprender om vo ês durante esses anos. Tambémagradeço a

todasua família,em espe ial, àIsa e Clesinhopelo arinhoe amizade.

(5)

maneiraespe ial, àHelena, Nathali,ZizieAndrezinhoqueapesar dadistân ia

efalta de temposempre estiveram presentes.

Aosprofessores daUNIFEI pelos ensinamentos. Prin ipalmente, ao

profes-sor Antnio Carlos Fernandes pela generosidade e ompreensão, ao professor

DenisBragapeladisponibilidade egentilezade ontribuir om apesquisae ao

professor Luis Fernando de Osório Mello pela atenção e ontribuições à

pes-quisa. Agradeçotambémaosfun ionáriosdauniversidadequepropor ionaram

um ambientemais agradável para nossos estudos.

A todososamigos domestrado,emespe ial,Mariane,Jarne, Filipe,Sueni,

Jerusa, Willian, Carol, Luana, Fernando, Alexandre, Antnio e Tiago, pelos

momentos de aprendizagem e des ontração que alegraram meus dias durante

todoo urso.

A todos os meus familiares quetor eram e rezarampormim.

À CAPES pelosuporte nan eiro.

Enm,atodosquedealgumaforma ontribuíramparaessa onquista,meu

(6)

...paramim, é impossível existirsem sonho. A vidana sua totalidade me

ensinou omo grande liçãoque é impossível assumi-lasem ris o.

(7)

O objetivo desta dissertação é estudar i los limites e entros para famílias

parti ularesdo sistemarígido







x

′

= −y + xF (x, y),

y

′

= x + yF (x, y),

onde

F : R

2 _{→ R}

é uma função analíti a om

F (0, 0) = 0

. Em parti u-lar, estudamos a existên ia de i los limites de pequenas amplitudes quando

F (x, y) = a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2

,

F (x, y) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

e

F (x, y) = a

0 + a

2 x

2 _{+ · · · + a}

N

x

N

+ b

0 + b

2 y

2 + · · · + b

N

y

N

, onde

N = 2n

. Além disso, estudamos o retrato de fase global deste sistema onsiderando

F (x, y) = a

0 + a

1 x + a

2 x

2

e on luímos que este sistema tem no máximo um i lo limite.

Palavras have: Sistemas rígidos, problema fo o- entro, i los limites,

(8)

The aim of this dissertation is to study limit y les and enters for parti ular

familiesof the rigid system







x

′

= −y + xF (x, y),

y

′

= x + yF (x, y),

(1) where

F : R

2 _{→ R}

is a analyti fun tion with

F (0, 0) = 0

. In parti ular, we study the existen e of small amplitude limit y les when

F (x, y) = a +

bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2

,

F (x, y) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

and

F (x, y) =

a

0 + a

2 x

2 + · · ·+a

N

x

N

+ b

0 + b

2 y

2 + · · ·+b

N

y

N

,where

N = 2n

. Furthermore,we study the globalphaseportraitof this systemwhen

F (x, y) = a

0 + a

1 x + a

2 x

2

,

and we on lude that this system has atmost one limit y le.

Keywords: Rigid systems, enter-fo us problem, limit y les, global phase

(9)

Agrade imentos ii Resumo v Abstra t vi Índi e vii Lista de Figuras ix 1 Introdução 1 2 Resultados Preliminares 5 2.1 O ProblemaFo o entroem

R

2

. . . 5

2.2 Estabilidade Lo alSegundo Lyapunov . . . 7

2.3 Valores Fo ais e Coe ientes de Lyapunov . . . 8

3 Centros e Ci los Limites de Pequenas Amplitudes 17

3.1

F (x, y) = a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2

. . . 18 3.2

F (x, y) = F (x) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

. . . 22 3.3

F (x, y) = a

0 + a

2 x

2 _{+ · · · + a}

N

x

N

+ b

0 + b

2 y

2 + · · · + b

N

y

N

. . . 30

4 Retrato de Fase Global para uma Classe de Sistemas Rígidos 38

4.1 Motivação . . . 38

4.2 A Bifur ação de Hopf . . . 39

(10)

4.4 Número Máximo de Ci los Limites . . . 47

4.4.1 Estudona parte ompa ta doplano . . . 47

4.4.2 Retratode faseglobal . . . 49

Con lusões e Trabalhos Futuros 57

(11)

3.1 Dois i los limites dosistema (3.14) . . . 29

3.2 Dois i los limites dosistema (3.18) . . . 37

4.1 Retrato de fasedosistema

X = (−y + x(µ − x

2 _{− y}

2 _{), x + y(µ −}

x

2 _{− y}

2 ))

ilustrando uma bifur ação de Hopf. . . 41

4.2 Projeção entral . . . 43

4.3 Blow-up e blow-down da singularidade úspide . . . 50

4.4 Retratos de fase dosistema (4.19) . . . 55

(12)

Introdução

A TeoriaQualitativadas Equações Diferen iais Ordináriasini ia-se om

Poin- aré [20℄ em 1881. Nesta Teoria, as pesquisas sobre i los limites, que são

órbitas periódi as isoladas, onstituem uma das partes mais difí eis e

interes-santes. A noção de i lo limite para ampos vetoriais planares também foi

introduzidaporPoin aré.

No m da dé ada de 1920, van der Pol [25℄, Liénard [16℄ e Andronov [3℄,

no estudo de os ilações não lineares de fenmenos elétri os, obtiveram ertas

equações espe iais de segunda ordem para as quais o orriam os i los limites,

omo havia idealizado Poin aré. Após tal veri ação, matemáti os e físi os

estudaram extensivamente a não-existên ia, a existên ia e a uni idade, entre

outraspropriedades de i los limites.

O problema mais famoso sobre i los limites foi proposto por Hilbert. No

CongressoInterna ionaldeMatemáti adeParisem1900,Hilbert[12℄divulgou

uma lista om 23 problemas. Dentre eles, o

16 ◦

Problema, ou pelo menos sua

segunda parte, ainda en ontra-se sem solução e refere-se à determinação do

númeromáximode i loslimites,denotadopor

H(n)

,deumsistemapolinomial de grau

n

dotipo











x

′

=

m

X

i+j=0

a

ij

x

i

y

j

,

y

′

=

k

X

i+j=0

b

ij

x

i

y

j

,

(13)

onde

n

é omáximo entre os graus

m

e

k

. Mais espe i amente:

Qualéonúmeromáximode i loslimitesde um ampovetorialpolinomial

de grau

n

equais são suas posições relativas. Sabemos que qualquer sistema linear em

R

2

não tem i lo limite. Logo,

H(1) = 0

. Pou o se sabe ainda sobre

H(2)

. Em 1954, o matemáti o russo N.N Bautin [4℄ provou que qualquer sistema quadráti o tem no máximo três

i los limites de pequenas amplitudes, ou seja, bifur ando da origem. Mais

espe i amente, Bautin onseguiu exibir expli itamente um número nito de

ondições algébri as ne essárias e su ientes para que o ponto de equilíbrio

seja um entro. Por algum tempo a reditou-se que

H(2) = 3

, mas, em 1980, Songling [22℄ produziu um exemplo de sistema quadráti o om quatro i los

limites. Portanto,

H(2) ≤ 4

. Perante todas as evidên ias a redita-se que

H(2) = 4

.

Para o estudo de otas superiores de i los limites para sistemas planares

éne essário oentendimento doretrato de fase edo omportamento do ampo

no innito. Para ampos de vetores polinomiais, isto é possível através da

ompa ti ação de Poin aré. A ideia é analisar o omportamento global de

sistemas dinâmi os planares usando a projeção entral da esfera de Poin aré

sobre um plano. Este tipo de projeção entral, introduzida por Poin aré, tem

a vantagem de que as singularidades no innito estão espalhadas ao longo do

equador daesfera de Poin aré. Pode a onte er que estas singularidades sejam

não elementares, isto é, quando um ou ambos autovalores sejam nulos e o

prin ípio de redução ao omportamento entral não se apli a. Nestes asos,

podemos usar o pro esso de desingularização, onhe ido omo blow-up,para

melhorentender estas singularidades.

Outro problema interessante é o problema fo o- entro. Grosseiramente

fa-lando, trata-se de de idir se um equilíbrio de um sistema planar, uja

lineari-zaçãoé um entro, éum fo oou um entro.

Cál ulosrelativamentesimplesmostram que,quando a linearizaçãodo

(14)

imaginárias diferentes de zero, o ponto de equilíbrio é um fo o (atrator ou

repulsor). Se, no entanto, as partes reais dos autovalores são iguais a zero,

então a estabilidade do ponto de equilíbrio depende dos termos não-lineares

de uma forma não trivial. Um método geral, devido à Poin aré e Lyapunov,

reduz o problema fo o- entro ao de resolver um sistema innito de equações

polinomiais. Ou seja, o problema fo o- entro é reduzido ao problema de

en- ontrar a variedade do ideal gerado por uma oleção de polinmios, hamado

de quantidades fo ais (

η

2k

) do sistema. Segue do Teorema da Base de Hil-bert que todo ideal polinomialé gerado por um número nito de polinmios.

Desta forma, deve existir um

k ∈ IN

tal que o ideal

B = hη

2 , η

4 , . . .i

satisfaça

B = B

k

= hη

2 , η

4 , . . . , η

2k

i.

Assim, o problema fo o- entro estará resolvido se en ontrarmos um número

k

tal que

B = B

k

. Na práti a, en ontrar

k

é muito difí il.

Comoo

16 ◦

Problemaoriginaleoproblema fo o- entrosão, de fato,muito

amplos,podemosestudaras hamadasversõesrestritasdestesproblemas. Uma

destas versões dizrespeito aos sistemas rígidos.

Considere o sistema







x

′

= −y + xF (x, y),

y

′

= x + yF (x, y),

(1.1) onde

F : R

2 _{→ R}

é uma função analíti a om

F (0, 0) = 0

. Este sistema é hamado rígido ou uniformemente isó rono. Esses termos devem-se ao

fatode queem oordenadas polares

(r, θ)

, o sistema

(1.1)

é dado por







r

′

= rF (rcosθ, rsenθ),

θ

′

= 1.

Assim,temos asseguintes propriedades: aorigeméoúni opontode equilíbrio

dosistema e sea origemé um entro, então elaé um entroisó rono,ou seja,

todas as órbitas tem o mesmo período. Esta última propriedade é uma razão

pela qual os sistemas rígidos têm sido estudados em vários artigos. Ver, por

(15)

Nesta dissertação estudaremos estes problemas para três famílias

parti u-lares dosistema

(1.1)

.

Para uma visão ompleta desta dissertação, os apítulos subsequentes

en ontram-se assim organizados:

X

CAPÍTULO2: Apresentaremosasdeniçõesdevaloresfo ais,basefo al e o método riado por Lyapunov para en ontrar os oe ientes de Lyapunov

am de determinar aestabilidade de um ponto de equilíbrio.

X

CAPÍTULO3: Estudaremosoproblemafo o- entroparaosistema

(1.1)

onsiderandofunções

F (x, y)

parti ulares, asaber:

1.

F (x, y) = a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2 _,

2.

F (x, y) = F (x) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

_,

ou

F (x, y) = F (y) = a

0 + a

1 y +

· · · + a

N

y

N

,

onde

N = 2n

ou

N = 2n + 1

, 3.

F (x, y) = (a

0 + a

2 x

2 _{+ · · · + a}

N

x

N

) + (b

0 + b

2 y

2 + · · · + b

N

y

N

),

onde

N = 2n

,

n ≥ 0

.

Além dos on eitos apresentados no Capítulo

2

, a denição de sistema do tipotempo-reversívelserá umaferramentafundamental. Apresentaremos

tam-bém ondições para aexistên ia de i loslimites de pequenas amplitudes.

X

CAPÍTULO 4: Ini iaremos este apítulo om uma noção super ial de bifur ação de Hopf para ompreender o surgimento de i los limites. Em

se-guida, estudaremos a ompa ti ação de Poin aré para fazer uma análise do

omportamentodas órbitas noinnito. Com isso, será possível obtero retrato

de fase global dosistema







x

′

= −y + x(a

0 + a

1 x + a

2 x

2 ),

y

′

= x + y(a

0 + a

1 x + a

2 x

2 ),

onsiderandotodas asvariaçõesdos parâmetros

a

0

e

a

2

. Por m, mostraremos queeste sistematem no máximo1(um) i lo limite.

(16)

Resultados Preliminares

Neste apítuloapresentaremosalguns on eitos preliminaresqueserão

ne essá-rios no de orrer desta dissertação. Em parti ular, introduziremos o problema

fo o- entro em

R

2

e as denições de valores fo ais e base fo al. Estudaremos

um método omputa ionale ientepara en ontrar as onstantes de Lyapunov

ede idiraestabilidadedeumpontode equilíbrio. Durantetodotrabalho,esses

on eitos serão analisados para sistemas rígidos.

2.1 O Problema Fo o entro em

R

2

Considere osistema







x

′

= ˜

P (x, y)

y

′

= ˜

Q(x, y)

(2.1)

onde

P

˜

e

Q

˜

são funções analíti as. Suponha que a origem

(0, 0)

seja um ponto de equilíbrio isolado, isto é, existe uma vizinhança ontendo a origem

na qual ela é o úni o ponto de equilíbrio. Considere o ampo de vetores

X(x, y) = ( ˜

P (x, y), ˜

Q(x, y))

asso iado ao sistema

(2.1)

. Suponha ainda que a matriz Ja obiana

J = DX(0, 0)

tenha autovalores omplexos onjugados, o quegaranteque numa vizinhançasu ientementepróxima daorigem, as

solu-çõesde

(2.1)

ir ulama origem.

(17)

éum fo o (atratorourepulsor) ouum entro.

Se a origem for um ponto singular hiperbóli o, ou seja, os autovalores da

matrizJa obiana

J(0, 0) = DX(0, 0)

foremdaforma

λ

1,2

= α ± iβ

om

α 6= 0

, então oteoremade Hartman-Grobman garanteque osistema line-arizado des reve o omportamento do sistema não linear próximo da origem,

ouseja,o omportamentonumavizinhançadaorigemésempremodeladopelo

omportamentoda partelinear epodemosignorar os termosde ordem

supe-rior. Neste aso,veremosmais adianteque aorigeméum fo oatrator

(α < 0)

ou um fo o repulsor

(α > 0)

. Assim, é de nosso interesse o problema fo o- entro quando os autovalores da matriz Ja obiana

J(0, 0) = DX(0, 0)

são da forma

λ

1,2

= ±iβ

om

β 6= 0.

Notemos que, neste aso, a origem é um ponto de equilíbrio não hiperbóli o e, portanto, o sistema linearizado não des reve ne essariamente

o omportamento do sistema não linear próximo da origem. Veremos omo

resolverefetivamenteeste problema para algumas lasses de sistemas rígidos.

Exemplo 2.1.1. Considere o sistema rígido dado por







x

′

= −y + xF (x, y),

y

′

= x + yF (x, y),

onde

F (x, y)

é uma função real analíti a om

F (0, 0) = 0

. É fá il ver que a origem é o úni o ponto de equilíbrio deste sistema e é um fo o ou um entro.

Paraessessistemasoproblemafo o- entroéequivalenteaoproblemadaiso

ro-ni idade, ou seja, quando toda órbita periódi a em uma vizinhança da origem

tem omesmo período. De fato,em oordenadas polares

(r, θ)

este sistemapode ser es rito omo







r

′

= rF (rcosθ, rsenθ),

θ

′

= 1,

(18)

2.2 Estabilidade Lo al Segundo Lyapunov

Nesta seção apresentaremos algumas denições e o ritério de Lyapunov, os

quaisreferem-se aestabilidade de um pontode equilíbrio.

Denição 2.2.1. Dados

X : U ⊆ R

n

_{→ R}

n

um ampo vetorial, onde

U

é um aberto de

R

2

e

p ∈ U

uma singularidade do ampo

X

, temos que:

a)

p

é estável se dado qualquer

ε > 0

, existeum

δ > 0

, tal que

kx − pk < δ

impli a

kϕ(t, x) − pk < ε

, para todo

t > 0

, onde

ϕ(t, x)

éa urva integral de

X

;

b)

p

é instável se não for estável;

)

p

é assintoti amente estável se

p

é estávele,além disso, existe

ε > 0

, tal que

kx − pk < ε

impli a

lim

t→∞

ϕ(t, x) = p

;

d)

p

éassintoti amenteinstávelse

p

éinstávele,alémdisso,existe

ε > 0

, tal que

kx − pk < ε

impli a

lim

t→−∞

ϕ(t, x) = p

.

Considere um ampo vetorial

X

e

V : U → R

uma função de lasse

C

1

.

Denimos aderivada de

V

na direçãodo ampo

X

no ponto

p ∈ U

por

˙

V (p) = ∇V (p) · X(p).

Denição 2.2.2. Dados o ampo

X

e a função

V

omo a ima. Considere

p ∈ V ⊂ U

um ponto singular de

X

, temos que

a)

V

é uma função de Lyapunov para o ampo

X

se

V (x) ≥ 0

,

∀x ∈ V

,

V (x) = 0

se, e somente se,

x = p

e

V ≤ 0,

˙

para todo

x ∈ V;

b)

V

é uma função de Lyapunov estrita para o ampo

X

se

V

é função de Lyapunov e, além disso,

V < 0

˙

, para todo

x ∈ V.

Teorema 2.2.1. (Critériode Lyapunov). Seja

p

umasingularidadeisolada do ampo

X

. SeexistirumafunçãodeLyapunov

V

denida emalgumdomínio

(19)

U ⊆ R

2

ontendo

p

,então

p

é umasingularidadeestável. Se

V

foruma fun-ção de Lyapunov estrita então

p

será uma singularidade assintoti amente estável.

Demonstração: A demonstração deste teorema pode ser en ontrada no

livro[23℄.

2.3 Valores Fo ais e Coe ientes de Lyapunov

Nesta seção apresentaremos um método omputa ionale iente [14℄ para

al- ular os oe ientes de Lyapunov, tais oe ientes darão informações sobre a

estabilidadede uma singularidade.

Considere o ampo

X = ( ˜

P , ˜

Q)

(2.1)

. Suponha que sua linearização na origem apresente um fo o ou um entro. Com mudanças

adequadas de oordenadas, osistema (2.1) pode ser es rito omo







x

′

= y + λx + P (x, y),

y

′

= −x + λy + Q(x, y),

(2.2)

onde

P

e

Q

são funções analíti as ujos desenvolvimentos de Taylor na ori-gem omeçam om, pelo menos, termos quadráti os. Considere a função de

Lyapunov

V (x, y) =

1

2 (x

2 _{+ y}

2 _).

Assim,

˙

V = ∇V · X = (x, y)(y + λx + P, −x + λy + Q)

= λx

2 _{+ xP + λy}

2 _{+ yQ}

= λ(x

2 _{+ y}

2 _{) + xP + yQ.}

Desta forma o sinal de

V

˙

em uma vizinhança da origem é determinado pelo sinalde

λ.

Se

λ 6= 0

dizemosqueaorigeméumfo oforte. PeloTeorema2.2.1, se

λ < 0

a origem é assintoti amente estável e se

λ > 0

a origem é instável. Quando

λ = 0

dizemosque aorigem éum fo o fra o ou um entro.

Daquiparafrente,queremosestudaraestabilidadedoequilíbrio

(0, 0)

quando

(20)







x

′

= y + P (x, y),

y

′

= −x + Q(x, y),

(2.3) om

P (x, y) =

m

X

k=2

P

k

(x, y) + O k(x, y)k

m+1

,

Q(x, y) =

m

X

k=2

Q

k

(x, y) + O k(x, y)k

m+1

,

onde

P

k

(x, y) =

k

X

j=0

p

k−j,j

x

k−j

y

j

,

Q

k

(x, y) =

k

X

j=0

q

k−j,j

x

k−j

y

j

.

A notação

O

denota a expansão em série de Taylor, em torno da origem, ini iando-senos termosde ordem

(m + 1)

nomínimo.

Considere a função dada por

V (x, y) =

1

2 (x

2 _{+ y}

2 _{) +}

m+1

X

k=3

V

k

(x, y) + O k(x, y)k

m+2

,

(2.4) om

V

k

(x, y) =

k

X

j=0

V

k−j,j

x

k−j

y

j

(2.5)

polinmioshomogêneosde grau

k

nasvariáveis

x

e

y

. Tomandoaexpansãoem série de Tayloraté ostermos de ordem

3

,o sistema (2.3) assumea forma







x

′

= y + P

2 (x, y) + P

3 (x, y) + O (k(x, y)k

4 ) ,

y

′

= −x + Q

2 (x, y) + Q

3 (x, y) + O (k(x, y)k

4 ) ,

(2.6) om

P

2 (x, y) = p

20 x

2 + p

11 xy + p

02 y

2 ,

P

3 (x, y) = p

30 x

3 + p

21 x

2 y + p

12 xy

2 + p

03 y

3 ,

Q

2 (x, y) = q

20 x

2 + q

11 xy + q

02 y

2 ,

Q

3 (x, y) = q

30 x

3 + q

21 x

2 y + q

12 xy

2 + q

03 y

3 .

A função (2.4) om

m = 3

édada por

V (x, y) =

1

2 (x

2 _{+ y}

2 _{) + V}

3 (x, y) + V

4 (x, y) + O k(x, y)k

5 ,

(2.7)

(21)

om

V

3 (x, y) = V

30 x

3 + V

21 x

2 y + V

12 xy

2 + V

03 y

3 ,

V

4 (x, y) = V

40 x

4 + V

31 x

3 y + V

22 x

2 y

2 + V

13 xy

3 + V

04 y

4 .

Diferen iando(2.7) ao longo das órbitas de (2.6) segue que

˙

V (x, y) =

R

3 (x, y) +

y

∂V

3 ∂x

(x, y) − x

∂V

3 ∂y

(x, y)

+

R

4 (x, y)+

y

∂V

4 ∂x

(x, y) − x

∂V

4 ∂y

(x, y)

+ O k(x, y)k

5 ,

(2.8) om

R

3 (x, y) = xP

2 (x, y) + yQ

2 (x, y),

R

4 (x, y) = xP

3 (x, y) + yQ

3 (x, y) + P

2 (x, y)

∂V

3 ∂x

(x, y) + Q

2 (x, y)

∂V

3 ∂y

(x, y).

Considere os seguintes espaçosvetoriais

P

n

=

(

p(x, y) =

n

X

j=0

a

n−j,j

x

n−j

y

j

: grau(p(x, y)) = n, a

n−j,j

∈ R

)

S

polinmionulo

R

n+1

₌

(

u : u =

n

X

j=0

u

n−j,j

e

j+1

, u

n−j,j

∈ R

)

.

Os onjuntos

B

n

P

= {x

n

, x

n−1

y, · · · , xy

n−1

, y

n

}

e

B

n+1

R

= {e

1 , e

2 , · · · , e

n

, e

n+1

}

sãobasespara

P

n

e

R

n+1

,respe tivamente. Abase

B

n+1

R

éa anni a em

R

n+1

. A transformação linearde

P

n

em

R

n+1

tem a seguinte onstrução

S

n

: P

n

→ R

n+1

p(x, y) =

n

X

j=0

a

n−j,j

x

n−j

y

j

7→ u =

n

X

j=0

a

n−j,j

e

j+1

.

Considere agora a seguintetransformação linear

T

n

:

P

n

→ P

n

p(x, y) 7→ T

n

(p(x, y)) = y

∂p

∂x

(x, y) − x

∂p

∂y

(x, y).

(22)

Tomando as bases

B

3 P

e

B

4 P

para

P

3

e

P

4

, respe tivamente, asmatrizes

A

3

e

A

4

, om relação a essas bases, são respe tivamente

A

3 =







0 −1

0

3

0 ₋₂

0

2

0 ₋₃

0

1

0 





e

A

4 =







0 −1

0

4

0 ₋₂

0

3

0 ₋₃

0

2

0 ₋₄

0

1

0 





.

Proposição2.3.1. Atransformação linear

T

3

éumisomorsmo. Onú leoda transformação

T

4

tem dimensão

1

e a imagem dimensão

4

. Uma base para o nú leo é

{(x

2 _{+ y}

2 ₎

2 _}

.

Demonstração: O nú leo da transformação linear

T

3

é trivial, visto que

Det(A

3 ) = 9

. Logo,

T

3

é injetora. Para provar que

T

3

é sobrejetora, basta observarquea

dim(Im(T

3 )) = 4

eque

{T

3 (x

3 _{), T}

3 (x

2 y), T

3 (xy

2 ), T

3 (y

3 )}

éuma base para a imagem

T

3

e para

P

3

. Como

T

3

é bijetora, admite uma transfor-mação inversa a qual também é linear e bijetora. A matriz

A

4

é equivalente porlinhas a matrizes alonada reduzida porlinhas







1 0 0 0 −1

0 1 0 0

0 0 0 1 0 −2

0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 





.

Assim,o

posto(A

4 ) = 4

e, onsequentemente,onú leode

T

4

temdimensão

1

ea imagem dimensão

4

. De um ál ulo simples

A

4 S

4 (p(x, y)) = 0

,

p(x, y) ∈ P

4

, segue que

S

−

₁

4 (1, 0, 2, 0, 1) = (x

2 + y

2 )

2

.

Resulta da Proposição 2.3.1 que

V

3 (x, y)

pode ser es olhido de maneira úni a de forma a an elar os termos de grau

3

de (2.3). Tal es olha é feita resolvendo-seo sistema linear

(23)

onde

S

3 (V

3 (x, y)) = (V

30 , V

21 , V

12 , V

03 ),

S

3 (xP

2 (x, y) + yQ

2 (x, y)) = (p

20 , p

11 + q

20 , p

02 + q

11 , q

02 ).

Segue que

(V

30 , V

21 , V

12 , V

03 ) =

−

1 ₃

(p

11 + q

20 + 2q

02 ), p

20 , −q

02 ,

1

3 (p

02 + 2p

20 + q

11 )

.

Amesmametodologianão pode serapli adaparaaes olhados oe ientes

de

V

4 (x, y)

,pois

T

4

nãoéisomorsmo. Contudo,

V

4 (x, y)

podeser es olhido de forma que

V (x, y)

˙

tenha um sinal bem denido. Isto pode ser feito impondo que os termos de ordem

4

de (2.3) pertençam ao nú leo de

T

4

. Assim, os oe ientes de

V

4 (x, y)

podem ser obtidosatravésde

A

4 S

4 xP

3 (x, y) + yQ

3 (x, y) + P

2 (x, y)

∂V

3 ∂x

(x, y) + Q

2 (x, y)

∂V

3 ∂y

(x, y)

+

+ A

4 S

4 (V

4 (x, y))

= 0,

onde

S

4 (V

4 (x, y)) = (V

40 , V

31 , V

22 , V

13 , V

04 ),

S

4 xP

3 (x, y) + yQ

3 (x, y) + P

2 (x, y)

∂V

3 ∂x

(x, y) + Q

2 ∂V

3 ∂y

(x, y)

=

= (s

40 , s

31 , s

22 , s

13 , s

04 ),

om

s

40 = p

11 p

20 + p

30 + 2p

20 q

02 ,

s

31 = p

2

11 − 2p

2

20 + p

21 − p

20 q

11 + 2q

20 q

02 + p

11 (q

20 + 2q

02 ) + q

30 ,

s

22 = p

12 − 2p

20 p

11 + p

02 (p

11 + 2q

02 ) + 2q

11 q

02 − 2p

20 q

20 − q

11 q

20 + q

21 ,

s

13 = p

03 + p

11 q

02 + 2q

2

02 − 2p

20 q

11 − q

11

2 − p

02 (2p

20 + q

11 ) + q

12 ,

s

04 = −2p

20 q

02 − q

11 q

02 + q

03 .

(24)

Logo,

V

40 =

1

4 2 q

02 q

20 − q

12 − 3 p

20 q

11 − q

30 − 2 p

20

2 _{+ p}

11

2 + 3 q

02 p

11 + p

11 q

20 −

p

21 + 2 q

02

2 − q

11 p

02 − q

11

2 − p

03 − 2 p

20 p

02 + 1,

V

31 =

1

8 5 p

30 − 7 p

20 p

11 − 16 q

02 p

20 − 3 q

03 − q

21 − q

02 q

11 − 2 p

20 q

20 − q

20 q

11 +

p

02 p

11 + 2 q

02 p

02 − p

12 ,

V

22 =

1

2 2q

02

2 − q

11 p

02 − 2p

20 q

11 − q

11

2 + q

02 p

11 − q

12 − p

03 − 2p

20 p

02 + 2,

V

13 =

1

8 3 p

30 − p

20 p

11 − 16 q

02 p

20 − 5 q

03 + q

21 − 7 q

02 q

11 + 2 p

20 q

20 − p

02 p

11 +

q

20 q

11 − 2 q

02 p

02 + p

12 ,

V

04 =1.

Com estas es olhas feitaspara

V

3 (x, y)

e

V

4 (x, y)

,segue que

˙

V (x, y) = η

4 (x

2 + y

2 )

2 + O k(x, y)k

5 ,

(2.9) om

η

4 =

1

8 3 q

03 − p

20 p

11 +3 p

30 + q

21 + q

02 q

11 +2 p

20 q

20 + q

20 q

11 − p

02 p

11 −2 q

02 p

02 + p

12 .

(2.10)

A equação (2.9) determina aestabilidade daorigem. De fato,a função

V =

1

2 (x

2 _{+ y}

2 _{) + V}

3 (x, y) + V

4 (x, y)

(2.11) é uma função de Lyapunov em alguma vizinhança da origem. Assim, do T

e-orema 2.2.1, obtemos que se

η

4 < 0

, então a singularidade é assintoti amente estável. Se

η

4 > 0

, então a singularidadeé instável. Quando

η

4 = 0

ainda não podemos determinar aestabilidade daorigem.

Na verdade, o pro esso riado por Lyapunov para estudar a estabilidade

daorigem dosistema (2.3), é um pro esso puramente algébri o. A ideia desse

pro essoé onstruirre ursivamentefunçõesde Lyapunov para osistema(2.3).

A seguir, armamos quea Proposição 2.3.1 éverdadeira para o aso geral.

Proposição2.3.2. Quando

n

éímpar,

T

n

éumisomorsmo. Quando

n

épar,

T

n

possui nú leo de dimensão um gerado por

(x

2 _{+ y}

2 ₎

n

2

.

(25)

Demonstração: A demonstraçãodesta proposição pode ser en ontrada em

[5℄.

Desta forma,se

η

4 = 0

naequação (2.9), podemos pro eder de forma aná-loga ao que já zemos para obter

η

4

e produzir uma nova série

V

, garantida pelaProposição 2.3.2 talque

˙

V = η

6 (x

2 + y

2 )

3 + · · ·

eassim pordiante. Em resumo,

V

pode ser es olhida de talformaque

˙

V = η

4 (x

2 + y

2 )

2 + η

6 (x

2 + y

2 )

3 + · · · + η

2k

(x

2 + y

2 )

k

+ · · ·

Observação 2.3.1. Este resultado sobre estabilidade não exige que o ampo

vetorial

X

seja analíti o. Além disso, os ál ulos formais om a série

V

são justi ados porque a função de Lyapunov

(2.11)

, que é um requisito para a apli ação do Teorema

2.2.1

, a aba por serum polinmio.

Apresentamos agora um teorema bastanteútil sobre aestabilidade.

Teorema2.3.1. Se

η

2k

= 0, k = 2, . . . , N,

mas

η

2N +2

6= 0

,entãoaestabilidade da singularidade na origem é determinada:

•

Se

η

2N +2

< 0

, então a singularidade é assintoti amente estável.

•

Se

η

2N +2

> 0

, a singularidade é instável.

Demonstração: A demonstração deste teorema pode ser en ontrada em

[21℄, página94.

As onstantes

η

2k

são hamadas de valores fo ais. Do método exposto a ima juntamente om o Teorema 2.3.1 temos que, se após um número nito

de etapas determinarmos um valor fo al não nulo, então poderemos

produ-zir uma função de Lyapunov polinomial e assim a usarmos para determinar a

estabilidadedo ponto singular. Contudo, ainda não esgotamos todas as

possi-bilidades: oquea onte esetodososvalores fo ais foremnulos? Estapergunta

(26)

Teorema 2.3.2. (Centro de Lyapunov). Se o ampo vetorial

X

éanalíti o e

η

2k

= 0

para

n = 2, . . . , ∞

então a origem é um entro. Além disso, a série quedene

V

é onvergente numavizinhança da origem e representa uma função ujos onjuntos de nível ontém as órbitas do sistema orrespondente

ao ampo

X

.

[21℄, página94.

Como

η

2k

é relevantesomente quando

η

2l

= 0

para todo

l < k

, tomamos

η

2 = η

4 = · · · = η

2k−2

= 0

nas expressões de

η

2k

.

As quantidades obtidas dessa maneira são hamadas de oe ientes de Lyapunov, e serão denotadas por

L

k

= η

2k+2

, para

k =

0, 1, 2, . . . , ∞.

Se trabalharmos om

P

e

Q

polinmios, segue do Teorema da Base de Hilbert que existe uma onstante

m

talque

L

k

= 0

para todo

k

se, e somente se,

L

k

= 0

se

k ≤ m.

A base

B = {L

0 , L

1 , L

2 , . . . , L

m

}

é hamadade base fo al.

Desta forma é ne essário al ular somente um número nito de

oe i-entes de Lyapunov. Contudo, dado um sistema qualquer, não sabemos a

priori quantos oe ientes temos que al ular para termos a base fo al

B

, om ex eção de alguns asos espe í os. Em geral, os ál ulos dos

oe i-entes de Lyapunov são muito longos e ompli ados, ex eto em alguns asos

mais simples, assim vários métodos omputa ionais tem sido desenvolvidos.

Comoexemplo,apli aremosestepro essoparaosistema úbi orígidoqueserá

estudado noCapítulo

3

.

Exemplo 2.3.1. Considere o sistema







x

′

= −y + x(a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2 _),

y

′

= x + y(a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2 _),

(27)

onde

a, b, c, d, e, f ∈ R

e

d

2 _{+ e}

2 _{+ f}

2 _{6= 0}

.

Suponha

a = 0

, aso ontrário a origem é trivialmente um fo o. Seguindo o pro essodes rito a ima, a função de Lyapunov é dada por

V (x, y) =

1

2 (x

2 _{+ y}

2 _{) + V}

3 (x, y) + V

4 (x, y),

om

V

3 (x, y) = cx

3 − bx

2 y + cxy

2 − by

3

e

V

4 (x, y) = Ax

4 + Bx

3 y + Ax

2 y

2 + Bxy

3 ,

onde

A =

1

2 (3c

2 +e−3b

2 )

e

B =

1

2 (f −d)−3bc.

Comessases olhas onvenientes para

V

3 (x, y)

e

V

4 (x, y)

segue que

˙

V =

∇V · X = η

4 (x

2 + y

2 )

2 + · · · ,

om

L

1 = η

4 = d + f.

Através de ál ulos realizados no programa omputa ional MAPLE, obtemos

também o segundo oe iente de Lyapunov. Neste aso, omitiremos os

valo-res de

V

k

(x, y)

devido à sua extensão. Mas, tomando esses valores espe í os obtemosque

˙

V = ∇V · X = η

4 (x

2 + y

2 )

2 + η

6 (x

2 + y

2 )

3 + · · · ,

onde

• L

1 = η

4 = d + f

,

• L

2 = η

6 = (c

2 − b

2 )d − bce.

No apítulo

3

mostraremosqueoanulamentodoprimeiroesegundo oe i-entes de Lyapunov,

L

1

e

L

2

, juntamente om

a = 0

é uma ondição ne essária esu iente para que aorigem dosistema

(2.12)

sejaum entro.

(28)

Centros e Ci los Limites de

Pequenas Amplitudes

Neste apítuloestudaremosoproblema fo o- entroparaalgumasfamílias

par-ti ularesdosistema rígido:







x

′

= −y + xF (x, y),

y

′

= x + yF (x, y).

(3.1)

O sistema

(3.1)

tem sido estudado por vários autores e, na maioria desses estudos, a função

F

é um polinmiohomogêneo de grau xo ouuma soma de funçõespolinomiaishomogêneas. Ver, por exemplo,[1℄, [6℄, [10℄ e [11℄.

Nas seções seguintes estudaremos om detalhes os três asos men ionados

naintrodução, asaber: 1.

F (x, y) = a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2 _;

2.

F (x, y) = F (x) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

ou

F (x, y) = F (y) = a

0 + a

1 y +

· · · + a

N

y

N

,

onde

N ≥ 1

; 3.

F (x, y) = (a

0 + a

2 x

2 _{+ · · · + a}

N

x

N

) + (b

0 + b

2 y

2 + · · · + b

N

y

N

),

onde

N = 2n

,

n ≥ 0

.

No primeiro aso, exibiremos ondiçõesne essárias e su ientes para que o

(29)

em [6℄eposteriormenteporAlwash em[2℄ onsiderandosoluçõesperiódi asde

uma equação es alar nãoautnoma. Na seção 3.1, provaremos este resultado

usando o on eito de sistemas do tipo tempo-reversível. Nas seções 3.2 e 3.3

estudaremos o segundo e ter eiro asos, respe tivamente. Também daremos

ondiçõesne essáriasesu ientes paraqueosistema(3.1) tenhaum entrona

origem. Este estudo é baseado no artigo[7℄.

Re entemente, LlibreeRabanalem[18℄,estenderamosresultadosdoartigo

[7℄estudando o problema fo o- entropara sistemas rígidosda forma







x

′

= −y + xf(x)g(y),

y

′

= x + yf (x)g(y),

onde

f (x) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

e

g(y) = b

0 + b

1 y + · · · + b

M

y

M

_,

om

N ∈ {2n, 2n + 1} ⊂ IN ∪ {0}

e

M ∈ {2m, 2m + 1} ⊂ IN ∪ {0}.

3.1

F (x, y) = a + bx + cy + dx

2

_{+ exy + f y}

2

Nesta seção onsideraremos o sistemarígido







x

′

= −y + x(a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2 _),

y

′

= x + y(a + bx + cy + dx

2 _{+ exy + f y}

2 _),

(3.2)

onde

a, b, c, d, e, f ∈ R

e

d

2 _{+ e}

2 _{+ f}

2 _{6= 0.}

Nossoobjetivoéexibir ondiçõesne essáriasesu ientespara queaorigem

dosistema

(3.2)

sejaum entro. Umaferramentafundamentalserá adenição de sistemas dotipo tempo-reversível.

Denição 3.1.1. Osistema







x

′

= −y + P (x, y),

y

′

= x + Q(x, y),

(3.3)

onde

P

e

Q

sãofunções analíti as ujos desenvolvimentosde Taylor naorigem omeçam om, pelo menos, termos quadráti os é do tipo tempo-reversível se

existe uma apli ação

R : R

2 _{→ R}

2

tal que

d

(30)

onde

z = (x, y) ∈ R

2

e

f (z) = dz/dt

.

Teorema 3.1.1. Todosistemada forma

(3.3)

do tipotempo-reversíveltem um entro na origem.

[21℄.

Exemplo 3.1.1. Considere o sistema







˙x = −y + xy,

˙y = x − y

2 .

Tomando

R(x, y) = (x, −y)

é fá il ver que

d

dt

(R(z)) = −f(R(z))

. Portanto, este sistema é do tipo tempo-reversível e pelo Teorema

3.1.1

tem um entro na origem.

Apresentaremosaseguirpropriedadesgeraisdosistema

(3.2)

. Notemosque para

a 6= 0

a origemé um fo oatrator (

a < 0

) ouum fo o repulsor(

a > 0

). Proposição 3.1.1. Considere o ampo vetorial

X

(3.2)

om

a = 0

. Então, os dois primeiros oe ientesde Lyapunovsão dados por:

L

1 = d + f

e

L

2 = (c

2 _{− b}

2 _{)d − bce.}

Demonstração: Os ál ulosdesses oe ientesforamapresentadosno

Exem-plo

2.3.1

.

Teorema 3.1.2. A origem é um entro para o sistema

(3.2)

se, e somente se,

a = 0

e

L

1 = L

2 = 0

.

Demonstração:

(⇒)

Trivial.

(⇐)

Suponha que

a = 0

e que os dois primeiros oe ientes de Lyapunov são nulos. Éfá ilverque

L

1 = 0

resultaem

f = −d

. Para

L

2 = (c

2 _−b

2 _{)d−bce = 0}

obtemos quatro possibilidades para os parâmetros presentes no sistema. São

elas:

a)

e =

−

_d(−c

2 _+b

2 ₎

(31)

b)

d = b = 0

e

c 6= 0

; )

d = c = 0

e

b 6= 0

; d)

b = c = 0

e

d 6= 0

.

Considerando sempre

a = 0

e

f = −d

, armamos que para todos os asos a imao sistema

(3.2)

é dotipotempo-reversível esegue doTeorema

3.1.1

que aorigem é um entro.

A prova desta armação será feita om detalhes nolema a seguir.

Lema 3.1.1. Osistema

(3.2)

paraqualquer umadas possibilidadesa imaé do tipo tempo-reversível.

Demonstração:

b) Osistema

(3.2)

, om osdevidos parâmetros, é dadopor







x

′

= −y + x(cy + exy),

y

′

= x + y(cy + exy),

(3.4)

om

c 6= 0

. Tomando

R(x, y) = (x, −y)

segue que

d

dt

(R(x, y)) =

dx

dt

, −

dy

dt

= (−y + x(cy + exy), −x − y(cy + exy)).

Por outro lado,

−f(R(x, y)) = (−y + x(cy + exy), −x − y(cy + exy)).

Desta forma,

d

dt

(R(x, y)) = −f(R(x, y))

. Pela Denição

3.1.1

temos que o sistema

(3.4)

é dotipo tempo-reversível.

)Neste aso, onovo sistema éda forma







x

′

= −y + x(bx + exy),

y

′

= x + y(bx + exy),

(3.5) om

b 6= 0

. Tomando

R(x, y) = (−x, y)

obtemos

d

(32)

e on luímos que o sistema

(3.5)

é dotipo tempo-reversível. d) Para o sistema







x

′

= −y + x(dx

2 _{+ exy − dy}

2 _),

y

′

= x + y(dx

2 _{+ exy − dy}

2 _),

(3.6)

om

d 6= 0

, tomando

R(x, y) = (−x, −y)

e repetindo o pro esso anterior tam-bém on luímos que osistema

(3.6)

é dotipo tempo-reversível.

a) Finalmente, tomando

e =

−

_d(−c

2 _+b

2 ₎

cb

om

cb 6= 0

e substituindo no sistema originalobtemos







x

′

= y + x(bx + cy + dx

2 ₋

d(−c

2 _+b

2 _)xy

cb

− dy

2 _),

y

′

= x + y(bx + cy + dx

2 ₋

d(−c

2 +b

2 )xy

cb

− dy

2 _).

(3.7) Es olhendo

R(x, y) =

−

(−c

2 _{+ b}

2 _)x

b

2 _{+ c}

2 −

2bcy

(b

2 _{+ c}

2 ₎

, −

2bcx

b

2 _{+ c}

2 +

(−c

2 _{+ b}

2 _)y

(b

2 _{+ c}

2 ₎

,

apósalguns ál ulos segueque

d

dt

R(x, y) = −(a(x, y), b(x, y)) = −f(R(x, y)),

onde

a(x, y) =

2bcx

b

2 _{+ c}

2 −

−c

2 _{+ b}

2 _y

b

2 _{+ c}

2 +

b

−c

2 _{+ b}

2 _x

2 b

2 _{+ c}

2 +

c

3b

2 _{− c}

2 _xy

b

2 _{+ c}

2 +

2bc

2 _y

2 b

2 _{+ c}

2 +

d

−c

2 _{+ b}

2 _x

3 b

2 _{+ c}

2 −

d

−4b

2 _c

2 _{+ b}

4 _{+ c}

4 _x

2 _y

bc

(b

2 _{+ c}

2 ₎

−

3d −c

2 _{+ b}

2 _xy

2 b

2 _{+ c}

2 −

2bcy

3 _d

b

2 _{+ c}

2

e

b

_{(x, y) = −}

−c

2 _{+ b}

2 _x

b

2 _{+ c}

2 −

2bcy

b

2 _{+ c}

2 +

2b

2 cx

2 b

2 _{+ c}

2 −

b

−3 c

2 _{+ b}

2 _xy

b

2 _{+ c}

2 −

c

−c

2 _{+ b}

2 _y

2 b

2 _{+ c}

2 +

2bcdx

3 b

2 _{+ c}

2 −

3d −c

2 _{+ b}

2 _x

2 _y

b

2 _{+ c}

2 +

d

_{−4 b}

2 _c

2 _{+ b}

4 _{+ c}

4 _xy

2 bc

(b

2 _{+ c}

2 ₎

+

d

_−c

2 _{+ b}

2 _y

3 b

2 _{+ c}

2 .

(33)

3.2

F (x, y) = F (x) = a

0

+ a

1

x + · · · + a

N

x

N

Nesta seção onsideraremos o sistema







x

′

= −y + xF (x, y),

y

′

= x + yF (x, y),

(3.8)

onde

F

éuma função polinomialde uma variável de umadas seguintes formas

F (x, y) = F (x) = a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

ou

F (x, y) = F (y) = a

0 + a

1 y + · · · + a

N

y

N

,

onde

N ≥ 1

. Am de estudar o omportamento das trajetórias próximo da origem, iremos onsiderar a função de Lyapunov

V

representada formalmente pelasérie

V (x, y) =

1

2 (x

2 _{+ y}

2 _{) +}

∞

X

k=3

V

k

,

(3.9)

onde

V

k

é um polinmiohomogêneonas variáveis

x

e

y

de grau

k

.

A derivada de

V (x, y)

aolongo das órbitas dosistema (3.8) é dada por

˙

V = (x + V

3,x

+ V

4,x

+ · · · + V

k,x

+ · · · )(−y + xF )+

+(y + V

3,y

+ V

4,y

+ · · · + V

k,y

+ · · · )(x + yF ),

(3.10)

onde os índi es

x

e

y

representam as derivadas par iais om respeito a

x

e

y

, respe tivamente. Vimos no Capítulo

2

que om es olhas onvenientes de

V

k

(x, y)

a expressão de

V

˙

pode ser rees rita omo

˙

V = η

2 (x

2 + y

2 ) + η

4 (x

2 + y

2 )

2 + η

6 (x

2 + y

2 )

3 + · · · + η

2k

(x

2 + y

2 )

k

+ · · · ,

onde os oe ientes

η

2k

são osvalores fo aise são funçõespolinomiais.

Noquesegue,iremosdeterminarabasefo alparaosistema

(3.8)

eusaremos o pro edimentoapresentado no Capítulo

2

para en ontrar

V

3

,

V

4

e o primeiro oe iente de Lyapunov.

(34)

Teorema 3.2.1. Considere o sistema







x

′

= −y + x(a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

),

y

′

= x + y(a

0 + a

1 x + · · · + a

N

x

N

),

(3.11)

onde

N = 2n

ou

N = 2n + 1

. Então o onjunto

B = {a

0 , a

2 , . . . , a

2n

}

é uma base fo al.

Usando amudançade oordenadas

X = −y

e

Y = x

obtemos, doTeorema

3.2.1

, oteoremaseguinte.

Teorema 3.2.2. Considere o sistema







x

′

= −y + x(a

0 + a

1 y + · · · + a

N

y

N

),

y

′

= x + y(a

0 + a

1 y + · · · + a

N

y

N

),

(3.12)

onde

N = 2n

ou

N = 2n + 1

. Então o onjunto

B = {a

0 , a

2 , . . . , a

2n

}

é uma base fo al.

A prova dos Teoremas

3.2.1

e

3.2.2

é análoga e onsiste em al ular os oe ientesdeLyapunovem

(0, 0)

paraossistemas

(3.11)

e

(3.12)

. O oe iente

a

0

é tomado omo nulo, aso ontrário a origem é trivialmenteum fo o. Mas antes, ne essitaremos de alguns resultados.

Denição 3.2.1. Para ada

k

em

(3.9)

, denotemos por

V

i,j

o oe iente de

x

i

_y

j

em

V

k

,para

k = i + j

. Além disso,dizemos que

V

i,j

épar ouímpar quando

i

é par ou ímpar.

Substituindo os valores das derivadas par iais om relação a

x

e

y

e efetu-ando ál ulosem(3.10), obtemos

˙

V = (a

1 + V

2,1

) x

3 + (2 V

1,2

− 3 V

3,0

) x

2 y + (a

1 − 2 V

2,1

+ 3 V

0,3

) xy

2 −

V

1,2

y

3 + (3 V

3,0

a

1 + V

3,1

+ a

2 ) x

4 + (2 V

2,2

+ 3 V

2,1

a

1 − 4 V

4,0

) x

3 y+

(3 V

1,3

+ a

2 + 3 V

1,2

a

1 − 3 V

3,1

)x

2 y

2 + (3 V

0,3

a

1 − 2 V

2,2

+ 4 V

0,4

) xy

3 −

(35)

Lema 3.2.1. Considere o sistema

(3.11)

om

a

0 = 0

. Então:

a) Oprimeiro oe iente de Lyapunov em

(0, 0)

é dado por

L

1 = a

2

. b) Se

a

2 = 0

então

V

3,0

= V

1,2

= V

1,3

= V

3,1

= 0

.

Demonstração: Considere o sistema

(3.11)

e

V

omo em

(3.9)

. Da Pro-posição

2.3.1

, sabemos quea transformaçãolinear

T

3

é um isomorsmo, então podemoses olheros oe ientesde

V

3

(ouseja,

V

3,0

, V

2,1

, V

1,2

, V

0,3

)

de modoque

˙

V

determinado em (3.13) não tenha termos úbi os. Para isso, basta resolver osdois sistemasde equações:







V

2,1

+ a

1 = 0,

2V

2,1

− 3V

0,3

= a

1 ,







2V

1,2

− 3V

3,0

= 0,

V

1,2

= 0.

Neste aso, podemos es olher

V

3,0

= V

1,2

= 0

e

V

2,1

= −a

1

,

V

0,3

= −a

1

, o que resultaem

V

3 (x, y) = −a

1 x

2 y − a

1 y

3 .

Ainda pela Proposição

2.3.1

não podemos eliminar os termos quárti os de

V

˙

, mas podemoses olher

V

4,0

, . . . , V

0,4

e

L

1

de modo que

˙

V = η

4 (x

2 + y

2 )

2 + O(k(x, y)k)

5 .

Para isso, devemos resolveras in o equações seguintes, desa opladasem dois

grupos











−η

4 + V

3,1

= −a

2 ,

−2η

4 + 3V

1,3

− 3V

3,1

= −a

2 ,

−η

4 − V

1,3

= 0,







−4 V

4,0

+ 2 V

2,2

= 3 a

1

2 ,

−2 V

2,2

+ 4 V

0,4

= 3 a

1

2 .

Para o primeirogrupo de equações es olhemos:

V

1,3

= V

3,1

= −

1

2 a

2

e

η

4 =

1

2 a

2 .

epara o segundo grupo de equações:

V

2,2

= 0, V

0,4

=

3

4 a

1

2

e

V

4,0

= −

3

4 a

1

2 _,

(36)

Portanto,

L

1 = a

2

e

V

3,0

= V

1,2

= V

1,3

= V

3,1

= 0

quando

a

2 = 0

.

Faremosagorao ál ulodos oe ientesdeLyapunov paraosistema

(3.11)

. Teorema 3.2.3. Considere o sistema







x

′

= −y + x a

1 x + a

2 x

2 + · · · + a

N

x

N

,

y

′

= x + y a

1 x + a

2 x

2 + · · · + a

N

x

N

,

onde

N = 2n

or

N = 2n + 1

. Então, para

k = 1, 2, . . . , n

,

L

k

= a

2k

.

Demonstração: A prova será dada por induçãonaseguintearmação

P

k

:

• L

j

= a

2j

para

j = 1, . . . , k

;

•

Se

a

2j

= 0

para

j = 1, . . . , k

, então os oe ientes ímpares de

V

j

para

j ≤ 2k + 2

são nulos.

Pelo Lema 3.2.1,

P

1

é verdadeiro. Agora suponhamos

P

k

verdadeiro. Os oe- ientes ímpares de

V

2k+3

são determinados em termos dos oe ientes de

V

j

om

j ≤ 2k + 2

pelas seguintes equações

V

1,2k+2

= 0,

−3V

3,2k

+ (2k + 2)V

1,2k+2

=

2 X

j=1

−(j + 2k)V

j−1,2k+1

a

3−j

,

−5V

5,2k−2

+ (2k)V

3,2k

=

4 X

j=1

−(j + 2(k − 1))V

j−1,2k−1

a

5−j

,

. . .

−(2k + 1)V

2k+1,2

+ (4)V

2k−1,4

=

2k

X

j=1

−(j + 2)V

j−1,3

a

2k+1−j

,

−(2k + 3)V

2k+3,0

+ (2)V

2k+1,2

=

2k+2

X

j=1

−(j)V

j−1,1

a

2k+3−j

.

(37)

são nulos, então o lado direito destas equações é zero. Consequentemente, os

oe ientes ímparesde

V

2k+3

são todos nulos.

Em seguida,

L

k+1

e os oe ientes ímpares de

V

2k+4

são determinados pelas equações

−η

2k+4

− V

1,2k+3

= 0,

−

k + 2

k + 1

η

2k+4

− 3V

3,2k+1

+ (2k + 3)V

1,2k+3

=

2 X

j=1

−(j + 2k + 1)V

j−1,2k+2

a

3−j

,

−

k + 2

k

η

2k+4

− 5V

5,2k−1

+ (2k + 1)V

3,2k+1

=

4 X

j=1

−(j + 2k − 1)V

j−1,2k

a

5−j

,

. . .

−

k + 2

₁

η

2k+4

− (2k + 3)V

2k+3,1

+ 3V

2k+1,3

=

2k+2

X

j=1

−(j + 1)V

j−1,2

a

2k+3−j

,

−η

2k+4

+ V

2k+3,1

=

2k+4

X

j=1

−(j − 1)V

j−1,0

a

2k+5−j

.

Pela hipótese de indução, o lado direito da última destas equações é

−a

2k+2

, enquanto que o de todas as outras é nulo. Assim, segue da última igualdade

que

V

2k+3,1

= η

2k+4

− a

2k+2

.

Substituindoeste valornapenúltima equação obtemos

V

2k+1,3

=

k + 2

1 η

2k+4

+ (2k + 3)(η

2k+4

− a

2k+2

).

Repetindo esse pro esso até a primeira equação hegaremos que

η

2k+4

é um múltiplo positivo de

a

2k+2

e ada oe iente ímpar é um múltiplo negativo de

a

2k+2

. Deduzimosque se

P

k

éverdadeiro, então

L

k+1

= η

2k+4

= a

2k+2

.

Observação 3.2.1. Os oe ientes pares de

V

2k+4

não foram utilizados na demonstraçãoa ima, isso porque estamosinteressados na expressão

L

k

que só