MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM: QUESTÕES SOBRE A PREVIDÊNCIA SOCIAL BRASILEIRA

MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM: QUESTÕES SOBRE A PREVIDÊNCIA SOCIAL BRASILEIRA

Resumo

Neste trabalho utiliza-se a Modelagem Ma-temática como estratégia de ensino-aprendiza-gem de Matemática para a Educação Básica.A partir do tema: "Previdência Social Brasileira" são apresentadas situações-problema e construídos modelos matemáticos que permitem a compre-ensão da temática e, ao mesmo tempo, possibili-tam a aprendizagem de conceitos e resultados de matemática no nível médio. Parte-se da hipó-tese de que se deve mudar aforma de abordar a matemática em sala de aula, procurando traba-lhar os conteúdos de uma maneira diferente, no contexto dotema proposto eutilizar uma estra-tégia de ensino que é interdisciplinar - a mode-lagem matemática.

Palavras-chave:Ensino e aprendizagem de ma-temática; Previdência SocialBrasileira, Modela-gem Matemática.

Introdução

A pergunta mais freqüente que os profes-sores de matemática têm ouvido, em suas salas, ao longo do tempo, por parte de seus alunos é: onde iremos aplicar isso? A questão da aplicabilidade eutilidade dosconteúdos ensina-dos naescola dehoje éumdos fatores, entre mui-tos outros, que tem mobilizado professores e a própria comunidade escolar.

Observa-sediariamente que alunos cursam matemática porque são obrigados, uma vez que

Karla Jaqueline Souza Tetscb' Lozicler Maria Moro dos Santos" Vanilde BisogniJil

esta se encontra imposta no currículo, mas com muito pouca motivação, tendo como conseqüên-cia altas taxas deevasão e reprovação.

Nessa direção, concordamos com Harpper et al (1996), quando analisa os males que aco-metem o sistema educacional brasileiro:

11escola hoje éummundo à parte, fechado eprotegido, separado davida. Um mundo de ritos imutáveis, de si-lêncio eimobilidsde, onde ospapéis de cada um estão previamente determi-nados - oaluno cala,obedece. éjulga-do; oprofessor sabe. ordena, decide, julga, anota, pune - cujo percurso é

uma corrida de obstáculos. Um mun-do de conteúdos estranhos, etomizedos, compartimentados e rigi-damente hiererquizedos, que não têm qualquer significação nem qualquer utilidade imediata para os alunos. "

Passaram-sedezanos dessaafirmação, mas o contexto educacional sobre a escola e o ensino de matemática poucomudou ao longo desse tem-po.O desafio para nós,professores de matemáti-ca, é reverter esse quadro, ou seja, tornar tão interessante a matemática a ponto de levar os alunos a querer estudá-la?

Uma forma encontrada, por muitos edu-cadores matemáticos, para tentar reverter o qua-dro descrito, éa utilização da Modelagem Mate-mática como estratégia de ensino-aprendizagem em saladeaula.Amodelagem matemática, quan-do analisada do ponto de vista da matemática

aplicada, éum método de pesquisa que procura entender, propor e resolver problemas, cada vez mais complexos, do mundo real. Por outro lado, ela pode ser olhada como uma excelente estraté-gia deensino-aprendizagem, quando utilizada em sala de aula. As práticas utilizadas, na pesquisa em matemática aplicada, têm influenciado forte-mente o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino-aprendizagem em todos os níveis deeducação. Essa estratégia, em diferen -tesexperiências, tem se reveladouma ferramenta de ensino que permite substituir a tendência formalista da matemática porum instrumento de investigação em que alunos e professores são responsáveis pelo seu próprio aprendizado. Ela envolve, num trabalho colaborativo, a partici pa-çãodealunos e professores na busca de soluções deproblemas oriundos da realidade social.

Oprocesso detrabalho com modelagem é desencadeado a partir de umtema, que pode ser escolhido pelosalunos ou pelos professores, por algum problema significativo ou por questionamento de alguma situação da re alida-de. Segundo Burak (1992), aModelagem Mate -mática é "um conjunto de procedimentos cujo objetivo éconstruir um paralelo para tentar ex

-plicarmatematicamente os fenômenos queo ho-mem vive em seu cotidiano, ajudando-o afazer predições ea tomar decisões".

Deacordo com Almeida eBrito(2005), ..a Modelagem Matemática em salade aulapode servista como uma atividade essencialmente cooperati-va, onde a cooperação e a interação entre alunos e entre professor e alu-no têm um papel importante na construção do conhecimento.Por outro lado, a relação com a socieda-de tamhém posocieda-de ser estimulada pois osproblemas estudados têm na so-ciedade sua origem.

Diferentes experiências com Modelagem Matemática apontam asseguintes razões em de-fesadesua utilizaçãoem sala deaula e justificadas por Silveira&Ribas(2004, p. 1, parte 2);

1) Motivação dos alunos e do pró-prio professor.

2) Facilitação daaprendizagem. O conteúdo matemático passa a ter mais significação, deixa de ser

ahs-trato epassa aser concreto. 3)Preparação para aprofissão. 4)Desenvolvimento do reciocinio lógico e dedutivo em geral.

5) Desenvolvimento do aluno como cidadão e transformador de sua realidade.

6) Compreensão do papel sociocultural damatemática, tornan-do-a assim, mais importante.

Vários esquemas são descritos por diferen -tes autores que têm trabalhado o processo de Modelagem Matemática, entre os quais,citamos: Bassanezi (1988), Gazetta (1989), D'Ambrósio (1986), Burak (1992,2004) e outros. Em nosso trabalho, tomamos como referencial asetapas de modelagem descritas por Burak (2004): a esco -lha do tema, apesquisa exploratória, o levant a-mento dosproblemas, a resolução dosproblemas, o desenvolvimento daMatemática relacionada ao tema e a análise crítica das soluções.

ParaBassanezi(2002,p.38)

Mais importante do queosmodelos obtidos éo processo utilizado. a análi-se críticae sua inserção no contexto sociocultural. O fenômeno modelado deve servir depano de fi.mdoou moti-vaçãopara o aprendizado das técnicas e conteúdos daprópriamatemática.As discussões sobre otema escolhido fa-vorecem a preparação do estudante comoelemento perticipetivo da socie-dade em que vive-"O indivíduo .eo mesmo tempo que observa a realidade,a partirdela e através dapro-dução denovas idéias (mentefatos) e deobjetos concretos (artefatos),exerce uma açãona realidade como um todo" (D'Ambrásio. 1986).

Neste trabalho, o tema escolhido foi: Pre-vidência Social Brasileira e descrevem-se algu -mas situações-problema envolvendo otema pro-posto e seguindo os passos daModelagem Mat e-mática descritos por Burak . O tema proposto surgiu a partir do interesse dos alunos, parti ci-pantes do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano - UNIFRA.Os proble -mas propostos permitiram queos mesmos fizes -sem simulações de diferentes situações que p

dem ocorrer aos trabalhadores contribuintes da Previdência SocialBrasileira.São aproximações da realidade, mas como afirma Bassanezi," mais importante que o modelo construído é o proces-so utilizado , a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural".

1. Previdência Social Brasileira

No Brasil, éimposto a todo trabalhador a obrigatoriedade de contribuir com um plano de aposentadoria, o que é realizado através de des-contos mensais do salário, conforme estipula a Ementa Constitucional na 20, de 15/12/98, do ar-tigo 195 da Constituição Federal do Brasil de1988. Uma questão relevante éque a maioria das pessoas não realiza os cálculos para prever seu próprio futuro, nem mesmo percebe o quanto poderia render seu dinheiro se, ao invés de con-tribuir com um plano de aposentadoria, pudesse depositar, mensalmente, em algum Fundo de In-vestimentos ou Caderneta de Poupança.

A Constituição Federal do Brasil, em seus artigos 40, 195, 201 e 202, define o regime previdenciário brasileiro queéconstituído por três regimes de previdência:

1) Regime Geral de Previdência Social que é operado pelo Instituto Nacional de Seguridade Social- INSS;

2) Regimes Próprios deGovernos dos

Ser-EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

rnr ._

vidores Públicos de Caráter público e obrigatório;

3) Regime de Previdência Complementar, operadopor entidades com fins lucrativos.

o

Regime GeraldePrevidência Social- RGPS está voltado para todos os trabalhadores do país regidos pela Consolidaçãodas Leis Trabalhistas -CLT.Esses trabalhadores sãoassalariados urbanos, autônomos, domésticos erurais, empregadores e os funcionários públicosceletistas ou estatutários. Os Regimes Próprios de Governos dos Servidores Públicosestão voltados para os servidores públi-cos, cujoente dafederação tenha instituído regime próprio de previdência. ORegime de Previdência Complementar éoperadopor sociedades anônimas ou grupos organizados, istoé, pessoas jurídicas de direito privado, comfinalidade lucrativa.

Nos últimos anos, aPrevidência Social pas-sou por reformas quealteraram as regras de con-tribuição tanto para oRegime Geralda

Previdên-cia Social, quanto para o Regime Próprio de

Previdência dos trabalhadores brasileiros. Oestudo realizadoneste trabalho busca res-postas às questões relacionadas ao Regime Geral de Previdência - INSS.Por isso, na tabela a seguir, apresentam-se ospercentuais de contribuição men-sal dos empregados constantes do Regime Geral de Previdência Social para pagamento de remunera-ção, a partir de 1

°

demaio de 2005, deacordo com a Portariana822,de 11 demaio de 2005.

Salário de Contribuição (R$) Alíquota para finsde recolhimento do INSS(%) Até R$ 800,45 7,65 DeR$ 800,46 a R$900,00 8,65 De R$ 900,01 a R$ 1.334,07 ...

__

__ ___

__

__ _ __ _._ _ . De R$ 1.334,08 a R$2.668,15 9,00 11,00 Tabela 1 Fonte: Informare, maio de2005.

Pela legislação nacional vigente, Emenda Constitucional n?40, todo trabalhador que con-tribui para a Previdência Social tem o direito a aposentadoria que pode ser integral ou parcial. Para ter direito à aposentadoria integral o traba-lhador homem deve comprovar 60 anos deidade e 35 anos decontribuição e a mulher, 55anos de idade e 30 anos de contribuição. Paraa

aposen-tadoria proporcional, otrabalhador precisa aten-der a dois requisitos: ohomem deve ter 53 anos de idade e 3

°

anos de contribuição e mais um adicional de 40% sobre o tempo que faltava em 16 de dezembro de 1998,para completar 30anos de contribuição. A mulher deve ter 48 anos de idade, 25anos decontribuição emais um adicio-nal de 40% sobre otempo que faltava, em 16 de

DEZEMBRO· 2006 • SBEM-RS 81

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dezembro de 1998 para completar 30 anos de con-tribuição.

O problema que intriga muitos trabalhado-res é: se ele contribui sobre 3, 4,5 ou mais salári -os mínim-os. por que no momento da aposentado-ria nãoobtém o valoresperado? Tentando respon-der algumas questões referentes ao tema escolhi

-do propomos algumas situações-problema. Situação-Problema 1: Considera-se uma trabalhadora regida pelo Regime Geral de Previ

-dência Social e que recebe um salário mensal de R$ 1.500,00. Pergunta-se: Qual o valor em reais que essa trabalhadora acumularia, em 30 anos de

serviço se, ao invés de ter o percentual de contri-buição ao INSS descontado deseu salário, ela pu-desse depositar esse valor em uma Caderneta de Poupança a uma taxa fixa de 0,7% ao mês?

Deacordo com a Tabela 1, a alíquota de descontos do salário da trabalhadora é de 11% o que corresponde aR$ 165,00. Portanto atraba

-lhadoradeve aplicarmensalmente o valorem uma

Caderneta de Poupança que renderá 0,7%. Para responder à pergunta vamos deduzir um modelo matemático que possa fornecer o montante, em reais, após 30 anos decontribuição.

Vamosdesignar por

q

o

o valor inicial que será depositado, mensalmente, a uma taxa de juros

i

mensal.

No início do primeiro mês, osaldo é de

qo

.

No início do segundo mês, o saldo é de

(q()

+Í<

/o)

+

(j{j' Noinício do terceiro mês, tem-se

qn(l

+

i

f

+qll(l+

i)

+

qll

Ouseja, noinício de cada mês tem-se:

qo

(q

i)

+

i

q

o

)

+

qo

qü(l

+

i

)2

+

qn(1

+i)

+q

«

Seguindo esse raciocínio, transcorridos

n

meses o saldo acumulado éde:

que é a soma de umaprogressão geométrica dada por

Utilizando-se o modelo matemático construído. o saldoacumulado pela trabalhadora

em 30 anos (360 meses) que deposita, mensal

-mente R$ 165,00, em uma Caderneta de Pou

-pança que rende 0,7% ao mês éde

[

360]

S =16500 (1+0,007) -1 =26682810

360 .' 0,007 '

Ouseja, após 30 anos de contribuição, a trabalhadora terá disponível umsaldo emCader

-neta dePoupança deR$ 266.828,10

Apartir dessa resposta e tendo como base o dado obtido, formulou-se uma nova situação

-problema.

Situação-problema 2: Quantos salários de R$

1500,00 atrabalhadora terá disponível, após esses 30 anos dedepósitos fixosna Caderneta de Poupança?

Observa-se queatrabalhadora terá, apro

-ximadamente, 178 meses de salário com esse valor,ou seja,aproximadamente 15 anos após sua aposentadoria.

Para uma trabalhadora que se aposenta com 60 anos de idade econsiderando que a ex-pectativa de vida é de,aproximadamente 73 anos , no RioGrande do Sul,a trabalhadora gerindo sua própria contribuição terá 15 anos de salário de R$ 1500,00 garantidos.

Certamente ela terá um valor bem maior, pois o saldo da Caderneta dePoupança, mesmo que não continue tendo os depósitos mensais fixos de R$165,00, ovalor continuará crescen

-do, uma vezque serão acrescidos juros mensal-mente.

Situação-problema 3: Com o saldo da Ca-derneta dePoupança, qual o valor mensal que essa trabalhadora poderá retirar como aposentadoria e

ter garantido um salário até ofinal de sua vida? Segundo a Organização Mundial de Saú-de, a expectativa devidadeuma pessoa aposen-tada é de30anos.

Supondoque a trabalhadora tenha um sa l-do em Caderneta de Poupança que rende juros mensais a uma taxa

i,

com saldo inicial

S

o

e que todo mês façauma retirada

p

.

Novamente vamos descrever o modelo matemático que permitirá calcular osaldo acada retirada mensal.

Observemos que, após a retirada do pri -meiro mês, osaldo restante é

Após aretirada do segundo mês, o saldo restante é

S2=(1 +i)SI - P=(1+i)2So - [(1+i)p +p] Após a retirada no n-ésimo mês o saldo em Caderneta de Poupança é

S;

=

(1+ i)"So- [l+i)"-I p+ ...+(l+i)p+ p]

Ou seja,

Se após

n

meses o saldo é zero, então

_ i

S

P-

1

-

(

l

+

ir

n o

Observemos que,da situação-problema-i, obtivemos um saldo S360

=

So

=

266828,10 após 30 anos, aplicando mensalmente, o valor de 11% do salário datrabalhadora em uma Caderneta de Poupança. Supondo quea expectativa de vida da trabalhadora seja de 30 anos, então ela poderá fazer uma retirada mensal de:

0,007

P

=

360 .S360 =2.027,89 1-(1,007)

-Ou seja, se a trabalhadora viver 3O anos após sua aposentadoria, então, até o final de sua vida, poderá fazer uma retirada mensal de R$ 2.027,89 seela pudesse gerir sua contribuição.

A partir desta constatação, comparou-se o salário datrabalhadora considerando sua contri -buição aoINSS, durante omesmo período, como determina aleibrasileira.

Situação-problema 4: Vamos comparar o

valor encontrado com o valor do beneficio de aposentadoria que atrabalhadora teria, caso ti -vesse contribuído para o INSS durante os mes-mos 30 anos.

Deacordo como modelo de cálculo atual deaposentadoria doRegime Geral de Previdência Social, é conhecido oseguinte modelo matemáti -co,de difícil entendimento para a maioria dos tra-balhadores:

Benefício

=

y

x

F

Noqual

r=

média dos 80% maiores salá-rios de contribuição e

F

é o Fator Previdenciário que é calculado da seguinte forma:

F

=

Te

x

a

(

1

+

(Id

+

T

e

x

a)

Es 100

T

e

=

Tempodecontribuição

a

=

alíquota

=

0,31

I

d

=

Idade

E

s

=

expectativa devida

Para uma trabalhadora que recebe R$ 1.500,00 aomês, o valor atual do benefício, após 30 anos de contribuição, é de, aproximadamen

-te, R$ 1.648,14. Essa simulação foirealizada no site

<

www.inss.gov.br

>

.

Comparando as resoluções das situa ções-problema 3 e4, observamos que émais va nta-joso atrabalhadora gerir a sua própria contri-buição por meio de uma aplicação em Cader-neta de Poupança. Ressaltamos aqui que a si -mulação acima é real, com osalário corrigido, monetariamente, mês a mês, enquanto que, no caso da situação-problema 3,fixamos o salário ea taxa dejuros por

3q

anos. Isso significa que ovalor do benefício poderia ser maior, se le-vássemos em consideração acorreção do salá -rio e da taxa dejuros paga pela Caderneta de Poupança em cada mês.

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~~.-~

Situação-problema 5: É conhecido que

além, dacontribuição mensal de 11%sobre o

sa-lário da trabalhadora aConstituição Federal

de-termina que o empregador deve repassar ao INSS

20% do que é pago a mesma. As questões

pro-postas são as seguintes:

a) Qual o saldo que a trabalhadora terá,

após 30 anos de trabalho, se além da

contribuição de 11% de seu salário, o

empregador repassar para a emprega

-da o percentual de 20%sobre o salário

que é pago ao INSS?

b) Qual será o valor da parcela que a

tra-balhadora poderá retirar,

mensalmen-te, se sua expectativa de vida, após a

aposentadoria, for de 30 anos?

Para responder a essas questões, inicial-mente observamos que o percentual do salário que é repassado ao INSS é de 31%, ou seja, 11%

descontado do saláriodatrabalhadora e mais 20% que épago pelo empregador. Seo salário da t ra-balhadora é de R$ 1.500,00, então a contribuição mensal ao INSS deve ser de R$465,00.

De acordo como modelodescrito na

situa-ção-problema 1,aplicando-se R$465,00 em uma Caderneta de Poupança a uma taxa de 0,7% men-sal durante 30 anos obtém-se um saldo de:

I 360

j

S

=

465 00 l(l

+

0,007) -1

=

751970 10

360 , 0007

_,

'

Nasuposição de que a trabalhadora tenha uma expectativa de vida de 3Oanos então, de acor -do com omodelo descrito na situação-problema 3,ela poderá fazer uma retirada mensal de

0,007

l

i

=

360 .S360

=

5.714,97 1-(1,007)

-Ouseja, neste caso,a trabalhadora poderá retirar R$5.714,97 mensais durante 30 anos, que é um valor muito superior ao valor pago pelo INSS como benefício deaposentadoria.

Nacomparação das situações descritas, pode -se ob-servar que: nasituação-problema 3, a traba-lhadoratem uma pequena vantagem em gerir seu própriodesconto do que optar pela contribuição ao INSS. Nesse caso,estamos comparando um valor

fixodepositadomensalmente, durante 30 anos,com

uma taxa dejuros fixadurante o mesmo período, com umsaláriorealeatualizado, monetariamente,

a cada mês.Estaconclusãopoderá sermais favorá -velàtrabalhadora se o valor dosalário for atua liza-do, monetariamente, mês a mês e se considera r-mos ataxadejuros da Caderneta de Poupança real.

Aoresolver a situação-problema 5, verif

i-cou-se quea diferença desalárioem favorda tra -balhadora émuito maior se elaoptar porgerir as suas contribuições e as pagas pelo empregador. Observemos, como na conclusão anterior, que

estamos comparando um benefício real de apo -sentadoria, isto é, comsaláriocorrigido, moneta-riamente, com um valor de contribuição etaxa dejuros fixosdurante 30 anos. Se levarmos em

consideração os valorescorrigidosmonetar iamen-te, a diferença afavor da trabalhadora, será mui

-to maior.

Conclusões

Neste trabalho realizamos algumas simu

-lações sobre ocálculo dovalor de aposentadoria

sem levar emconsideração outros benefícios que a contribuição ao INSS traz, tais como: aux ílio-doença, auxílio-família, aposentadoria por

invalidez,pensões, etc.Tambémnãolevamos em consideração a troca de moeda, que pode acon

-tecer durante operíodo de 30anos decontribui

-ção.Essa éuma boa situação-problema que po-derá ser proposta como desafio .mostrando a pos-sibilidade da Modelagem Matemática favorecer

aos alunos,experiências que sejam significativas. Com os valores que a trabalhadora pode receber, se amesma puder gerir sua aposenta -doria, elapoderá, principalmente, no caso da si-tuação-problema 5, pagar umplano desaúde de sua escolha emanter-se dignamente.

Diante da realidade dos resultados obti-dos edo que conhecemos sobre faixas salariais de aposentadoria concedidas pelo INSS, perce-be-se que seria justo oportunizar aotrabalhador brasileiro aescolha para o Regime Geral de Pre -vidência Social ou administrar sua contribuição para a aposentadoria.

Nas resoluções descritas, não foram con-sideradas muitas variáveis que poderiam alterar os valores encontrados, comoalterações do valor do salário ou da taxa dejuros da Caderneta de Poupança, o que, ao serconsiderado, certamente causará alterações nas atividades realizadas.

otrabalho oportun

ízouvivenciar a Modelagem Matemática, em sala de aula,por meio de uma expe-riência concreta. Apartir das informações obtidas, outras situações-problema podem ser propostas tan-to pelos professores, quantan-to pelos alunos.Essa estra-tégia permite quea aula sejamotivadora, dinâmica e enriquecedora, levando auma aprendizagem signifi-cativadamatemática.A prática da Modelagem Mate-mática oportunizou aos alunos odesenvolvimento de habilidades tais como :raciocínio lógico,trabalho em grupo e colaborativo .a criatividade, a iniciativa pes-soale autonomia advinda da confiança na própria ca-pacidade para enfrentar desafios.

Referências

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MaterrÉlicB,ll.2CXX3J3lurrnnauAnais.BlurrH:lau:FUR2CXX3.1 CD-ROM.

BASSANEZI,R.C.; FERREIRAJr., W C. Equações Di-ferenciais comAplicações.São Paulo:Harbra, 1988. BASSANEZI,R. C. Ensino - aprendizagem com Modelagem Matemática. SãoPaulo: Contexto, 2002. BRASIL. Constituição Federal da República.

Brasília. 1988.

.Ministério da Previdência Social. Calcule

sua aposentadoria. Disponível em:www.inss.gov.br/ calculo.Acessado em 29 de maio de 2005. BURAK,Dionísio. Modelagem Matemática e a sala de aula. In: Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, 1., 2004, Londrina. Anais. Londrina: DEL,2004. 1CD-ROM.

___ oModelagem Matemática: Ações e Interações noProcesso de Ensino-Aprendizagem. VoLI e lI. Tese se Doutorado em Educação na Área de Concentra-ção- PsicologiaEducacional. Universidade Estadual de Campinas. Campinas, 1992.

D'AMBROSIO, U.Da realidade àação. Reflexões sobre Educação e Matemática. 3. ed. Campinas: Summus, 1986.

GAZZETA, M.A Modelagem como estratégia de aprendizagem da matemática em cursos de aper-feiçoamento de professores. Dissertação de mestrado. UNESp, Rio Claro, 1989.

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SILVEIRA,Jean Carlos; RIBAS,JoãoLuis Domingues. Discussões sobreModelagem Matemática e o Ensi-no Aprendizagem. Só Matemática. Disponível em:

<

http://www.somatematica.com.br/artigos/a8

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Acessado em 27 e novembro de 2004.

1Mestre em Ensino de Matemática - UNIFRA. Mestrado Profissionalizante emEnsino de Física ede Matemática. 2 Mestre em Ensino de Matemática - UNIFRA. Mestrado Profissionalizante emEnsino de Física ede Matemática. 3 Doutora em Matemática - UNIFRA.